6.4.1 三角形面积公式（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步教案（高教版2021）

　　　　　　　　　　　　　　　　　[基础过关] 1．sin 75°cos 75°＝(　　) A. B. C. D. 解析：B　[sin 75°cos 75°＝×2sin 75°cos 75°＝·sin 150°＝×＝.] 2．如果x＝，那么cos4x－sin4x＝(　　) A．0 B. C. D. 解析：B　[cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos 2x＝cos ＝.] 3．1－2sin2＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：C　[1－2sin2＝cos ＝.] 4．若sin(π－α)＝，则cos 2α＝(　　) A．－　 B. C．－ D. 解析：C　[因为sin(π－α)＝sin α＝，所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝－.] 5．已知sin＝，则cos(π－2α)的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：C　[因为sin＝cos α＝，所以cos(π－2α)＝－cos 2α＝1－2cos2α＝.] 6．sin275°－cos275°＝　________　. 解析：sin275°－cos275°＝－cos 150°＝cos 30°＝. 答案： 7．化简2＝　________　. 解析：2＝sin2－2sin cos ＋cos2＝1－sin α. 答案：1－sin α 8．计算：＝　________　. 解析：＝·＝·tan 45°＝. 答案： 9．已知sin α＝，且α是第二象限角，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值． 解：因为sin α＝，且α是第二象限角， 所以cos α＝－＝－＝－. 利用公式可得 sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－， cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝， 则tan 2α＝＝－. [能力提升] 10．若sin α＝，则cos 2α＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：B　[cos 2α＝1－2sin2α＝1－＝.] 11．已知x∈，cos x＝，则tan 2x＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：D　[∵cos x＝，sin2x＋cos2x＝1， ∴sin2x＝，sin x＝±， 又∵x∈， ∴sin x＝－，　∴tan x＝－. tan 2x＝＝＝＝－.] 12．下列各式中，值不为的是(　　) A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215° C．1－2sin215° D. 解析：A　[2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，A符合题意；cos215°－sin215°＝cos 30°＝，B不符合题意；1－2sin215°＝cos 30°＝，C不符合题意；＝＝×tan 30° ＝×＝，D不符合题意．] 13．已知sin α＝，则cos 2α的值是　________　. 解析：由二倍角公式可得cos 2α＝1－2sin2α ＝1－2×＝. 答案： 14．计算：tan 150°＋＝　________　. 解析：原式＝ ＝＝ ＝＝＝－＝－. 答案：－ 15．已知sin －2cos ＝0. (1)求tan x的值； (2)求的值． 解：(1)由sin －2cos ＝0，得tan ＝2， 所以tan x＝＝＝－. (2)原式＝ ＝ 由(1)知cos x－sin x≠0，所以上式＝×＝×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6．4　解三角形 6．4.1　三角形面积公式 课程标准 素养解读 初步掌握用三角函数求三角形面积的方法. 通过三角形的面积求解，提升逻辑推理，数学运算等核心素养. 为迎接国庆节，某职业学校对校园重新进行修整．园林工人计划利用一夹角成60°的墙角修建一个三角形花圃(如图)．若墙角的两面墙的长度分别为4 m和6 m，问所建花圃的面积是多少平方米(不考虑其他因素)? [知识点]　三角形面积公式 　在任意△ABC中，用∠A，∠B，∠C分别表示三角形的三个角，用a，b，c分别表示这三个角的对边，则可得： 三角形面积公式：S＝absin C＝　acsin B　＝　bcsin A　. 即三角形的面积等于它的任意两边及其夹角的正弦乘积的一半． 1．在△ABC中，已知a＝1，c＝2，∠B＝，则△ABC的面积等于(　　) A. B. C．1 D. 解析：B　[根据三角形面积公式得S△ABC＝acsin B＝×1×2×sin ＝.] 2．在△ABC中，已知b＝3，c＝2，sin A＝，则△ABC的面积等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：A　[S△ABC＝bcsin A＝×3×2×＝2.] 3．已知等边三角形的边长为2，则它的面积为(　　) A．1 B. C. D．2 解析：B　[等边三角形的面积为S＝×2×2×sin 60°＝2×＝.] 　求三角形的面积 　在△ABC中，∠C＝60°，b＝6，a＝4，求S△ABC的值． [思路点拨]　根据已知条件，先求出∠C的正弦值，再根据三角形的面积公式即可求解． [解]　由三角形的面积公式可得， S△ABC＝absin C＝×4×6×sin 60° ＝×4×6×＝6. 三角形的面积公式S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B．根据题设寻求两边及其夹角是解题的关键． [变式训练] 1．在△ABC中，b＝5，c＝8，∠A＝135°，求△ABC的面积S△ABC. 解：由三角形的面积公式，可得 S△ABC＝bc sin A＝×5×8×sin 135° ＝×5×8×＝10. 　三角形的面积公式的应用 　在△ABC中，a＝4，c＝2，S△ABC＝4，求∠B. [思路点拨]　根据面积公式S△ABC＝acsin B，求sin B的值，注意角的取值范围． [解]　由三角形的面积公式可得， S△ABC＝acsin B＝×4×2×sin B． 于是，4sin B＝4，即sin B＝. 又因为0°<∠B<180°，故∠B＝45°或135°. 利用面积公式求角时，要注意根据角的正弦值，讨论角的取值范围． [变式训练] 2．在锐角△ABC中，b＝8，c＝，S△ABC＝2，求∠A. 解：由三角形的面积公式可得， S△ABC＝bcsin A， 即2＝×8××sin A 解得sin A＝， 因为∠A为锐角，所以∠A＝60°. 1．在△ABC中，a＝2，c＝，∠B＝60°，则△ABC的面积为(　　) A.　　　 B.　　　　 C.　　　　D．1 解析：C　[由三角形的面积公式可得， S△ABC＝acsin B＝×2××＝.] 2．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为(　　) A. B. C. D. 解析：A　[∵cos C＝，∴sin C＝. ∴S△ABC＝absin C＝×3×2×＝.] 3．在△ABC中，∠C＝60°，a＝4，S△ABC＝6，则b＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：D　[∵S△ABC＝absin C， ∴6＝×a×b×sin 60°， 即6＝×4×b×，解得b＝6.] 4．在△ABC中，若∠B＝45°，a＝4，此三角形面积 S＝16，则c的值为　________　. 解析：因为S＝16＝acsin B＝×4csin， 所以c＝16. 答案：16 [基础过关] 1．在△ABC中，已知b＝5，c＝3，sin A＝，则△ABC的面积等于(　　) A.　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 解析：C　[根据三角形的面积公式可得， S△ABC＝bcsin A＝×5×3×＝3.] 2．在△ABC中，已知a＝2，c＝6，∠B＝，则△ABC的面积等于(　　) A. B. C. D．3 解析：D　[根据三角形的面积公式可得， S△ABC＝acsin B＝×2×6×sin ＝6×＝3.] 3．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝3，则sin A＝(　　) A. B. C. D．1 解析：A　[根据△ABC的面积公式， S△ABC＝bcsin A，可得＝×2×3×sin A， 解得sin A＝.] 4．已知△ABC中，S△ABC＝6，b＝4，∠A＝30°，则c＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：B　[∵根据三角形面积公式， S△ABC＝bcsin A，∴6＝×4×c×sin 30°， 即6＝2c×，解得c＝6.] 5．在△ABC中，AB＝4，AC＝5，cos A＝，则S△ABC＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：C　[在△ABC中，cos A＝， 所以sin A＝＝＝， 则S△ABC＝·AB·AC·sin A ＝×4×5×＝6.] 6．在△ABC中，AB＝7，BC＝8，∠B＝45°， 则S△ABC＝　________　. 解析：S△ABC＝·AB·BC·sin B ＝×7×8×＝14. 答案：14 7．在△ABC中，a＝2，B＝120°，S△ABC＝， 则c＝　________　. 解析：∵S△ABC＝acsin B， ∴＝×2×c×.解得c＝2. 答案：2 8．在锐角△ABC中，a＝2，c＝4，S△ABC＝4， 则∠B＝　________　. 解析：∵S△ABC＝acsin B， ∴4＝×2×4×sin B，解得sin B＝， ∵△ABC是锐角三角形，∴∠B＝45°. 答案：45° 9．在△ABC中，∠A＝45°，b＝6，c＝9，求S△ABC的值． 解：根据三角形的面积公式可得， S△ABC＝bcsin A＝×6×9×sin 45°＝27×＝. [能力提升] 10．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则(　　) A．∠A＝30° B．∠A＝60° C．∠A＝30°或150° D．∠A＝60°或120° 解析：D　[因为S△ABC＝bcsin A＝，所以×2×sin A＝，所以sin A＝.所以∠A＝60°或120°.] 11．已知△ABC的面积为3，∠A＝60°，b＝4，则c＝(　　) A．1 B. C. D．2 解析：C　[∵S△ABC＝bcsin A，∴3＝×4×c×sin 60°，即3＝2c×，解得c＝.] 12．在△ABC中，b＝8，c＝10，∠A＝，则△ABC的面积等于(　　) A．20 B．25 C．30 D．35 解析：A　[∵S△ABC＝bcsin A， ∴S△ABC＝×8×10×sin＝40×＝20.] 13．已知等边三角形的边长为4，则它的面积为　________　. 解析：等边三角形的面积为S＝×4×4×sin 60°＝8×＝4. 答案：4 14.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，则它的面积为　________　. 解析：过点A作AD⊥BC于点D， 则D为BC的中点， ∴BD＝1，又AB＝3， ∴AD＝＝＝2， 在Rt△ABD中，sin∠ABD＝＝. ∴S△ABC＝AB·BC·sin∠ABD ＝×3×2×＝2. 答案：2 15．在△ABC中，AB＝3，AC＝5，tan A＝2，求△ABC的面积． 解：由tan A＝2，可得＝2，即sin A＝2cos A，联立方程组可得sin2A＝.因为∠A∈(0，π)，所以sin A＝，于是△ABC的面积S＝×3×5×＝3. 72 学科网（北京）股份有限公司 $$6.4 解三角形 6.4.1 三角形面积公式 第6章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课程标准 素养解读 初步掌握用三角函数求三角形面积的方法. 通过三角形的面积求解，提升逻辑推理，数学运算等核心素养. 为迎接国庆节，某职业学校对校园重新进行修整．园林工人计划利用一夹角成60°的墙角修建一个三角形花圃(如图)．若墙角的两面墙的长度分别为4 m和6 m，问所建花圃的面积是多少平方米(不考虑其他因素)? [知识点]　三角形面积公式 　在任意△ABC中，用∠A，∠B，∠C分别表示三角形的三个角，用a，b，c分别表示这三个角的对边，则可得： 三角形面积公式：S＝eq \f(1,2)absin C＝　eq \f(1,2)acsin B　＝　eq \f(1,2)bcsin A　. 即三角形的面积等于它的任意两边及其夹角的正弦乘积的一半． 1．在△ABC中，已知a＝1，c＝2，∠B＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积等于(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C．1 D.eq \r(3) 解析：B　[根据三角形面积公式得S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×1×2×sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).] 2．在△ABC中，已知b＝3，c＝2，sin A＝eq \f(2,3)，则△ABC的面积等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：A　[S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×3×2×eq \f(2,3)＝2.] 3．已知等边三角形的边长为2，则它的面积为(　　) A．1 B.eq \r(3) C.eq \f(1,2) D．2 解析：B　[等边三角形的面积为S＝eq \f(1,2)×2×2×sin 60°＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3).] [解]　由三角形的面积公式可得， S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×4×6×sin 60° ＝eq \f(1,2)×4×6×eq \f(\r(3),2)＝6eq \r(3). 求三角形的面积 　在△ABC中，∠C＝60°，b＝6，a＝4，求S△ABC的值． [思路点拨]　根据已知条件，先求出∠C的正弦值，再根据三角形的面积公式即可求解． 三角形的面积公式S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B．根据题设寻求两边及其夹角是解题的关键． [变式训练] 1．在△ABC中，b＝5，c＝8，∠A＝135°，求△ABC的面积S△ABC. 解：由三角形的面积公式，可得 S△ABC＝eq \f(1,2)bc sin A＝eq \f(1,2)×5×8×sin 135° ＝eq \f(1,2)×5×8×eq \f(\r(2),2)＝10eq \r(2). 三角形的面积公式的应用 　在△ABC中，a＝4，c＝2eq \r(2)，S△ABC＝4，求∠B. [思路点拨]　根据面积公式S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B，求sin B的值，注意角的取值范围． [解]　由三角形的面积公式可得， S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×4×2eq \r(2)×sin B． 于是，4eq \r(2)sin B＝4，即sin B＝eq \f(\r(2),2). 又因为0°<∠B<180°，故∠B＝45°或135°. 利用面积公式求角时，要注意根据角的正弦值，讨论角的取值范围． [变式训练] 2．在锐角△ABC中，b＝8，c＝eq \f(\r(3),3)，S△ABC＝2，求∠A. 解：由三角形的面积公式可得， S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A， 即2＝eq \f(1,2)×8×eq \f(\r(3),3)×sin A 解得sin A＝eq \f(\r(3),2)， 因为∠A为锐角，所以∠A＝60°. 1．在△ABC中，a＝2，c＝eq \r(3)，∠B＝60°，则△ABC的面积为(　　) A.eq \f(\r(3),2)　　　 B.eq \f(1,2)　　　　 C.eq \f(3,2)　　　　 D．1 解析：C　[由三角形的面积公式可得， S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×2×eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3,2).] 2．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝eq \f(3,5)，则△ABC的面积为(　　) A.eq \f(12,5) B.eq \f(2\r(3),5) C.eq \f(9,5) D.eq \f(1,5) 解析：A　[∵cos C＝eq \f(3,5)，∴sin C＝eq \f(4,5). ∴S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×3×2×eq \f(4,5)＝eq \f(12,5).] 3．在△ABC中，∠C＝60°，a＝4，S△ABC＝6eq \r(3)，则b＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：D　[∵S△ABC＝eq \f(1,2)absin C， ∴6eq \r(3)＝eq \f(1,2)×a×b×sin 60°， 即6eq \r(3)＝eq \f(1,2)×4×b×eq \f(\r(3),2)，解得b＝6.] 4．在△ABC中，若∠B＝45°，a＝4，此三角形面积 S＝16eq \r(2)，则c的值为　________　. 解析：因为S＝16eq \r(2)＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×4csineq \f(π,4)， 所以c＝16. 答案：16 $$