6.3 第2课时 正弦型函数的图像和性质(二)（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步教案（高教版2021）

第二课时　正弦型函数的图像和性质(二) 课程标准 素养解读 1.理解正弦型函数的图像和性质． 2．能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像求其解析式. 通过学习，逐步提升直观想象和逻辑推理等核心素养. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 在物理学，电工和工程技术中，经常会遇到形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数)的函数，它与和角公式、二倍角公式以及正弦函数y＝sin x等三角知识有着密切的联系．下面来研究这类函数的性质． [知识点]　正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)主要有以下性质： 1．定义域为　R　. 2．最小正周期为T＝　　. 3．值域为　[－A，A]　，即最大值为　A　，最小值为　－A　. 1．函数y＝sin的最小正周期为(　　) A. B．π C．2π D. 解析：B　[最小正周期T＝＝π.] 2．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期是，则ω＝(　　) A. B．6 C．3 D．2 解析：B　[最小正周期T＝＝，解得ω＝6.] 3．函数y＝－2sin 3x是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．即奇又偶函数 D．非奇非偶函数 解析：A　[∵x∈R，令f(x)＝－2sin 3x ∴f(－x)＝－2sin(－3x)＝2sin 3x＝－f(x)． ∴y＝－2sin 3x是奇函数．] 　　　 求y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的周期 　求下列函数的最小正周期． (1)y＝2sin； (2)y＝3sin； (3)y＝3sin. [思路点拨]　利用周期T＝求解． [解]　(1)最小正周期T＝＝2π. (2)最小正周期T＝＝π. (3)最小正周期T＝＝8π. 正弦函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的周期T＝，确定ω的值，代入求解． [变式训练] 1．函数y＝sin(ω>0)的最小正周期为2，则ω的值为　________　. 解析：∵T＝＝2，∴ω＝π. 答案：π 　 求正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最值. 　求函数y＝2sin的周期，并指出当角x取何值时函数取得最大值和最小值． [思路点拨]　结合正弦函数的图像和性质可得取得最大、最小值时x的范围． [解]　函数的周期为T＝＝π. 设z＝2x＋，则x＝－. 当z＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝2sin z有最大值，最大值为2；当z＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝2sin z有最小值，最小值为－2.所以，当x＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝2sin取得最大值2；当x＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝2sin取得最小值－2. 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的值域为[－A，A]，当ωx＋φ＝－＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值为ymin＝－A，当ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z时，y取得最大值为ymax＝A. [变式训练] 2．已知函数y＝4sin，则该函数 (1)周期是　__________　； (2)最大值是　__________　，此时x的取值集合是　________________　； (3)最小值是　__________　，此时x的取值集合是　________________　. 解析：(1)∵T＝，∴周期为π. (2)当sin＝1时，ymax＝4，此时2x－ ＝＋2kπ，k∈Z，则x的取值集合是. (3)当sin＝－1时，ymin＝－4，此时2x－＝－＋2kπ，k∈Z，则x的取值集合是. 答案：(1)π　(2)4　 (3)－4　 　由图像求正弦型函数的解析式 　 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图像的一部分，求此函数的解析式． [思路点拨]　由最高点或最低点确定A的值，由周期确定ω的值，由特殊点确定φ的值. [解]　法一　逐一定参法 由图像知A＝3， T＝－＝π， ∴ω＝＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)． ∵点在函数图像上， ∴0＝3sin. ∴－×2＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝＋kπ(k∈Z)． ∵|φ|<，∴φ＝. ∴y＝3sin. 法二　待定系数法 由图像知A＝3.∵图像过点和， ∴解得 ∴y＝3sin. 给出y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)逐一定参法：如果从图像可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最值点代入公式ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，求φ. (2)待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． [变式训练] 3．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的一段图像，如图所示，则它的解析式为(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 解析：C　[易知A＝2，＝，T＝π，则ω＝2，于是函数解析式初步判定为：y＝2sin(2x＋φ)．将点代入解析式，得2＝2sin，即－＋φ＝＋2kπ，k∈Z，于是φ＝＋2kπ，k∈Z.然后选择恰当的k值，使|φ|最小，显然k＝0时，φ＝.因此，函数的解析式为y＝2sin.] 1．函数y＝3sin的最小正周期是(　　) A. B．π C．2π D．5π 解析：B　[周期T＝＝π.] 2．函数y＝4sin的最大值为(　　) A．－4 B．4 C. D．－ 解析：B　[y＝4sin的最大值为4.] 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图像如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．该函数为偶函数 B．该函数的最大值为1 C．该函数的最小正周期是4π D．φ的值是－ 解析：C　[由图像可知，该函数不关于原点、y轴对称，为非奇非偶函数，最大值为2.＝－＝π，所以最小正周期是4π.因为＝4π，所以ω＝.令×＋φ＝0，得φ＝－.] 4．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图像如图所示，则φ＝　________　. 解析：由图像知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为2＝，∴＝，∴ω＝.∵当x＝时，y有最小值－1，∴×＋φ＝2kπ－(k∈Z)． ∵－π≤φ<π，∴φ＝. 答案： [基础过关] 1．下列周期函数中，最小正周期为2π的是(　　) A．y＝sin B．y＝cos x C．y＝2cos2x D．y＝sin xcos x 解析：B　[对于A，周期T＝＝4π.对于B，周期T＝＝2π，对于C，y＝2cos2x＝cos 2x＋1，周期T＝＝π.对于D，y＝sin xcos x＝sin 2x，周期T＝＝π.] 2．函数y＝3sin的最小正周期是，则ω＝(　　) A．3 B．6 C．4 D. 解析：C　[由已知T＝＝， 解得ω＝4.] 3．函数f(x)＝2sin，当f(x)取得最小值时相应的x取值集合为(　　) A. B. C. D. 解析：D　[令2x＋＝－＋2kπ，k∈Z，解得x＝－＋kπ，k∈Z.] 4．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图像如图所示，则(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 解析：A　[由图可知，A＝2，＝－＝，所以T＝π，ω＝2.由五点作图法可知2×＋φ＝，所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin.] 5．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω>0，|φ|<)的最小正周期是π，且f(0)＝，则(　　) A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝ C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝ 解析：D　[∵＝π，∴ω＝2.∵f(0)＝，∴2sin φ＝.∴sin φ＝.∵|φ|<，∴φ＝.] 6．已知函数f(x)＝sin x－cos x，x∈，则f(x)的最小正周期是　________　，最大值是　________　，最小值是　________　. 解析：因为f(x)＝sin x－cos x＝2sin，所以f(x)的最小正周期T＝2π.因为－≤x≤，所以－≤x－≤， 故当x－＝，即x＝时，f(x)max＝1，当x－＝－，x＝－时，f(x)min＝－2. 答案：2π　1　－2 7.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图像如图所示，则ω＝　______　. 解析：由题意设函数周期为T， 则＝－＝，∴T＝. ∴ω＝＝. 答案： 8．函数y＝2sin的对称轴方程是　________　. 解析：对于函数y＝2sin，令2x－ ＝kπ＋(k∈Z)时，x＝＋(k∈Z)． 答案：x＝＋(k∈Z) 9．已知函数y＝2sin(ω>0)的最小正周期为π.求： (1)ω的值； (2)函数的最大值及取得最大值时相应的x的值． 解：(1)由T＝＝π且ω>0，得ω＝2. (2)当2x－＝＋2kπ，即x＝kπ＋π(k∈Z)时函数取得最大值，最大值为2. [能力提升] 10．函数y＝sin xcos x的最小正周期是(　　) A．2π B．π C. D. 解析：B　[y＝sin xcos x＝sin 2x，所以周期T＝＝π.] 11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图像如图所示，则该函数的解析式是(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 解析：A　[如题图所示，可得A＝2， 又－＝，T＝，可得ω＝2， 故原函数解析式为y＝2sin(2x＋φ). 又2sin＝2，得＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，又|φ|<，故φ＝， 故所求的解析式为y＝2sin.] 12．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图所示，则(　　) A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝ C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝ 解析：C　[由题中图像可知T＝(3－1)×4＝8， ∴ω＝＝.∴×1＋φ＝，∴φ＝.] 13．y＝sin x＋1的减区间为　________________　. 解析：y＝sin x＋1的减区间为 ，k∈Z. 答案：，k∈Z 14．函数y＝sin在区间上的简图是　________　.(填正确图像的序号) 解析：由题中各图像特点，知可选用－和这两个特殊值来断定．当x＝－时，y＝sin＝，当x＝时，y＝sin 0＝0.符合的只有①. 答案：① 15．小明同学用“五点法”作某个正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图像时，列表如下： x － ωx＋φ 0 π 2π Asin(ωx＋φ) 0 3 0 －3 0 根据表中数据，求： (1)实数A，ω，φ的值； (2)该函数在区间上的最大值和最小值． 解：(1)由表可知A＝3，T＝－＝π，因为T＝，故＝π，解得ω＝2，所以y＝3sin(2x＋φ)．因为函数图像过点，则3＝3sin，即sin＝1，所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，解得φ＝2kπ＋，k∈Z，又因为|φ|<，所以φ＝. (2)由(1)可知y＝3sin.因为≤x≤，所以≤2x＋≤，因此，当2x＋＝时，即x＝时，y＝－，当2x＋＝时，即x＝时，y＝，当2x＋＝时，即x＝时，y＝3，所以该函数在区间上的最大值是3，最小值是－. 72 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　[基础过关] 1．已知tan α＝3，则tan＝(　　) A．1 B. C．2 D．－2 解析：D　[tan＝＝－2.] 2.＝(　　) A．1 B. C．2 D．－ 解析：B　[原式＝tan( 75°－15°)＝tan 60°＝.] 3．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)＝(　　) A．－3 B．－ C．3 D. 解析：D　[tan(α－β)＝＝＝.] 4．已知tan α＝，则的值是(　　) A．2 B. C．－1 D．－3 解析：B　[因为tan α＝，所以tan ＝＝3，所以＝＝.] 5.＝(　　) A．－ B．－1 C．1 D. 解析：D　[＝＝tan 60°＝.] 6．△ABC中，已知tan A＝，tan B＝，则C等于　________　. 解析：∵tan A＝，tan B＝， ∴tan C＝tan(π－A－B)＝－tan(A＋B) ＝－ ＝－ ＝－1， ∵0<C<π，∴C＝. 答案： 7．已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝， 则A＋B＝　________　. 解析：∵B为锐角，sin B＝，∴cos B＝， ∴tan B＝，∴tan(A＋B)＝ ＝＝1.∵0<A＋B<π，∴A＋B＝. 答案： 8．tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝　________　. 解析：因为tan 60°＝tan(10°＋50°) ＝＝， 所以tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝. 答案： 9．已知角α∈，sin α＝. (1)求tan α的值； (2)求tan的值． 解：(1)因为角α∈，sin α＝， 所以cos α＝－＝－， 所以tan α＝＝－. (2)tan＝＝＝. [能力提升] 10．设α，β∈，且tan α＝，tan β＝，则α－β＝(　　) A. B. C.π D．－ 解析：D　[∵tan α＝，tan β＝， ∴tan(α－β)＝＝＝－1. ∵α，β∈，∴α－β∈. ∴α－β＝－.] 11．已知tan α＋tan β＋tan αtan β＝，且α，β∈，则α＋β＝(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：B　[∵tan α＋tan β＋tan αtan β＝， ∴tan α＋tan β＝(1－tan αtan β)，tan(α＋β) ＝＝， 又∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝60°.] 12．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β＝(　　) A．2 B．1 C. D．4 解析：C　[∵tan(α＋β)＝， ∴＝4，∴tan αtan β＝.] 13．已知tan＝－7，则tan α＝　________　. 解析：tan＝＝－7，解得tan α＝－. 答案：－ 14．已知tan＝，tan＝－，则tan＝　________　. 解析：tan＝tan ＝＝. 答案： 15．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，求tan(α＋β)的值． 解：因为tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两个根，所以tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，则tan(α＋β)＝＝＝－3. 学科网（北京）股份有限公司 $$6.3 正弦型函数的图像和性质 第一课时 正弦型函数的图像和性质（一） 第6章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课程标准 素养解读 1.了解正弦型函数与正弦函数之间的关系． 2．初步掌握在一个周期上画正弦型函数简图的“五点法”. 1.通过ω、φ、A的意义，提升数学抽象的核心素养． 2．通过函数y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图像间的变换关系，提升直观想象和逻辑推理等核心素养. 匀速转动的摩天轮的半径为R，转动的角速度为ω.以摩天轮的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示．若点P0表示座椅的初始位置，∠MOP0＝φ，问点P的纵坐标y与时间t之间有怎样的函数关系？ [知识点一]　正弦型函数的概念 1．定义 形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数称为正弦型函数，其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0. 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中各参数的物理意义 [知识点二]　用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，　ω≠0)一个周期内的简图　 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x －eq \f(φ,ω) －eq \f(φ,ω)＋eq \f(π,2ω) eq \f(π－φ,ω) eq \f(3π,2ω)－eq \f(φ,ω) eq \f(2π－φ,ω) ωx＋φ 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 [知识点三]　A、ω、φ对y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图像的影响 1．A对y＝Asin x(A>0且A≠1)图像的影响 y＝sin x的图像eq \o(――――――――――→,\s\up18(纵坐标变为原来的A倍),\s\do16(横坐标不变))y＝Asin x. 3．φ对y＝sin(x＋φ)(φ≠0)图像的影响 y＝sin xeq \o(――――――――――――→,\s\up18(向左φ>0时或向右φ<0时),\s\do16(平移|φ|个单位))y＝sin(x＋φ)． 注意：对A，ω，φ的三点说明(A>0，ω>0) (1)A越大，函数图像的最大值越大，最大值与A是正比例关系． (2)ω越大，函数图像的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时，函数图像向左平移，φ小于0时，函数图像向右平移，即“左加右减”． 　函数y＝sin ωx(ω>0)的图像是否可以通过y＝sin x的图像得到？ 提示：可以，只要横向“伸”或“缩”eq \f(1,ω)倍y＝sin x的图像即可． 4．函数y＝sin x的图像经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像的两种途径 　由y＝sin ωx的图像怎样得到y＝sin(ωx＋φ)的图像. 提示：因为y＝sin(ωx＋φ)＝sin[ωeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(φ,ω)))]，所以由y＝sin ωx的图像向左或向右平移eq \f(|φ|,ω)个单位长度得到y＝sin(ωx＋φ)的图像． 1．要得到函数y＝3sin x的图像，只需将函数y＝sin x的图像(　　) A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位 C．横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍 D．纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍 解析：C　[函数y＝sin x的图像的所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，可得y＝3sin x的图像．] 2．要得到函数y＝sin eq \f(1,3)x的图像，只需将y＝sin x的图像(　　) A．横坐标不变，纵坐标变为原来的eq \f(1,3)倍 B．横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍 C．纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍 D．纵坐标不变，横坐标变为原来的eq \f(1,3)倍 解析：C　[函数y＝sin eq \f(1,3)x的图像，由y＝sin x的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的eq \f(1,\f(1,3))＝3倍得到．] 3．要得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图像，只要将函数y＝sin x的图像(　　) A．向左平移eq \f(π,3)个单位 B．向右平移eq \f(π,3)个单位 C．向左平移eq \f(π,6)个单位 D．向右平移eq \f(π,6)个单位 解析：A　[将函数y＝sin x的图像上所有点向左平移eq \f(π,3)个单位，就可得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图像．] 用“五点法”画 y＝Asin(ωx＋φ)的图像 　利用“五点法”作出正弦型函数y＝ sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))在一个周期内的简图． [思路点拨]　由“五点法”的原则可知点的序号与式子的关系是：“第一点”为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图像曲线的最高点)为ωx＋φ＝eq \f(π,2)；“第三点”为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图像曲线的最低点)为ωx＋φ＝eq \f(3π,2)；“第五点”为ωx＋φ＝2π. [解]　在函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))中，ω＝2， 因此周期为T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2)＝π. 为求出图像上的五个关键点的横坐标，令z＝2x＋eq \f(π,3)，分别取z＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π，我们找出一个周期π内五个特殊的点，求出对应的x的值与函数y的值，如下表所示. x －eq \f(π,6) eq \f(π,12) eq \f(π,3) eq \f(7π,12) eq \f(5π,6) z＝2x＋eq \f(π,3) 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) 0 1 0 －1 0 地描出对应的五个关键点：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，1))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，－1))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，0)). 用光滑的曲线连接各点，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))在一个周期内的图像，如图所示． (1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx＋φ分别为0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π，解出x，从而确定这五点． (2)作给定区间上y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图像． [变式训练] 1．利用五点法作出函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))在一个周期内的草图． 解：依次令eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π，列出下表. eq \f(x,2)－eq \f(π,3) 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π x eq \f(2π,3) eq \f(5π,3) eq \f(8π,3) eq \f(11π,3) eq \f(14π,3) y 0 3 0 －3 0 描点作图，如图所示． 平移变换 　函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的图像可以看作是由y＝sin x的图像经过怎样的变换而得到的？ [思路点拨]　利用“左加右减”规律平移 [解]　函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的图像，可以看作是把曲线y＝sin x上所有的点向右平移eq \f(π,6) 个单位而得到的． 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数，再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω)))个单位． 　[变式训练] 2．要得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图像，只要将函数y＝sin 2x的图像(　　) A．向左平移eq \f(π,3)个单位 B．向右平移eq \f(π,3)个单位 C．向左平移eq \f(π,6)个单位 D．向右平移eq \f(π,6)个单位 解析：C　[因为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))))， 所以将函数y＝sin 2x的图像向左平移eq \f(π,6)个单位，就可得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图像．] 三角函数图像的伸缩变换 　有下列四种变换方式，其中能将正弦函数y＝sin x的图像变为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图像的是(　　) A．向左平移eq \f(π,4)个单位，再将横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变) B．横坐标变为原来的2(纵坐标不变)，再向左平移eq \f(π,8)个单位 C．横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，再向左平移eq \f(π,4)个单位 D．向左平移eq \f(π,8)个单位，再将横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变) [思路点拨]　分清平移和伸缩变换的先后顺序． [解析]　A中向左平移eq \f(π,4)个单位，再将横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，则正弦函数y＝sin x的图像变为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图像；B中横坐标变为原来的2(纵坐标不变)，再向左平移eq \f(π,8)个单位，正弦函数y＝sin x的图像变为y＝sin eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,8)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,16)))的图像； C中横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，再向左平移eq \f(π,4)个单位，正弦函数y＝sin x的图像变为y＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))的图像；D中向左平移eq \f(π,8)个单位，再将横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，正弦函数y＝sin x的图像变为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,8)))的图像．因此只有A符合题意． [答案]　A 三角函数图像的伸缩变换 (1)横向伸缩：已知ω>0，横向伸缩规律为“伸缩倍数乘倒数”：将函数y＝sin x图像上各点的横坐标伸长(当0<ω<1时)或缩短(当ω>1时)到原来的eq \f(1,ω)倍(纵坐标不变)，得到的函数图像的解析式为y＝sin ωx. (2)纵向伸缩：已知A>0，纵向伸缩规律为“伸缩倍数乘倍数”：将函数y＝sin x图像上各点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)，得到的函数图像的解析式为y＝Asin x. [变式训练] 3．由y＝sin x的图像作怎样的变换得到y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的图像？ 1．要得到函数y＝sin(x＋1)的图像，只需将函数y＝sin x的图像上所有的点(　　) A．向左平行移动1个单位 B．向右平行移动1个单位 C．向左平行移动π个单位 D．向右平行移动π个单位 解析：A　[只需把函数y＝sin x的图像上所有的点向左平行移动1个单位，便得函数y＝sin(x＋1)的图像．] 2．将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图像上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的eq \f(1,2)倍，可得函数的图像为(　　) A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6))) B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))) C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) D．y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) 解析：C　[把y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图像上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的eq \f(1,2)倍，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图像．] 3．要得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))的图像，只需将函数y＝sin 4x的图像(　　) A．向左平移eq \f(π,12)个单位 B．向右平移eq \f(π,12)个单位 C．向左平移eq \f(π,3)个单位 D．向右平移eq \f(π,3)个单位 解析：A　[y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))＝sin 4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))，故只需将y＝sin 4x的图像向左平移eq \f(π,12)个单位．] 4．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的频率是eq \f(1,4π)，则 ω＝　________　. 解析：由题可知eq \f(ω,2π)＝eq \f(1,4π)，∴ω＝eq \f(1,2). 答案：eq \f(1,2) $$