一 5 分式方程的应用-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（冀教版2024）

18 x2+1 2(x+1).∵ x>0,∴ x2>0,2(x+1)>0.∴ x2+1>0. ∴ x2+1 2(x+1)>0.∴ M-N>0.(2) 依题意,得y= 2+x x+1 2 - 2× xx+1= 2(2+x) x+1 - 2x x+1= 4 x+1. 4 分式方程 知识梳理 1. 分母 解 根 2. (1) 整式方程 (2) 整式方程 (3) 分式方程 增根 典例演练 典例1 (1) 方程两边同乘x(x-1),得3x-2(x-1)= 0,解得x=-2.经检验,x=-2是原分式方程的解. (2) 方程两边同乘2x-1,得2x-5=3(2x-1),解得 x=-12. 经检验,x=-12 是原分式方程的解.(3) 方程 两边同乘x2-4,得2+x(x+2)=x2-4,解得x=-3. 经检验,x=-3是原分式方程的解. 典例2 (1) 将x=3代入分式方程,得6+m=3,解得 m=-3.(2) 去分母,得2x+m=3(x-2).将x=2代 入,得4+m=0,解得m=-4.∴ 当m=-4时,此方程 会产生增根. 预学训练 1. B 2. D 3. C 4. B 5. -1 6. 小丁和小迪的解法都不正确,画“✕”略.xx-2- x-3 2-x= 1.方程两边同乘x-2,得x+x-3=x-2,解得x=1.经 检验,x=1是原分式方程的解. 7. (1) 方程两边同乘x(x+5),得2x2-x(x+5)=(x+ 5)2,解得x=-53 ,经检验,x=-53 是原分式方程的解. (2) 方程两边同乘x-2,得1-x=-1-2(x-2),解得 x=2.经检验,x=2是原分式方程的增根,∴ 原分式方程 无解.(3) 方程两边同乘(x-1)(x+2),得3+(x-1)· (x+2)=x(x+2),解得x=1.经检验,x=1是原分式方 程的增根,∴ 原分式方程无解.(4) 方程两边同乘(x+1)· (x-1),得x(x+1)-(2x-1)=x2-1,解得x=2.经检 验,x=2是原分式方程的解. 8. C 9. D 解析:∵ a★b= 1a-b2 ,∴ x★(-1)= 1x-(-1)2= 1 x-1.∴ 1 x-1= x 3-3x ,即 1 x-1=- x 3(x-1). 方程两边 同乘3(x-1),得3=-x,解得x=-3.经检验,x=-3 是原分式方程的解.根据题意,把x=-3代入不等式 (2-a)x-3>0,得-3(2-a)-3>0,解得a>3. 10. B 解析: m x+5=1. 去分母,得m=x+5,解得x= m-5.要使分式方程有解,则x+5≠0,即m-5+5≠0, ∴ m≠0.当m<5且m≠0时,x=m-5<0,∴ 甲的说法 错误.当m>5时,x=m-5>0,∴ 乙的说法正确. 11. m≥-5且m≠-3 12. (1) 方程两边同乘3-3x,得-9=nx+3-3x,解得 x=-12n-3. 当n-3=0时,原分式方程无解,此时n=3.当 x=1时,原分式方程无解,此时n-3=-12,即n=-9. 综上所述,若这个方程无解,则n的值为3或-9.(2) 由 (1)及题意,得- 12n-3≥0 且- 12n-3≠1 ,解得n<3且 n≠-9. 13. (1) 根据题意,得 x x-3=2- -2 x-3. 方程两边同乘x- 3,得x=2(x-3)+2.去括号,得x=2x-6+2.移项、合 并同类项,得x=4.经检验,x=4是原分式方程的解. (2) 设原分式方程中“?”代表的数是m,则 xx-3=2- m x-3. 方程两边同乘x-3,得x=2(x-3)-m.∵ x=3 是方程的增根,∴ 把x=3代入x=2(x-3)-m,解得 m=-3,即原分式方程中“?”代表的数是-3. 14. (1) A +B = x-3x2-1+ 1 x-1= x-3 (x+1)(x-1)+ x+1 (x+1)(x-1)= x-3+x+1 (x+1)(x-1)= 2x-2 (x+1)(x-1)= 2(x-1) (x+1)(x-1)= 2 x+1. (2) ∵ A=3B,∴ x-3 x2-1= 3 x-1 , 解得x=-3.经检验,x=-3是原分式方程的解. (3) ∵ mA+B=2x+6x2-1 ,∴ m(x-3) x2-1 + 1 x-1= 2x+6 x2-1 , 解得x=5+3mm-1.∵ 关于x的方程mA+B=2x+6x2-1 无解, ∴ m-1=0或5+3mm-1=±1 ,解得m=1或m=-3或 m=-1.∵ m<-2,∴ m=-3. 5 分式方程的应用 知识梳理 1. 等量关系 检验 2. 工作效率 之和 3. 速度 时间 4. 进价 利润 进价 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 19 典例演练 典例1 (1) 设乙同学骑自行车的速度为x 米/分,则甲 同学的步行速度是1 2x 米/分,公交车的行驶速度是 2x米/分.根据题意,得6001 2x +3000-6002x = 3000 x -2 ,解 得x=300.经检验,x=300是原分式方程的解.∴ 乙同 学骑自行车的速度为300米/分.(2) 300×2=600(米). 典例2 (1) 设第一次购进时每个玩偶的进价为x元,则 第二次购进时每个玩偶的进价为(1+20%)x 元.根据题 意,得3000 x - 3000 (1+20%)x=10 ,解得x=50.经检验,x= 50是原分式方程的解.∴ 第一次购进时每个玩偶的进价 为50元.(2) 96× 300050 + 3000 50×(1+20%) -3000× 2=4560(元),∴ 该商店共可获得利润4560元. 预学训练 1. C 2. B 3. C 4. 10 5. 60 6. (1) 设一名分拣工人每小时可分拣x 件货物,则一台 机器人每小时可分拣20x 件货物.根据题意,得800016x - 8000 20x= 2 3 ,解得x=150.经检验,x=150是原分式方程 的解.∴ 20x=3 000,即一台机器人每小时可分拣3000件 货物.(2) 该公司能在规定的时间内完成任务.理由:3× (20×150+20×3000)+(8-3)×[(20+15)×3000+ 20×150]=189000+540000=729000(件).∵ 72万= 720000,729000>720000,∴ 该公司能在规定的时间内 完成任务. 7. 设新鲜柿子每千克的售价为x元,则柿饼每千克的售 价为10x元.由题意,得4000x +2000= 80000 10x ,解得x= 2.经检验,x=2是原分式方程的解,且符合题意.∴ 10x= 20.∴ 新鲜柿子每千克的售价为2元,柿饼每千克的售价 为20元 8. B 解析:设规定的时间为x 天,则快马所需的时间为 (x-3)天,慢马所需的时间为(x+2)天.根据题意,得 1000 x-3=2× 1000 x+2 ,解得x=8.经检验,x=8是原分式方程 的解.∴ 规定的时间为8天. 9. (1) 甲、乙两支工程队一起做4天.(2) 方案B最节省 费用.解4 1x+ 1 x+5 +x-4x+5=1,得x=20.经检验, x=20是原分式方程的解.三种方案所需费用分别为A. 1.1×20=22(万元);B. 0.8×(20+5)=20(万元);C. 4× 1.1+20×0.8=20.4(万元).∵ 20<20.4<22,∴ 方案B 最节省费用. 分式和分式方程预学检测 一、 1. C 2. D 3. B 4. D 5. B 6. D 7. C 8. C 9. A 解析:原分式方程的最简公分母为x(x-2),由原 分式方程有增根,得x(x-2)=0,解得x=0或x=2.原 分式方程去分母,得5x=a(x-2)+4.由此,可知x=2 不是这个整式方程的解,∴ 增根可能为x=0. 10. A 解析:∵ 2⊕(2x-1)=1,∴ 1 2x-1- 1 2=1. 去 分母,得2-(2x-1)=2(2x-1),解得x=56. 经检验, x=56 是原分式方程的解. 11. A 解析:∵ a>b>c>0,∴ a-b>0,a-c>0. ∵ M-N=ba- b+c a+c= c(b-a) a(a+c)<0 ,∴ M<N,故选项 A是正确的; ∵ M-N=ba- b-c a-c= c(a-b) a(a-c)>0 ,∴ M> N,故选项B是错误的;∵ M-N=ba - bc ac=0 ,∴ M= N,故选项C是错误的;∵ M-N=ba- b÷c a÷c=0 ,∴ M= N,故选项D是错误的. 二、 12. 1 13. 22 14. 5 15. 1416 解析:设甲单独完成任务需要x小时,则乙单 独完成任务需要(x-5)小时.根据题意,得4x= 3 x-5 ,解 得x=20.经检验,x=20是原分式方程的解.∴ x-5= 15.∴ 甲单独完成任务需要20小时,乙单独完成任务需 要15小时.∴ 甲、乙的工作效率分别是1 20 ,1 15.∵ 丙的工 作效率是甲工作效率的2倍,∴ 丙的工作效率是1 10. ∴ 甲、乙、丙三人各工作1小时可完成的工作量为120+ 1 15+ 1 10= 13 60.∴ 4轮后,剩余的工作量为1-1360×4= 2 15. ∴ 甲、乙分别再工作1小时后,丙需要完成的工作量为 2 15- 1 20- 1 15= 1 60.∴ 丙还需要工作1 60÷ 1 10= 1 6 (时). ∴ 一共需要3×4+1+1+16=14 1 6 (时). 三、 16. (1) 方程两边同乘x-1,得2-x-2=x-1,解 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 62 5　分式方程的应用 1. 列分式方程解决实际问题的步骤:第一步, 审题;第二步,设未知数;第三步,根据题目 中的 ,列分式方程;第四步,解分式 方程;第五步, ;第六步,写出答案. 2. 工程问题:工作量=工作时间× ; 总工作量=各部分工作量 . 3. 行程问题:路程= × . 4. 营销问题:利润=售价- ;利润率= ×100%. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 甲、乙两名同学的家与学校的距离均为 3000米.甲同学先步行600米,然后乘公交车 去学校,乙同学骑自行车去学校.已知甲同学的 步行速度是乙同学骑自行车速度的1 2 ,公交车 的行驶速度是乙同学骑自行车速度的2倍.甲、 乙两名同学分别同时从家出发去学校,结果甲 同学比乙同学早到2分钟. (1) 求乙同学骑自行车的速度; (2) 当甲同学到达学校时,乙同学距离学校还 有多远? (1) 设乙同学骑自行车的速度为x米/分, 则甲同学的步行速度是1 2x 米/分,公交车的行 驶速度是2x 米/分,根据题意列方程即可. (2) 用乙同学骑自行车的速度乘还需骑行的时 间(2分钟)即可得到结果. 解答: 解有所悟:行程问题的常见公式为路程=速度×时 间,解题时需要注意准确表示出各个量,然后列出 方程.另外需注意实际问题中的分式方程要检验. 典例2 某商店用3000元购进一批玩偶,很快 售完;第二次购进时,每个玩偶的进价提高了 20%,同样用3000元购进的数量比第一次少了 10个. (1) 求第一次购进时每个玩偶的进价; (2) 若两次购进的玩偶的售价均为96元,且全 部售出,则该商店共可获得利润多少元? (1) 设第一次购进时每个玩偶的进价为 x元,则第二次购进时每个玩偶的进价为(1+ 20%)x元.根据等量关系,列出分式方程,求解 即可.(2) 根据总利润=总售价-总成本,列出 算式,即可求解. 解答: 解有所悟:对于利润问题,根据题意建立方程模型 时,常用的等量关系有利润=售价-进价,利润 率= 利润 进价×100%. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 拍 照 批 改 63 [基础过关] 1. 某市把提升城市园林绿化水平作为推进城 市更新行动的有效抓手,从2023年开始通 过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多 个小而美的“口袋公园”.现需要购买A,B两 种绿植,已知A种绿植的单价是B种绿植单 价的3倍,用6 750元购买的A种绿植比用 3 000元购买的B种绿植少50株.设B种绿 植的单价是x元,则可列方程为 ( ) A. 6 750 3x -50= 3 000 x B. 3 000 3x -50= 6 750 x C. 6 750 3x +50= 3 000 x D. 3000 3x +50= 6750 x 2. 某校为满足学生课外活动多样化的需求,欲 购买排球和足球若干个.已知足球的单价比 排球的单价高60%,且用500元购买的排球 数量比用720元购买的足球数量多1个,求 排球和足球的单价各是多少元? 小宇同学 根据题意得到方程500 x - 720 (1+60%)x=1 ,则 方程中的未知数x表示 ( ) A. 足球的单价 B. 排球的单价 C. 足球的数量 D. 排球的数量 3. 某项工作,甲、乙一起做5天后,剩下的工作 由乙单独来做,用1天即可完成.若乙单独 完成这项工作,则所需的天数是甲单独完成 这项工作所需天数的2倍.甲单独完成这项 工作需要 ( ) A. 6天 B. 7天 C. 8天 D. 9天 4. (教材P26习题第2题变式)一艘轮船在静 水中的最大航速为30 km/h,它以最大航速 沿江顺流航行120 km所用时间与以最大航 速逆流航行60 km所用时间相同,则江水的 流速为 km/h. 5. (绵阳中考)随着国家提倡节能减排,新能源 车越来越受欢迎.端午节期间,君君一家驾 乘新购买的新能源车,去距家180km的古 镇旅行,原计划以vkm/h的速度匀速行驶, 因有急事便以原计划速度的1.2倍匀速行 驶,结果比原计划提前了0.5h到达.原计划 的行驶速度为 km/h. 6. 某快递仓库使用机器人分拣货物,已知一台 机器人的工作效率是一名分拣工人工作效 率的20倍,若用一台机器人分拣8 000件货 物,则比原先16名分拣工人分拣这些货物 少用2 3 小时. (1) 求一台机器人每小时可分拣货物的 数量. (2) 受购物节影响,石家庄某公司的仓库 11月11日当天收到货物72万件.为了在 8小时之内分拣完所有货物,公司调配了 20台机器人和20名分拣工人,工作3小时 后,又调配了15台机器人进行增援,该公司 能否在规定的时间内完成任务? 请判断并说 明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 64 7. 某食品公司有一批新鲜柿子,公司将一部分 新鲜柿子直接销售,这批新鲜柿子的总售价 为4000元,剩余的部分加工成柿饼后进行 销售,这批柿饼的总售价为80000元.已知 柿饼的销售数量比直接销售的新鲜柿子多 2000千克,且每千克的售价是新鲜柿子的 10倍.求新鲜柿子和柿饼每千克的售价. [综合提升] 8. 《九章算术》中记录的一道题大意如下:把一 封信件用慢马送到1000里外的城市,需要 的时间比规定的时间多2天;如果用快马 送,那么所需的时间比规定的时间少3天. 已知快马的速度是慢马的2倍.小明认为规 定的时间为7天,小亮认为规定的时间为 8天.关于两人的观点,下列说法中正确的是 ( ) A. 小明的观点正确 B. 小亮的观点正确 C. 两人的观点都不正确 D. 无法确定 答案讲解 9. 某区在一项工程招标中,收到甲、乙 两支工程队的投标书,从投标书中 得知:每施工一天,甲工程队所需费 用为1.1万元,乙工程队所需费用为0.8万 元.工程小组根据甲、乙两支工程队的投标 书测算,得到三种方案:A. 甲工程队单独完 成这项工程,刚好如期完成;B. 乙工程队单 独完成这项工程,比规定时间多用5天; C. ……,剩下的工程由乙工程队单独做,也 正好如期完成.方案C中“……”部分被损毁 了.设规定的时间为x天,根据题意,可列出 方程为41x+ 1 x+5 +x-4x+5=1. (1) 方案C中的“……”部分是 . (2) 你认为哪种方案最节省费用? 为什么? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级