8.2.1 排列（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步教案（高教版2021）

8．2　排列与组合 8．2.1　排列 课程标准 素养解读 1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列． 2．会用排列数公式进行求值并解决简单的实际问题. 1.通过学习排列的概念，培养数学抽象的素养． 2．借助排列数公式进行计算，培养数学运算的素养． 3．通过排列知识解决实际问题，提升逻辑推理的素养. 为增强学生的社会责任感，某校组织学生参加志愿服务活动．现计划从甲、乙、丙3名学生中选2名分别担任服务小组的正、副组长，有多少种不同的选法？ [知识点一]　排列 1．一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n且m，n∈N＋)个元素，按照　一定的顺序　排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．m＜n时，称为　选排列　. 2．两个排列相同的重要事件是：两个排列的元素　完全相同　，且元素的　排列顺序　也相同． 如果m＝n(也就是每次取出所有元素的排列)，这样的排列称为　全排列　.全排列所有不同的排法所含有的元素完全一样，只是元素排列的顺序不完全相同． [知识点二]　排列数与排列数公式 排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有不同　排列　的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的排列数. 排列数表示法 P 排列数公式 乘积式 P＝　n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)　 阶乘 当n＝m时P＝n(n－1)(n－2)…2·1，记作n！，读作n的阶乘． 阶乘式 P＝ 性质 P＝　n！　，P＝　1　，0！＝　1　 1.如何判断一个具体问题是不是排列问题？ 提示：判断一个具体问题是否为排列问题，就是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，判断在安排这m个元素的时候是否有序，有序就是排列，无序就不是排列，而检验是否有序的依据就是交换元素的“位置”，看结果是否有变化，有变化就是有序，无变化就是无序，如“从2,3,5,7这4个数中任取两个，求它们的和”就不是排列问题，因为加法满足交换律，交换这两个数的位置后和不变，所以不是排列问题；若是“求它们的商”，则是排列问题，因为取到的两个数哪一个作为除数，哪一个作为被除数是不一样的，此时求得的结果与位置有关． 2．“排列”与“排列数”是两个相同的概念吗？如果不是，它们有什么区别？ 提示：“排列”与“排列数”是两个不同的概念．“排列”是指“按照一定的顺序排成一列”，所谓排成一列，是指与顺序有关，例如排列AB与排列BA是 不同的，可以把一个排列看成一个类似点坐标的有序数对，它不是一个数，而是完成一件事的方法．“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数．如A，B，C三名同学站成一排照相留念的排列有以下6种形式：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA.这里的每一种形式都是一个排列，而排列数是6. 1．从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：B　[因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题．而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．] 2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(　　) A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B．甲乙，丙乙，丙甲 C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D．甲乙，甲丙，乙丙 解析：C　[用枚举法，一一列出．] 3．A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为(　　) A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 解析：C　[所有的排法有A－B－C，A－C－B，B－A－C，B－C－A，C－A－B，C－B－A，共6种．] 　排列概念的理解 　判断下列问题是否是排列问题，并说明理由． (1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B； (2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动； (3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和； (4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商； (5)高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上． [思路点拨]　判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题． [解]　(1)是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中． (2)不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分． (3)不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求． (4)是排列，因为选出的两个三位数之商会因为分子、分母的顺序颠倒而发生变化，且这些三位数是互质的，不会产生选出的数不同而商的结果相同的可能性，故是排列． (5)是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生． 判断一个具体问题是否为排列问题的方法 [变式训练] 1．判断下列问题是不是排列问题： (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？ 解：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题． (2)因为任何一种从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题． (3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题． 所以(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题． 排列数公式的推导及应用 　计算：(1)；(2)P. [思路点拨]　可直接运算，也可采用阶乘式． [解]　(1)法一 ＝＝＝. 法二　＝＝ ＝＝. (2)P＝5！＝5×4×3×2×1＝120. 1．排列数公式的连乘形式常用于计算具体的排列数． 2．排列数公式的阶乘形式主要有两个作用： (1)当m、n较大时，使用计算器快捷地算出结果； (2)对含有字母的排列数的式子进行变形． 注意常用变形P＝nP，nP＝P－P， n·n！＝(n＋1)！－n！的应用． 3．计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时，要注意先提取公因式进行化简，然后计算，这样做可以减少运算量．P中隐含了如下条件：m，n∈N*，m≤n，P的运算结果为正整数．在解与排列数有关的方程或不等式时，要注意未知数的取值范围． [变式训练] 2．计算：(1)P；(2)P；(3)P. 解：(1)P＝16×15×14＝3 360. (2)P＝6！＝720. (3)P＝6×5×4×3＝360. 　排列数的应用 　(1)有15支足球俱乐部参加某联赛，15支足球队中每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，试问一共要进行多少场比赛？ (2)用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的3位数？ (3)有5名同学站成一排拍照． ①若甲、乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？ ②若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，则共有多少种不同的排法？ [思路点拨]　(1)任意两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从15个元素中任取2个元素的一个排列． (2)按照排列的定义，先排百位上的数字，再排十位和个位上的数字，但要注意的是百位上的数字不能为0. (3)①用捆绑法进行求解；②分甲排左端和乙排左端两种情况进行求解，再求和即可． 解：(1)比赛的总场次是P＝15×14＝210(场)． (2)由于百位上的数学不能为0，所以只能从1～9中的9个数字中任取一个，共有P种取法；十位上的数字和个位上的数字是没有任何要求的，所以十位上的数字是从百位上已确定的数字之外的9个数字中进行选择，有P种取法；个位上的数字是从百位上、十位上已确定的数字之外的8个数字中进行选择，有P种取法，所以根据分步计数原理可知，符合要求的3位数的个数是P·P·P＝648. (3)①将甲、乙捆绑在一起，故方法数有P·P＝48(种)． ②如果甲排左端，则方法数有P＝24(种)；如果乙排左端，则方法数有P·P＝18(种)；故总的方法数有24＋18＝42(种)． 典型的排列问题，用排列数计算其排列方法；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取． [变式训练] 3．8个人排成一排． (1)共有多少种不同的排法？ (2)8个人排成两排，前后两排各4人共有多少种不同的排法？ (3)8个人排成两排，前排3人，后排5人，共有多少种不同的排法？ 解：(1)由排列的定义知共有P种不同的排法． (2)8人排成前后两排，相当于排成一排，从中间分成两部分，其排列数等于8人排成一排的排列数P.也可以分步进行，第一步：从8人中任选4人放在前排共有P种排法，第二步：剩下的4人放在后排共有P种排法，由分步计数原理知共有P×P＝P种排法． (3)同(2)的分析可知，共有P×P＝P(种)． 1．下列问题属于排列问题的是(　　) ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算． A．①④ B．①② C．③④ D．①③④ 解析：A　[根据排列的定义进行判断．] 2．某班下午有三节课，欲从语文、数学、英语、物理、化学中任选三科来安排，则不同排课法的种数是(　　) A．15 B．P C．35 D．53 解析：B　[把下午三节课看成“3个位置”，把语文、数学、英语、物理、化学看成“5个元素”，分别用A，B，C，D，E来表示，一种排课法可看作是从A，B，C，D，E中取出3个按顺序分给三节课，分配的时候有顺序之分，故所有不同排课法的种数是P.] 3.＝(　　) A．12 B．24 C．30 D．36 解析：D　[P＝7×6×P，P＝6×P， 所以原式＝＝36.] 4.＝　________　. 解析：＝＝. 答案： [基础过关] 1．下面问题中，是排列问题的是(　　) A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合 解析：A　[选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D中需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．] 2．89×90×91×92×…×100可表示为(　　) A．P B．P C．P D．P 解析：C　[P＝100×99×98×…×(100－12＋1) ＝100×99×98×…×89.] 3．已知3P＝4P，则n＝(　　) A．5 B．7 C．10 D．14 解析：B　[由×3＝×4， 得(11－n)(10－n)＝12，解得n＝7，n＝14(舍)．] 4．6位学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为(　　) A．36 B．120 C．240 D．720 解析：D　[不同的排法有P＝6×5×4×3×2×1＝720 (种)．] 5．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的方法有(　　) A．50 B．60 C．120 D．90 解析：C　[5本书进行全排列，P＝120.] 6．计算：＝　________　. 解析： ＝＝. 答案： 7．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有　________　种． 解析：P＝4×3＝12. 答案：12 8．某人射击8枪，命中4枪，则4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为　________　. 解析：先把连在一起命中的三枪“捆绑”在一起，然后从4枪不命中之间的三个空位及两端两个空位共5个空位中选出2个进行排列，有P＝20(种)． 答案：20 9．写出从4个元素a，b，c，d中取出3个元素的所有排列． 解析：abc，acb，bac，bca，cab，cba，abd，adb，bad，bda，dab，dba，acd，adc，cda，cad，dac，dca，bcd，bdc，cbd，cdb，dbc，dcb，即A＝4×3×2＝24，共24个排列． [能力提升] 10．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有(　　) A．12种 B．24种 C．48种 D．120种 解析：B　[同学甲只能在周一值日，所以除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，所以5名同学值日顺序的编排方案共有P＝24(种)．] 11．从4人中选出2人，安排周六、周日值班，每天一人，则不同的安排方法种数为(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 解析：D　[安排周六、周日值班是有序问题，故有P＝12(种)安排方法．] 12．某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语各一节课，剩下两节为自习课，则不同排课法的种数是(　　) A．15 B．P C．35 D．53 解析：B　[把上午五节课看成“5个位置”，分别用1,2,3,4,5来表示，把语文、数学、英语看成“3个元素”，一种排课法可看作是从1,2,3,4,5这5个位置中取出3个位置分给语文、数学、英语，分配的时候有顺序之分，故所有不同排课法的种数是P.] 13．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面旗，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示　________　种不同的信号． 解析：分三类完成： 第1类，挂1面旗，可以表示P种不同的信号； 第2类，挂2面旗，可以表示P种不同的信号； 第3类，挂3面旗，可以表示P种不同的信号； 根据分类计数原理，可以表示的信号共有 P＋P＋P＝3＋3×2＋3×2×1＝15(种)． 答案：15 14．有3名司机、3名售票员要分配到3辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有　________　种．(填数字) 解析：司机、售票员各有P种安排方法，由分步计数原理知，共有PP＝36(种)不同的安排方法． 答案：36 15．分别求出符合下列要求的不同排法的种数． (1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人； (2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾； (3)6名排成一排，甲、乙不相邻． 解：(1)分排与直排一一对应，故排法种数为P＝720(种)． (2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有P种选法，然后其他5人排，有P种排法，故排法种数为PP＝480(种)． (3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有PP＝480(种)排法． 72 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于(　　) A．33 B．72 C．84 D．189 解析：C　[由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，得q2＋q－6＝0.∵q>0，∴q＝2.∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝q2·S3＝22×21＝84.] 2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　) A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 解析：B　[设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.] 3．已知等比数列{an}的公比q＝2，且2a4，a6,48成等差数列，则{an}的前8项和为(　　) A．127 B．255 C．511 D．1 023 解析：B　[因为2a4，a6,48成等差数列，所以2a6＝2a4＋48，所以2a1q5＝2a1q3＋48.又因为q＝2，所以a1＝1，所以S8＝＝255.] 4.设Sn为等比数列{an}的前n项和，若2a2＋a3＝0，则＝(　　) A．11 B．5 C．－8 D．－11 解析：D　[由2a2＋a3＝0，得a3＝－2a2，所以等比数列{an}的公比q＝－2，于是＝＝＝－11.] 5．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若6S3＝7S2，则公比为(　　) A．－2 B．－ C. D．2 解析：C　[已知6S3＝7S2，所以6a1＋6a2＋6a3＝7a1＋7a2，则6a3＝a1＋a2,6a1·q2－a1－a1·q＝0，6q2－q－1＝0，解得q1＝，q2＝－(舍去)．] 6．在数列{an}中，已知an＋1＝2an，a1＝3，则此数列的前5项和S5＝　________　. 解析：由题意知{an}是等比数列，q＝＝2，S5＝＝93. 答案：93 7．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，则 a5＝　________　，前8项和S8＝　________　. 解析：由a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，可知{an}是首项为1、公比为2的等比数列，所以a5＝a1q4＝16，S8＝＝255. 答案：16　255 8．若在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，则q＝　________　. 解析：设数列{an}的公比为q，则S3＝a1＋a2＋a3＝2＋2q＋2q2＝6，解得q＝1或q＝－2. 答案：1或－2 9．在等比数列{an}中，a1＝2，q＝3，求该数列前5项的和． 解：由等比数列的前n项和公式得S5＝＝＝242.所以该数列前5项的和为242. [能力提升] 10．已知数列{an}满足2an＋1＋an＝0，a2＝1，则数列{an}的前10项和S10＝(　　) A.(210－1) B.(210＋1) C.(2－10－1) D.(2－10＋1) 解析：C　[因为2an＋1＋an＝0，所以＝－.又a2＝1，所以a1＝－2.所以数列{an}是以－2为首项，－为公比的等比数列，所以S10＝＝＝(2－10－1)．] 11．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q≠1.若a1＝1，且对任意的n∈N＋都有an＋2＋an＋1＝2an，则S5＝(　　) A．12 B．20 C．11 D．21 解析：C　[an＋2＋an＋1＝2an等价于anq2＋anq＝2an.因an≠0，故q2＋q－2＝0，即(q＋2)(q－1)＝0.因为q≠1，所以q＝－2， 故S5＝＝11.] 12．已知等比数列{an}的前n项和是Sn，则下列说法不一定成立的是(　　) A．若a3>0，则a2 023>0 B．若a4>0，则a2 024>0 C．若a3>0，则S2 023>0 D．若a3>0，则S2 023<0 解析：D　[设数列{an}的公比为q，当a3>0时，a2 023＝a3q2 020>0，A正确；当a4>0时，a2 024＝a4·q2 020>0，B正确；又当q≠1时，S2 023＝，a3>0则a1>0，当q<0时，1－q>0,1－q2 023>0，∴S2 023>0，当0<q<1时，1－q>0,1－q2 023>0，∴S2 023>0，当q>1时，1－q<0，1－q2 023<0，∴S2 023>0.当q＝1时，S2 023＝2 023a1>0，故C正确，D不正确．] 13．等比数列1，，，…的前10项和为　________　. 解析：由题意知a1＝1，q＝， S10＝＝. 答案： 14．在公比为正数的等比数列{an}中，若a1＝1， a5＝16，则该数列的前7项和S7＝　________　. 解析：＝q4＝16，又q>0，解得q＝2， 所以S7＝＝127. 答案：127 15．已知在等比数列{an}中，a1＝1，an＝32，Sn＝63，求q和n. 解：由Sn＝＝＝63，解得q＝2.将q＝2代入an＝a1qn－1＝2n－1＝32，解得n＝6. 学科网（北京）股份有限公司 $$8.2 排列与组合 8.2.1 排列 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第8章 排列组合 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 课程标准 素养解读 1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列． 2．会用排列数公式进行求值并解决简单的实际问题. 1.通过学习排列的概念，培养数学抽象的素养． 2．借助排列数公式进行计算，培养数学运算的素养． 3．通过排列知识解决实际问题，提升逻辑推理的素养. 为增强学生的社会责任感，某校组织学生参加志愿服务活动．现计划从甲、乙、丙3名学生中选2名分别担任服务小组的正、副组长，有多少种不同的选法？ [知识点一]　排列 1．一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n且m，n∈N＋)个元素，按照　一定的顺序　排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．m＜n时，称为　选排列　. 2．两个排列相同的重要事件是：两个排列的元素　完全相同　，且元素的　排列顺序　也相同． 如果m＝n(也就是每次取出所有元素的排列)，这样的排列称为　全排列　.全排列所有不同的排法所含有的元素完全一样，只是元素排列的顺序不完全相同． [知识点二]　排列数与排列数公式 排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有不同　排列　的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的排列数. 排列数表示法 Peq \o\al(m,n) 排列数公式 乘积式 Peq \o\al(m,n)＝　n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)　 阶乘 当n＝m时Peq \o\al(n,n)＝n(n－1)(n－2)…2·1，记作n！，读作n的阶乘． 阶乘式 Peq \o\al(m,n)＝eq \f(n！,　n－m！　) 性质 Peq \o\al(n,n)＝　n！　，Peq \o\al(0,n)＝　1　，0！＝　1　 1.如何判断一个具体问题是不是排列问题？ 提示：判断一个具体问题是否为排列问题，就是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，判断在安排这m个元素的时候是否有序，有序就是排列，无序就不是排列，而检验是否有序的依据就是交换元素的“位置”，看结果是否有变化，有变化就是有序，无变化就是无序，如“从2,3,5,7这4个数中任取两个，求它们的和”就不是排列问题， 因为加法满足交换律，交换这两个数的位置后和不变，所以不是排列问题；若是“求它们的商”，则是排列问题，因为取到的两个数哪一个作为除数，哪一个作为被除数是不一样的，此时求得的结果与位置有关． 2．“排列”与“排列数”是两个相同的概念吗？如果不是，它们有什么区别？ 提示：“排列”与“排列数”是两个不同的概念．“排列”是指“按照一定的顺序排成一列”，所谓排成一列，是指与顺序有关，例如排列AB与排列BA是不同的，可以把一个排列看成一个类似点坐标的有序数对，它不是一个数，而是完成一件事的方法．“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数．如A，B，C三名同学站成一排照相留念的排列有以下6种形式：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA.这里的每一种形式都是一个排列，而排列数是6. 1．从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：B　[因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题．而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．] 2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(　　) A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B．甲乙，丙乙，丙甲 C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D．甲乙，甲丙，乙丙 解析：C　[用枚举法，一一列出．] 3．A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为(　　) A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 解析：C　[所有的排法有A－B－C，A－C－B，B－A－C，B－C－A，C－A－B，C－B－A，共6种．] 排列概念的理解 　判断下列问题是否是排列问题，并说明理由． (1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B； (2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动； (3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和； (4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商； (5)高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上． [思路点拨]　判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题． [解]　(1)是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中． (2)不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分． (3)不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求． (4)是排列，因为选出的两个三位数之商会因为分子、分母的顺序颠倒而发生变化，且这些三位数是互质的，不会产生选出的数不同而商的结果相同的可能性，故是排列． (5)是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生． 判断一个具体问题是否为排列问题的方法 [变式训练] 1．判断下列问题是不是排列问题： (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？ 解：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题． (2)因为任何一种从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题． (3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题． 所以(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题． 排列数公式的推导及应用 　计算：(1)eq \f(P\o\al(5,9)＋P\o\al(4,9),P\o\al(6,10)－P\o\al(5,10))；(2)Peq \o\al(5,5). [思路点拨]　可直接运算，也可采用阶乘式． [解]　(1)法一 eq \f(P\o\al(5,9)＋P\o\al(4,9),P\o\al(6,10)－P\o\al(5,10))＝eq \f(9×8×7×6×5＋9×8×7×6,10×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6)＝eq \f(5＋1,50－10)＝eq \f(3,20). 法二　eq \f(P\o\al(5,9)＋P\o\al(4,9),P\o\al(6,10)－P\o\al(5,10))＝eq \f(\f(9！,4！)＋\f(9！,5！),\f(10！,4！)－\f(10！,5！))＝eq \f(5×9！＋9！,5×10！－10！) ＝eq \f(6×9！,4×10！)＝eq \f(3,20). (2)Peq \o\al(5,5)＝5！＝5×4×3×2×1＝120. 1．排列数公式的连乘形式常用于计算具体的排列数． 2．排列数公式的阶乘形式主要有两个作用： (1)当m、n较大时，使用计算器快捷地算出结果； (2)对含有字母的排列数的式子进行变形． 注意常用变形Peq \o\al(n,n)＝nPeq \o\al(n－1,n－1)，nPeq \o\al(n,n)＝Peq \o\al(n＋1,n＋1)－Peq \o\al(n,n)， n·n！＝(n＋1)！－n！的应用． 3．计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时，要注意先提取公因式进行化简，然后计算，这样做可以减少运算量．Peq \o\al(m,n)中隐含了如下条件：m，n∈N*，m≤n，Peq \o\al(m,n)的运算结果为正整数．在解与排列数有关的方程或不等式时，要注意未知数的取值范围． [变式训练] 2．计算：(1)Peq \o\al(3,16)；(2)Peq \o\al(6,6)；(3)Peq \o\al(4,6). 解：(1)Peq \o\al(3,16)＝16×15×14＝3 360. (2)Peq \o\al(6,6)＝6！＝720. (3)Peq \o\al(4,6)＝6×5×4×3＝360. 排列数的应用 　(1)有15支足球俱乐部参加某联赛，15支足球队中每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，试问一共要进行多少场比赛？ (2)用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的3位数？ (3)有5名同学站成一排拍照． ①若甲、乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？ ②若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，则共有多少种不同的排法？ [思路点拨]　(1)任意两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从15个元素中任取2个元素的一个排列． (2)按照排列的定义，先排百位上的数字，再排十位和个位上的数字，但要注意的是百位上的数字不能为0. (3)①用捆绑法进行求解；②分甲排左端和乙排左端两种情况进行求解，再求和即可． 解：(1)比赛的总场次是Peq \o\al(2,15)＝15×14＝210(场)． (2)由于百位上的数学不能为0，所以只能从1～9中的9个数字中任取一个，共有Peq \o\al(1,9)种取法；十位上的数字和个位上的数字是没有任何要求的，所以十位上的数字是从百位上已确定的数字之外的9个数字中进行选择，有Peq \o\al(1,9)种取法；个位上的数字是从百位上、十位上已确定的数字之外的8个数字中进行选择，有Peq \o\al(1,8)种取法，所以根据分步计数原理可知，符合要求的3位数的个数是Peq \o\al(1,9)·Peq \o\al(1,9)·Peq \o\al(1,8)＝648. (3)①将甲、乙捆绑在一起，故方法数有Peq \o\al(2,2)·Peq \o\al(4,4)＝48(种)． ②如果甲排左端，则方法数有Peq \o\al(4,4)＝24(种)；如果乙排左端，则方法数有Peq \o\al(1,3)·Peq \o\al(3,3)＝18(种)；故总的方法数有24＋18＝42(种)． 典型的排列问题，用排列数计算其排列方法；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取． [变式训练] 3．8个人排成一排． (1)共有多少种不同的排法？ (2)8个人排成两排，前后两排各4人共有多少种不同的排法？ (3)8个人排成两排，前排3人，后排5人，共有多少种不同的排法？ 解：(1)由排列的定义知共有Peq \o\al(8,8)种不同的排法． (2)8人排成前后两排，相当于排成一排，从中间分成两部分，其排列数等于8人排成一排的排列数Peq \o\al(8,8).也可以分步进行，第一步：从8人中任选4人放在前排共有Peq \o\al(4,8)种排法，第二步：剩下的4人放在后排共有Peq \o\al(4,4)种排法，由分步计数原理知共有Peq \o\al(4,8)×Peq \o\al(4,4)＝Peq \o\al(8,8)种排法． (3)同(2)的分析可知，共有Peq \o\al(3,8)×Peq \o\al(5,5)＝Peq \o\al(8,8)(种)． 1．下列问题属于排列问题的是(　　) ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算． A．①④ B．①② C．③④ D．①③④ 解析：A　[根据排列的定义进行判断．] 2．某班下午有三节课，欲从语文、数学、英语、物理、化学中任选三科来安排，则不同排课法的种数是(　　) A．15 B．Peq \o\al(3,5) C．35 D．53 解析：B　[把下午三节课看成“3个位置”，把语文、数学、英语、物理、化学看成“5个元素”，分别用A，B，C，D，E来表示，一种排课法可看作是从A，B，C，D，E中取出3个按顺序分给三节课，分配的时候有顺序之分，故所有不同排课法的种数是Peq \o\al(3,5).] 3.eq \f(P\o\al(6,7)－P\o\al(5,6),P\o\al(4,5))＝(　　) A．12 B．24 C．30 D．36 解析：D　[Peq \o\al(6,7)＝7×6×Peq \o\al(4,5)，Peq \o\al(5,6)＝6×Peq \o\al(4,5)， 所以原式＝eq \f(36P\o\al(4,5),P\o\al(4,5))＝36.] 4.eq \f(P\o\al(3,4),5！)＝　________　. 解析：eq \f(P\o\al(3,4),5！)＝eq \f(4×3×2,5×4×3×2×1)＝eq \f(1,5). 答案：eq \f(1,5) $$