7.2.2 等差数列前n项和公式（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步教案（高教版2021）

7.2 等差数列 7.2.1 等差数列的概念 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第7章 数列 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 下一页 上一页 返回导航 数学拓展模拟（GJ下） 第7章 数列 课程标准 素养解读 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义． 2．体会等差数列与一元一次函数的关系. 在根据实例抽象出等差数列的概念并归纳出等差数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养. 天坛集明清两代建筑技艺之大成，是古建筑珍品．它以深刻的文化内涵、宏伟的建筑风格，成为中华民族古老文明的写照．圜丘坛是举行冬至祭天大典的场所．圜丘为圆形，三层坛制，每层四面出台阶各9级．上层中心为一块圆石，外铺扇形石块9圈，内圈9块，以9的倍数依次向外延展，栏板、望柱的数量也都是9或9的倍数． 石板以上层中心圆石为起点，第一圈为9块，第二圈为18块，周围各圈直至底层，共9圈，均以9的倍数递增，如图所示．你能算出第9圈共有多少块石板吗？ [知识点一]　等差数列的概念 　一般地， 当一个数列从第二项起，每一项与它的　前一项　的差都等于　同一个常数　时，就称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的　公差　，通常用字母　 d　表示． 　数列2,2,2,2，…是等差数列吗？ 提示：2,2,2,2，…也是等差数列，它的公差为0.公差为0的数列称为常数列． [知识点二]　等差数列的通项公式 　首项是a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝　a1＋(n－1)d　. [知识点三]　等差中项 　如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A称为a与b的　等差中项　.如果A是a与b的等差中项，那么A－a＝b－A，所以A＝　eq \f(a＋b,2)　.显然，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项． 1．给出下列数列 ①0,0,0,0,0，…； ②1,11,111,1 111，…； ③2,22,23,24，…； ④－5，－3，－1,1,3，…； ⑤1,2,3,5,8…. 其中是等差数列的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：B　[数列①，④是等差数列．] 2．等差数列{1－3n}，n∈N＋的公差d等于(　　) A．1 B．3 C．－3 D．n 解析：C　[∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5， ∴d＝a2－a1＝－3.] 3．3和7的等差中项是(　　) A．4 B．5 C．10 D．6 解析：B　[3和7的等差中项为eq \f(3＋7,2)＝5.] 等差数列的概念 　下列命题中正确的是(　　) A．数列6,4,2,0是公差为2的等差数列 B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为1的等差数列 C．数列{2n＋1}是等差数列 D．数列{an}中，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，则数列{an}是等差数列 [思路点拨]　依据等差数列的概念逐一判断． [解析]　A中，数列是公差为－2的等差数列；B中，a－1－a＝a－2－(a－1)＝a－3－(a－2)＝－1，是公差为－1的等差数列；C中，an＋1－an＝2(n＋1)＋1－2n－1＝2为常数，是等差数列；D中，a2－a1＝0，an－an－1＝2(n≥3)，数列{an}不是等差数列． [答案]　C 判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n∈N＋)是不是一个与n无关的常数． [变式训练] 1．下列数列不是等差数列的是(　　) A．1,1,1,1,1　　　　　 B．4,7,10,13,16 C.eq \f(1,3)，eq \f(2,3)，1，eq \f(4,3)，eq \f(5,3) D．－3，－2，－1,1,2 解析：D　[由等差数列的定义得，A项，d＝0，故是等差数列；B项，d＝3，故是等差数列；C项，d＝eq \f(1,3)，故是等差数列；D项，每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列．] 等差数列的通项公式 　已知在等差数列{an}中，a5＝－20，a20＝－35.试求出数列的通项公式． [思路点拨]　根据已知条件，可以利用等差数列的通项公式列出方程组求出首项和公差，然后再求解． [解]　设{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋)， 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a5＝a1＋4d＝－20，,a20＝a1＋19d＝－35，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝－16，,d＝－1.))故数列{an}的通项公式为an＝－16＋(n－1)(－1) ＝－15－n，n∈N＋. 等差数列的通项公式及其应用 (1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，求出第四个量． (2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项． (3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所要求的项． [变式训练] 2．在等差数列{an}中，已知a4＝8，a10＝20，试求公差d及a20. 解：因为a4＝8，a10＝20，所以由an＝a1＋(n－1)d，可得a1＋3d＝8，a1＋9d＝20，解得a1＝2，d＝2.所以a20＝a1＋(20－1)d＝40. 等差中项及其应用 　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． [思路点拨]　由已知b＝eq \f(－1＋7,2)，a＝eq \f(－1＋b,2)，c＝eq \f(b＋7,2). [解]　∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝eq \f(－1＋7,2)＝3.又a是－1与b的等差中项，∴a＝eq \f(－1＋3,2)＝1.又c是b与7的等差中项，∴c＝eq \f(3＋7,2)＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7. (1)由等差数列的定义知an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)，即2an＝an－1＋an＋1，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项． (2)在求等差数列的项时，可利用上述性质，设相邻三项为a－d，a，a＋d. [变式训练] 3．已知三个数成等差数列，其和为15，平方和为83，求这三个数． 解：设这三个数依次是a－d，a，a＋d，根据题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝15，,a－d2＋a2＋a＋d2＝83，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝5，,d＝±2.)) 因此这三个数分别为3,5,7或7,5,3. 等差数列的实际应用 　我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法正确的是(　　) A．相邻两个节气晷长减少或增加的均量为二尺 B．春分的晷长比秋分的晷长不相同 C．小雪的晷长为一丈五寸 D．立春的晷长比立秋的晷长短 [思路点拨]　由已知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列，由冬至到夏至的晷长也构成等差数列． [解析]　现以寸为单位，由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中a1＝15，a13＝135，公差d＝eq \f(135－15,12)＝10.同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}，其中b1＝135，b13＝15，公差 d′＝eq \f(15－135,12)＝－10，故相邻两个节气晷长减少或增加的量为20寸，即二尺，故选项A正确； 因为春分的晷长为b7，所以b7＝b1＋6d′＝135－60＝75，因为秋分的晷长为a7，所以a7＝a1＋6d＝15＋60＝75，故春分和秋分两个节气的晷长相同，故选项B错误；因为小雪的晷长为a11，则a11＝a1＋10d＝15＋100＝115，即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故选项C错误；因为立春的晷长的和立秋的晷长分别为b4，a4，a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d′＝135－30＝105，所以b4>a4，故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项D错误． [答案]　A 在实际问题中，若一组数依次成等量增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决；在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素． [变式训练] 4．小明、小明的爸爸和小明的爷爷三人的年龄恰好构成一个等差数列，他们三人的年龄之和为120岁，爷爷的年龄比小明的年龄的4倍还多5岁，求他们祖孙三人的年龄． 解：设祖孙三人的年龄分别为a－d，a，a＋d，根据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝120，,a＋d＝4a－d＋5，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝40，,d＝25.))所以祖孙三人的年龄分别为15岁、 40岁、65岁． 1．数列0,2,4,6，…的通项公式是an＝(　　) A．2n B．2n＋2 C．2n－2 D．2n＋1 解析：C　[题中数列是首项为0、公差为2的等差数列，其通项公式为an＝2(n－1)＋0＝2n－2.] 2.eq \r(2)＋1与eq \r(2)－1的等差中项是(　　) A．1 B．－1 C.eq \r(2) D．±1 解析：C　[设等差中项为x，由等差中项的定义知x＝eq \f(\r(2)＋1＋\r(2)－1,2)＝eq \r(2).] 3．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝(　　) A．12 B．14 C．16 D．18 解析：D　[由a2＝2，a3＝4知d＝eq \f(4－2,3－2)＝2.所以a10＝a2＋8d＝2＋8×2＝18.] 4．设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为　________　. 解析：设等差数列{an}的公差为d， 则a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝2a1＋5d＝6＋5d＝36，∴d＝6，∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋6(n－1)＝6n－3. 答案：an＝6n－3 $$ 7．2.2　等差数列前n项和公式 课程标准 素养解读 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式． 2．理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系. 在探索等差数列的前n项和公式及相关性质的过程中，提升学生的数学运算和逻辑推理素养. 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇帝建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．则最高一层的石板一共有多少块？ [知识点一]　数列的前n项和 将数列{an}从第1项起到第n项为止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. [知识点二]　等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝　　 Sn＝　na1＋　 温馨提醒　在公式Sn＝na1＋d中，当d＝0时，Sn＝na1；当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且不含常数项． 　对于一般的等差数列，如何求它的前n项和？其理论依据是什么？ 提示：倒序相加法求和． Sn表示前n项和，则Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋ an－1＋an，Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a2＋a1， ∴2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝ 1．前n个正整数的和是(　　) A. B．n(n＋1) C. D．n2 解析：A　[前n个正整数构成等差数列{an}，其中a1＝1，公差d＝1，则an＝n，所以前n项和Sn＝.] 2．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是(　　) A．12 B．24 C．36 D．48 解析：B　[S10＝＝5(a1＋a10)＝120，∴a1＋a10＝24.] 3．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于(　　) A．2 B．3 C．6 D．7 解析：B　[法一　由解得d＝3. 法二　由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，所以20－4＝4＋4d，解得d＝3.] 　　　 等差数列前n项和公式的基本运算 　在等差数列{an}中，(1)a1＝1，a20＝20，求S20； (2)a1＝2，d＝－2，求S20. [思路点拨]　(1)由已知条件可知，应选择公式Sn＝ (2)由已知条件可知，应选择公式Sn＝na1＋d. [解]　(1)因为a1＝1，a20＝20，n＝20， 所以S20＝＝＝210. (2)因为a1＝2，d＝－2，n＝20， 所以S20＝na1＋d ＝20×2＋×(－2)＝－340. 在等差数列的前n项和公式中，如果已知a1，an，则用公式Sn＝求解Sn.如果已知a1和公差d，则用公式Sn＝na1＋d求解Sn. [变式训练] 1．(1)在等差数列{an}中，a1＝5，a9＝85，求S9. 解：根据等差数列的前n项和公式得S9＝＝405. (2)等差数列－6，－4，－2,0，…的前多少项的和等于30? 解：设该数列的前n项和等于30，由于a1＝－6，d＝a2－a1＝(－4)－(－6)＝2，故由等差数列前n项和公式，得30＝(－6)n＋×2，即n2－7n－30＝0.解得n＝10或n＝－3(舍去)．因此，该数列的前10项和是30. 　等差数列前n项和公式的应用 　在等差数列{an}中： (1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10； (2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n. [思路点拨]　(1)根据等差数列的通项公式，构造方程组，求首项a1和公差d，再利用求和公式． (2)根据等差数列的通项公式，整体代入． [解]　(1)法一　由已知条件得 解得 ∴S10＝10a1＋d ＝10×3＋×4＝210. 法二　由已知条件得 ∴a1＋a10＝42， ∴S10＝＝5×42＝210. (2)S7＝＝＝7(a1＋3d)＝7a4＝42，∴a4＝6， ∵a4＝a1＋3d，an－3＝a1＋(n－4)d， ∴a4＋an－3＝a1＋a1＋(n－1)d＝a1＋an， ∴Sn＝＝ ＝＝510， ∴n＝20. 等差数列的基本计算问题，往往可以利用通项公式及求和公式列出含有已知量与未知量的方程或方程组，然后再解．在解方程或方程组的过程中，注意使用相应的方法与技巧，如方程两边分别相除，整体代入等． [变式训练] 2．等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝－10，a4＋a11＝10，求S13. 解：由已知得方程组 解得因此S13＝13×(－8)＋×13×12×2＝52. 1．已知数列{an}为等差数列，且a1＝1，S10＝100，则公差d的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：B　[由S10＝10a1＋d，解得d＝2.] 2．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项和S10＝(　　) A．138 B．135 C．95 D．23 解析：C　[由 得解得 则S10＝10×(－4)＋×10×9×3＝95.] 3．记等差数列{an}的前n项和为Sn.若S10＝95，a8＝17，则(　　) A．an＝5n－23 B．Sn＝2n2－n C．an＝4n－15 D．Sn＝ 解析：D　[设等差数列{an}的公差为d，则10a1＋45d＝95，a1＋7d＝17，解得a1＝－4，d＝3，故an＝3n－7，Sn＝.] 4．在等差数列{an}中，a1＝2，a6＝8，则S6＝　________　. 解析：S6＝＝30. 答案：30 [基础过关] 1．若数列{an}的前n项和为Sn＝3＋2n，则a6＝(　　) A．8 B．16 C．32 D．64 解析：C　[a6＝S6－S5＝(3＋26)－(3＋25)＝32.] 2．设Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 解析：A　[由a1＋a3＋a5＝3a3＝3，得a3＝1，又S5＝＝5a3＝5.] 3．在等差数列{an}中，S7＝70，则a4＝(　　) A．8 B．9 C．10 D．20 解析：C　[因为S7＝＝7a4，所以a4＝＝10.] 4．在等差数列{an}中，a2＋a4＝36，则数列的前5项和为(　　) A．108 B．90 C．72 D．24 解析：B　[S5＝＝＝90.] 5．设Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2 021，S6－2S3＝18，则S2 023＝(　　) A．－2 021 B．2 021 C．2 022 D．2 023 解析：D　[设等差数列{an}的公差为d.∵a1＝－2 021，S6－2S3＝18，∴6a1＋·d－6a1－2×·d＝18，整理可得9d＝18，解得d＝2，则S2 023＝2 023×(－2 021)＋×2＝2 023.] 6．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：C　[设公差为d，则有解得d＝4.] 7．在等差数列{an}中，a1＝－3，d＝2，则S10＝　________　. 解析：S10＝10a1＋d＝60. 答案：60 8．在等差数列{an}中，a3＝2，a5＝8，则S7＝　________　. 解析：S7＝＝＝35. 答案：35 9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝49，S15＝225，求S20. 解：根据题意可得代入解得所以S20＝20×1＋×2＝400. [能力提升] 10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝0，a5＝5，则(　　) A．an＝2n＋5(n∈N＋) B．an＝3n－10(n∈N＋) C．Sn＝n2－4n(n∈N＋) D．Sn＝n2－2n(n∈N＋) 解析：C　[首项为a1，公差为d，则∴a1＝－3，d＝2. ∴an＝－3＋2(n－1)＝2n－5(n∈N＋)， Sn＝(－3)n＋×2＝n2－4n(n∈N＋)．] 11．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　) A．13 B．35 C．49 D．63 解析：C　[a1＋a7＝a1＋a1＋6d ＝a1＋d＋a1＋5d＝a2＋a6＝3＋11＝14，则S7＝＝＝＝49.] 12．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，n∈N＋，则an＝(　　) A．4n－2(n∈N＋) B．n2(n∈N＋) C．2n＋1(n∈N＋) D．2n(n∈N＋) 解析：D　[当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，又因为a1＝2符合an＝2n，所以an＝2n(n∈N＋)．] 13．等差数列{an}中a1＝2，a2＝3，则其前10项的和S10＝　________　. 解析：由a1＝2，a2＝3，得d＝1， 故S10＝10a1＋×10×9d＝10×2＋45＝65. 答案：65 14．已知数列{an}中，a1＝3且an＋1＝an＋2， 则S8＝　________　. 解析：由an＋1＝an＋2可知，{an}是公差为2的等差数列，于是S8＝8a1＋d＝80. 答案：80 15．(1)设{an}是等差数列，前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50. (1)求通项an； (2)若Sn＝242，求n的值． 解：(1)设公差为d，则a20－a10＝10d＝20， ∴d＝2.∴a10＝a1＋9d＝a1＋18＝30，∴a1＝12.∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋2(n－1)＝2n＋10. (2)Sn＝＝＝n2＋11n＝242，∴n2＋11n－242＝0，解得n＝11. 72 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是(　　) A．10 m　B．10 m　C．10 m　D．10 m 解析：D　[在△BCD中，CD＝10(m)， ∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°， ∠DBC＝30°， 由正弦定理，得＝， BC＝＝10(m)． 在Rt△ABC中，tan 60°＝， AB＝BCtan 60°＝10(m)．] 2．已知某路边一树干被台风吹断后，树尖与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m，则折断点与树干底部的距离是(　　) A. m B．10 m C. m D．20 m 解析：A　[如图，设树干底部为O，树尖着地处为B， 折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，所以∠OAB＝60°.由正弦定理知，＝，解得AO＝ m．] 3．已知一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，该船实际航程为(　　) A．2 km B．6 km C．2 km D．8 km 解析：B　[如图，因为OA＝2 km，OB＝4 km， ∠AOB＝120°，所以∠OAC＝60°， OC＝ ＝6 km.] 4. 一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为(　　) A.海里/小时 B．34海里/小时 C.海里/小时 D．34海里/小时 解析：A　如图所示， 在△PMN中，＝，所以MN＝＝34(海里)，所以v＝＝(海里/小时)．] 5.如图，货轮在海上以40 km/h的速度由B向C航行，航行的方位角∠NBC＝140°，A处有灯塔，方位角∠NBA＝110°，在C处观察灯塔A的方位角∠N′CA＝35°，由B到C需要航行半小时，则C到灯塔A的距离是(　　) A．10 km B．10 km C．10(－)km D．10(＋)km 解析：C　[在△ABC中根据题意可得，∠ABC＝30°，∠ACB＝75°，∠BAC＝75°，BC＝20 km，根据正弦定理得，＝.所以AC＝·sin∠ABC＝·sin 30°＝10(－)(km)．] 6.如图，为了测量两座山峰上P，Q两个之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为　________　m. 解析：由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°， ∴AB＝BQ.又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA.在Rt△PAB中， AP＝AB·tan 60°＝900(m)， 故PQ＝900 m，∴P，Q两点间的距离为900 m. 答案：900 7.如图，CD是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A，B，并测得四边形ABCD中，∠ABC＝，∠BAD＝，AB＝BC＝400米，AD＝250米，则应开凿的隧道CD的长为　________　米． 解析：在△ABC中，AB＝BC＝400米，∠ABC＝，所以AC＝AB＝400米，∠BAC＝，所以∠CAD＝∠BAD－∠BAC＝－＝.所以在△CAD中，由余弦定理，得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos∠CAD＝4002＋2502－2×400×250×cos＝122 500，所以CD＝350(米)． 答案：350 8．在高出海平面200 m的小岛顶点A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为　________　m. 解析：过点A作AH⊥BC于点H，由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200 m，则BH＝AH＝200 m，CH＝AH·tan 60°＝200 m. 故两船距离BC＝BH＋CH＝200(＋1)m. 答案：200(＋1) 9．已知三个电流瞬时值的函数解析式分别是I1＝8sin ωt，I2＝12sin(ωt－45°)，I3＝10sin(ωt＋30°)，求合成的正弦波I＝I1＋I2＋I3的函数解析式． 解：I＝I1＋I2＋I3 ＝8sin ωt＋12sin(ωt－45°)＋10sin(ωt＋30°) ＝8sin ωt＋12(sin ωtcos 45°－cos ωtsin 45°)＋10(sin ωtcos 30°＋cos ωtsin 30°) ＝8sin ωt＋12＋ 10 ＝(8＋6＋5)sin ωt＋(6－6)cos ωt. [能力提升] 10.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　　) A．(30＋30)m B．(30＋15)m C．(15＋30)m D．(15＋15)m 解析：A　[设树的高度为h，由正弦定理可得＝，PB＝＝. h＝PB·sin 45°＝·sin 45°＝(30＋30)m.] 11．甲船在岛B的正南A处，AB＝10 km，甲船以每小时4 km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6 km的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是(　　) A.分钟 B.小时 C．21.5分钟 D．2.15分钟 解析：A　[设行驶x h后甲到点C，乙到点D， 两船相距y km，则∠DBC＝180°－60°＝120°. ∴y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6xcos 120° ＝28x2－20x＋100＝282－＋100， ∴当x＝ h＝分钟时，y2有最小值， ∴y最小．] 12.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5 m，起吊的货物与岸的距离AD为(　　) A．30 m B. m C．15 m D．45 m 解析：B　[在△ABC中，AC＝15 m，AB＝5 m，BC＝10 m，由余弦定理得cos∠ACB＝＝＝－，所以sin∠ACB＝.又∠ACB＋∠ACD＝180°，所以sin∠ACD＝sin∠ACB＝.在Rt△ACD中，AD＝ACsin∠ACD＝15×＝ m．] 13．一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系式为y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，若弹簧振子运动的振幅为3，周期为π，初相为，则这个函数的解析式为　________________　. 解析：由题意得A＝3，T＝π，φ＝，则ω＝＝7，故所求函数的解析式为y＝3sin. 答案：y＝3sin 14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝　________　m. 解析：依题意，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°.在△ABC中，因为∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，所以∠ACB＝45°，因为AB＝600 m，由正弦定理可得＝，即BC＝300 m．在Rt△BCD中，因为∠CBD＝30°，BC＝300 m，所以tan 30°＝ ＝，所以CD＝100 m. 答案：100 15．如图，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A出发沿北偏东30°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿北偏东90°－α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上． (1)求该军舰艇的速度； (2)求sin α的值． 解：(1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝100×2＝200(海里)，AC＝120(海里)，∠ACB＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cos 120°＝78 400，解得BC＝280(海里)．所以该军舰艇的速度为280÷2＝140(海里/小时)． (2)在△ABC中，由正弦定理，得＝，即sin α＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$