二 2 全等图形-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（冀教版2024）

70 2　全等图形 1. (1) 能够 的两个图形叫作全等图 形;(2) 在两个全等图形中,互相重合的点叫 作 ,互相重合的边叫作 , 互相重合的角叫作 ;(3) 如图, △ABC 与△A'B'C'是两个全等三角形,记 作“ ”,读作“三角形ABC 全等于三角形A'B'C'”.表示两个三角形全 等时,通常把表示对应顶点的字母写在 的位置上. 2. 全等三角形的对应边 ,对应角 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例图 典例 如图,△ABC≌△DEB, 点E 在边AB 上,DE 与AC 相 交于点F.若DE=7,BC=4, ∠D=35°,∠C=60°.求: (1) 线段AE 的长; (2) ∠ABC 的度数. (1) 根据全等三角形的对应边相等及线段 之间的数量关系解答即可.(2) 根据全等三角 形的对应角相等及三角形的内角和等于180°解 答即可. 解答: 解有所悟:(1) 由全等三角形的性质,可以直接得出 对应线段相等、对应角相等;(2) 当所求角或线段不 是全等三角形的对应角或对应边时,可以根据已知 条件,用等式的性质进行转化,找到所求角或线段 与已知角或线段的关系. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 下列各组图形中,是全等图形的为 ( ) A. B. C. D. 2. 如图,△AOB≌△COD,下列结论中,不一定 正确的是 ( ) A. ∠B=∠D B. ∠AOB=∠COD C. AC=BD D. AB=CD 第2题 第3题 3. 如图,点D,E 分别在线段AB,AC上,BE 与 CD相交于点N.若△ABE≌△ACD,且∠A= 65°,∠C=25°,则∠AEB的度数为 ( ) A. 80° B. 90° C. 100° D. 105° 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 拍 照 批 改 71 4. 如图,△ABC≌△DEC,点B,C,D 在同一 条直线上,且CE=5,AC=7,则BD 的长为 ( ) A. 12 B. 7 C. 2 D. 14 第4题 第5题 答案讲解 5. 如 图,AD,BC 相 交 于 点E.若 △ABE≌△DCE,有 下 列 结 论: ① AB=DC;② AB∥CD;③ E 为 BC 的中点;④ ∠A=∠C.其中,不一定正 确的是 (填序号). 6. 如图,△ABC≌△EFD,且AB=EF,CE= 2.5,CD=2,求AC 的长. 第6题 7. 如图,△ACF≌△DBE,其中点A,B,C,D 在同一条直线上. (1) 若BE⊥AD,∠F=62°,求∠A 的度数; (2) 若AD=9cm,BC=5cm,求AB 的长. 第7题 [综合提升] 8. 如图,△ABC≌△ADE,BC 的延长线交DE 于点F,∠D=32°,∠E=103°,∠DFB= 65°,则∠DAC= . 第8题 第9题 9. 如图,∠A=∠B=90°,AB=6,E,F 分别是 线段AB 和射线BD 上的动点,且BF= 2BE,点G 在射线AC 上,连接EG,EF.若 △AEG 与△BEF 全等,则线段AG 的长为 . 答案讲解 10. 如图,点A,D,E 在同一条直线上, 且△BAD≌△ACE. (1) 探究BD,DE,CE 之间的数 量关系. (2) 当△ABD 满足什么条件时,BD∥CE? 请说明理由. 第10题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 21 ∴ AE∥BC.∴ ∠A+∠ABC=180°.∵ ∠1+∠ABC= 180°,∴ ∠A=∠1.∴ DF∥AB. 2 全等图形 知识梳理 1. (1) 完全重合 (2) 对应点 对应边 对应角 (3) △ABC≌△A'B'C' 对应 2. 相等 相等 典例演练 典例 (1) ∵ △ABC≌△DEB,∴ AB=DE=7,BE= CB=4.∴ AE=AB-BE=7-4=3.(2) ∵ △ABC≌ △DEB,∴ ∠A=∠D=35°.又∵ ∠C=60°,∴ ∠ABC= 180°-∠A-∠C=180°-35°-60°=85°. 预学训练 1. A 2. C 3. B 4. A 5. ④ 6. ∵ △ABC≌△EFD,∴ AC=DE.∵ DE=CD+ CE=2+2.5=4.5,∴ AC=4.5. 7. (1) ∵ BE⊥AD,∴ ∠EBD=90°.∵ △ACF≌ △DBE,∴ ∠FCA=∠EBD=90°.∴ ∠A=180°-90°- ∠F=28°.(2) ∵ △ACF≌△DBE,∴ CA=BD.∴ CA- CB=BD-BC,即AB=CD.∵ AD=9cm,BC=5cm, ∴ AB+CD=AD-BC=9-5=4(cm).∴ AB=2cm. 8. 20° 9. 2或6 解析:设 BE=x,则 BF=2x.△AEG 与 △BEF 全等有两种情况:① AG=BE=x,AE=BF= 2x.∵ AB=6,∴ x+2x=6,解得x=2,即AG=2. ② AG=BF=2x,BE=AE=x.∵ AB=6,∴ x+x=6, 解得x=3.∴ AG=2×3=6.综上所述,AG 的长为2 或6. 10. (1) ∵ △BAD≌△ACE,∴ BD=AE,AD=CE. ∴ BD=AE=AD+DE=CE+DE,即BD=DE+CE. (2) 当△ABD 满足∠ADB=90°时,BD∥CE.理由: ∵ △BAD≌△ACE,∴ ∠E=∠ADB=90°(满足的条件 是∠ADB=90°).∴ ∠BDE=180°-∠ADB=90°= ∠E.∴ BD∥CE. 3 全等三角形的判定 第1课时　“边边边”“边角边” 知识梳理 1. 分别相等 SSS 2. 稳定性 3. 夹角 SAS 典例演练 典例1 ∵ C 是AB 的中点,∴ AC=CB.在△ACD 和 △CBE 中,∵ AD=CE, CD=BE, AC=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACD≌△CBE(SSS). ∴ ∠ACD=∠B.∴ CD∥BE. 典例2 ∵ ∠DAB=∠CAE ,∴ 易得∠DAE=∠CAB. 在△ACB和△ADE中,∵ AC=AD, ∠CAB=∠DAE, AB=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACB≌ △ADE(SAS).∴ BC=ED. 预学训练 1. C 2. C 3. C 4. 100° 5. 答案不唯一,如OB=OD 6. 能.∵ AE=13AB ,AF=13AC ,AB=AC,∴ AE= AF.在△AEO 和△AFO 中,∵ AE=AF, OE=OF, OA=OA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEO≌ △AFO(SSS).∴ ∠BAD=∠CAD.∴ 这样设计能达到 要求. 7. ∵ DE∥AC,∴ ∠EDB=∠A.在△DEB 和△ABC 中,∵ DE=AB, ∠EDB=∠A, BD=CA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DEB≌△ABC(SAS). 8. 选择不唯一,如选择①.在△ABF 和△CDE 中, ∵ AB=CD, AF=CE, BF=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABF≌△CDE(SSS).∴ ∠B=∠D. ∵ BF=DE,∴ BF+EF=DE+EF,即BE=DF.在 △ABE 和 △CDF 中,∵ AB=CD, ∠B=∠D, BE=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE ≌ △CDF(SAS).∴ ∠AEB=∠CFD.∴ AE∥CF. 9. B 10. D 11. (1) 补充条件:AE=AD.在△ABE 和△ACD 中, ∵ AE=AD, AB=AC, BE=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△ACD(SSS).(2) ∵ △ABE≌ △ACD,∴ ∠BAE=∠CAD.∵ ∠BAE=∠BAC+ ∠CAE,∠CAD=∠DAE+∠CAE,∴ ∠DAE=∠BAC= 40°.(3) ∵ △ABE ≌ △ACD,∴ ∠B = ∠ACD. ∵ ∠BAC+∠B+∠ACB=∠DCE+∠ACD+∠ACB= 180°,∴ ∠DCE=∠BAC. 12. (1) 根据题意,得∠ABE=∠CBD=90°.在△ABE 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈