7.3.1 等比数列的概念（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步教案（高教版2021）
2025-07-10
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教辅
内容正文：
7．3 等比数列
7．3.1 等比数列的概念
课程标准
素养解读
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义．
2．体会等比数列与指数函数的关系.
在根据实例抽象出等比数列的概念并归纳出等比数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.
我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一个趣题：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。问：各几何？”试依次把堤、木、枝、巢……的数量计算出来，这组数有什么规律？
[知识点一] 等比数列的定义
一般地，当一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是 同一个常数 时，那么称这个的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的 公比 ，通常用字母 q 表示(q≠0)．
若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列吗？
提示：不一定，应为同一个常数．
[知识点二] 等比数列的通项公式
等比数列{an}的首项为a1(a1≠0)，公比为q(q≠0)，则通项公式为an＝ a1qn－1 .
(1)等比数列{an}的图像是连续的吗？
(2)在等比数列中an，am，n，m，q有什么关系？
提示：(1)等比数列{an}的图像是函数y＝·qx的图像上的一群孤立的点．
(2)等比数列通项公式的变形公式：an＝amqn－m(m，n∈N＋)．
[知识点三] 等比中项
如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，我们称G为a，b的 等比中项 .
若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？
提示：不一定．只有同号的两个非零实数才有等比中项．若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数．
1．下列说法正确的是( )
A．等比数列中的项不能为0
B．等比数列的公比的取值范围是R
C．若一个常数列是等比数列，则公比为0
D．22,42,62,82，…成等比数列
解析：A [A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错；常数列的公比为1，故C错；由于≠，故不是等比数列，D错．]
2．等比数列{an}中，a1＝3，公比q＝2，则a5＝( )
A．32 B．－48
C．48 D．96
解析：C [a5＝a1q4＝3×24＝48.]
3．2＋和2－的等比中项是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．2
解析：C [设2＋和2－的等比中项为G，则G2＝(2＋)(2－)＝1，∴G＝±1.]
等比数列的概念
下列各组数不成等比数列的是( )
A．1，－2,4，－8 B．－，2，－2，4
C．x，x2，x3，x4 D．a－1，a－2，a－3，a－4
(2)以下数列中是等比数列的有 ________ .(填序号)
①数列1,2,6,18，…；
②数列{an}中，已知＝2，＝2；
③常数列a，a，a，…，a，…；
④数列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N＋.
[思路点拨] 根据等比数列的概念逐一判断．
[解析] (1)对于A，由＝＝＝－2，得数列是以－2为公比的等比数列；对于B，由＝＝＝－，得数列是以－为公比的等比数列；对于C，当x＝0时，不是等比数列；对于D，由＝＝＝a－1，得数列是以a－1为公比的等比数列．
(2)在数列①中，≠，∴①不是等比数列；在数列②中，不一定都满足＝2；在数列③中，a若为0，则不是等比数列；④中数列是等比数列．
[答案] (1)C (2)④
等比数列定义的理解
(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零．
(2)要判定一个数列是否为等比数列，只需看的值是否为不为零的同一个常数，要注意分子、分母次序不能颠倒．
[变式训练]
1．判断下列数列是否为等比数列．
(1)1,2,1,2,1；
(2)－2，－2，－2，－2，－2；
(3)lg 3，lg 6，lg 12；
(4)1，－，，－，.
解：(1)由≠，所以不是等比数列．
(2)由该数列是不为0的常数列，所以是等比数列．
(3)由≠，所以不是等比数列．
(4)由1，－，，－，，可知从第二项开始后一项与前一项的比值均为－，故为等比数列．
等比数列的通项公式
在等比数列{an}中：
(1)已知a1＝2，q＝－1，求an及a10.
(2)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n；
(3)已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an.
[思路点拨] 等比数列的通项公式为an＝a1qn－1代入构造方程或方程组求解即可．
[解] 设等比数列{an}的公比为q.
(1)an＝a1qn－1＝(－1)n－1·2，a10＝(－1)9×2＝－2.
(2)由得q＝.再由a3＋a6＝a3·(1＋q3)＝36，得a3＝32，则an＝a3·qn－3＝32×n－3＝n－8＝，所以n－8＝1，所以n＝9.
(3)由a7＝a5·q2，得q2＝.因为an>0，所以q＝，所以an＝a5·qn－5＝8×n－5＝n－8(n∈N＋)．
(1)等比数列通项公式的求法
①根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
②充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
(2)等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，知任意三个就可以求出另一个．[变式训练]
2．已知数列{an}为等差数列，且a1＋a5＝－12，
a4＋a8＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求数列{bn}的通项公式．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＋a5＝2a3＝－12，a4＋a8＝2a6＝0，所以所以解得
所以an＝－10＋2(n－1)＝2n－12(n∈N＋)．
(2)设等比数列{bn}的公比为q，因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，所以－8q＝－24，即q＝3，因此bn＝b1·qn－1＝－8×3n－1(n∈N＋)．
等比数列通项公式的应用
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并用第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
[思路点拨] 依等差(比)数列的概念正确求出这四个数．
[解] 法一 设四个数依次为a－d，a，a＋d，，
由条件得
解得或所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
法二 设四个数依次为－a，，a，aq(q≠0)，
由条件得
解得或.当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16；当a＝3，q＝时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
求解等比数列的技巧
(1)三个数成等比数列，设为，a，aq.
(2)四个符号相同的数成等比数列，设为，，aq，aq3.
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.
[变式训练]
3．在1和16之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数．
解：设这五个数的公比为q，则q4＝，解得q＝±2.因此，插入的三个数分别为2,4,8或－2,4，－8.
等比中项及其应用
已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
[思路点拨] a5，a7的等比中项G满足G2＝a5·a7.
[解] 设该等比数列的公比为q，首项为a1，
∵∴
∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，上述两式相除，
得q(1－q)＝，∴q＝.
∴a1＝＝＝96.
若G是a5，a7的等比中项，则应有G2＝a5·a7
＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×10＝9.
∴a5，a7的等比中项是±3.
(1)首项a1和公比q是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法．
(2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项．
[变式训练]
4．已知在等比数列{an}中，a2＝4，a4＝16，求a6.
解：因为a2·a6＝a，所以a6＝＝64.
1．若数列{an}的通项公式为an＝3·2n，则该数列是( )
A．公差为3的等差数列 B．公差为2的等差数列
C．公比为3的等比数列 D．公比为2的等比数列
解析：D [∵＝＝2(常数)，∴数列{an}是公比为2的等比数列．]
2．若等比数列{an}的前3项是－1,2，－4，则a7＝( )
A．32 B．－32
C．64 D．－64
解析：D [{an}的公比q＝＝－2，又∵a1＝－1，∴a7＝a1q6＝－1×(－2)6＝－64.]
3．已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝( )
A．6 B．－6
C．±6 D．±12
解析：C [∵a＝＝，b2＝(－1)(－16)＝16，b＝±4，∴ab＝±6.]
4．在等比数列{an}中，a1＝－2，q＝3，则a3＝ ________ .
解析：a3＝a1q2＝－2×32＝－18.
答案：－18
[基础过关]
1．在等比数列{an}中，a2＝4，a5＝9，则它的第8项是( )
A．36 B．6
C. D.
解析：C [因为q3＝＝，所以a8＝a5·q3＝9×＝.]
2．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于( )
A．－24 B．0
C．12 D．24
解析：A [由x,3x＋3,6x＋6成等比数列得，＝，解得x＝－3，第2项为－6.第3项为－12，公比为＝2，故数列的第4项为－24.]
3．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6＝( )
A．4 B．8
C．16 D．32
解析：C [∵a4＝a1q3＝4，∴a2·a6＝a1q·a1q5
＝aq6＝(a1q3)2＝42＝16.]
4．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )
A．4 B．8
C．6 D．32
解析：C [由等比数列的通项公式，得128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.]
5．“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：B [若a＝b＝c＝0，则b2＝ac，但a，b，c不成等比数列；若a，b，c成等比数列，则b2＝ac.因此，“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的必要不充分条件．]
6．在等比数列{an}中，a1＝－1，a4＝－27，则q＝ ________ .
解析：因为a4＝a1·q3，所以q＝＝3.
答案：3
7．在等比数列{an}中，a4＝－3，q＝－1，则a10＝ ________ .
解析：a10＝a4·q6＝－3×(－1)6＝－3.
答案：－3
8．若1，x＋1,9成等比数列，则x＝ ________ .
解析：因为1，x＋1,9成等比数列，所以(x＋1)2＝9，
解得x＝2或x＝－4.
答案：2或－4
9．已知数列{an}为等比数列，其中a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．
解：设等比数列的公比为q，则q≠0，a2＝＝，
a4＝a3q＝2q，代入a2＋a4＝中，
解得q＝或q＝3.
当q＝时，a1＝18，an＝a1qn－1
＝18×n－1＝2×33－n.
当q＝3时，a1＝，an＝a1qn－1＝×3n－1＝2×3n－3.
综上，{an}的通项公式为an＝2×33－n或an＝2×3n－3.
[能力提升]
10．在等比数列{an}中，若a1＝1，a3＝，则a2＝( )
A．3或－3 B.
C．－ D.或－
解析：D [因为{an}是等比数列，所以a1·a3＝a，解得a2＝±.]
11．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6等于( )
A．607.5 B．608
C．607 D．159
解析：C [∵1＋2an＝(1＋2a1)×3n－1，
∴1＋2a6＝5×35，∴a6＝＝607.]
12．等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为( )
A．－24 B．－3
C．3 D．8
解析：A [根据题意得a＝a2·a6，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)·(a1＋5d)，解得d＝0(舍去)，d＝－2，所以数列{an}的前6项和为S6＝6a1＋d＝1×6＋×(－2)＝－24.]
13．在等比数列{an}中，若a3＝3，a10＝384，则公比q＝ ________ .
解析：a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384，两式相除得，q7＝128，所以q＝2.
答案：2
14．在160与5之间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为 ________ .
解析：设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，∴q5＝，∴q＝.∴这4个数依次为80,40,20,10.
答案：80,40,20,10
15．有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数．
解：设这四个数分别为，a，aq,2aq－a，
则解得
因此这四个数为3,6,12,18.
72
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[基础过关]
1．下列说法中，正确的是( )
A．数列{n(n－2)}中的第10项是70
B．1，－1,1，－1,1，－1，…是有穷数列
C．数列中的项可以相等
D．数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列
解析：C [数列{n(n－2)}中的第10项是10×8＝80，故A错误；数列1，－1,1，－1,1，－1，…是无穷数列，故B错误；D中，当a＝c时，数列a，b，c和数列c，b，a表示同一数列，故D错误；数列中的项可以相等，故C正确．]
2．在数列{an}中，若an＝(－1)n＋1n，则a10＝( )
A．9 B．－9
C．10 D．－10
解析：D [由题知a10＝(－1)10＋1·10＝－10.]
3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3( )
A．不是数列{an}中的项
B．只是数列{an}的第2项
C．只是数列{an}的第6项
D．是数列{an}的第2项或第6项
解析：D [令n2－8n＋15＝3，解此方程可得n＝2或n＝6，所以3可以是该数列的第2项，也可以是该数列的第6项．]
4．数列的通项公式为an＝则a2·a3＝( )
A．70 B．28
C．20 D．8
解析：C [由an＝得a2＝2，
a3＝10，所以a2·a3＝20.]
5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )
A．an＝n2－n＋1(n∈N＋)
B．an＝(n∈N＋)
C．an＝(n∈N＋)
D．an＝n2＋1(n∈N＋)
解析：C [令n＝1,2,3,4，代入A，B，C，D检验，A，B，D项不符合，C项符合．]
6．若数列{an}的通项公式an＝－，则a4＋a5＝
________ .
解析：a4＋a5＝＋＝.
答案：
7．若数列{an}的通项公式an＝2n＋3，则an＋1＝ ________ .
解析：由an＝2n＋3，得an＋1＝2(n＋1)＋3＝2n＋5.
答案：2n＋5
8．数列0，－，，－，，…的通项公式为 ________ .
解析：[由题意可知，偶数项为负，各项为，－，…，故an＝(－1)n－1·.]
答案：an＝(－1)n－1·
9．已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
解：(1)∵an＝3n2－28n，∴a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.
(2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，
∴n＝7或n＝(舍)．∴－49是该数列的第7项，即a7＝－49.令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，
∴n＝－2或n＝.∵－2∉N＋，∉N＋，
∴68不是该数列的项．
[能力提升]
10．数列1，－4,9，－16,25，…的一个通项公式是( )
A．an＝n2 B．an＝(－1)n·n2
C．an＝(－1)n＋1·n2 D．an＝(－1)n·(n＋1)2
解析：C [因为每一项的绝对值是该项序号的平方，奇数项符号为正，偶数项符号为负，所以an＝(－1)n＋1·n2.]
11．已知数列，3，，…，，…，那么9在此数列中的项数是( )
A．12 B．13
C．14 D．15
解析：C [易知数列的通项公式为an＝(n∈N＋)，令＝9，解得n＝14.]
12．已知数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6＝( )
A．－3 B．－4
C．－5 D．2
解析：A [由an＋1＝an＋2＋an，得a3＝3，a4＝－2，a5＝－5，a6＝－3.]
13．观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，，，， ________ ，，….
解析：由于数列的前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为＝3.
答案：3
14．－，，－，，…一个通项公式为 ________________ .
解析：这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，故它的一个通项公式an＝(－1)n·.
答案：an＝(－1)n·
15．已知在数列{an}中，a1＝2，且an＋1＝2an.请写出数列的前4项，并写出数列{an}的一个通项公式．
解：根据题意，a1＝2，a2＝2a1＝2×2＝4，a3＝2a2＝2×4＝8，a4＝2a3＝2×8＝16，所以an＝2n.
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$$7.3 等比数列
7.3.1 等比数列
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课前 预习学案
课堂 互动学案
01
02
随堂 步步夯实
03
课后 素养提升
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数学拓展模拟（GJ下）
第7章 数列
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数学拓展模拟（GJ下）
第7章 数列
课程标准
素养解读
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义．
2．体会等比数列与指数函数的关系.
在根据实例抽象出等比数列的概念并归纳出等比数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.
我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一个趣题：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。问：各几何？”试依次把堤、木、枝、巢……的数量计算出来，这组数有什么规律？
[知识点一] 等比数列的定义
一般地，当一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是 同一个常数 时，那么称这个的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的 公比 ，通常用字母 q 表示(q≠0)．
若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列吗？
提示：不一定，应为同一个常数．
[知识点二] 等比数列的通项公式
等比数列{an}的首项为a1(a1≠0)，公比为q(q≠0)，则通项公式为an＝ a1qn－1 .
(1)等比数列{an}的图像是连续的吗？
提示：(1)等比数列{an}的图像是函数y＝eq \f(a1,q)·qx的图像上的一群孤立的点．
(2)等比数列通项公式的变形公式：an＝amqn－m(m，n∈N＋)．
(2)在等比数列中an，am，n，m，q有什么关系？
[知识点三] 等比中项
如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，eq \f(G,a)＝eq \f(b,G)，G2＝ab，G＝±eq \r(ab)，我们称G为a，b的 等比中项 .
若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？
提示：不一定．只有同号的两个非零实数才有等比中项．若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数．
1．下列说法正确的是( )
A．等比数列中的项不能为0
B．等比数列的公比的取值范围是R
C．若一个常数列是等比数列，则公比为0
D．22,42,62,82，…成等比数列
解析：A [A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错；常数列的公比为1，故C错；由于eq \f(42,22)≠eq \f(62,42)，故不是等比数列，D错．]
2．等比数列{an}中，a1＝3，公比q＝2，则a5＝( )
A．32
B．－48
C．48
D．96
解析：C [a5＝a1q4＝3×24＝48.]
3．2＋eq \r(3)和2－eq \r(3)的等比中项是( )
A．1
B．－1
C．±1
D．2
解析：C [设2＋eq \r(3)和2－eq \r(3)的等比中项为G，则G2＝(2＋eq \r(3))(2－eq \r(3))＝1，∴G＝±1.]
等比数列的概念
下列各组数不成等比数列的是( )
A．1，－2,4，－8
B．－eq \r(2)，2，－2eq \r(2)，4
C．x，x2，x3，x4
D．a－1，a－2，a－3，a－4
(2)以下数列中是等比数列的有 ________ .(填序号)
①数列1,2,6,18，…；
②数列{an}中，已知eq \f(a2,a1)＝2，eq \f(a3,a2)＝2；
③常数列a，a，a，…，a，…；
④数列{an}中，eq \f(an＋1,an)＝q(q≠0)，其中n∈N＋.
[思路点拨] 根据等比数列的概念逐一判断．
[解析] (1)对于A，由eq \f(－2,1)＝eq \f(4,－2)＝eq \f(－8,4)＝－2，得数列是以－2为公比的等比数列；对于B，由eq \f(2,－\r(2))＝eq \f(－2\r(2),2)＝eq \f(4,－2\r(2))＝－eq \r(2)，得数列是以－eq \r(2)为公比的等比数列；对于C，当x＝0时，不是等比数列；对于D，由eq \f(a－2,a－1)＝eq \f(a－3,a－2)＝eq \f(a－4,a－3)＝a－1，得数列是以a－1为公比的等比数列．
(2)在数列①中，eq \f(2,1)≠eq \f(6,2)，∴①不是等比数列；在数列②中，不一定都满足eq \f(an＋1,an)＝2；在数列③中，a若为0，则不是等比数列；④中数列是等比数列．
[答案] (1)C (2)④
等比数列定义的理解
(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零．
(2)要判定一个数列是否为等比数列，只需看eq \f(an＋1,an)的值是否为不为零的同一个常数，要注意分子、分母次序不能颠倒．
[变式训练]
1．判断下列数列是否为等比数列．
(1)1,2,1,2,1；
(2)－2，－2，－2，－2，－2；
(3)lg 3，lg 6，lg 12；
(4)1，－eq \f(1,3)，eq \f(1,9)，－eq \f(1,27)，eq \f(1,81).
解：(1)由eq \f(2,1)≠eq \f(1,2)，所以不是等比数列．
(2)由该数列是不为0的常数列，所以是等比数列．
(3)由eq \f(lg 6,lg 3)≠eq \f(lg 12,lg 6)，所以不是等比数列．
(4)由1，－eq \f(1,3)，eq \f(1,9)，－eq \f(1,27)，eq \f(1,81)，可知从第二项开始后一项与前一项的比值均为－eq \f(1,3)，故为等比数列．
等比数列的通项公式
在等比数列{an}中：
(1)已知a1＝2，q＝－1，求an及a10.
(2)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝eq \f(1,2)，求n；
(3)已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an.
[思路点拨] 等比数列的通项公式为an＝a1qn－1代入构造方程或方程组求解即可．
[解] 设等比数列{an}的公比为q.
(1)an＝a1qn－1＝(－1)n－1·2，a10＝(－1)9×2＝－2.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝qa3＋a6＝18，,a3＋a6＝36，))得q＝eq \f(1,2).再由a3＋a6＝a3·(1＋q3)＝36，得a3＝32，则an＝a3·qn－3＝32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－8＝eq \f(1,2)，所以n－8＝1，所以n＝9.
(3)由a7＝a5·q2，得q2＝eq \f(1,4).因为an>0，所以q＝eq \f(1,2)，所以an＝a5·qn－5＝8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－8(n∈N＋)．
(1)等比数列通项公式的求法
①根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
②充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
(2)等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，知任意三个就可以求出另一个．
[变式训练]
2．已知数列{an}为等差数列，且a1＋a5＝－12，
a4＋a8＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求数列{bn}的通项公式．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＋a5＝2a3＝－12，a4＋a8＝2a6＝0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a3＝－6，,a6＝0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝－6，,a1＋5d＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝－10，,d＝2，))
所以an＝－10＋2(n－1)＝2n－12(n∈N＋)．
(2)设等比数列{bn}的公比为q，因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，所以－8q＝－24，即q＝3，因此bn＝b1·qn－1＝－8×3n－1(n∈N＋)．
等比数列通项公式的应用
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并用第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
[思路点拨] 依等差(比)数列的概念正确求出这四个数．
[解] 法一 设四个数依次为a－d，a，a＋d，eq \f(a＋d2,a)，
由条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－d＋\f(a＋d2,a)＝16，,a＋a＋d＝12.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4，,d＝4，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝9，,d＝－6.))所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
法二 设四个数依次为eq \f(2a,q)－a，eq \f(a,q)，a，aq(q≠0)，
由条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2a,q)－a＋aq＝16，,\f(a,q)＋a＝12，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝8，,q＝2，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝3，,q＝\f(1,3))).
当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16；当a＝3，q＝eq \f(1,3)时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
求解等比数列的技巧
(1)三个数成等比数列，设为eq \f(a,q)，a，aq.
(2)四个符号相同的数成等比数列，设为eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3.
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.
[变式训练]
3．在1和16之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数．
解：设这五个数的公比为q，则q4＝eq \f(16,1)，解得q＝±2.因此，插入的三个数分别为2,4,8或－2,4，－8.
等比中项及其应用
已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
[思路点拨] a5，a7的等比中项G满足G2＝a5·a7.
[解] 设该等比数列的公比为q，首项为a1，
∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋a1q＋a1q2＝168，,a1q－a1q4＝42，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a11＋q＋q2＝168，,a1q1－q3＝42.))
∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，上述两式相除，
得q(1－q)＝eq \f(1,4)，∴q＝eq \f(1,2).
∴a1＝eq \f(42,q－q4)＝eq \f(42,\f(1,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4)＝96.
若G是a5，a7的等比中项，则应有G2＝a5·a7
＝a1q4·a1q6＝aeq \o\al(2,1)q10＝962×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))10＝9.
∴a5，a7的等比中项是±3.
(1)首项a1和公比q是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法．
(2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项．
[变式训练]
4．已知在等比数列{an}中，a2＝4，a4＝16，求a6.
解：因为a2·a6＝aeq \o\al(2,4)，所以a6＝eq \f(a\o\al(2,4),a2)＝64.
1．若数列{an}的通项公式为an＝3·2n，则该数列是( )
A．公差为3的等差数列
B．公差为2的等差数列
C．公比为3的等比数列
D．公比为2的等比数列
解析：D [∵eq \f(an＋1,an)＝eq \f(3×2n＋1,3×2n)＝2(常数)，∴数列{an}是公比为2的等比数列．]
2．若等比数列{an}的前3项是－1,2，－4，则a7＝( )
A．32
B．－32
C．64
D．－64
解析：D [{an}的公比q＝eq \f(2,－1)＝－2，又∵a1＝－1，∴a7＝a1q6＝－1×(－2)6＝－64.]
3．已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝( )
A．6
B．－6
C．±6
D．±12
解析：C [∵a＝eq \f(1＋2,2)＝eq \f(3,2)，b2＝(－1)(－16)＝16，b＝±4，∴ab＝±6.]
4．在等比数列{an}中，a1＝－2，q＝3，则a3＝ ________ .
解析：a3＝a1q2＝－2×32＝－18.
答案：－18
$$
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