专题2.1 一元二次方程（高效培优讲义）数学北师大版九年级上册

专题2.1 一元二次方程 教学目标 1.探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识。 2.在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系。 3.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。 教学重难点 1.重点 （1）了解一元二次方程的概念； （2）掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)，能分清二次项、一次项与常数项以及二次项系数、一次项系数等，会把一元二次方程化成一般形式。 2.难点：能根据具体问题的数量关系，建立方程模型．。 知识点01 一元二次方程的概念 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 【即学即练1】 1．下列方程是一元二次方程的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为 ． 3．若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 知识点02 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 要点：(1)只有当时，方程才是一元二次方程； 　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 【即学即练2】 4．关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（   ） A． B． C． D． 5．把方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．3，，1 B．3，6，1 C．3，1，6 D．3，6， 6．把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 知识点03 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 【即学即练3】 7．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为 ． 8．若是方程的根，则的值为 ． 9．若是方程的一个根，则代数式的值为 ． 题型01 判断是否是一元二次方程 【典例1】下列方程是一元二次方程的是(　　) A． B． C． D． 【变式1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列方程是一元二次方程的有（   ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】关于x的方程：①，②，③，④，其中一元二次方程的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型02 利用一元二次方程的定义求参数 【典例1】若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 【变式1】若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为 ． 【变式2】若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【变式3】关于的方程是一元二次方程，则的值为的 ． 题型03 一元二次方程的一般形式 【典例1】方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【变式2】方程化为一般形式后，一次项系数和常数项分别为（   ） A．1和3 B．1和 C．3和 D．3和4 【变式3】将一元二次方程化为一般形式后二次项系数为5，常数项为，则一次项系数是（   ） A．5 B． C．4 D． 题型04 一元二次方程的解求参数的值 【典例1】已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 【变式1】已知关于x的方程的一个根为，则 ． 【变式2】关于x的一元二次方程的一个根是1，则k的值是 ． 【变式3】已知一元二次方程有一个根为4，则m为 ． 题型05 一元二次方程的解求代数式的值 【典例1】若a是方程的一个根，则的值为 ． 【变式1】若m是方程的一个实数根，则的值为 ． 【变式2】如果是一元二次方程的解，则 ． 【变式3】已知m为方程的根，那么的值为 ． 题型06 一元二次方程的解的估算 【典例1】如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 【变式1】根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【变式2】探索一元二次方程的一个正数解的过程如表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为 ． 【变式3】根据表格对应值： 0 1 2 0.84 2.29 3.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若一元二次方程化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是（   ） A．3 B． C．5 D． 3．若是方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C．2 D．6 4．根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 5．已知关于的方程（，，为常数，）的解是，，那么方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．已知某一元二次方程的一个根是，则此方程可以是 ．（填一个即可） 7．将一元二次方程化成一般形式为 ． 8．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 9．若是关于的方程的解，则的值为 ． 10．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是 ． 11．将一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 12．已知关于的一元二次方程有一个根为1，有一个根为，求的值． 13．方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 14．已知一元二次方程 (1)如果方程有一个根是1，那么a、b、c之间有什么关系？ (2)如果方程有一个根是，那么a、b、c之间有什么关系？ (3)如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？ 15．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐方程”． (1)判断一元二次方程是否为“和谐方程”，说明理由； (2)已知是关于x的“和谐方程”，若是此“和谐方程”的一个根，求m，n的值． 16．从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … … 可以发现，当时，，所以是方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 思考 (1)一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？ (2)方程有一个根为，它还有其它的根吗？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 一元二次方程 教学目标 1.探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识。 2.在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系。 3.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。 教学重难点 1.重点 （1）了解一元二次方程的概念； （2）掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)，能分清二次项、一次项与常数项以及二次项系数、一次项系数等，会把一元二次方程化成一般形式。 2.难点：能根据具体问题的数量关系，建立方程模型．。 知识点01 一元二次方程的概念 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 【即学即练1】 1．下列方程是一元二次方程的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是含有一个未知数且未知数的最高次数是是解题关键．根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：①，是一元二次方程； ②，是一元二次方程； ③，不是整式方程，不是一元二次方程； ④，含有两个未知数，并且未知数的最高次数是，不是一元二次方程； 故选：B． 2．关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解即可． 【详解】解：把 代入，得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 3．若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴，， 解得， 故答案为：1． 知识点02 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 要点：(1)只有当时，方程才是一元二次方程； 　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 【即学即练2】 4．关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，理解并掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式是关键． 根据一元二次方程的概念及一般式“”判定即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为， 故选：D ． 5．把方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．3，，1 B．3，6，1 C．3，1，6 D．3，6， 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是（是常数，且），它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键．通过移项，将方程化成一般形式，由此即可得． 【详解】解：把方程化成一般形式为， 则二次项系数为3、一次项系数为、常数项为1， 故选：A． 6．把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： ，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中、、分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式，找出，，的值即可． 【详解】解：方程整理得：， 则，，的值分别是，，． 故选：B． 知识点03 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 【即学即练3】 7．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为 ． 【答案】2 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】此题考查了一元二次方程，熟知一元二次方程的解满足方程是解题的关键． 根据一元二次方程解的定义，把代入方程，即可解得m的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴． 故答案为：2． 8．若是方程的根，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】判断是否是一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出，推出，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：是方程的根， 故答案为：1． 9．若是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】2033 【知识点】判断是否是一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，根据一元二次方程解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，即，再根据进行求解即可． 【详解】解；∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型01 判断是否是一元二次方程 【典例1】下列方程是一元二次方程的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义(整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2)逐一判断选项． 【详解】解：选项A：，方程两边均为整式，仅含一个未知数，且的最高次数为2，符合一元二次方程的定义． 选项B：，方程中含分式项，不是整式方程，不符合要求． 选项C：， 含两个未知数和，不满足“一元”条件． 选项D：，当时是二次方程，但题目未明确的取值范围，若则变为一次方程，无法确定． 综上，只有选项A符合一元二次方程的定义． 故选：A． 【变式1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握定义进行判断是解题的关键． 一元二次方程：含有一个未知数，含有未知数的项的最高次数是2，2， 这样的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断即可． 【详解】选项A： 整理为，是整式方程，仅含未知数，且的最高次数为2，符合定义； 选项B： 含两个未知数和，不符合“一个未知数”的条件，排除； 选项C： 化简： ，化简后为一次方程，排除； 选项D： 未明确，当时方程变为一次方程，不符合定义，排除． 故选：A． 【变式2】下列方程是一元二次方程的有（   ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义即可解答． 【详解】解：①是一元二次方程； ②，当时是一元一次方程，不是一元二次方程； ③是分式方程，不是一元二次方程； ④，整理得：是一元二次方程； ⑤，整理得：是一元一次方程，不是一元二次方程； 则共有2个， 故选：B． 【变式3】关于x的方程：①，②，③，④，其中一元二次方程的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的概念是解题的关键．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（）．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：①，当时，该方程不是一元二次方程； ②属于分式方程； ③符合一元二次方程的定义； ④的次数是3次，不是一元二次方程， 综上所述，其中一元二次方程的个数是1个． 故选：A． 题型02 利用一元二次方程的定义求参数 【典例1】若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得到且，然后解不等式和方程得到满足条件的k的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得． 故答案为：． 【变式1】若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意二次项系数不为零；根据二次项系数不为零即可求解． 【详解】解：∵关于的方程（为常数）是一元二次方程， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2】若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查一元二次方程，只有一个未知数，且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义，可知，由此即可求得m的值． 【详解】解：由题意可知，， 解得或． 故答案为：3或． 【变式3】关于的方程是一元二次方程，则的值为的 ． 【答案】 【分析】本题考查利用一元二次方程概念求参数，根据一元二次方程概念得到，求解，即可解题． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，， 解得，， 综上，， 故答案为：． 题型03 一元二次方程的一般形式 【典例1】方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，首先利用单项式乘以多项式把等号左边展开，然后移项，把等号右边化为，再化简即可．解题的关键是掌握：任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ，即， ∴， ∴方程化为一元二次方程的一般形式是． 故选：A． 【变式1】将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中a，b，c是常数，且，分别方程的是二次项系数，一次项系数和常数项；把方程化为一元二次方程的一般形式，据此即可求解． 【详解】解：方程化为一元二次方程的一般形式为：，则二次项系数，一次项系数和常数项分别是； 故选：B． 【变式2】方程化为一般形式后，一次项系数和常数项分别为（   ） A．1和3 B．1和 C．3和 D．3和4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据进行判定即可求解． 【详解】解：根据题意，移项整理得，， ∴一次项系数和常数项分别为3和． 故选：C ． 【变式3】将一元二次方程化为一般形式后二次项系数为5，常数项为，则一次项系数是（   ） A．5 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程化成一般形式进行解答即可． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，一次项系数为， 故选：B． 题型04 一元二次方程的解求参数的值 【典例1】已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 【答案】4 【详解】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入一元二次方程得到，然后解关于m的方程即可． 【分析】解：把代入得， 解得， 故答案为：4． 【变式1】已知关于x的方程的一个根为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的含义，掌握以上知识是解题的关键．把代入原方程求． 【详解】解：把代入原方程： ， ， 故答案为：． 【变式2】关于x的一元二次方程的一个根是1，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意得出，解方程即可得解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是1， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】已知一元二次方程有一个根为4，则m为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，把代入一元二次方程，得到关于m的方程，即可求出m的值． 【详解】解：一元二次方程有一个根为4， ， 解得， 故答案为：2． 题型05 一元二次方程的解求代数式的值 【典例1】若a是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义可得，，然后代入计算，即可求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：2024． 【变式1】若m是方程的一个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中可得，再根据即可求出答案． 【详解】解：∵m是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式2】如果是一元二次方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 利用一元二次方程解的定义得到，再利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的解， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】已知m为方程的根，那么的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程两边相等的未知数的值，则，进而可得，，进一步可得，再把所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵m为方程的根， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：0． 题型06 一元二次方程的解的估算 【典例1】如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 【答案】 1.3 1.4 【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间． 【详解】解：根据表格可知，时，对应的的值在之间， 即：． 故答案为：1.3，1.4． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 【变式1】根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【答案】 【分析】看0在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间． 【详解】解：， 当时，随增大而减小， 根据表格得，当时，，即， ∵0距近一些， ∴方程的一个近似根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 【变式2】探索一元二次方程的一个正数解的过程如表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为 ． 【答案】3 【分析】观察图表，确定的值为0时的范围，然后确定对应的的范围，进而可得结果． 【详解】解：由图表可知，， ∴对应的的范围为， ∴，， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解题的关键在于理解一元二次方程的解的含义． 【变式3】根据表格对应值： 0 1 2 0.84 2.29 3.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 【答案】 【分析】结合表格可知：当时，；当时，；所以方程的一个解x的范围为：． 【详解】解：由表格可知： 当时，； 当时，； ∴方程的一个解x的范围为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当时，；当时，． 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握是解题的关键． 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”，根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．该方程符合一元二次方程的定义，符合题意； B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．该方程不是整式方程，不符合题意； D．该方程中，当时，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2．若一元二次方程化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先将方程化为一般形式，然后写出一次项系数解答即可． 将方程整理为一般形式，确定一次项系数。 【详解】解：原方程化为一般式为 此时二次项系数为2，一次项系数为， 故选：B． 3．若是方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．代入到方程，得到关于的方程，即可求解． 【详解】解：代入得，， 解得：． 故选：D． 4．根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格，找到相邻两个的值，使的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：当时，，当时，， ∴当时，必然存在一个，使， ∴（，，，为常数）一个解的范围是； 故选D． 5．已知关于的方程（，，为常数，）的解是，，那么方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】此题主要考查了方程解的定义，把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解，注意由两个方程的特点进行简便计算． 【详解】解：∵关于的方程（为常数，）的解是，， ∴方程变形为：， 即或， 解得：或， 故选：D． 6．已知某一元二次方程的一个根是，则此方程可以是 ．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一）． 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题主要考查了元二次方程的根，即方程的解的定义．解此题的关键是设一元二次方程为，把这一根代入方程得出a、b、c之间的数量关系，只要求出满足该数量关系的a、b、c的值就可得出一元二次方程．设一元二次方程为，把代入可得a、b、c之间的数量关系，只要满足该数量关系的方程即为所求．所以答案不唯一． 【详解】解：设一元二次方程为，把代入可得，， 所以只要a ，b、c的值满足即可． 如等，答案不唯一． 故答案为：（答案不唯一）． 7．将一元二次方程化成一般形式为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式），并通过移项将给定方程化为该形式． 根据等式的基本性质，把方程中的各项进行移项，使方程右边为0，从而得到一元二次方程的一般形式． 【详解】将化成一般形式可得， 故答案为：． 8．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据定义可知且，从而解得答案． 【详解】解：是一元二次方程 且 故答案为： 9．若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】2027 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，理解一元二次方程的解的意义是解题的关键． 把代入方程，求得，再把整体代入计算即可． 【详解】解∶把代入方程，得 ， ∴， ∴． 故答案为∶2027 10．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据表格数据解答即可求解，看懂表格数据是解题的关键． 【详解】解：由表可知，时，；当时，， ∴当时，必有一个解， ∴的取值范围是， 故答案为：． 11．将一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】，二次项系数：2；一次项系数：；常数项：9． 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程，其中叫做二次项系数，叫做一次项系数，叫做常数项解答即可． 本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 整理，得， 故方程的一般形式为：， ∴二次项系数：2；一次项系数：；常数项：9． 12．已知关于的一元二次方程有一个根为1，有一个根为，求的值． 【答案】0 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键，将代入一元二次方程中，可得到关于的三元一次方程组，再将两个式子相加即可得到答案． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个根， ∴代入可得：， ∴两式相加得：． 13．方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 【答案】(1)； (2)或． 【知识点】一元二次方程的定义、判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键． （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出的值即可； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：方程是一元二次方程， ， ； （2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， ； 综上所述，或． 14．已知一元二次方程 (1)如果方程有一个根是1，那么a、b、c之间有什么关系？ (2)如果方程有一个根是，那么a、b、c之间有什么关系？ (3)如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】一元二次方程的解 【分析】此题考查了一元二次方程的解，当已知一元二次方程的解时，将其代入即可求出其他参数的值或是关系，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键． （1）将代入原方程即可； （2）将代入原方程即可； （3）将代入原方程即可． 【详解】（1）解：将代入原方程得：，即； （2）解：将代入原方程得：，即； （3）解：将代入原方程可得：， ∴． 15．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐方程”． (1)判断一元二次方程是否为“和谐方程”，说明理由； (2)已知是关于x的“和谐方程”，若是此“和谐方程”的一个根，求m，n的值． 【答案】(1)一元二次方程是 “和谐方程”，理由见解析 (2) 【知识点】加减消元法、一元二次方程的解 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． （1）根据“和谐方程”的定义进行计算即可； （2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，， 故一元二次方程是 “和谐方程”； （2）解：是关于x的“和谐方程”， 当时，， 是此“和谐方程”的一个根， ， 即， 解得． 故． 16．从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … … 可以发现，当时，，所以是方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 思考 (1)一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？ (2)方程有一个根为，它还有其它的根吗？ 【答案】(1)一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根 (2) 【知识点】一元二次方程的解 【分析】本题考查一元二次方程的根． （1）根据一元二次方程根的定义即可求解； （2）将代入方程，验证左右两边相等，可知也是方程的一个根． 【详解】（1）解：一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根； （2）由于时，，故也是方程的一个根． 即：方程还有另一个根：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$