山西高教版《一课一练》第107练-第四章 立体几何测验（原卷版+解析版）

编写说明：基于中职学生数学知识能力普遍薄弱的学情特点，我们始终坚持“以生为本”的教育理念，深度融合支架式教学理论，系统剖析近三年高考真题命题规律，匠心打造了契合山西高考命题特色的数学《一课一练》（高教版）系列专辑。本专辑共150练，每章均配有章节测验。 本卷为高教版《数学》第107练，内容是拓展模块上册第四章立体几何。 高教版《数学》拓展模块上册 第107练 第四章 立体几何 单 元 测 验 1、 选择题 1．直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面的关系是（    ） A．和平面相互平行 B．和平面相互垂直 C．在平面内 D．不能确定 2．下列表述正确的个数为（    ） ①若直线平面，直线，则； ②若直线平面，且，则； ③若直线平行于平面内的两条直线，则； ④若直线垂直于平面内的两条直线，则． A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知直线，是异面直线，直线，，直线，，则（    ） A． B． C．与相交 D．与异面 4．在长方体中，棱长，，．则直线到平面的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 5．在中，，，，平面，，是边上的一动点，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D． 6．直线直线，直线平面，则与的关系是（    ） A． B． C． D．或 7．下列说法中，其中错误的是（   ） A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 D．存在每个面都是直角三角形的四面体 8．如图，，点，，点，且，，那么直线与直线的关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．不确定 9．如图所示，如果菱形所在平面，那么与的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直 10．若长方体的底面边长为1，，则到底面的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 2、 填空题 11．若直线平面，直线在平面内，则 ． 12．在正方体中，直线与平面的位置关系是 ． 13．已知不重合的两个平面，和直线，给出以下条件： ①；②；③；④． 要使，则所满足的条件是 ．（填所选条件的序号） 14．在长方体中，棱长，，，则到平面的距离为 ． 15．如图，是直角三角形，，平面，此图形中直角三角形的个数为 个． 3、 解答题 16．如图1，将等腰直角三角形以斜边上的高为棱折成直二面角（如图2），求的大小. 17．如图，在正方体中：    (1)求二面角的大小； (2)求二面角的大小. 18．已知，，，在，所在的平面内有一点，. (1)直线和直线，直线和直线所成的角各为多少度？ (2)的长度是多少？ 19．如图所示，正三棱柱底面边长是2，侧棱长是，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：基于中职学生数学知识能力普遍薄弱的学情特点，我们始终坚持“以生为本”的教育理念，深度融合支架式教学理论，系统剖析近三年高考真题命题规律，匠心打造了契合山西高考命题特色的数学《一课一练》（高教版）系列专辑。本专辑共150练，每章均配有章节测验。 本卷为高教版《数学》第107练，内容是拓展模块上册第四章立体几何。 高教版《数学》拓展模块上册 第107练 第四章 立体几何 单 元 测 验 1、 选择题 1．直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面的关系是（    ） A．和平面相互平行 B．和平面相互垂直 C．在平面内 D．不能确定 【答案】D 【分析】根据直线与平面的位置关系作图判断. 【详解】若直线与平面内的无数条直线垂直，如图所示， 则直线和平面相互平行，或直线和平面相互垂直，或直线在平面内都有可能． 故选：D. 2．下列表述正确的个数为（    ） ①若直线平面，直线，则； ②若直线平面，且，则； ③若直线平行于平面内的两条直线，则； ④若直线垂直于平面内的两条直线，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据直线与直线，直线与平面的位置关系逐项分析判断即可. 【详解】若直线平面，直线，则与可能平行、垂直、斜交或在平面内，故①错误； 若直线平面，且，则与可能平行、垂直、斜交，故②错误； 若直线平行于平面内的两条直线，则或在平面内，故③错误； 若直线垂直于平面内的两条直线，则与可能平行、垂直、斜交或在平面内，故④错误， 即表述正确的是0个. 故选：A． 3．已知直线，是异面直线，直线，，直线，，则（    ） A． B． C．与相交 D．与异面 【答案】B 【分析】在直线上任取一点，过作直线，直线和直线确定一个平面，可得，同理，然后由线面垂直的性质可得结论． 【详解】如图所示，在直线上任取一点，过作直线，则， 直线和直线确定一个平面． ，，． 又，，，， ，同理可证， ． 故选：B． 4．在长方体中，棱长，，．则直线到平面的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】由得平面，则到平面的距离即为点到平面的距离，依题意知平面，所以即为点到平面的距离. 【详解】∵，平面，平面，∴平面， ∴到平面的距离即为点到平面的距离， 依题意知平面，所以即为点到平面的距离， ∵，∴到平面的距离为5． 故选：A． 5．在中，，，，平面，，是边上的一动点，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D． 【答案】A 【分析】由平面得，由勾股定理可得，所以当时，最小，此时也最小，由此求解即可． 【详解】如图所示，因为平面，平面，所以， 则是直角三角形，，故， 所以当时，最小，此时也最小． 由条件知，，，则， 当时，，故的最小值为， 则的最小值为． 故选：A. 6．直线直线，直线平面，则与的关系是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分为与两种情况，结合线面垂直的判定与性质及线面平行的判定定理判断即可. 【详解】若，由直线平面，可得，符合题意； 若，过上一点作直线，则可确定一个平面，设， ∵，，∴， ∵，∴， ∵，，∴， 又，∴， ∵，，∴． 综上，或. 故选：D． 7．下列说法中，其中错误的是（   ） A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 D．存在每个面都是直角三角形的四面体 【答案】A 【分析】结合棱柱和棱锥的定义逐一考查所给的说法是否正确即可． 【详解】A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等； B正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个二面角都是直二面角； C正确，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； D正确，如图，正方体中的三棱锥，四个面都是直角三角形． 故选：A. 8．如图，，点，，点，且，，那么直线与直线的关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．不确定 【答案】C 【分析】根据题意结合线面垂直的性质及判定定理即可得解. 【详解】，，，， ，，， 又，平面，平面， 平面．平面，， 故选：. 9．如图所示，如果菱形所在平面，那么与的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理以及性质求解即可. 【详解】连接，因为是菱形，所以． 又平面，则． 因为平面，所以平面． 又平面，所以． 显然直线与直线不共面，因此直线与直线不共面， 因此直线与直线的位置关系是垂直但不相交． 故选：C. 10．若长方体的底面边长为1，，则到底面的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由证得平面，依题意知平面，所以即为到底面的距离．在中求出，由求得结果. 【详解】连接，如图， ∵，∴为平行四边形，∴， 又平面，平面，∴平面， 依题意知平面，所以即为到底面的距离． 依题意知平面，平面，∴． 在中，，，∴， ∴． 故选：D． 2、 填空题 11．若直线平面，直线在平面内，则 ． 【答案】 【分析】由线面垂直的定义即可判断. 【详解】由线面垂直的定义可知，平面，垂直于平面内所有直线， 又直线在平面内，故． 故答案为：. 12．在正方体中，直线与平面的位置关系是 ． 【答案】垂直 【分析】根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定定理求解即可. 【详解】在正方体中，平面，平面，所以. 又，平面，所以平面． 故答案为：垂直. 13．已知不重合的两个平面，和直线，给出以下条件： ①；②；③；④． 要使，则所满足的条件是 ．（填所选条件的序号） 【答案】②④ 【分析】分析可知，选择方法可能是：①④，②④，③④，结合线面的位置关系、线面垂直的判定及面面平行的性质求解即可. 【详解】显然①②③④中选一个，不能使. 而①②③任意两个不能同时成立，只能选一个， 故选择方法可能是：①④，②④，③④. 若选择①④，若，，则或； 若选择②④，若，，则； 若选择③④，若，，则. 综上，要使，应满足的条件是②④． 故答案为：②④. 14．在长方体中，棱长，，，则到平面的距离为 ． 【答案】10 【分析】由得平面，则到平面的距离即为点到平面的距离，依题意知平面，所以即为所求. 【详解】如图， ∵，平面，平面，∴平面， ∴到平面的距离即为点到平面的距离， 依题意知平面，所以即为点到平面的距离， ∵，∴到平面的距离为10． 故答案为：10． 15．如图，是直角三角形，，平面，此图形中直角三角形的个数为 个． 【答案】4 【分析】根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定定理求解即可. 【详解】平面平面，，，. ，且平面， 平面平面，． 综上知：，，，，都是直角三角形，共有4个． 故答案为：4. 3、 解答题 16．如图1，将等腰直角三角形以斜边上的高为棱折成直二面角（如图2），求的大小. 【答案】 【分析】根据题意，证明为二面角的平面角即可求解. 【详解】因为是等腰直角三角形斜边上的高， 所以，即，， 折叠后，，不变， 则是二面角的平面角， 由于二面角是直二面角，所以. 17．如图，在正方体中：    (1)求二面角的大小； (2)求二面角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先由正方体的几何特征可得为二面角的平面角，由此即可解答. （2）首先由正方体的几何特征可得为二面角的平面角，由此即可解答. 【详解】（1）在正方体中，平面，平面， 所以，， 所以为二面角的平面角， 在中，， 所以二面角的大小为. （2）因为平面，平面， 所以，， 为二面角的平面角， 又，所以二面角的大小为. 18．已知，，，在，所在的平面内有一点，. (1)直线和直线，直线和直线所成的角各为多少度？ (2)的长度是多少？ 【答案】(1)均为. (2) 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，再根据线面垂直证明线线垂直. （2）在直角三角形中应用勾股定理求解. 【详解】（1）因为，，，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为在平面内，所以， 所以直线和直线，直线和直线所成的角均为. （2）因为，，，所以在直角三角形中， 19．如图所示，正三棱柱底面边长是2，侧棱长是，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). (3). 【分析】（1）根据线面平行判定定理求证. （2）先根据已知找到二面角的平面角，再求值. （3）先根据已知条件，找到线面所成角，再求值. 【详解】（1） 证明：如图所示，设与相交于点，连接，则为的中点， 因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为正三棱柱，所以平面， ∵平面， ∴， 又因为是正三角形，是中点， ∴， 又∵，平面， ∴平面， ∵平面， ∴， 所以就是二面角的平面角， 因为，， 所以，且， 则， 即二面角的大小是. （3）由（2）可知平面， ∵平面， 所以平面平面， 作于， ∵，平面 ∴， ∵，且平面， ∴平面， 连接，则就是直线与平面所成的角， 在中，，， 所以， 在矩形中，， 所以. 即直线与平面所成角的正弦值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$