6.4.3 余弦定理（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步教案（高教版2021）

[基础过关] 1．下列周期函数中，最小正周期为2π的是(　　) A．y＝sin B．y＝cos x C．y＝2cos2x D．y＝sin xcos x 解析：B　[对于A，周期T＝＝4π.对于B，周期T＝＝2π，对于C，y＝2cos2x＝cos 2x＋1，周期T＝＝π.对于D，y＝sin xcos x＝sin 2x，周期T＝＝π.] 2．函数y＝3sin的最小正周期是，则ω＝(　　) A．3 B．6 C．4 D. 解析：C　[由已知T＝＝， 解得ω＝4.] 3．函数f(x)＝2sin，当f(x)取得最小值时相应的x取值集合为(　　) A. B. C. D. 解析：D　[令2x＋＝－＋2kπ，k∈Z，解得x＝－＋kπ，k∈Z.] 4．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图像如图所示，则(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 解析：A　[由图可知，A＝2，＝－＝，所以T＝π，ω＝2.由五点作图法可知2×＋φ＝，所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin.] 5．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω>0，|φ|<)的最小正周期是π，且f(0)＝，则(　　) A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝ C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝ 解析：D　[∵＝π，∴ω＝2.∵f(0)＝，∴2sin φ＝.∴sin φ＝.∵|φ|<，∴φ＝.] 6．已知函数f(x)＝sin x－cos x，x∈，则f(x)的最小正周期是　________　，最大值是　________　，最小值是　________　. 解析：因为f(x)＝sin x－cos x＝2sin，所以f(x)的最小正周期T＝2π.因为－≤x≤，所以－≤x－≤， 故当x－＝，即x＝时，f(x)max＝1，当x－＝－，x＝－时，f(x)min＝－2. 答案：2π　1　－2 7.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图像如图所示，则ω＝　______　. 解析：由题意设函数周期为T， 则＝－＝，∴T＝. ∴ω＝＝. 答案： 8．函数y＝2sin的对称轴方程是　________　. 解析：对于函数y＝2sin，令2x－ ＝kπ＋(k∈Z)时，x＝＋(k∈Z)． 答案：x＝＋(k∈Z) 9．已知函数y＝2sin(ω>0)的最小正周期为π.求： (1)ω的值； (2)函数的最大值及取得最大值时相应的x的值． 解：(1)由T＝＝π且ω>0，得ω＝2. (2)当2x－＝＋2kπ，即x＝kπ＋π(k∈Z)时函数取得最大值，最大值为2. [能力提升] 10．函数y＝sin xcos x的最小正周期是(　　) A．2π B．π C. D. 解析：B　[y＝sin xcos x＝sin 2x，所以周期T＝＝π.] 11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图像如图所示，则该函数的解析式是(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 解析：A　[如题图所示，可得A＝2， 又－＝，T＝，可得ω＝2， 故原函数解析式为y＝2sin(2x＋φ). 又2sin＝2，得＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，又|φ|<，故φ＝， 故所求的解析式为y＝2sin.] 12．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图所示，则(　　) A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝ C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝ 解析：C　[由题中图像可知T＝(3－1)×4＝8， ∴ω＝＝.∴×1＋φ＝，∴φ＝.] 13．y＝sin x＋1的减区间为　________________　. 解析：y＝sin x＋1的减区间为 ，k∈Z. 答案：，k∈Z 14．函数y＝sin在区间上的简图是　________　.(填正确图像的序号) 解析：由题中各图像特点，知可选用－和这两个特殊值来断定．当x＝－时，y＝sin＝，当x＝时，y＝sin 0＝0.符合的只有①. 答案：① 15．小明同学用“五点法”作某个正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图像时，列表如下： x － ωx＋φ 0 π 2π Asin(ωx＋φ) 0 3 0 －3 0 根据表中数据，求： (1)实数A，ω，φ的值； (2)该函数在区间上的最大值和最小值． 解：(1)由表可知A＝3，T＝－＝π，因为T＝，故＝π，解得ω＝2，所以y＝3sin(2x＋φ)．因为函数图像过点，则3＝3sin，即sin＝1，所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，解得φ＝2kπ＋，k∈Z，又因为|φ|<，所以φ＝. (2)由(1)可知y＝3sin.因为≤x≤，所以≤2x＋≤，因此，当2x＋＝时，即x＝时，y＝－，当2x＋＝时，即x＝时，y＝，当2x＋＝时，即x＝时，y＝3，所以该函数在区间上的最大值是3，最小值是－. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6．4.3　余弦定理 课程标准 素养解读 1.掌握余弦定理及证明余弦定理的方法． 2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 1.通过推导余弦定理、主要培养逻辑推理核心素养． 2．通过运用余弦定理解三角形，主要提升数学运算核心素养. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 △ABC中常用∠A、∠B、∠C表示三个角，用a、b、c分别表示这三个角的对边．根据已知条件求三角形的边和角的过程称为解三角形． 在生产实践和科学研究中，经常会遇到解三角形的问题．余弦定理反映了任意三角形中边和角之间的数量关系，是解三角形的重要工具．下面我们来看，已知三角形的两边及其夹角，如何求第三边． [知识点一]　余弦定理及其变形 文字表述 三角形任何一边的平方等于　其他两边的平方和　减去这两边与它们　夹角的余弦乘积　的两倍 公式表达 a2＝　b2＋c2－2bccos_A　 b2＝　a2＋c2－2accos_B　 c2＝　a2＋b2－2abcos_C　 变形 cos A＝　　 cos B＝　　 cos C＝　　 　余弦定理与勾股定理之间有何联系？ 提示：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． [知识点二]　余弦定理的应用 1．已知三角形的两边及其夹角(或一边的对角)，求第三边和其余两角． 2．已知三角形的三边，求三个角． 3．判断三角形形状． 1．在△ABC中，若a＝3，b＝2，∠C＝60°，则c等于(　　) A. B．2 C. D．2 解析：C　[c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×＝7.∴c＝.] 2．在△ABC中，若b＝6，c＝4，cos A＝，则a等于(　　) A．6 B．4 C. D．8 解析：A　[a2＝b2＋c2－2bccos A ＝36＋16－2×6×4×＝36. ∴a＝6.] 3．已知△ABC的三边a＝2，b＝3，c＝4，则最大角的余弦值为(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：D　[∵a＝2，b＝3，c＝4，∴c>b>a ， ∴C>B>A，∴∠C是最大角， ∴cos C＝＝＝－.] 　已知两边及一角解三角形 　在△ABC中， (1)已知a＝2，c＝＋，B＝45°，求b及A； (2)已知b＝3，c＝3，B＝30°，求边a. [思路点拨]　(1)直接利用余弦定理求解． (2)利用余弦定理，构造关于a的一元二次方程． [解]　(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B ＝(2)2＋(＋)2－2×(＋)×2×cos 45°＝8， 所以b＝2.由cos A＝. 得cos A＝＝. 因为0°<A<180°，所以A＝60°. (2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得32＝a2＋(3)2－2×3a×cos 30°，即a2－9a＋18＝0， 所以a＝6或a＝3. 已知三角形的两边及一角解三角形的方法，已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． [变式训练] 1．已知在△ABC中，∠B＝60°，a＝6，c＝8，求b的值． 解：由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B ＝62＋82－2×6×8×cos 60° ＝100－48＝52，所以b＝2. 　已知三角形的三边求角 　如图所示，在△ABC中，AB＝＋1，AC＝2，BC＝，求： (1)三角形的内角A； (2)AC边上的中线BE的长． [思路点拨]　已知三边的长度，根据余弦定理可以求出三边所对应的角；在△ABE中，由AB，AE和∠A可以求BE的长． [解]　(1)cos A＝＝＝， ∵角A是三角形的一个内角，∴∠A＝30°. (2)在△ABE中， BE2＝AB2＋AE2－2·AB·AE·cos A ＝(＋1)2＋2－2×(＋1)×1×cos 30° ＝2＋ ，∴BE＝＝. 已知三边求解三角形策略 (1)已知三边求角的基本思路是利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一. (2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解． [变式训练] 2．在△ABC中，a＝6，b＝7，c＝10，求△ABC中的最大角和最小角(精确到1°)． 解：因为在三角形中大边对大角，小边对小角， 由于a<b<c，所以∠C最大，∠A最小． 可得cos A＝＝≈0.807 1， cos C＝＝≈－0.178 6， 所以∠A≈36°，∠C≈100°. 　余弦定理的应用 　(1)在△ABC中，已知acos A＋bcos B ＝ccos C，试判断△ABC的形状． (2)在△ABC中，求证： a2＋b2＋c2＝2(bccos A＋cacos B＋abcos C)． [思路点拨]　(1)根据余弦定理，把角化为边即可判断． (2)根据余弦定理，从右向左证明． [解]　(1)由余弦定理，得 a·＋b·＝c·. 所以a2(b2＋c2－a2)＋b2(c2＋a2－b2) ＝c2(a2＋b2－c2)， a2(b2－a2)＋a2c2＋b2(a2－b2)＋b2c2 ＝c2a2＋b2c2－c4，即(a2－b2)2＝c4， 所以a2－b2＝c2或a2－b2＝－c2， 即b2＋c2＝a2或a2＋c2＝b2. 所以△ABC是直角三角形． (2)证明：右边＝2bc·＋2ac·＋2ab·＝b2＋c2－a2＋a2＋c2－b2＋a2＋b2－c2＝a2＋b2＋c2＝左边．故等式成立． (1)判断三角形形状的基本思想要从“统一”入手，化边为角或化角为边，体现转化思想． (2)利用余弦定理证明三角恒等式的关键 证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式差异．形式上一般有左⇒右、右⇒左或左⇒中⇐右三种． [变式训练] 3．在△ABC中，a∶b∶c＝(＋1)∶∶2，判断△ABC的形状并求出三角形的最小角． 解：依题意，设a＝(＋1)x，b＝x，c＝2x， 则a>b>c，∴∠A最大，∠C最小. cos A＝＝ ＝>0.∴∠A为锐角， ∴△ABC为锐角三角形．cos C＝ ＝＝. ∴∠C＝45°∴最小角C的大小为45°.] 1．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则∠B等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：C　[因为cos B＝＝，所以∠B＝60°.] 2．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，∠C＝120°，则边c的值是(　　) A．8 B．2 C．6 D．2 解析：D　[由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，所以c＝2.] 3. 在△ABC中，若bcos A＝acos B，则△ABC是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 解析：B　[因为bcos A＝acos B， 所以b·＝a·. 所以b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2.所以a2＝b2. 所以a＝b.故此三角形是等腰三角形．] 4．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，cos C＝，则边c长为　________　. 解析：因为c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋32－2× 2×3×＝9，所以c＝3. 答案：3 [基础过关] 1．在△ABC中，a＝，b＝1，∠C＝150°，那么c等于(　　) A．49 B. C．13 D. 解析：B　[c2＝a2＋b2－2abcos C ＝3＋1－2××1×＝7.∴c＝.] 2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则∠B的值为(　　) A. B. C.或 D.或 解析：A　[因为cos B＝＝＝， 所以∠B＝.] 3．在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B＝(　　) A．1 B. C．2 D．4 解析：C　[bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a＝2.] 4．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－ab，则此三角形的最大角为(　　) A．60° B．90° C．120° D．150° 解析：D　[由余弦定理得cos C＝ ＝＝－，∵0°<C<180°， ∴C＝150°，故三角形的最大角是150°.] 5．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：C　[由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋72－2×8×7×＝9，所以c＝3，故a最大，所以最大角的余弦值为cos A＝＝＝－.] 6．在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝，则最大角的度数为　________　. 解析：∵c>a，c>b，∴角C最大．由余弦定理， 得c2＝a2＋b2－2abcos C，即37＝9＋16－24cos C，∴cos C＝－，∵0°<C<180°，∴C＝120°. ∴△ABC的最大内角为120°. 答案：120° 7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3b2＋3c2－3a2＝4bc，则cos A的值为　________　. 解析：由3b2＋3c2－3a2＝4bc，得b2＋c2－a2 ＝2×·bc.而b2＋c2－a2＝2bccos A， 所以cos A＝. 答案： 8．在△ABC中，∠B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为　________　. 解析：由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B ＝a2＋c2－ac.又因为b2＝ac，所以ac＝a2＋c2－ac. 即(a－c)2＝0，所以a＝c.又因为∠B＝60°， 所以△ABC为等边三角形． 答案：等边三角形 9．在△ABC中，已知a＝3，c＝，∠A＝120°，求b和∠C的值． 解：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝3，c＝，∠A＝120°， 代入得32＝b2＋()2－2b×cos 120°， 即得b2＋b－6＝0，解得b1＝，b2＝－2(舍)．又因为c＝，所以b＝c， 即△ABC为等腰三角形，∠A＝120°， 所以∠B＝∠C＝30°. [能力提升] 10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝(　　) A．90° B．60° C．120° D．150° 解析：C　[由(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)可得a2－c2＝b2＋bc，即a2＝c2＋b2＋bc.根据余弦定理得cos A＝＝＝－，因为A为△ABC的内角，所以A＝120°.] 11．在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c＝(　　) A. B. C．6 D．5 解析：B　[∵sin A＝6sin B， 则由正弦定理得a＝6b， 又a＋2b＝8，∴a＝6，b＝1， ∵C＝60°， 所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C， 即c2＝62＋12－2×6×1×，解得c＝.] 12．若△ABC的内角A，B，C所对边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°则ab的值为(　　) A. B．8－4 C．1 D. 解析：A　[由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2 ＝4－2ab，而a2＋b2－c2＝2abcos C，且C＝60°， 则a2＋b2－c2＝ab，所以ab＝.] 13．若△ABC的三条边a，b，c满足(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝7∶9∶10，则cos C值为　________　. 解析：∵(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝7∶9∶10，不妨设a＋b＝7k，则b＋c＝9k，c＋a＝10k，求得a＝4k，b＝3k，c＝6k，再利用余弦定理可得cos C＝＝－. 答案：－ 14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c＝　________　. 解析：cos C＝－cos(A＋B)＝－， 所以c2＝a2＋b2－2abcos C ＝32＋22－2×3×2×＝17，所以c＝. 答案： 15.如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝4，cos∠CAD＝，且AD＝BD，求△ABC的面积． 解：设CD＝x，则AD＝BD＝5－x， 在△CAD中，由余弦定理可知 cos∠CAD＝＝. 解得x＝1. 在△CAD中，由正弦定理可知＝， ∴sin C＝·＝4＝， ∴S△ABC＝AC·BC·sin C＝×4×5×＝. 所以△ABC的面积为. 72 学科网（北京）股份有限公司 $$6.4 解三角形 6.4.3 余弦定理 第6章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课程标准 素养解读 1.掌握余弦定理及证明余弦定理的方法． 2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 1.通过推导余弦定理、主要培养逻辑推理核心素养． 2．通过运用余弦定理解三角形，主要提升数学运算核心素养. △ABC中常用∠A、∠B、∠C表示三个角，用a、b、c分别表示这三个角的对边．根据已知条件求三角形的边和角的过程称为解三角形． 在生产实践和科学研究中，经常会遇到解三角形的问题．余弦定理反映了任意三角形中边和角之间的数量关系，是解三角形的重要工具．下面我们来看，已知三角形的两边及其夹角，如何求第三边． [知识点一]　余弦定理及其变形 文字表述 三角形任何一边的平方等于　其他两边的平方和　减去这两边与它们　夹角的余弦乘积　的两倍 公式表达 a2＝　b2＋c2－2bccos A　 b2＝　a2＋c2－2accos B　 c2＝　a2＋b2－2abcos C　 变形 cos A＝　eq \f(b2＋c2－a2,2bc)　 cos B＝　eq \f(a2＋c2－b2,2ac)　 cos C＝　eq \f(a2＋b2－c2,2ab)　 　余弦定理与勾股定理之间有何联系？ 提示：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． [知识点二]　余弦定理的应用 1．已知三角形的两边及其夹角(或一边的对角)，求第三边和其余两角． 2．已知三角形的三边，求三个角． 3．判断三角形形状． 1．在△ABC中，若a＝3，b＝2，∠C＝60°，则c等于(　　) A.eq \r(2) B．2eq \r(2) C.eq \r(7) D．2eq \r(7) 解析：C　[c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×eq \f(1,2)＝7.∴c＝eq \r(7).] 2．在△ABC中，若b＝6，c＝4，cos A＝eq \f(1,3)，则a等于(　　) A．6 B．4 C.eq \r(6) D．8 解析：A　[a2＝b2＋c2－2bccos A ＝36＋16－2×6×4×eq \f(1,3)＝36. ∴a＝6.] 3．已知△ABC的三边a＝2，b＝3，c＝4，则最大角的余弦值为(　　) A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(1,4) 解析：D　[∵a＝2，b＝3，c＝4，∴c>b>a ， ∴C>B>A，∴∠C是最大角， ∴cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(4＋9－16,2×2×3)＝－eq \f(1,4).] 已知两边及一角解三角形 　在△ABC中， (1)已知a＝2eq \r(3)，c＝eq \r(6)＋eq \r(2)，B＝45°，求b及A； (2)已知b＝3，c＝3eq \r(3)，B＝30°，求边a. [思路点拨]　(1)直接利用余弦定理求解． (2)利用余弦定理，构造关于a的一元二次方程． [解]　(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B ＝(2eq \r(3))2＋(eq \r(6)＋eq \r(2))2－2×(eq \r(6)＋eq \r(2))×2eq \r(3)×cos 45°＝8， 所以b＝2eq \r(2).由cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc). 得cos A＝eq \f(2\r(2)2＋\r(6)＋\r(2)2－2\r(3)2,2×2\r(2)×\r(6)＋\r(2))＝eq \f(1,2). 因为0°<A<180°，所以A＝60°. (2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得32＝a2＋(3eq \r(3))2－2×3eq \r(3)a×cos 30°，即a2－9a＋18＝0， 所以a＝6或a＝3. 已知三角形的两边及一角解三角形的方法，已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． [变式训练] 1．已知在△ABC中，∠B＝60°，a＝6，c＝8，求b的值． 解：由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B ＝62＋82－2×6×8×cos 60° ＝100－48＝52，所以b＝2eq \r(13). 已知三角形的三边求角 　如图所示，在△ABC中，AB＝eq \r(3)＋1，AC＝2，BC＝eq \r(2)，求： (1)三角形的内角A； (2)AC边上的中线BE的长． [思路点拨]　已知三边的长度，根据余弦定理可以求出三边所对应的角；在△ABE中，由AB，AE和∠A可以求BE的长． [解]　(1)cos A＝eq \f(AC2＋AB2－BC2,2AB·AC)＝eq \f(4＋\r(3)＋12－2,2×2×\r(3)＋1)＝eq \f(\r(3),2)， ∵角A是三角形的一个内角，∴∠A＝30°. (2)在△ABE中， BE2＝AB2＋AE2－2·AB·AE·cos A ＝(eq \r(3)＋1)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)))2－2×(eq \r(3)＋1)×1×cos 30° ＝2＋eq \r(3) ，∴BE＝eq \r(2＋\r(3))＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2). 已知三边求解三角形策略 (1)已知三边求角的基本思路是利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一. (2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解． [变式训练] 2．在△ABC中，a＝6，b＝7，c＝10，求△ABC中的最大角和最小角(精确到1°)． 解：因为在三角形中大边对大角，小边对小角， 由于a<b<c，所以∠C最大，∠A最小． 可得cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(72＋102－62,2×7×10)≈0.807 1， cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(62＋72－102,2×6×7)≈－0.178 6， 所以∠A≈36°，∠C≈100°. 余弦定理的应用 　(1)在△ABC中，已知acos A＋bcos B ＝ccos C，试判断△ABC的形状． (2)在△ABC中，求证： a2＋b2＋c2＝2(bccos A＋cacos B＋abcos C)． [思路点拨]　(1)根据余弦定理，把角化为边即可判断． (2)根据余弦定理，从右向左证明． [解]　(1)由余弦定理，得 a·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq \f(c2＋a2－b2,2ca)＝c·eq \f(a2＋b2－c2,2ab). 所以a2(b2＋c2－a2)＋b2(c2＋a2－b2) ＝c2(a2＋b2－c2)， a2(b2－a2)＋a2c2＋b2(a2－b2)＋b2c2 ＝c2a2＋b2c2－c4，即(a2－b2)2＝c4， 所以a2－b2＝c2或a2－b2＝－c2， 即b2＋c2＝a2或a2＋c2＝b2. 所以△ABC是直角三角形． (2)证明：右边＝2bc·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＋2ac·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＋2ab·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝b2＋c2－a2＋a2＋c2－b2＋a2＋b2－c2＝a2＋b2＋c2＝左边．故等式成立． (1)判断三角形形状的基本思想要从“统一”入手，化边为角或化角为边，体现转化思想． (2)利用余弦定理证明三角恒等式的关键 证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式差异．形式上一般有左⇒右、右⇒左或左⇒中⇐右三种． [变式训练] 3．在△ABC中，a∶b∶c＝(eq \r(3)＋1)∶eq \r(6)∶2，判断△ABC的形状并求出三角形的最小角． 解：依题意，设a＝(eq \r(3)＋1)x，b＝eq \r(6)x，c＝2x， 则a>b>c，∴∠A最大，∠C最小. cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(6x2＋4x2－4＋2\r(3)x2,2×\r(6)x×2x) ＝eq \f(6－2\r(3),4\r(6))>0.∴∠A为锐角， ∴△ABC为锐角三角形．cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＝eq \f(\r(3)＋1x2＋6x2－4x2,2×\r(3)＋1x×\r(6)x)＝eq \f(\r(2),2). ∴∠C＝45°∴最小角C的大小为45°.] 1．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则∠B等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：C　[因为cos B＝eq \f(52＋82－72,2×5×8)＝eq \f(1,2)，所以∠B＝60°.] 2．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，∠C＝120°，则边c的值是(　　) A．8 B．2eq \r(17) C．6eq \r(2) D．2eq \r(19) 解析：D　[由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，所以c＝2eq \r(19).] 3. 在△ABC中，若bcos A＝acos B，则△ABC是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 解析：B　[因为bcos A＝acos B， 所以b·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝a·eq \f(a2＋c2－b2,2ac). 所以b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2.所以a2＝b2. 所以a＝b.故此三角形是等腰三角形．] 4．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，cos C＝eq \f(1,3)，则边c长为　________　. 解析：因为c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋32－2× 2×3×eq \f(1,3)＝9，所以c＝3. 答案：3 $$