8.1.1 分类计数原理&8.1.2 分步计数原理&8.1.3 计数原理的应用（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步教案（高教版2021）

8．1　计数原理 8．1.1　分类计数原理 8．1.2　分步计数原理 8．1.3　计数原理的应用 课程标准 素养解读 1.通过实例，了解分类计数原理及其意义． 2．通过实例，了解分步计数原理及其意义. 1.通过两个计数原理的学习，培养逻辑推理的素养． 2．借助两个计数原理解决一些简单的实际问题，提升数学运算的素养. 某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分．一球队打完15场，积分为33分，若不考虑顺序，你能确定该队胜、负、平的情况吗？若能，有多少种情况？ [知识点一]　分类计数原理 一般地，如果完成一件事有n类方式，且：第1类方式中有k1种不同的方法，第2类方式中有k2种不同的方法，…第n类方式中有kn种不同的方法．那么，完成这件事的方法共有　k1＋k2＋…＋kn(种)　.上述的计数原理称为　分类计数原理　，分类计数原理又称　加法原理　. [知识点二]　分步计数原理 一般地，如果完成一件事，可以分成n个步骤，且完成第1步有k1种不同的方法，完成第2步有k2种不同的方法，…，完成第n步有kn种　不同　的方法．并且只有这n个步骤都完成后，这件事才能完成，那么完成这件事的方法共有N＝　k1k2…kn(种)　.上面的计数原理称为　分步计数原理　，分步计数原理又称　乘法原理　. 　分类计数原理与分步计数原理有什么区别？ 提示：分类计数原是和分步计数原理回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题．它们的区别在于： 分类计数原理 分步计数原理 针对的是“分类”问题 针对的是“分步”问题 每类方案中的每种方法都能独立完成这件事 每一步完成的只是完成这件事的一个环节，只有各步骤都完成了才算完成这件事 各类方案之间是并列的、互斥的、独立的 各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏 1．某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级负责学校星期一早晨升旗活动，安排方法共有(　　) A．8种 B．6种 C．14种 D．48种 解析：C　[分两类：第1类，从高一年级8个班中选一个班共有8种安排方法；第2类，从高二年级中选一个班共有6种安排方法．故共有8＋6＝14(种)安排方法．] 2．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为(　　) A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9 C．3×4×2＝24 D．以上都不对 解析：B　[分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9(种)不同的走法．] 3．现有4件不同款式的上衣和7条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的配法有(　　) A．11种 B．28种 C．16种 D．24种 解析：B　[要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选法；第二步，选长裤，从7条长裤中任选一条，有7种不同的选法．故共有4×7＝28(种)不同的配法．] 　分类计数原理的应用 　一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出一本，则共有多少种不同的取法？ [思路点拨]　选择语文书、数学书、英语书中的任何一类都可以完成这件事，符合分类计数原理． [解]　第1类：从语文书中取出一本，有12种取法； 第2类：从数学书中取出一本，有14种取法； 第3类：从英语书中取出一本，有11种取法，不同的取法有N＝12＋14＋11＝37(种)． 1．应用分类计数原理解题的关键 (1)标准明确：明确分类标准，确定完成一件事的各类方案． (2)不重不漏：完成这件事的各类方案必须满足既不重复，又不遗漏． (3)方法独立：确定用每一类方案中的每一种方法都能独立完成这件事． 2．应用分类计数原理解题的一般思路 [变式训练] 1．从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？ 解析：分四类：从一班中选一人为组长，有4种选法；从二班中选一人为组长，有5种选法；从三班中选一人为组长，有6种选法；从四班中选一人为组长，有7种选法．共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22(种)． 　分步计数原理的应用 　如果从A地到B地有火车3班，从B地到C地有汽车2班，那么从A地经B地到C地有多少种不同的走法？ [思路点拨]　解决这个问题可分为两个步骤，第一个步骤从A地到B地，第二个步骤从B地到C地，符合分步计数原理． [解]　第1步：从A地到B地，有3种走法；第2步：从B地到C地，有2种走法，根据分步计数原理，不同的走法有N＝3×2＝6(种)． 1．应用分步计数原理解题的注意点 (1)将一个复杂问题分解为若干“步骤”，要先对每一个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程． (2)在分步过程中，任何一个步骤可选用的方法与其他步骤所选用的方法无关． (3)分步的标准不同，分成的步骤一般也不同． 2．应用分步计数原理解题的一般思路 [变式训练] 2．如图，从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条，李明要从A村先到B村，再经过C村，最后到D村，共有多少条线路可以选择？ 解：李明从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条可以选择，因此，整个行程共有N＝3×2×3＝18(条)线路可以选择． 　两个计数原理的综合应用 　现有高一年级的学生4名，高二年级的学生5名，高三年级的学生3名． (1)从所有学生中选一人参加夏令营，有多少种不同的选法？ (2)从每个年级的学生中各选一人参加夏令营，有多少种不同的选法？ (3)若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？ [思路点拨]　(1)从所有学生中选一人，有三类方式：第一类从高一年级选一人；第二类从高二年级选一人；第三类从高三年级选一人．(2)从每个年级各选一人分三步来完成：第一步从高一年级选一人；第二步从高二年级选一人；第三步从高三年级选一人．(3)是两个计数原理的综合性问题，既有分类计数又有分步计数． [解]　(1)根据分类计数原理，共有4＋5＋3＝12(种)不同的选法． (2)根据分步计数原理，共有4×5×3＝60(种)不同的选法． (3)先分类再分步：4×5＋4×3＋5×3＝47(种)不同的选法． 1．当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法． 2．分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律． 3．混合问题一般是先分类再分步． [变式训练] 3．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画． (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？ (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？ 解：(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法． (2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法． (3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法．所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法． 1．一件工作可以用两种方法完成，有5人只会用第一种方法完成，另有4个人只会用第二种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法有(　　) A．9种 B．10种 C．20种 D．40种 解析：A　[分两类：利用第一种方法有5种；利用第二种方法有4种．由分类计数原理可得，共有5＋4＝9(种)选法．] 2．书架上有语文书5本，数学书3本，英语书7本，从中任选一本，共有选法(　　) A．105种 B．15种 C．7种 D．13种 解析：B　[从5本语文书、3本数学书、7本英语书中任选一本书，分为三类：第一类，选到语文书，有5种不同的选法；第二类，选到数学书，有3种不同的选法；第三类，选到英语书，有7种不同的选法．由分类计数原理可得，不同选法有5＋3＋7＝15(种)．] 3．从甲地到乙地，有直达汽车3班，从乙地到丙地，有直达汽车6班，从丙地到丁地，有直达汽车3班，那么从甲地到丁地的乘车方案有(　　) A．12种 B．21种 C．27种 D．54种 解析：D　[从甲地到丁地的乘车方案分三步：第一步，从甲地乘车到乙地，有3种；第二步，从乙地乘车到丙地，有6种；第三步，从丙地乘车到丁地，有3种．根据分步计数原理一共有3×6×3＝54(种)．] 4．一个礼堂有4个门，若从任意一个门进，从任意一门出，共有不同走法　____________　种． 解析：由分步计数原理得4×4＝16. 答案：16 [基础过关] 1．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有6名同学只会用综合法证明，有4名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为(　　) A．10 B．16 C．20 D．24 解析：A　[每一种方法都能证明该问题，根据分类计数原理，不同的选法共有6＋4＝10(种)．] 2．某实训楼共有5层，每层均有两个楼梯，某同学从一楼上到五楼可能的走法有(　　) A．10种 B．16种 C．25种 D．32种 解析：B　[走法共分四步：一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，一共24＝16(种)．] 3．北京冬奥会的顺利召开，引起了大家对冰雪运动的关注．若A，B，C，D 4人在自由式滑雪和花样滑冰这两项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有(　　) A．8种 B．12种 C．16种 D．24种 解析：C　[由题意可知，每一人都可在两项运动中选一项，即每人都有两种选法，可分四步完成，根据分步计数原理，不同的选法共有2×2×2×2＝16(种)．] 4．由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为(　　) A．15 B．12 C．10 D．5 解析：D　[分三类：第一类组成一位整数，偶数有1个；第二类组成两位整数，其中偶数有2个；第三类组成三位整数，其中偶数有2个．由分类计数原理知共有偶数5个．] 5．有8位学生春游，其中小学生2名、初中生3名、高中生3名．现将他们排成一列，要求2名小学生相邻、3名初中生相邻，3名高中生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有(　　) A．288种 B．144种 C．72种 D．36种 解析：B　[第一步，先将2名小学生看成一个人，3名初中生看成一个人，然后排成一排有P种不同排法；第二步，将3名高中生插在这两个整体形成的3个空当中有P种不同排法；第三步，排2名小学生有P种不同排法，排3名初中生有P种不同排法．根据分步计数原理，共有PPPP＝144种不同排法．] 6．已知x∈{2,3,7}，y∈{－1，－2,4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是(　　) A．1 B．3 C．6 D．9 解析：D　[这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－1，－2,4}中任取一个值y有3种方法．根据分步计数原理知，有3×3＝9(个)不同的点．] 7．在所有的两位数中，个位数大于十位数的两位数共有　____________　个． 解析：根据题意个位数上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9共8种情况，在每一类中满足题目要求的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)． 答案：36 8．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有　____________　种不同的取法． 解析：取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原理有10×9＝90(种)不同取法；取两本书中，一本语文、一本英语，有9×8＝72(种)不同取法；取两本书中，一本数学、一本英语，有10×8＝80(种)不同取法．综合以上三类，利用分类计数原理，共有90＋72＋80＝242(种)不同取法． 答案：242 9．4名学生参加跳高、跳远、游泳比赛，4个人争夺这三项冠军，则冠军分配的种数有　____________　. 解析：本题中要完成的一件事：“将比赛的各项冠军逐一分配给4名参赛学生”． 因为跳高冠军的分配有4种不同的方法，跳远冠军的分配有4种不同的方法，游泳冠军的分配有4种不同的方法．所以根据分步计数原理，冠军的分配方法有4×4×4＝64(种)． 答案：64 [能力提升] 10．五位同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是(　　) A．54 B．5×4×3×2 C．45 D．5×4 解析：C　[每位同学有4种选择，由分步计数原理可得，5位同学就有4×4×4×4×4＝45(种)选择，故不同的选择种数是45. 11．将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为(　　) A．80 B．100 C．110 D．120 解析：D　[如图， 若先染A有5种色可选，B有4种色可选，C有3种色可选，D有2种色可选，则不同染色方法有5×4×3×2＝120(种)．] 12．体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某人到该体育场晨练，进、出门的方案有　________　种． 解析：要完成进、出门这件事，需要分两步，第一步进体育场，第二步出体育场，第一步进门有4＋3＝7(种)方法；第二步出门也有4＋3＝7(种)方法，由分步计数原理知，进、出门的方案有7×7＝49(种)． 答案：49 13．一个科技小组中有4名女同学和5名男同学，从中任选1人参加学科竞赛，不同的选派方法共有　________　种；若从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有　________　种． 解析：根据分类计数原理知，从中任选1人参加学科竞赛，不同的选派方法共有4＋5＝9(种)；由分步计数原理知，从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有4×5＝20(种)． 答案：9　20 14．现有3名医生、5名护士、2名麻醉师． (1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？ (2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？ 解：(1)分三类：第一类，选出的是医生，有3种选法；第二类，选出的是护士，有5种选法；第三类，选出的是麻醉师，有2种选法．根据分类计数原理，共有3＋5＋2＝10(种)选法． (2)分三步：第一步，选1名医生，有3种选法；第二步，选1名护士，有5种选法；第三步，选1名麻醉师，有2种选法．根据分步计数原理知，共有3×5×2＝30(种)选法． 15．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成． (1)选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？ (3)若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？ 解：(1)N＝5＋6＋4＝15(种)． (2)N＝5×6×4＝120(种)． (3)N＝5×6＋6×4＋4×5＝74(种) 72 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　[基础过关] 1．在等比数列{an}中，a2＝4，a5＝9，则它的第8项是(　　) A．36 B．6 C. D. 解析：C　[因为q3＝＝，所以a8＝a5·q3＝9×＝.] 2．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于(　　) A．－24 B．0 C．12 D．24 解析：A　[由x,3x＋3,6x＋6成等比数列得，＝，解得x＝－3，第2项为－6.第3项为－12，公比为＝2，故数列的第4项为－24.] 3．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6＝(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析：C　[∵a4＝a1q3＝4，∴a2·a6＝a1q·a1q5 ＝aq6＝(a1q3)2＝42＝16.] 4．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为(　　) A．4 B．8 C．6 D．32 解析：C　[由等比数列的通项公式，得128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.] 5．“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[若a＝b＝c＝0，则b2＝ac，但a，b，c不成等比数列；若a，b，c成等比数列，则b2＝ac.因此，“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的必要不充分条件．] 6．在等比数列{an}中，a1＝－1，a4＝－27，则q＝　________　. 解析：因为a4＝a1·q3，所以q＝＝3. 答案：3 7．在等比数列{an}中，a4＝－3，q＝－1，则a10＝　________　. 解析：a10＝a4·q6＝－3×(－1)6＝－3. 答案：－3 8．若1，x＋1,9成等比数列，则x＝　________　. 解析：因为1，x＋1,9成等比数列，所以(x＋1)2＝9， 解得x＝2或x＝－4. 答案：2或－4 9．已知数列{an}为等比数列，其中a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式． 解：设等比数列的公比为q，则q≠0，a2＝＝， a4＝a3q＝2q，代入a2＋a4＝中， 解得q＝或q＝3. 当q＝时，a1＝18，an＝a1qn－1 ＝18×n－1＝2×33－n. 当q＝3时，a1＝，an＝a1qn－1＝×3n－1＝2×3n－3. 综上，{an}的通项公式为an＝2×33－n或an＝2×3n－3. [能力提升] 10．在等比数列{an}中，若a1＝1，a3＝，则a2＝(　　) A．3或－3 B. C．－ D.或－ 解析：D　[因为{an}是等比数列，所以a1·a3＝a，解得a2＝±.] 11．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6等于(　　) A．607.5 B．608 C．607 D．159 解析：C　[∵1＋2an＝(1＋2a1)×3n－1， ∴1＋2a6＝5×35，∴a6＝＝607.] 12．等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为(　　) A．－24 B．－3 C．3 D．8 解析：A　[根据题意得a＝a2·a6，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)·(a1＋5d)，解得d＝0(舍去)，d＝－2，所以数列{an}的前6项和为S6＝6a1＋d＝1×6＋×(－2)＝－24.] 13．在等比数列{an}中，若a3＝3，a10＝384，则公比q＝　________　. 解析：a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384，两式相除得，q7＝128，所以q＝2. 答案：2 14．在160与5之间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为　________　. 解析：设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，∴q5＝，∴q＝.∴这4个数依次为80,40,20,10. 答案：80,40,20,10 15．有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数． 解：设这四个数分别为，a，aq,2aq－a， 则解得 因此这四个数为3,6,12,18. 学科网（北京）股份有限公司 $$8.1 计数原理 8.1.1 分类计数原理 8.1.2 分步计数原理 8.1.3 计数原理的应用 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第8章 排列组合 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第8章 排列组合 课程标准 素养解读 1.通过实例，了解分类计数原理及其意义． 2．通过实例，了解分步计数原理及其意义. 1.通过两个计数原理的学习，培养逻辑推理的素养． 2．借助两个计数原理解决一些简单的实际问题，提升数学运算的素养. 某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分．一球队打完15场，积分为33分，若不考虑顺序，你能确定该队胜、负、平的情况吗？若能，有多少种情况？ [知识点一]　分类计数原理 一般地，如果完成一件事有n类方式，且：第1类方式中有k1种不同的方法，第2类方式中有k2种不同的方法，…第n类方式中有kn种不同的方法．那么，完成这件事的方法共有　k1＋k2＋…＋kn(种)　.上述的计数原理称为　分类计数原理　，分类计数原理又称　加法原理　. [知识点二]　分步计数原理 一般地，如果完成一件事，可以分成n个步骤，且完成第1步有k1种不同的方法，完成第2步有k2种不同的方法，…，完成第n步有kn种　不同　的方法．并且只有这n个步骤都完成后，这件事才能完成，那么完成这件事的方法共有N＝　k1k2…kn(种)　.上面的计数原理称为　分步计数原理　，分步计数原理又称　乘法原理　. 　分类计数原理与分步计数原理有什么区别？ 提示：分类计数原是和分步计数原理回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题．它们的区别在于： 分类计数原理 分步计数原理 针对的是“分类”问题 针对的是“分步”问题 每类方案中的每种方法都能独立完成这件事 每一步完成的只是完成这件事的一个环节，只有各步骤都完成了才算完成这件事 各类方案之间是并列的、互斥的、独立的 各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏 1．某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级负责学校星期一早晨升旗活动，安排方法共有(　　) A．8种 B．6种 C．14种 D．48种 解析：C　[分两类：第1类，从高一年级8个班中选一个班共有8种安排方法；第2类，从高二年级中选一个班共有6种安排方法．故共有8＋6＝14(种)安排方法．] 2．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为(　　) A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9 C．3×4×2＝24 D．以上都不对 解析：B　[分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9(种)不同的走法．] 3．现有4件不同款式的上衣和7条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的配法有(　　) A．11种 B．28种 C．16种 D．24种 解析：B　[要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选法；第二步，选长裤，从7条长裤中任选一条，有7种不同的选法．故共有4×7＝28(种)不同的配法．] 分类计数原理的应用 　一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出一本，则共有多少种不同的取法？ [思路点拨]　选择语文书、数学书、英语书中的任何一类都可以完成这件事，符合分类计数原理． [解]　第1类：从语文书中取出一本，有12种取法； 第2类：从数学书中取出一本，有14种取法； 第3类：从英语书中取出一本，有11种取法，不同的取法有N＝12＋14＋11＝37(种)． 1．应用分类计数原理解题的关键 (1)标准明确：明确分类标准，确定完成一件事的各类方案． (2)不重不漏：完成这件事的各类方案必须满足既不重复，又不遗漏． (3)方法独立：确定用每一类方案中的每一种方法都能独立完成这件事． 2．应用分类计数原理解题的一般思路 [变式训练] 1．从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？ 解析：分四类：从一班中选一人为组长，有4种选法；从二班中选一人为组长，有5种选法；从三班中选一人为组长，有6种选法；从四班中选一人为组长，有7种选法．共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22(种)． 分步计数原理的应用 　如果从A地到B地有火车3班，从B地到C地有汽车2班，那么从A地经B地到C地有多少种不同的走法？ [思路点拨]　解决这个问题可分为两个步骤，第一个步骤从A地到B地，第二个步骤从B地到C地，符合分步计数原理． [解]　第1步：从A地到B地，有3种走法；第2步：从B地到C地，有2种走法，根据分步计数原理，不同的走法有N＝3×2＝6(种)． 1．应用分步计数原理解题的注意点 (1)将一个复杂问题分解为若干“步骤”，要先对每一个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程． (2)在分步过程中，任何一个步骤可选用的方法与其他步骤所选用的方法无关． (3)分步的标准不同，分成的步骤一般也不同． 2．应用分步计数原理解题的一般思路 [变式训练] 2．如图，从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条，李明要从A村先到B村，再经过C村，最后到D村，共有多少条线路可以选择？ 解：李明从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条可以选择，因此，整个行程共有N＝3×2×3＝18(条)线路可以选择． 两个计数原理的综合应用 　现有高一年级的学生4名，高二年级的学生5名，高三年级的学生3名． (1)从所有学生中选一人参加夏令营，有多少种不同的选法？ (2)从每个年级的学生中各选一人参加夏令营，有多少种不同的选法？ (3)若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？ [思路点拨]　(1)从所有学生中选一人，有三类方式：第一类从高一年级选一人；第二类从高二年级选一人；第三类从高三年级选一人．(2)从每个年级各选一人分三步来完成：第一步从高一年级选一人；第二步从高二年级选一人；第三步从高三年级选一人．(3)是两个计数原理的综合性问题，既有分类计数又有分步计数． [解]　(1)根据分类计数原理，共有4＋5＋3＝12(种)不同的选法． (2)根据分步计数原理，共有4×5×3＝60(种)不同的选法． (3)先分类再分步：4×5＋4×3＋5×3＝47(种)不同的选法． 1．当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法． 2．分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律． 3．混合问题一般是先分类再分步． [变式训练] 3．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画． (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？ (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？ 解：(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法． (2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法． (3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法．所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法． 1．一件工作可以用两种方法完成，有5人只会用第一种方法完成，另有4个人只会用第二种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法有(　　) A．9种 B．10种 C．20种 D．40种 解析：A　[分两类：利用第一种方法有5种；利用第二种方法有4种．由分类计数原理可得，共有5＋4＝9(种)选法．] 2．书架上有语文书5本，数学书3本，英语书7本，从中任选一本，共有选法(　　) A．105种 B．15种 C．7种 D．13种 解析：B　[从5本语文书、3本数学书、7本英语书中任选一本书，分为三类：第一类，选到语文书，有5种不同的选法；第二类，选到数学书，有3种不同的选法；第三类，选到英语书，有7种不同的选法．由分类计数原理可得，不同选法有5＋3＋7＝15(种)．] 3．从甲地到乙地，有直达汽车3班，从乙地到丙地，有直达汽车6班，从丙地到丁地，有直达汽车3班，那么从甲地到丁地的乘车方案有(　　) A．12种 B．21种 C．27种 D．54种 解析：D　[从甲地到丁地的乘车方案分三步：第一步，从甲地乘车到乙地，有3种；第二步，从乙地乘车到丙地，有6种；第三步，从丙地乘车到丁地，有3种．根据分步计数原理一共有3×6×3＝54(种)．] 4．一个礼堂有4个门，若从任意一个门进，从任意一门出，共有不同走法　____________　种． 解析：由分步计数原理得4×4＝16. 答案：16 $$