6.1.3 两角和与差的正切公式（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步教案（高教版2021）

6．1.3　两角和与差的正切公式 课程标准 素养解读 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式． 2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 从公式间的联系入手，引导学生对公式变形，感悟数学抽象、逻辑推理、数学运算素养. 我们知道，α±β的正弦、余弦都可以用α、β的正弦与余弦表示，那么α±β的正切，即tan(α±β)，能否用α、β的正切来表示呢？ [知识点一]　两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正切公式　 T(α＋β) tan(α＋β)＝　 α，β，α＋β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠±1 两角差的正切公式 T(α－β) tan(α－β)＝　　 [知识点二]　两角和与差的正切公式的变形 1．T(α＋β)的变形： (1)tan α＋tan β＝　tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)　. (2)tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)． (3)tan αtan β＝1－. 2．T(α－β)的变形： (1)tan α－tan β＝　tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)　. (2)tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝　tan(α－β)　. (3)tan αtan β＝　－1　. 1．tan 75°＝(　　) A．2－ B．2＋ C.－2 D. 解析：B　[tan 75°＝tan(45°＋30°) ＝＝＝2＋.] 2．tan＝(　　) A．2－ B．2＋ C.－2 D. 解析：C　[tan＝＝＝－2.] 3．若tan α＝－，tan β＝－，则tan(α＋β)＝(　　) A. B．1 C．－1 D．－ 解析：C　[∵tan α＝－，tan β＝－， ∴tan(α＋β)＝＝＝＝－1.] 　　　 利用两角和与差的正切公式求值 　计算tan 15°. [思路点拨]　15°＝45°－30°，利用公式直接求解． [解]　tan 15°＝tan(45°－30°)＝ ＝＝2－. 在求值的过程中要特别注意所求角与特殊角(如30°，45°，60°)之间的关系，还要注意角之间的互余、互补等． [变式训练] 1．计算tan 105°的值． 解：tan 105°＝tan(45°＋60°)＝ ＝＝－2－. 　　 和与差的正切公式的变形及其应用 　化简下列各式． (1)； (2)tan 50°＋tan 70°－tan 50°tan 70°. [思路点拨]　观察两角和的正切公式，当α＋β为特殊角时可得到一个含tan α＋tan β和tan αtan β的等式，利用这个等式可进行tan α＋tan β与tan αtan β之间的转换． [解]　(1)原式＝＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1. (2)原式＝tan 120°(1－tan 50°tan 70°)－tan 50°tan 70°＝－＋tan 50°tan 70°－tan 50°tan 70°＝－. 灵活运用两角和与差的正切公式的变形解题公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)[或tan(α－β)]，三者知二可表示或求出第三个． [变式训练] 2．求值：(1)tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°； (2)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)． 解：(1)∵tan 10°＋tan 35° ＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°)＝1－tan 10°tan 35°，所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1. (2)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°) ＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27° ＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2. 　给值求值问题 　已知tan(α＋β)＝1，tan＝，则tan＝　________　. [思路点拨]　β＋＝(α＋β)－. [解析]　tan＝tan ＝＝＝. [答案]　 给值求值问题的两种变换 (1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值． (2)角的变换：首先从角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值． [变式训练] 3．已知tan α＝，求tan的值． 解：tan＝ ＝＝. 1．若tan α＝2，tan β＝，则tan(α－β)＝(　　) A．－ B. C．3 D. 解析：B　[tan(α－β)＝＝＝.] 2.＝(　　) A. B. C. D. 解析：C　[＝tan(48°－18°) ＝tan 30°＝.] 3．若tan＝2，则tan α的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：A　[tan＝＝2，解得tan α＝.] 4．若α，β∈且tan α＝，tan β＝，则α＋β＝　________　. 解析：tan(α＋β)＝＝＝1. ∴α＋β＝. 答案： 　　　　　　　　　　　　　　　　　[基础过关] 1．已知tan α＝3，则tan＝(　　) A．1 B. C．2 D．－2 解析：D　[tan＝＝－2.] 2.＝(　　) A．1 B. C．2 D．－ 解析：B　[原式＝tan( 75°－15°)＝tan 60°＝.] 3．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)＝(　　) A．－3 B．－ C．3 D. 解析：D　[tan(α－β)＝＝＝.] 4．已知tan α＝，则的值是(　　) A．2 B. C．－1 D．－3 解析：B　[因为tan α＝，所以tan ＝＝3，所以＝＝.] 5.＝(　　) A．－ B．－1 C．1 D. 解析：D　[＝＝tan 60°＝.] 6．△ABC中，已知tan A＝，tan B＝，则C等于　________　. 解析：∵tan A＝，tan B＝， ∴tan C＝tan(π－A－B)＝－tan(A＋B) ＝－ ＝－ ＝－1， ∵0<C<π，∴C＝. 答案： 7．已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝， 则A＋B＝　________　. 解析：∵B为锐角，sin B＝，∴cos B＝， ∴tan B＝，∴tan(A＋B)＝ ＝＝1.∵0<A＋B<π，∴A＋B＝. 答案： 8．tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝　________　. 解析：因为tan 60°＝tan(10°＋50°) ＝＝， 所以tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝. 答案： 9．已知角α∈，sin α＝. (1)求tan α的值； (2)求tan的值． 解：(1)因为角α∈，sin α＝， 所以cos α＝－＝－， 所以tan α＝＝－. (2)tan＝＝＝. [能力提升] 10．设α，β∈，且tan α＝，tan β＝，则α－β＝(　　) A. B. C.π D．－ 解析：D　[∵tan α＝，tan β＝， ∴tan(α－β)＝＝＝－1. ∵α，β∈，∴α－β∈. ∴α－β＝－.] 11．已知tan α＋tan β＋tan αtan β＝，且α，β∈，则α＋β＝(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：B　[∵tan α＋tan β＋tan αtan β＝， ∴tan α＋tan β＝(1－tan αtan β)，tan(α＋β) ＝＝， 又∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝60°.] 12．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β＝(　　) A．2 B．1 C. D．4 解析：C　[∵tan(α＋β)＝， ∴＝4，∴tan αtan β＝.] 13．已知tan＝－7，则tan α＝　________　. 解析：tan＝＝－7，解得tan α＝－. 答案：－ 14．已知tan＝，tan＝－，则tan＝　________　. 解析：tan＝tan ＝＝. 答案： 15．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，求tan(α＋β)的值． 解：因为tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两个根，所以tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，则tan(α＋β)＝＝＝－3. 72 学科网（北京）股份有限公司 $$6.1 和角公式 6.1.3 两角和与差的正切公式 第6章 三角计算 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 第6章 三角计算 数学拓展模拟（GJ下） 课程标准 素养解读 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式． 2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 从公式间的联系入手，引导学生对公式变形，感悟数学抽象、逻辑推理、数学运算素养. 我们知道，α±β的正弦、余弦都可以用α、β的正弦与余弦表示，那么α±β的正切，即tan(α±β)，能否用α、β的正切来表示呢？ [知识点一]　两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正切公式　 T(α＋β) tan(α＋β)＝　eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) α，β，α＋β，α－β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)且tan α·tan β≠±1 两角差的正切公式 T(α－β) tan(α－β)＝　eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)　 [知识点二]　两角和与差的正切公式的变形 1．T(α＋β)的变形： (1)tan α＋tan β＝　tan(α＋β)(1－tan αtan β)　. (2)tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)． (3)tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β). 2．T(α－β)的变形： (1)tan α－tan β＝　tan(α－β)(1＋tan αtan β)　. (2)tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝　tan(α－β)　. (3)tan αtan β＝　eq \f(tan α－tan β,tanα－β)－1　. 1．tan 75°＝(　　) A．2－eq \r(3) B．2＋eq \r(3) C.eq \r(3)－2 D.eq \f(2＋\r(3),3) 解析：B　[tan 75°＝tan(45°＋30°) ＝eq \f(tan 45°＋tan 30°,1－tan 45°tan 30°)＝eq \f(1＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3))＝2＋eq \r(3).] 2．taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,3)))＝(　　) A．2－eq \r(3) B．2＋eq \r(3) C.eq \r(3)－2 D.eq \f(2＋\r(3),3) 解析：C　[taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,3)))＝eq \f(tan\f(π,4)－tan \f(π,3),1＋tan \f(π,4)tan \f(π,3))＝eq \f(1－\r(3),1＋\r(3))＝eq \r(3)－2.] 3．若tan α＝－eq \f(1,7)，tan β＝－eq \f(3,4)，则tan(α＋β)＝(　　) A.eq \f(\r(3),3) B．1 C．－1 D．－eq \f(\r(3),3) 解析：C　[∵tan α＝－eq \f(1,7)，tan β＝－eq \f(3,4)， ∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(－\f(1,7)－\f(3,4),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))))＝eq \f(－\f(25,28),\f(25,28))＝－1.] [解]　tan 15°＝tan(45°－30°)＝eq \f(tan 45°－tan 30°,1＋tan 45°tan 30°) ＝eq \f(1－\f(\r(3),3),1＋\f(\r(3),3))＝2－eq \r(3). 利用两角和与差的正切公式求值 　计算tan 15°. [思路点拨]　15°＝45°－30°，利用公式直接求解． 在求值的过程中要特别注意所求角与特殊角(如30°，45°，60°)之间的关系，还要注意角之间的互余、互补等． [变式训练] 1．计算tan 105°的值． 解：tan 105°＝tan(45°＋60°)＝eq \f(tan 45°＋tan 60°,1－tan 45°·tan 60°) ＝eq \f(1＋\r(3),1－\r(3))＝－2－eq \r(3). 和与差的正切公式的变形及其应用 　化简下列各式． (1)eq \f(\r(3)－tan 15°,1＋\r(3)tan 15°)； (2)tan 50°＋tan 70°－eq \r(3)tan 50°tan 70°. [思路点拨]　观察两角和的正切公式，当α＋β为特殊角时可得到一个含tan α＋tan β和tan αtan β的等式，利用这个等式可进行tan α＋tan β与tan αtan β之间的转换． [解]　(1)原式＝eq \f(tan 60°－tan15°,1＋tan 60°tan 15°) ＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1. (2)原式＝tan 120°(1－tan 50°tan 70°)－ eq \r(3)tan 50°tan 70°＝－eq \r(3)＋eq \r(3)tan 50°tan 70°－ eq \r(3)tan 50°tan 70°＝－eq \r(3). 灵活运用两角和与差的正切公式的变形解题公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)[或tan(α－β)]，三者知二可表示或求出第三个． [变式训练] 2．求值：(1)tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°； (2)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)． 解：(1)∵tan 10°＋tan 35° ＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°)＝1－tan 10°tan 35°，所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1. (2)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°) ＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27° ＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2. 给值求值问题 　已知tan(α＋β)＝1，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,3)))＝　________　. [思路点拨]　β＋eq \f(π,3)＝(α＋β)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))). [解析]　taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,3)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))))) ＝eq \f(tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))),1＋tanα＋βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))))＝eq \f(1－\f(1,3),1＋1×\f(1,3))＝eq \f(1,2). [答案]　eq \f(1,2) 给值求值问题的两种变换 (1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值． (2)角的变换：首先从角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值． [变式训练] 3．已知tan α＝eq \f(2,5)，求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))的值． 解：taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(tan\f(π,4)＋tan α,1－tan\f(π,4)tan α) ＝eq \f(1＋\f(2,5),1－1×\f(2,5))＝eq \f(7,3). 1．若tan α＝2，tan β＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)＝(　　) A．－eq \f(3,4) B.eq \f(3,4) C．3 D.eq \f(1,3) 解析：B　[tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)＝eq \f(2－\f(1,2),1＋2×\f(1,2))＝eq \f(3,4).] 2.eq \f(tan 48°－tan 18°,1＋tan 48°tan 18°)＝(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \r(3) 解析：C　[eq \f(tan 48°－tan 18°,1＋tan 48°tan 18°)＝tan(48°－18°) ＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3).] 3．若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝2，则tan α的值为(　　) A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(2,3) D．－eq \f(2,3) 解析：A　[taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝2，解得tan α＝eq \f(1,3).] 4．若α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))且tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)，则α＋β＝　________　. 解析：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,6))＝1. ∴α＋β＝eq \f(π,4). 答案：eq \f(π,4) $$ [基础过关] 1．下列命题中表示的事件不具有相关关系的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A．瑞雪兆丰年 B．吸烟有害健康 C．名师出高徒 D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧 解析：D　[容易看出选项A、C是谚语，是我国古代人民经过长期观察总结出来的规律，其中的“瑞雪”与“丰年”，“名师”与“高徒”之间具有相关关系；“吸烟有害健康”也是现在医学和科研人员经过大量实践研究出来的，其中的“吸烟”与“健康”也有相关关系；但“喜鹊叫喜，乌鸦叫丧”却没有科学依据，故不具有相关关系．] 2．某商品销售量y(单位：件)与销售价格x(单位：元/件)负相关，则其回归方程可能是(　　) A.＝－10x＋200 B.＝10x＋200 C.＝－10x－200 D.＝10x－200 解析：A　[因为y与x负相关，所以排除B、D，又因为C项中x>0时y<0，不合题意，所以C错误．] 3．工人月工资y(单位：元)关于劳动生产率x(单位：千元)的回归直线方程为＝650＋80x，下列说法中正确的个数是(　　) ①劳动生产率为1 000元时，工资为730元； ②劳动生产率提高1 000元，则工资提高80元； ③劳动生产率提高1 000元，则工资提高730元； ④当月工资为810元时，劳动生产率约为2 000元． A．1 B．2 C．3 D．4 解析：C　[代入方程计算可判断①②④正确．] 4．回归直线方程表示的直线＝＋x必经过点(　　) A．(0,0) B．(，0) C．(，) D．(0，) 解析：C　[由＝－，得＝＋，即点(，)满足方程＝＋x.] 5．某产品在某零售摊位上的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)统计如下表所示： x 16 17 18 19 y 50 m 34 31 据上表可得回归直线方程为＝－6.4x＋151，则上表中的m的值为　________　. 解析：＝＝17.5， ＝＝， 所以＝－6.4×17.5＋15.1，解得m＝41. 答案：41 6．某地区近10年居民的年收入x与年支出y之间的关系大致符合＝0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则今年支出估计是　________　亿元． 解析：将x＝15代入＝0.8x＋0.1，得＝12.1. 答案：12.1 7．试验测得五组(x，y)的值：(3,1)，(4,2)，(5,3)，(6,5)，(7,5)，则y与x之间的回归直线方程为＝x－2.8，则＝　________　. 解析：∵＝＝5，＝＝3.2.又回归直线＝x－2.8过点(，)知， 3．2＝×5－2.8，＝＝1.2. 答案：1.2 8．已知回归直线的回归系数的估计值是1.23，且过定点(4,5)，则回归直线方程是　________　. 解析：回归直线的回归系数的估计值为1.23，即＝1.23，又回归直线过定点(4,5)，∴a＝5－1.23×4＝0.08，∴＝1.23x＋0.08. 答案：＝1.23x＋0.08 9．2024年元旦前夕，某市统计局统计了该市2023年10户家庭的年收入和饮食支出的统计资料如下表： 年收入x(万元) 2 4 4 6 6 年饮食支出y(万元) 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 年收入x(万元) 6 7 7 8 10 年饮食支出y(万元) 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3 (1)如果已知y与x是线性相关的，求回归直线方程； (2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出． (参考数据：iyi＝117.7，＝406) 解：依题意可计算得，＝6，＝1.83，2＝36， ＝10.98，又∵iyi＝117.7，＝406， ∴＝≈0.17，＝－＝0.81， ∴＝0.17x＋0.81， ∴所求的回归直线方程为＝0.17x＋0.81. (2)当x＝9时，＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)可估计大多数年收入9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元． [能力提升] 10．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(　　) A.＝0.4x＋2.3 B.＝2x－2.4 C.＝－2x＋9.5 D.＝－0.3x＋4.4 解析：A　[∵x与y正相关，∴回归直线的回归系数为正，故C，D不正确，又回归直线过(，)，代入检验可知A正确．] 11．某车间生产一种玩具，为了确定加工玩具所需要的时间(单位：分钟)，进行了10次试验，数据如下： 玩具个数 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 加工时间/分钟 4 7 12 15 21 25 27 31 37 41 如回归直线方程的回归系数是，则的值是(　　) A.＝11－22 B.＝22－11 C.＝11－22 D.＝22－11 解析：B　[由＝＝11，＝(4＋7＋12＋15＋21＋25＋27＋31＋37＋41)＝22，得＝－＝22－11.] 12．某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示： 身高x(cm) 160 165 170 175 180 体重y(kg) 63 66 70 72 74 根据上表可得回归直线方程＝0.56x＋，据此模型预测身高为172 cm的高三男生的体重为(　　) A．70.09 B．70.12 C．70.29 D．65.79 解析：B　[∵＝＝170，＝＝69.又回归直线过(，)，∴69＝0.56×170＋，＝－26.2.∴回归直线为＝0.56x－26.2，当x＝172时，＝70.12.] 13．已知算得某工厂在某年每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间的回归直线方程为＝1.215x＋0.974，计算当x＝2时，总成本y的估计值为　________　. 解析：当x＝2时，总成本y的估计值＝1.215×2＋0.974＝3.404. 答案：3.404 14．已知x，y的取值如下表： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 若从散点图可以看出y与x线性相关，回归直线方程为＝0.95x＋，则等于　________　. 解析：∵点(，)在回归直线上， 计算得＝＝2， ＝＝4.5， ∴4.5＝0.95×2＋，∴＝2.6. 答案：2.6 15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720. (1)求家庭的月储蓄y对月收入x的回归直线方程＝x＋； (2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关； (3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 附：回归直线方程＝x＋中，＝，＝－. 解：(1)由题意知n＝10，＝i＝＝8， ＝i＝＝2.又＝ ＝＝＝0.3. 又＝－＝2－0.3×8＝－0.4. 故所求回归直线方程为＝0.3x－0.4. (2)由回归直线方程＝0.3x－0.4中＝0.3>0， ∴x与y之间正相关． (3)当x＝7时，＝0.3×7－0.4＝1.7，∴该居民区某家庭月收入为7千元；预测该家庭的月储蓄为1.7千元． 5 学科网（北京）股份有限公司 $$