6.4.2 正弦定理（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步教案（高教版2021）

6.4 解三角形 6.4.2 正弦定理 第6章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课程标准 素养解读 1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形． 2．会用正弦定理解决两类基本的解三角形问题. 1.通过正弦定理的推导过程(特殊到一般)，主要培养逻辑推理的核心素养． 2．通过综合应用正、余弦定理解三角形，主要提升数学运算核心素养. 　无线电测向运动是利用无线电信号迅速、准确地测定出隐蔽电台方位，并寻找出隐蔽电台的一种体育竞技运动，也称无线电“猎狐”．如图所示，运动员在A、B两点使用测向机分别测得隐蔽电台的方向，这两个方向的交点C就是目标所在的位置，即隐蔽电台的位置． 若测得AB＝100 m，∠A＝45°，∠B＝60°，怎样计算AC和BC的长度呢？(精确到0.01 m) [知识点一]　正弦定理 1．在一个三角形中，各边与其所对角的正弦之比相等．即在任意△ABC中，用∠A，∠B，∠C分别表示三角形的三个角，用a，b，c分别表示这三个角的对边，则　eq \f(a,sin A)　＝　eq \f(b,sin B)　＝　eq \f(c,sin C)　＝2R(R为三角形外接圆的半径)． 2．正弦定理的常见变形 (1)a＝2R　sin A　，b＝2R　sin B　，c＝2R　sin C　. (2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,　2R　)，sin C＝eq \f(c,2R). (3)a∶b∶c＝　sin A∶sin B∶sin C　. (4)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝　eq \f(a,sin A)　＝　2R　. 　在△ABC中，若已知a>b，如何利用正弦定理得到sin A>sin B? 提示：由a>b，且a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，可得2Rsin A>2Rsin B，即sin A>sin B. [知识点二]　正弦定理的应用 1．已知三角形的两角和一条边，求另一角和其他两条边． 2．已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角． 3．判断三角形形状． 1．在△ABC中，已知a＝8，∠B＝60°，∠C＝75°，则b等于(　　) A．4eq \r(2) B．4eq \r(3) C．4eq \r(6) D．16 解析：C　[在△ABC中，∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝45°，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，解得b＝4eq \r(6).] 2．在△ABC中，已知a＝3，b＝2，∠A＝60°，则sin B＝(　　) A．－eq \f(2\r(2),3) B.eq \f(2\r(2),3) C．－eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),3) 解析：D　[因为eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，所以sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(2×\f(\r(3),2),3)＝eq \f(\r(3),3).] 3．在△ABC中，若∠B＝45°，∠C＝60°，c＝1，则最短边的边长是(　　) A.eq \f(\r(6),3) B.eq \f(\r(6),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2) 解析：A　[由已知得∠A＝75°，所以∠B最小，故最短边是b.由eq \f(c,sin C)＝eq \f(b,sin B)，得b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(\r(6),3).] 已知两角和一边解三角形 　在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝15°，a＝5，求b. [思路点拨]　先求∠A，再根据正弦定理求b. [解]　在△ABC中，由∠A＋∠B＋∠C＝180°，得∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－45°－15°＝120°.由正弦定理知，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B).于是，b＝eq \f(asin B,sin A) ＝eq \f(5×sin 45°,sin 120°)＝eq \f(5×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝eq \f(5\r(6),3). 　已知两角及一边解三角形的一般步骤  [变式训练] 1．在△ABC中，已知b＝14，∠A＝30°，∠B＝120°，求a. 解：根据正弦定理有eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)， 所以a＝eq \f(bsin A,sin B)＝eq \f(14sin 30°,sin 120°)＝eq \f(14\r(3),3). 已知两边和其中一边对角解三角形 　在△ABC中，a＝1，b＝eq \r(2). (1)若∠A＝30°，求∠C； (2)若∠B＝135°，求∠C. [思路点拨]　已知三角形的两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，要讨论这个角的取值范围，避免发生错误． [解]　(1)由正弦定理可知，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B).于是，sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(2)×sin 30°,1)＝eq \r(2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),2).又因为0°<∠B<180°，所以∠B＝45°或135°.当∠B＝45°时，∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－30°－45°＝105°.当∠B＝135°时，∠C＝180°－∠A－∠B ＝180°－30°－135°＝15°.因此，∠C＝105°或∠C＝15°. (2)由正弦定理可知，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B).于是，sin A ＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(1×sin 135°,\r(2))＝eq \f(1,2).又因为0°<∠A<180°，所以∠A＝30°或150°.当∠A＝150°时，∠A＋∠B＝150°＋135°＝285°>180°，不合题意．因此，∠A＝30°.从而∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－30°－135°＝15°. 已知两边和其中一边对角解三角形的方法 (1)用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解(上节课已讲)． (2)用正弦定理求解，其步骤为 ①由正弦定理求出另一边对角的正弦值． ②如果已知角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一． ③如果已知角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论． [变式训练] 2．已知在△ABC中，∠A＝30°，a＝15eq \r(2)，b＝30，求∠B. 解：根据正弦定理有eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)， 所以sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(30×sin 30°,15\r(2))＝eq \f(\r(2),2). 再由b>a知∠B>∠A，故30°<∠B<180°， 所以∠B＝45°或∠B＝135°. 正弦定理的应用 　在△ABC中，(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状． [思路点拨]　先化简，然后利用正弦定理把边转化为角，应用角之间的关系判断． [解]　因为(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)， 所以a2[sin(A－B)－sin(A＋B)] ＝－b2[sin(A－B)＋sin(A＋B)] 即a2(sin Acos B－cos Asin B－sin Acos B－cos Asin B) ＝－b2(sin Acos B－cos Asin B＋sin Acos B＋cos Asin B)， 所以a2(－2cos Asin B)＝－b2·2sin Acos B， 由正弦定理得sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B. 因为0＜A＜π，0＜B＜π，所以sin A≠0，sin B≠0. ∴sin Acos A＝sin Bcos B. 即sin 2A＝sin 2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π， ∴A＝B或A＋B＝eq \f(π,2). 所以△ABC为直角三角形或等腰三角形． 三角形形状判断的常用方法 1．利用正弦定理把角转化为边，根据边之间的关系判断． 2．利用正弦定理把边转化为角，根据角之间的关系判断． [变式训练] 3．在△ABC中，sin2A＋sin2B＝sin2C，求证：△ABC为直角三角形． 证明：∵sin2A＋sin2B＝sin2C， 由正弦定理可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2R)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2R)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2R)))2， 即a2＋b2＝c2. ∴△ABC为直角三角形． 1．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sin A∶sin B的值是(　　) A.eq \f(5,3)　　　 B.eq \f(3,5)　　　　 C.eq \f(3,7)　　　 D.eq \f(5,7) 解析：A　[根据正弦定理得eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,b)＝eq \f(5,3).] 2．在△ABC中，若AB＝eq \r(2)，B＝eq \f(2π,3)，C＝eq \f(π,4)，则AC＝(　　) A.eq \r(3) B．3eq \r(2) C．2eq \r(3) D．3eq \r(3) 解析：A　[由正弦定理可得eq \f(AC,sin B)＝eq \f(AB,sin C)，即eq \f(AC,sin\f(2π,3))＝eq \f(\r(2),sin\f(π,4))，解得AC＝eq \r(3).] 3．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：B　[由题意有eq \f(a,sin A)＝b＝eq \f(b,sin B)，则sin B＝1， 即角B为直角，故△ABC是直角三角形．] 4．在△ABC中，已知a＝eq \r(5)，sin C＝2sin A， 则c＝　________　. 解析：由正弦定理，得c＝eq \f(sin C,sin A)a＝2a＝2eq \r(5). 答案：2eq \r(5) $$ 6．4.2　正弦定理 课程标准 素养解读 1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形． 2．会用正弦定理解决两类基本的解三角形问题. 1.通过正弦定理的推导过程(特殊到一般)，主要培养逻辑推理的核心素养． 2．通过综合应用正、余弦定理解三角形，主要提升数学运算核心素养. 　无线电测向运动是利用无线电信号迅速、准确地测定出隐蔽电台方位，并寻找出隐蔽电台的一种体育竞技运动，也称无线电“猎狐”．如图所示，运动员在A、B两点使用测向机分别测得隐蔽电台的方向，这两个方向的交点C就是目标所在的位置，即隐蔽电台的位置． 若测得AB＝100 m，∠A＝45°，∠B＝60°，怎样计算AC和BC的长度呢？(精确到0.01 m) [知识点一]　正弦定理 1．在一个三角形中，各边与其所对角的正弦之比相等．即在任意△ABC中，用∠A，∠B，∠C分别表示三角形的三个角，用a，b，c分别表示这三个角的对边，则　　＝　　＝　　＝2R(R为三角形外接圆的半径)． 2．正弦定理的常见变形 (1)a＝2R　sin_A　，b＝2R　sin_B　，c＝2R　sin_C　. (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝. (3)a∶b∶c＝　sin_A∶sin_B∶sin_C　. (4)＝　　＝　2R　. 　在△ABC中，若已知a>b，如何利用正弦定理得到sin A>sin B? 提示：由a>b，且a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，可得2Rsin A>2Rsin B，即sin A>sin B. [知识点二]　正弦定理的应用 1．已知三角形的两角和一条边，求另一角和其他两条边． 2．已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角． 3．判断三角形形状． 1．在△ABC中，已知a＝8，∠B＝60°，∠C＝75°，则b等于(　　) A．4 B．4 C．4 D．16 解析：C　[在△ABC中，∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝45°，由正弦定理＝，解得b＝4.] 2．在△ABC中，已知a＝3，b＝2，∠A＝60°，则sin B＝(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：D　[因为＝，所以sin B＝＝＝.] 3．在△ABC中，若∠B＝45°，∠C＝60°，c＝1，则最短边的边长是(　　) A. B. C. D. 解析：A　[由已知得∠A＝75°，所以∠B最小，故最短边是b.由＝，得b＝＝.] 　已知两角和一边解三角形 　在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝15°，a＝5，求b. [思路点拨]　先求∠A，再根据正弦定理求b. [解]　在△ABC中，由∠A＋∠B＋∠C＝180°，得∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－45°－15°＝120°.由正弦定理知，＝.于是，b＝ ＝＝＝. 　已知两角及一边解三角形的一般步骤  [变式训练] 1．在△ABC中，已知b＝14，∠A＝30°，∠B＝120°，求a. 解：根据正弦定理有＝， 所以a＝＝＝. 　　 已知两边和其中一边对角解三角形 　在△ABC中，a＝1，b＝. (1)若∠A＝30°，求∠C； (2)若∠B＝135°，求∠C. [思路点拨]　已知三角形的两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，要讨论这个角的取值范围，避免发生错误． [解]　(1)由正弦定理可知，＝.于是，sin B＝＝＝×＝.又因为0°<∠B<180°，所以∠B＝45°或135°.当∠B＝45°时，∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－30°－45°＝105°.当∠B＝135°时，∠C＝180°－∠A－∠B ＝180°－30°－135°＝15°.因此，∠C＝105°或∠C＝15°. (2)由正弦定理可知，＝.于是，sin A ＝＝＝.又因为0°<∠A<180°，所以∠A＝30°或150°.当∠A＝150°时，∠A＋∠B＝150°＋135°＝285°>180°，不合题意．因此，∠A＝30°.从而∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－30°－135°＝15°. 已知两边和其中一边对角解三角形的方法 (1)用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解(上节课已讲)． (2)用正弦定理求解，其步骤为 ①由正弦定理求出另一边对角的正弦值． ②如果已知角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一． ③如果已知角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论． [变式训练] 2．已知在△ABC中，∠A＝30°，a＝15，b＝30，求∠B. 解：根据正弦定理有＝， 所以sin B＝＝＝. 再由b>a知∠B>∠A，故30°<∠B<180°， 所以∠B＝45°或∠B＝135°. 　正弦定理的应用 　在△ABC中，(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状． [思路点拨]　先化简，然后利用正弦定理把边转化为角，应用角之间的关系判断． [解]　因为(a2＋b2)sin(A－B) ＝(a2－b2)sin(A＋B)， 所以a2[sin(A－B)－sin(A＋B)] ＝－b2[sin(A－B)＋sin(A＋B)] 即a2(sin Acos B－cos Asin B－sin Acos B－ cos Asin B) ＝－b2(sin Acos B－cos Asin B＋sin Acos B＋ cos Asin B)， 所以a2(－2cos Asin B)＝－b2·2sin Acos B， 由正弦定理得sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B. 因为0＜A＜π，0＜B＜π，所以sin A≠0，sin B≠0. ∴sin Acos A＝sin Bcos B. 即sin 2A＝sin 2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π， ∴A＝B或A＋B＝. 所以△ABC为直角三角形或等腰三角形． 三角形形状判断的常用方法 1．利用正弦定理把角转化为边，根据边之间的关系判断． 2．利用正弦定理把边转化为角，根据角之间的关系判断． [变式训练] 3．在△ABC中，sin2A＋sin2B＝sin2C，求证：△ABC为直角三角形． 证明：∵sin2A＋sin2B＝sin2C， 由正弦定理可得2＋2＝2， 即a2＋b2＝c2. ∴△ABC为直角三角形． 1．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sin A∶sin B的值是(　　) A.　　　 B.　　　　 C.　　　 D. 解析：A　[根据正弦定理得＝＝.] 2．在△ABC中，若AB＝，B＝，C＝，则AC＝(　　) A. B．3 C．2 D．3 解析：A　[由正弦定理可得＝，即＝，解得AC＝.] 3．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：B　[由题意有＝b＝，则sin B＝1， 即角B为直角，故△ABC是直角三角形．] 4．在△ABC中，已知a＝，sin C＝2sin A， 则c＝　________　. 解析：由正弦定理，得c＝a＝2a＝2. 答案：2 [基础过关] 1．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC等于(　　) A．4　　　 B．2　　　 C.　　 D. 解析：B　[由正弦定理得＝，所以AC＝＝＝2.] 2．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝(　　) A．1 B．2 C. D. 解析：B　[∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°. 由正弦定理得c＝＝＝2.] 3．在△ABC中，若＝，则C的值为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：B　[∵＝，∴＝， 又由正弦定理＝. ∴cos C＝sin C，即C＝45°.] 4．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 解析：B　[由sin A＝sin C知a＝c，∴△ABC为等腰三角形．] 5．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝(　　) A. B. C. D. 解析：C　[由正弦定理得＝， ∴sin B＝＝＝. ∵a＞b，A＝60°，∴B为锐角， ∴cos B＝＝＝.] 6．在△ABC中，∠A＝60°，a＝4，b＝4，则∠B＝　________　. 解析：∵在△ABC中，∠A＝60°，a＝4，b＝4， ∴由＝，得sin B＝. 又a＝4>b＝4， ∴60°＝A>B，∴∠B＝45°. 答案：45° 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，a＝1，b＝，则B＝　________　. 解析：依题意，由正弦定理知＝，得出sin B＝.∵b>a，∴B>，所以B＝或. 答案：或 8．在△ABC中，A∶B＝1∶2，sin C＝1，则a∶b∶c＝　________　. 解析：由sin C＝1，∴C＝，由A∶B＝1∶2，故 A＋B＝3A＝，得A＝，B＝， 由正弦定理得，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝∶∶1 ＝1∶∶2. 答案：1∶∶2 9．在△ABC中，已知∠B＝60°，∠C＝15°，a＝＋1，求b，c，S△ABC的值． 解：由三角形的内角和为180°，可知∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠A＝180°－∠B－∠C ＝180°－60°－15°＝105°. 根据正弦定理＝＝，可得 b＝＝＝； c＝＝＝－1， 所以三角形的面积为S△ABC＝acsin B ＝×(＋1)×(－1)×＝. [能力提升] 10．在△ABC中，若b＝12，∠A＝30°，∠B＝90°， 则a＝(　　) A．2 B．2 C．4 D．6 解析：D　[由正弦定理得＝， 所以a＝＝＝6.] 11．在△ABC中，已知∠A＝45°，AB＝，BC＝2，则∠C＝(　　) A．30° B．60° C．120° D．30°或150° 解析：A　[利用正弦定理可得＝， 从而sin C＝.又AB<BC，且∠A＝45°， ∴∠C＝30°.] 12．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　　) A．b＝10，∠A＝45°，∠C＝70° B．a＝30，b＝25，∠A＝150° C．a＝7，b＝8，∠A＝98° D．a＝14，b＝16，∠A＝45° 解析：D　[对于A项，∠B＝180°－∠A－∠C＝65°，由正弦定理知只有一解；对于B项，因为a>b，所以∠A>∠B，又∠A＝150°，所以只有一解；对于C项，因为a<b，所以∠A<∠B，而∠A＝98°，所以无解；对于D项，sin B＝＝＝<1，且bsin A<a<b，所以有两解．] 13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，c＝，cos A＝，则b＝　________　. 解析：在△ABC中，因为cos A＝，所以sin A＝，在△ABC中，a＝1，c＝，由正弦定理可得：sin C＝＝，因为a<c，可得∠A＝30°，∠C＝120°，所以∠B＝30°，所以b＝a＝1. 答案：1 14．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，a＋b＝12， 则a＝　________　. 解析：因为＝，所以＝， 所以b＝a，①又因为a＋b＝12，② 由①②可知a＝12(3－)． 答案：12(3－) 15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠B＝，cos A＝，b＝. 求：(1)sin C的值；(2)△ABC的面积． 解：(1)∠A，∠B，∠C为△ABC的内角， 且∠B＝，cos A＝， 可得∠C＝－∠A，sin A＝， 则sin C＝sin＝cos A＋sin A ＝. (2)由(1)知sin A＝，sin C＝， 且∠B＝，b＝，因此在△ABC中， 由正弦定理得a＝＝. 则△ABC的面积S＝absin C ＝××× ＝. 72 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　　　　　　　　　　　　　　[基础过关] 1．将函数f(x)＝sin x的横坐标缩短为原来的倍，再将横坐标上所有点向左平移个单位，得到的函数解析式为(　　) A．f(x)＝sin B．f(x)＝sin C．f(x)＝sin D．f(x)＝sin 解析：A　[将函数f(x)＝sin x的横坐标缩短为原来的倍得到函数解析式为：f(x)＝sin 3x；再将横坐标上所有点向左平移个单位长度得到函数解析式为：f(x)＝sin 3⇒f(x)＝sin.] 2．将函数f(x)＝sin x的纵坐标伸长为原来的2倍，再将纵坐标向上平移1个单位，得到的函数解析式为(　　) A．f(x)＝2sin x＋1 B．f(x)＝sin x＋2 C．f(x)＝2sin x－2 D．f(x)＝－2sin x＋1 解析：A　[将f(x)＝sin x的纵坐标伸长为原来的2倍得到解析式为f(x)＝2sin x；再将纵坐标向上平移1个单位得到函数解析式为f(x)＝2sin x＋1.] 3．要得到函数y＝sin的图像，只需将函数y＝sin 2x的图像(　　) A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 解析：B　[根据图像“左加右减”的性质即可获得．] 4．将函数y＝2sin的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 解析：D　[函数y＝2sin的最小正周期为π，所以将函数y＝2sin的图像向右平移个单位后，得到函数y＝2sin ＝2sin的图像．] 5. 为了得到函数y＝sin的图像，可以将函数y＝sin 2x的图像(　　) A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 解析：B　[y＝sin＝sin， 故将函数y＝sin 2x的图像向右平移个单位，可得y＝sin的图像．] 6．利用五点法作函数y＝sin x，x∈[0,2π]的简图时，第三个点的坐标是　________　. 解析：根据五点法作图中起关键作用的五点的特征，五个点分别是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，所以第三个点是(π，0)． 答案：(π，0) 7．将函数y＝sin图像上所有点的横坐标保持不变，纵坐标　________　(填“伸长”或“缩短”)为原来的　________　倍，将会得函数y＝3sin的图像． 解析：A＝3>0，故将函数y＝sin图像上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝3sin的图像． 答案：伸长　3 8．将函数y＝sin的图像上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数　________　的图像． 解析：把y＝sin的图像上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，得到y＝sin的图像． 答案：y＝sin 9．函数y＝5sin＋1的图像可由y＝sin x的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解：法一　①把函数y＝sin x的图像向左平移个单位，得到函数y＝sin的图像；②把得到的图像上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图像；③把得到的图像上各点的纵坐标变为原来的5倍(横坐标不变)，得到函数y＝5sin的图像；④把得到的图像向上平移1个单位，得到函数y＝5sin＋1的图像．经过上述变换，就得到函数y＝5sin＋1的图像． 法二　①把函数y＝sin x的图像上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 2x的图像；②把得到的图像向左平移个单位，得到函数y＝sin的图像；③把得到的图像上各点的纵坐标变为原来的5倍(横坐标不变)，得到函数y＝5sin的图像；④把得到的图像向上平移1个单位，得到函数y＝5sin＋1的图像，经过上述变换，就得到函数y＝5sin＋1的图像． [能力提升] 10．将函数f(x)＝sin x－的纵坐标伸长为原来的2倍，再将纵坐标向上平移2个单位，得到的函数的解析式为(　　) A．f(x)＝sin x＋1 B．f(x)＝sin x C．f(x)＝sin x＋2 D．f(x)＝sin x－1 解析：A　[将函数f(x)＝sin x－的纵坐标伸长为原来的2倍得到函数解析式为f(x)＝sin x－1，再将纵坐标向上平移2个单位得到函数解析式为f(x)＝sin x＋1.] 11．为了得到f(x)＝sin2x＋sin xcos x－1的图像，可以将f(x)＝sin 2x的图像(　　) A．向左平移个单位，再把纵坐标所有点向下平移个单位 B．向右平移个单位，再把纵坐标所有点向下平移个单位 C．向左平移个单位，再把纵坐标所有点向下平移个单位 D．向右平移个单位，再把纵坐标所有点向下平移个单位 解析：D　[∵f(x)＝sin2x＋sin xcos x－1 ＝＋sin 2x－1＝sin 2x－cos 2x－＝sin－＝sin －.所以可由函数f(x)＝sin 2x向右平移个单位，再把纵坐标所有点向下平移个单位得到．] 12．将函数y＝sin x图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，所得函数图像的解析式为(　　) A．y＝3sin 2x B．y＝2sin 3x C．y＝3sin x D．y＝sin x 解析：C　[将函数y＝sin x图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin x的图像，纵坐标伸长为原来的3倍，得到y＝3sin x的图像．] 13．利用“五点法”作函数y＝2sin的图像时，所取的五个点的坐标为　________________　. 解析：令2x－＝0，，π，，2π得x＝，，，，，故五个点的坐标是，，，，. 答案：，，，， 14．将函数f(x)＝sin的图像向左平移个单位，再将图像上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，则所得图像对应的函数解析式为　________________　. 解析：将函数f(x)＝sin的图像向左平移个单位后，得到函数y＝sin＝sin的图像，再将图像上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图像． 答案：y＝sin 15．作出函数y＝sin在一个周期内的图像． 解：因为T＝＝＝π， 所以函数y＝sin的周期是π. 我们作函数y＝sin在上的简图． 令2x＋＝0，，π，，2π，并列表. 2x＋ 0 π 2π x － y＝sin 0 1 0 －1 0 描点作图，得到函数y＝sin，x∈的简图． 学科网（北京）股份有限公司 $$