6.3 第1课时 正弦型函数的图像和性质(一)（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步教案（高教版2021）

6.3 正弦型函数的图像和性质 第二课时 正弦型函数的图像和性质（二） 第6章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课程标准 素养解读 1.理解正弦型函数的图像和性质． 2．能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像求其解析式. 通过学习，逐步提升直观想象和逻辑推理等核心素养. 在物理学，电工和工程技术中，经常会遇到形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数)的函数，它与和角公式、二倍角公式以及正弦函数y＝sin x等三角知识有着密切的联系．下面来研究这类函数的性质． [知识点]　正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)主要有以下性质： 1．定义域为　R　. 2．最小正周期为T＝　eq \f(2π,ω)　. 3．值域为　[－A，A]　，即最大值为　A　，最小值为　－A　. 1．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期为(　　) A.eq \f(π,2) B．π C．2π D.eq \f(π,3) 解析：B　[最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.] 2．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的最小正周期是eq \f(π,3)，则ω＝(　　) A.eq \f(π,3) B．6 C．3 D．2 解析：B　[最小正周期T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(π,3)，解得ω＝6.] 3．函数y＝－2sin 3x是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．即奇又偶函数 D．非奇非偶函数 解析：A　[∵x∈R，令f(x)＝－2sin 3x ∴f(－x)＝－2sin(－3x)＝2sin 3x＝－f(x)． ∴y＝－2sin 3x是奇函数．] 求y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的周期 　求下列函数的最小正周期． (1)y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))； (2)y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))； (3)y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x＋\f(π,5))). [思路点拨]　利用周期T＝eq \f(2π,ω)求解． [解]　(1)最小正周期T＝eq \f(2π,1)＝2π. (2)最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π. (3)最小正周期T＝eq \f(2π,\f(1,4))＝8π. 正弦函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的周期T＝eq \f(2π,ω)，确定ω的值，代入求解． [变式训练] 1．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的最小正周期为2，则ω的值为　________　. 解析：∵T＝eq \f(2π,ω)＝2，∴ω＝π. 答案：π 求正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的最值. 　求函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的周期，并指出当角x取何值时函数取得最大值和最小值． [思路点拨]　结合正弦函数的图像和性质可得取得最大、最小值时x的范围． [解]　函数的周期为T＝eq \f(2π,2)＝π. 设z＝2x＋eq \f(π,6)，则x＝eq \f(z,2)－eq \f(π,12). 当z＝2kπ＋eq \f(π,2)，即x＝kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)时，函数y＝2sin z有最大值，最大值为2； 当z＝2kπ＋eq \f(3π,2)，即x＝kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)时，函数y＝2sin z有最小值，最小值为－2.所以，当x＝kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)时，函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))取得最大值2；当x＝kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)时，函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))取得最小值－2. 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的值域为[－A，A]，当ωx＋φ＝－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值为ymin＝－A，当ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，y取得最大值为ymax＝A. [变式训练] 2．已知函数y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，则该函数 (1)周期是　__________　； (2)最大值是　__________　，此时x的取值集合是　________________　； (3)最小值是　__________　，此时x的取值集合是　________________　. 解析：(1)∵T＝eq \f(2π,ω)，∴周期为π. (2)当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＝1时，ymax＝4，此时2x－eq \f(π,6) ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，则x的取值集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(π,3)＋kπ，k∈Z)). (3)当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＝－1时，ymin＝－4，此时2x－eq \f(π,6)＝－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，则x的取值集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝－\f(π,6)＋kπ，k∈Z)). 答案：(1)π　(2)4　eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(π,3)＋kπ，k∈Z)) (3)－4　eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝－\f(π,6)＋kπ，k∈Z)) 由图像求正弦型函数的解析式 　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq \f(π,2))的图像的一部分，求此函数的解析式． [思路点拨]　由最高点或最低点确定A的值，由周期确定ω的值，由特殊点确定φ的值. [解]　法一　逐一定参法 由图像知A＝3， T＝eq \f(5π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π， ∴ω＝eq \f(2π,T)＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)． ∵点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))在函数图像上， ∴0＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)×2＋φ)). ∴－eq \f(π,6)×2＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝eq \f(π,3)＋kπ(k∈Z)． ∵|φ|<eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,3). ∴y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))). 法二　待定系数法 由图像知A＝3.∵图像过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，0))， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(πω,3)＋φ＝π，,\f(5πω,6)＋φ＝2π，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ω＝2，,φ＝\f(π,3).)) ∴y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))). 给出y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)逐一定参法：如果从图像可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最值点代入公式ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，求φ. (2)待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． [变式训练] 3．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的一段图像，如图所示，则它的解析式为(　　) A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))) B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4))) C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3))) D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12))) 解析：C　[易知A＝2，eq \f(T,2)＝eq \f(π,2)，T＝π，则ω＝2，于是函数解析式初步判定为：y＝2sin(2x＋φ)．将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，2))代入解析式，得2＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋φ))，即－eq \f(π,6)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，于是φ＝eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z.然后选择恰当的k值，使|φ|最小，显然k＝0时，φ＝eq \f(2π,3).因此，函数的解析式为y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3))).] 1．函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))的最小正周期是(　　) A.eq \f(π,2) B．π C．2π D．5π 解析：B　[周期T＝eq \f(2π,2)＝π.] 2．函数y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的最大值为(　　) A．－4 B．4 C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2) 解析：B　[y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的最大值为4.] 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq \f(π,2))的部分图像如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．该函数为偶函数 B．该函数的最大值为1 C．该函数的最小正周期是4π D．φ的值是－eq \f(π,3) 解析：C　[由图像可知，该函数不关于原点、y轴对称，为非奇非偶函数，最大值为2.eq \f(T,4)＝eq \f(π,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))＝π，所以最小正周期是4π.因为eq \f(2π,ω)＝4π，所以ω＝eq \f(1,2).令eq \f(1,2)×eq \f(π,3)＋φ＝0，得φ＝－eq \f(π,6).] 4．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图像如图所示，则φ＝　________　. 解析：由图像知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(3π,4)))＝eq \f(5π,2)，∴eq \f(2π,ω)＝eq \f(5π,2)，∴ω＝eq \f(4,5).∵当x＝eq \f(3π,4)时，y有最小值－1，∴eq \f(4,5)×eq \f(3π,4)＋φ＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)． ∵－π≤φ<π，∴φ＝eq \f(9π,10). 答案：eq \f(9π,10) $$ 6．3　正弦型函数的图像和性质　 第一课时　正弦型函数的图像和性质(一) 课程标准 素养解读 1.了解正弦型函数与正弦函数之间的关系． 2．初步掌握在一个周期上画正弦型函数简图的“五点法”. 1.通过ω、φ、A的意义，提升数学抽象的核心素养． 2．通过函数y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图像间的变换关系，提升直观想象和逻辑推理等核心素养. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 匀速转动的摩天轮的半径为R，转动的角速度为ω.以摩天轮的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示．若点P0表示座椅的初始位置，∠MOP0＝φ，问点P的纵坐标y与时间t之间有怎样的函数关系？ [知识点一]　正弦型函数的概念 1．定义 形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数称为正弦型函数，其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0. 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中各参数的物理意义 [知识点二]　用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，　 ω≠0)一个周期内的简图　 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 [知识点三]　A、ω、φ对y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图像的影响 1．A对y＝Asin x(A>0且A≠1)图像的影响 y＝sin x的图像y＝Asin x. 3．φ对y＝sin(x＋φ)(φ≠0)图像的影响 y＝sin xy＝sin(x＋φ)． 注意：对A，ω，φ的三点说明(A>0，ω>0) (1)A越大，函数图像的最大值越大，最大值与A是正比例关系． (2)ω越大，函数图像的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时，函数图像向左平移，φ小于0时，函数图像向右平移，即“左加右减”． 　函数y＝sin ωx(ω>0)的图像是否可以通过y＝sin x的图像得到？ 提示：可以，只要横向“伸”或“缩”倍y＝sin x的图像即可． 4．函数y＝sin x的图像经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像的两种途径 　由y＝sin ωx的图像怎样得到y＝sin(ωx＋φ)的图像. 提示：因为y＝sin(ωx＋φ)＝sin[ω]，所以由y＝sin ωx的图像向左或向右平移个单位长度得到y＝sin(ωx＋φ)的图像． 1．要得到函数y＝3sin x的图像，只需将函数y＝sin x的图像(　　) A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位 C．横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍 D．纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍 解析：C　[函数y＝sin x的图像的所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，可得y＝3sin x的图像．] 2．要得到函数y＝sin x的图像，只需将y＝sin x的图像(　　) A．横坐标不变，纵坐标变为原来的倍 B．横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍 C．纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍 D．纵坐标不变，横坐标变为原来的倍 解析：C　[函数y＝sin x的图像，由y＝sin x的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的＝3倍得到．] 3．要得到函数y＝sin的图像，只要将函数y＝sin x的图像(　　) A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 解析：A　[将函数y＝sin x的图像上所有点向左平移个单位，就可得到函数y＝sin的图像．] 　　　用“五点法”画 y＝Asin(ωx＋φ)的图像 　利用“五点法”作出正弦型函数y＝ sin在一个周期内的简图． [思路点拨]　由“五点法”的原则可知点的序号与式子的关系是：“第一点”为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图像曲线的最高点)为ωx＋φ＝；“第三点”为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图像曲线的最低点)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π. [解]　在函数y＝sin中，ω＝2， 因此周期为T＝＝＝π. 为求出图像上的五个关键点的横坐标，令z＝2x＋，分别取z＝0，，π，，2π，我们找出一个周期π内五个特殊的点，求出对应的x的值与函数y的值，如下表所示. x － z＝2x＋ 0 π 2π y＝sin 0 1 0 －1 0 以表中每组(x，y)为坐标描点，如图所示，在直角坐标系中比较精确地描出对应的五个关键点：，，，，. 用光滑的曲线连接各点，得到函数y＝sin在一个周期内的图像，如图所示． (1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx＋φ分别为0，，π，，2π，解出x，从而确定这五点． (2)作给定区间上y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图像． [变式训练] 1．利用五点法作出函数y＝3sin在一个周期内的草图． 解：依次令－＝0，，π，，2π，列出下表. － 0 π 2π x y 0 3 0 －3 0 描点作图，如图所示． 　平移变换 　函数y＝sin的图像可以看作是由y＝sin x的图像经过怎样的变换而得到的？ [思路点拨]　利用“左加右减”规律平移 [解]　函数y＝sin的图像，可以看作是把曲线y＝sin x上所有的点向右平移 个单位而得到的． 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数，再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位． 　[变式训练] 2．要得到函数y＝sin的图像，只要将函数y＝sin 2x的图像(　　) A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 解析：C　[因为y＝sin＝sin， 所以将函数y＝sin 2x的图像向左平移个单位，就可得到函数y＝sin的图像．] 　三角函数图像的伸缩变换 　有下列四种变换方式，其中能将正弦函数y＝sin x的图像变为y＝sin的图像的是(　　) A．向左平移个单位，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变) B．横坐标变为原来的2(纵坐标不变)，再向左平移个单位 C．横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位 D．向左平移个单位，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变) [思路点拨]　分清平移和伸缩变换的先后顺序． [解析]　A中向左平移个单位，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，则正弦函数y＝sin x的图像变为y＝sin的图像；B中横坐标变为原来的2(纵坐标不变)，再向左平移个单位，正弦函数y＝sin x的图像变为y＝sin ＝sin的图像；C中横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位，正弦函数y＝sin x的图像变为y＝sin 2＝sin的图像；D中向左平移个单位，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，正弦函数y＝sin x的图像变为y＝sin的图像．因此只有A符合题意． [答案]　A 三角函数图像的伸缩变换 (1)横向伸缩：已知ω>0，横向伸缩规律为“伸缩倍数乘倒数”：将函数y＝sin x图像上各点的横坐标伸长(当0<ω<1时)或缩短(当ω>1时)到原来的倍(纵坐标不变)，得到的函数图像的解析式为y＝sin ωx. (2)纵向伸缩：已知A>0，纵向伸缩规律为“伸缩倍数乘倍数”：将函数y＝sin x图像上各点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)，得到的函数图像的解析式为y＝Asin x. [变式训练] 3．由y＝sin x的图像作怎样的变换得到y＝2sin的图像？ 1．要得到函数y＝sin(x＋1)的图像，只需将函数y＝sin x的图像上所有的点(　　) A．向左平行移动1个单位 B．向右平行移动1个单位 C．向左平行移动π个单位 D．向右平行移动π个单位 解析：A　[只需把函数y＝sin x的图像上所有的点向左平行移动1个单位，便得函数y＝sin(x＋1)的图像．] 2．将函数y＝2sin的图像上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍，可得函数的图像为(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝sin D．y＝4sin 解析：C　[把y＝2sin的图像上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍，得到y＝sin的图像．] 3．要得到函数y＝sin的图像，只需将函数y＝sin 4x的图像(　　) A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 解析：A　[y＝sin＝sin 4，故只需将y＝sin 4x的图像向左平移个单位．] 4．函数y＝sin(ω>0)的频率是，则 ω＝　________　. 解析：由题可知＝，∴ω＝. 答案： 　　　　　　　　　　　　　　[基础过关] 1．将函数f(x)＝sin x的横坐标缩短为原来的倍，再将横坐标上所有点向左平移个单位，得到的函数解析式为(　　) A．f(x)＝sin B．f(x)＝sin C．f(x)＝sin D．f(x)＝sin 解析：A　[将函数f(x)＝sin x的横坐标缩短为原来的倍得到函数解析式为：f(x)＝sin 3x；再将横坐标上所有点向左平移个单位长度得到函数解析式为：f(x)＝sin 3⇒f(x)＝sin.] 2．将函数f(x)＝sin x的纵坐标伸长为原来的2倍，再将纵坐标向上平移1个单位，得到的函数解析式为(　　) A．f(x)＝2sin x＋1 B．f(x)＝sin x＋2 C．f(x)＝2sin x－2 D．f(x)＝－2sin x＋1 解析：A　[将f(x)＝sin x的纵坐标伸长为原来的2倍得到解析式为f(x)＝2sin x；再将纵坐标向上平移1个单位得到函数解析式为f(x)＝2sin x＋1.] 3．要得到函数y＝sin的图像，只需将函数y＝sin 2x的图像(　　) A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 解析：B　[根据图像“左加右减”的性质即可获得．] 4．将函数y＝2sin的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 解析：D　[函数y＝2sin的最小正周期为π，所以将函数y＝2sin的图像向右平移个单位后，得到函数y＝2sin ＝2sin的图像．] 5. 为了得到函数y＝sin的图像，可以将函数y＝sin 2x的图像(　　) A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 解析：B　[y＝sin＝sin， 故将函数y＝sin 2x的图像向右平移个单位，可得y＝sin的图像．] 6．利用五点法作函数y＝sin x，x∈[0,2π]的简图时，第三个点的坐标是　________　. 解析：根据五点法作图中起关键作用的五点的特征，五个点分别是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，所以第三个点是(π，0)． 答案：(π，0) 7．将函数y＝sin图像上所有点的横坐标保持不变，纵坐标　________　(填“伸长”或“缩短”)为原来的　________　倍，将会得函数y＝3sin的图像． 解析：A＝3>0，故将函数y＝sin图像上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝3sin的图像． 答案：伸长　3 8．将函数y＝sin的图像上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数　________　的图像． 解析：把y＝sin的图像上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，得到y＝sin的图像． 答案：y＝sin 9．函数y＝5sin＋1的图像可由y＝sin x的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解：法一　①把函数y＝sin x的图像向左平移个单位，得到函数y＝sin的图像；②把得到的图像上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图像；③把得到的图像上各点的纵坐标变为原来的5倍(横坐标不变)，得到函数y＝5sin的图像；④把得到的图像向上平移1个单位，得到函数y＝5sin＋1的图像．经过上述变换，就得到函数y＝5sin＋1的图像． 法二　①把函数y＝sin x的图像上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 2x的图像；②把得到的图像向左平移个单位，得到函数y＝sin的图像；③把得到的图像上各点的纵坐标变为原来的5倍(横坐标不变)，得到函数y＝5sin的图像；④把得到的图像向上平移1个单位，得到函数y＝5sin＋1的图像，经过上述变换，就得到函数y＝5sin＋1的图像． [能力提升] 10．将函数f(x)＝sin x－的纵坐标伸长为原来的2倍，再将纵坐标向上平移2个单位，得到的函数的解析式为(　　) A．f(x)＝sin x＋1 B．f(x)＝sin x C．f(x)＝sin x＋2 D．f(x)＝sin x－1 解析：A　[将函数f(x)＝sin x－的纵坐标伸长为原来的2倍得到函数解析式为f(x)＝sin x－1，再将纵坐标向上平移2个单位得到函数解析式为f(x)＝sin x＋1.] 11．为了得到f(x)＝sin2x＋sin xcos x－1的图像，可以将f(x)＝sin 2x的图像(　　) A．向左平移个单位，再把纵坐标所有点向下平移个单位 B．向右平移个单位，再把纵坐标所有点向下平移个单位 C．向左平移个单位，再把纵坐标所有点向下平移个单位 D．向右平移个单位，再把纵坐标所有点向下平移个单位 解析：D　[∵f(x)＝sin2x＋sin xcos x－1 ＝＋sin 2x－1＝sin 2x－cos 2x－＝sin－＝sin －.所以可由函数f(x)＝sin 2x向右平移个单位，再把纵坐标所有点向下平移个单位得到．] 12．将函数y＝sin x图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，所得函数图像的解析式为(　　) A．y＝3sin 2x B．y＝2sin 3x C．y＝3sin x D．y＝sin x 解析：C　[将函数y＝sin x图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin x的图像，纵坐标伸长为原来的3倍，得到y＝3sin x的图像．] 13．利用“五点法”作函数y＝2sin的图像时，所取的五个点的坐标为　________________　. 解析：令2x－＝0，，π，，2π得x＝，，，，，故五个点的坐标是，，，，. 答案：，，，， 14．将函数f(x)＝sin的图像向左平移个单位，再将图像上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，则所得图像对应的函数解析式为　________________　. 解析：将函数f(x)＝sin的图像向左平移个单位后，得到函数y＝sin＝sin的图像，再将图像上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图像． 答案：y＝sin 15．作出函数y＝sin在一个周期内的图像． 解：因为T＝＝＝π， 所以函数y＝sin的周期是π. 我们作函数y＝sin在上的简图． 令2x＋＝0，，π，，2π，并列表. 2x＋ 0 π 2π x － y＝sin 0 1 0 －1 0 描点作图，得到函数y＝sin，x∈的简图． 72 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．计算sin 15°＋cos 15°的结果等于(　　) A. B. C. D. 解析：B　[sin 15°＋cos 15°＝sin 15°cos 30°＋cos 15°sin 30°＝sin(15°＋30°)＝sin 45°＝.] 2．计算sin 21°cos 39°＋sin 69°sin 39°的结果等于(　　) A. B. C. D．－ 解析：B　[sin 21°cos 39°＋sin 69°sin 39° ＝sin 21°cos 39°＋cos 21°sin 39°＝sin(21°＋39°) ＝sin 60°＝.] 3．sin 62°cos 32°＋sin 32°cos 118°＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：B　[sin 62°cos 32°＋sin 32°cos 118° ＝sin 62°cos 32°＋sin 32°cos(180°－62°) ＝sin 62°cos 32°－sin 32°cos 62°＝sin(62°－32°) ＝sin 30°＝.] 4．sin 7°cos 37°－sin 83°sin 37°的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：B　[原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37° ＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－.] 5．已知θ为锐角，且sin θ＝，则sin(θ＋45°)＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：A　[∵θ为锐角，且sin θ＝， ∴cos θ＝＝， ∴sin(θ＋45°)＝(sin θ＋cos θ) ＝×＝.] 6．sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝　________　. 解析：原式＝sin 20°(－cos 70°)＋(－cos 20°)sin 70° ＝－(sin 20°cos 70°＋cos 20°sin 70°) ＝－sin 90°＝－1. 答案：－1 7．求值：cos ＋sin ＝　________　. 解析：原式＝sin cos ＋cos sin ＝sin＝sin ＝. 答案： 8．若sin cos －sin cos ＝sin x，请写出一个符合要求的x＝　________　. 解析：由两角差的正弦公式知，sin cos －sin ·cos ＝sin＝sin ，所以x＝2kπ＋或2kπ＋，k∈Z.故答案可为(答案不唯一)． 答案：(答案不唯一) 9．已知α、β为锐角，cos α＝，cos β＝，求α－β的值． 解：因为cos α＝，cos β＝，α、β∈， 所以sin α＝＝， sin β＝＝， 于是sin(α－β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝×－×＝－， 因为－<α－β<∴α－β＝－. [能力提升] 10．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　) A．－　 B. C．－ D. 解析：D　[原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝.] 11．已知α∈，sin α＝，则sin＝(　　) A. B. C. D. 解析：D　[因为sin α＝，α∈，所以cos α＝，所以sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝.] 12．若锐角α、β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是(　　) A. B. C. D. 解析：C　[∵cos α＝，cos(α＋β)＝，α、β∈， ∴0<α＋β<π，∴sin α＝，sin(α＋β)＝. ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－ cos(α＋β)sin α＝×－×＝.] 13．已知0<α<<β<π，sin α＝，sin(α＋β)＝， 则sin β＝　________　. 解析：由0<α<<β<π，得<α＋β<， 又sin α＝，sin(α＋β)＝， ∴cos α＝，cos(α＋β)＝－， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α] ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝×－×＝. 答案： 14．已知<α<β<π，且sin α＝，sin β＝，则α＋β＝　________　. 解析：因为<α<β<π，sin α＝，sin β＝， 所以cos α＝－＝－＝－， cos β＝－＝－＝－， 于是sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝×＋×＝－. 因为<α<β<π，所以π<α＋β<2π， 于是α＋β＝或. 答案：或 15．已知<α<，0<β<，cos＝－， sin＝，求sin(α＋β)的值． 解：因为<α<，所以<＋α<π. 因为cos＝－， 所以sin＝. 因为0<β<， 所以<＋β<π. 因为sin＝， 所以cos＝－. 因为＋＝π＋α＋β， 所以sin(α＋β)＝－sin[π＋(α＋β)] ＝－sin ＝－sincos－ cossin ＝－×－×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$6.3 正弦型函数的图像和性质 第一课时 正弦型函数的图像和性质（一） 第6章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课程标准 素养解读 1.了解正弦型函数与正弦函数之间的关系． 2．初步掌握在一个周期上画正弦型函数简图的“五点法”. 1.通过ω、φ、A的意义，提升数学抽象的核心素养． 2．通过函数y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图像间的变换关系，提升直观想象和逻辑推理等核心素养. 匀速转动的摩天轮的半径为R，转动的角速度为ω.以摩天轮的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示．若点P0表示座椅的初始位置，∠MOP0＝φ，问点P的纵坐标y与时间t之间有怎样的函数关系？ [知识点一]　正弦型函数的概念 1．定义 形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数称为正弦型函数，其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0. 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中各参数的物理意义 [知识点二]　用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，　ω≠0)一个周期内的简图　 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x －eq \f(φ,ω) －eq \f(φ,ω)＋eq \f(π,2ω) eq \f(π－φ,ω) eq \f(3π,2ω)－eq \f(φ,ω) eq \f(2π－φ,ω) ωx＋φ 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 [知识点三]　A、ω、φ对y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图像的影响 1．A对y＝Asin x(A>0且A≠1)图像的影响 y＝sin x的图像eq \o(――――――――――→,\s\up18(纵坐标变为原来的A倍),\s\do16(横坐标不变))y＝Asin x. 3．φ对y＝sin(x＋φ)(φ≠0)图像的影响 y＝sin xeq \o(――――――――――――→,\s\up18(向左φ>0时或向右φ<0时),\s\do16(平移|φ|个单位))y＝sin(x＋φ)． 注意：对A，ω，φ的三点说明(A>0，ω>0) (1)A越大，函数图像的最大值越大，最大值与A是正比例关系． (2)ω越大，函数图像的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时，函数图像向左平移，φ小于0时，函数图像向右平移，即“左加右减”． 　函数y＝sin ωx(ω>0)的图像是否可以通过y＝sin x的图像得到？ 提示：可以，只要横向“伸”或“缩”eq \f(1,ω)倍y＝sin x的图像即可． 4．函数y＝sin x的图像经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像的两种途径 　由y＝sin ωx的图像怎样得到y＝sin(ωx＋φ)的图像. 提示：因为y＝sin(ωx＋φ)＝sin[ωeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(φ,ω)))]，所以由y＝sin ωx的图像向左或向右平移eq \f(|φ|,ω)个单位长度得到y＝sin(ωx＋φ)的图像． 1．要得到函数y＝3sin x的图像，只需将函数y＝sin x的图像(　　) A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位 C．横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍 D．纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍 解析：C　[函数y＝sin x的图像的所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，可得y＝3sin x的图像．] 2．要得到函数y＝sin eq \f(1,3)x的图像，只需将y＝sin x的图像(　　) A．横坐标不变，纵坐标变为原来的eq \f(1,3)倍 B．横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍 C．纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍 D．纵坐标不变，横坐标变为原来的eq \f(1,3)倍 解析：C　[函数y＝sin eq \f(1,3)x的图像，由y＝sin x的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的eq \f(1,\f(1,3))＝3倍得到．] 3．要得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图像，只要将函数y＝sin x的图像(　　) A．向左平移eq \f(π,3)个单位 B．向右平移eq \f(π,3)个单位 C．向左平移eq \f(π,6)个单位 D．向右平移eq \f(π,6)个单位 解析：A　[将函数y＝sin x的图像上所有点向左平移eq \f(π,3)个单位，就可得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图像．] 用“五点法”画 y＝Asin(ωx＋φ)的图像 　利用“五点法”作出正弦型函数y＝ sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))在一个周期内的简图． [思路点拨]　由“五点法”的原则可知点的序号与式子的关系是：“第一点”为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图像曲线的最高点)为ωx＋φ＝eq \f(π,2)；“第三点”为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图像曲线的最低点)为ωx＋φ＝eq \f(3π,2)；“第五点”为ωx＋φ＝2π. [解]　在函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))中，ω＝2， 因此周期为T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2)＝π. 为求出图像上的五个关键点的横坐标，令z＝2x＋eq \f(π,3)，分别取z＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π，我们找出一个周期π内五个特殊的点，求出对应的x的值与函数y的值，如下表所示. x －eq \f(π,6) eq \f(π,12) eq \f(π,3) eq \f(7π,12) eq \f(5π,6) z＝2x＋eq \f(π,3) 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) 0 1 0 －1 0 地描出对应的五个关键点：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，1))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，－1))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，0)). 用光滑的曲线连接各点，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))在一个周期内的图像，如图所示． (1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx＋φ分别为0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π，解出x，从而确定这五点． (2)作给定区间上y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图像． [变式训练] 1．利用五点法作出函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))在一个周期内的草图． 解：依次令eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π，列出下表. eq \f(x,2)－eq \f(π,3) 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π x eq \f(2π,3) eq \f(5π,3) eq \f(8π,3) eq \f(11π,3) eq \f(14π,3) y 0 3 0 －3 0 描点作图，如图所示． 平移变换 　函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的图像可以看作是由y＝sin x的图像经过怎样的变换而得到的？ [思路点拨]　利用“左加右减”规律平移 [解]　函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的图像，可以看作是把曲线y＝sin x上所有的点向右平移eq \f(π,6) 个单位而得到的． 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数，再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω)))个单位． 　[变式训练] 2．要得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图像，只要将函数y＝sin 2x的图像(　　) A．向左平移eq \f(π,3)个单位 B．向右平移eq \f(π,3)个单位 C．向左平移eq \f(π,6)个单位 D．向右平移eq \f(π,6)个单位 解析：C　[因为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))))， 所以将函数y＝sin 2x的图像向左平移eq \f(π,6)个单位，就可得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图像．] 三角函数图像的伸缩变换 　有下列四种变换方式，其中能将正弦函数y＝sin x的图像变为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图像的是(　　) A．向左平移eq \f(π,4)个单位，再将横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变) B．横坐标变为原来的2(纵坐标不变)，再向左平移eq \f(π,8)个单位 C．横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，再向左平移eq \f(π,4)个单位 D．向左平移eq \f(π,8)个单位，再将横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变) [思路点拨]　分清平移和伸缩变换的先后顺序． [解析]　A中向左平移eq \f(π,4)个单位，再将横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，则正弦函数y＝sin x的图像变为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图像；B中横坐标变为原来的2(纵坐标不变)，再向左平移eq \f(π,8)个单位，正弦函数y＝sin x的图像变为y＝sin eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,8)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,16)))的图像； C中横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，再向左平移eq \f(π,4)个单位，正弦函数y＝sin x的图像变为y＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))的图像；D中向左平移eq \f(π,8)个单位，再将横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，正弦函数y＝sin x的图像变为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,8)))的图像．因此只有A符合题意． [答案]　A 三角函数图像的伸缩变换 (1)横向伸缩：已知ω>0，横向伸缩规律为“伸缩倍数乘倒数”：将函数y＝sin x图像上各点的横坐标伸长(当0<ω<1时)或缩短(当ω>1时)到原来的eq \f(1,ω)倍(纵坐标不变)，得到的函数图像的解析式为y＝sin ωx. (2)纵向伸缩：已知A>0，纵向伸缩规律为“伸缩倍数乘倍数”：将函数y＝sin x图像上各点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)，得到的函数图像的解析式为y＝Asin x. [变式训练] 3．由y＝sin x的图像作怎样的变换得到y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的图像？ 1．要得到函数y＝sin(x＋1)的图像，只需将函数y＝sin x的图像上所有的点(　　) A．向左平行移动1个单位 B．向右平行移动1个单位 C．向左平行移动π个单位 D．向右平行移动π个单位 解析：A　[只需把函数y＝sin x的图像上所有的点向左平行移动1个单位，便得函数y＝sin(x＋1)的图像．] 2．将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图像上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的eq \f(1,2)倍，可得函数的图像为(　　) A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6))) B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))) C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) D．y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) 解析：C　[把y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图像上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的eq \f(1,2)倍，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图像．] 3．要得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))的图像，只需将函数y＝sin 4x的图像(　　) A．向左平移eq \f(π,12)个单位 B．向右平移eq \f(π,12)个单位 C．向左平移eq \f(π,3)个单位 D．向右平移eq \f(π,3)个单位 解析：A　[y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))＝sin 4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))，故只需将y＝sin 4x的图像向左平移eq \f(π,12)个单位．] 4．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的频率是eq \f(1,4π)，则 ω＝　________　. 解析：由题可知eq \f(ω,2π)＝eq \f(1,4π)，∴ω＝eq \f(1,2). 答案：eq \f(1,2) $$