一 2 分式的乘除-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（冀教版2024）

16 A=0且B≠0 3. 乘 除以 A×MB×M A÷M B÷M M 4. 公因式 基本性质 因式分解 5. 最简分式 最简 分式或整式 典例演练 典例1 (1) ①②③⑤⑥⑧;①⑤⑥⑧.(2) 分式x+3 x2-9 的 值不能等于0.若分式x+3x2-9 的值等于0,则x+3=0,解得 x=-3.当x=-3时,分母x2-9=0,分式无意义,∴ 分 式x+3 x2-9 的值不能等于0.(3) 若分式的值为正数,则分式 的分子、分母同号.根据题意,得 x+3>0, x-3>0 或 x+3<0 , x-3<0, 解得x>3或x<-3. 典例2 (1) 21a3b4c 56a2b5d= 7a2b4·3ac 7a2b4·8bd= 3ac 8bd. (2) ax2-4ay2 x2-4xy+4y2 =a (x+2y)(x-2y) (x-2y)2 =ax+2ayx-2y . 预学训练 1. B 2. D 3. C 4. D 5. x≠1 6. 16a+20b a+b 17.5 解析:根据题意,得甲、乙两种糖果混 合后共有(a+b)千克,甲、乙两种糖果共售(16a+20b)元. ∴ 将甲、乙两种糖果混合后每千克的售价应为16a+20b a+b 元. 当a=25,b=15时,16a+20ba+b = 16×25+20×15 25+15 =17.5. ∴ 混合后的糖果每千克的售价为17.5元. 7. 6x-3y 4x2-4xy+y2 =3 (2x-y) (2x-y)2 = 32x-y. 当x=3,y=2 时,原式= 32×3-2= 3 4. 8. A 9. (1) 原式=2x+10y2x-5y. (2) 原式=4x+3y6x-4y. 10. 甲同学的解法正确,乙同学的解法错误.理由:∵ 分 式a 2-b2 a+b 已隐含条件a+b≠0,∴ 可用分式的基本性质, 将分式的分子和分母同时约去a+b.∵ a-b不是分式的 分母中所含有的,即无法确定a-b是否为0,∴ 不能用 分式的基本性质,将分式的分子和分母都乘a-b,再约去 a2-b2. 2 分式的乘除 知识梳理 1. 分子 分母 A ·C B·D 2. 颠倒位置 相乘 AB ·D C A·D B·C 典例演练 典例1 (1) 原式=- a 3bc2d 2a2cd2b3=- ac·a2bcd 2b2d·a2bcd= - ac2b2d. (2) 原式= (x2-x)·(x-1) (x-1)2 = x·(x-1)2 (x-1)2 = x.(3) 原式=-2x (x-2)·x·(x+2) (x+2)(x-2)2 =- 2x2 x-2. 典例2 (1) 原式=xy 2 2z2 · 4az 2 -3x2y2 =-4axy 2z2 6x2y2z2 =-2a3x. (2) 原式= (a-1)2 a-3 ÷ a-1 1 = (a-1)2 a-3 · 1 a-1= a-1 a-3. (3) 原式= (x-3y)(x+3y) (x+3y)2 ÷ x+3y3x(x+3y)= x-3y x+3y · 3x 1= 3x2-9xy x+3y . 预学训练 1. A 2. C 3. C 4. C 5. A 6. x≠0且x≠1且x≠-2 7. 6 8. (1) 原 式 =x 2 y ·y 2 x2 =y. (2) 原 式 =2-mm+2 · (m-2)(m+2) (m-2)2 = -(m-2) m+2 ·m+2 m-2=-1. (3) 原式= a(a-3) a(a+1) ·(a-1)(a+1) a-3 ·a+1 a-1=a+1. 9. (1) 原式=m+1m+2 ·(m+2)(m-2)(m+1)2 = m-2 m+1. 当m=1 时,原式=1-21+1=- 1 2. (2) 原式=a 2+b2+2ab ab × a-b (a+b)(a-b)= (a+b)2 ab × 1 a+b= a+b ab . 当a=2,b= -12 时,原式= 2-12 2× -12 =-32. 10. B 11. D 12. B 解析: x-2 x2-4x+4÷ 1 x+6= x-2 (x-2)2× (x+6)= x+6 x-2=1+ 8 x-2.∵ 算式 x-2 x2-4x+4÷ 1 x+6 的值为F, ∴ F=1+ 8x-2 (x≠2,-6).∵ F 为整数,∴ 8 x-2 为整 数.∴ 当x-2=±1,±2,±4,±8,即当x=3,1,4,0,6, -2,10,-6时,1+ 8x-2 的值为整数.∵ x≠-6,∴ 当 x=3,1,4,0,6,-2,10时,F 为整数.∴ F 可以取到的整 数值有7个. 13. 答案不唯一,如选取② x2+x x2-1 ;③ x x+1 两个式子相 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 17 乘,则x 2+x x2-1× x x+1= x(x+1) x2-1 × x x+1= x2 x2-1. 由题意, 易得x≠0,±1,∴ x 只能取2.当x=2时,x 2 x2-1= 22 22-1= 4 3. 14. 正确.理由:∵ x2-4 x2+x+1÷ x2-2x x3+x2+x · 1 x+2= (x+2)(x-2) x2+x+1 ·x(x 2+x+1) x(x-2) · 1 x+2=1 ,即不论x 取 何值(分式有意义),代数式的值都是1,∴ 琪琪的说法是 正确的. 15. 甲工程队修900m所用的时间为 900a2-4 天,乙工程队 修600m所用的时间为 600(a-2)2 天.根据题意,得 900a2-4÷ 600 (a-2)2= 900 (a+2)(a-2) ·(a-2) 2 600 = 3a-6 2a+4.∴ 甲工程 队修900m所用的时间是乙工程队修600m所用的时间 的3a-6 2a+4 倍. 3 分式的加减 知识梳理 1. 不变 相加(或相减) A±CB 2. 同分母 相同 最 简 3. 通分 同分母 A ·D B·D± B·C B·D A·D±B·C B·D 4. 乘除 加减 括号 括号内的 典例演练 典例1 (1) 原式=2 (x2-y2) x-y = 2(x+y)(x-y) x-y =2 (x+ y)=2x+2y.(2) 原式=m+2nn-m - n n-m- 2m n-m= m+2n-n-2m n-m = n-m n-m=1. 典例2 (1) 原式=c 3 abc+ a3 abc= c3+a3 abc . (2) 原式= a(a+2) (a+2)(a-2)- a(a-2) (a+2)(a-2)= 4a a2-4. (3) 原式= 1x+1+ x-1 1 = 1 x+1+ (x-1)(x+1) x+1 = x2 x+1. (4) 原 式 = m(m+n) (m-n)(m+n)- n(m-n) (m-n)(m+n)+ 2mn (m-n)(m+n)= m2+2mn+n2 (m-n)(m+n)= (m+n)2 (m-n)(m+n)= m+n m-n. 典例3 a 2-4 a2-4a+4- a a-2 ÷a 2+2a a-2 = (a+2)(a-2)(a-2)2 - a a-2 ÷a(a+2)a-2 = a+2a-2- aa-2 · a-2a(a+2)= 2a-2· a-2 a(a+2)= 2 a(a+2). 当a=-2,a=0,a=2时,原式无意 义,∴ 把a=-1代入,得原式= 2-1×(-1+2)=-2. 预学训练 1. D 2. A 3. C 4. B 5. (1) 原式=2a+b+a-2b-a+b3a2b = 2a 3a2b= 2 3ab. (2) 原 式= 3x+2- 1 x-2+ 2x x2-4= 3 x+2- 1 x-2+ 2x (x+2)(x-2)= 3(x-2)-(x+2)+2x (x+2)(x-2) = 4(x-2) (x+2)(x-2)= 4 x+2. (3) 原 式= a 2 a-1- a+1 1 = a2 a-1- a2-1 a-1= a2-(a2-1) a-1 = a2-a2+1 a-1 = 1 a-1. 6. 3 x+1-x+1 ÷x 2-4x+4 x+1 = 3-(x-1)(x+1) x+1 · x+1 (x-2)2= 3-x2+1 (x-2)2 = (2+x)(2-x) (2-x)2 = 2+x 2-x.∵ 当x= -1或2时,原式无意义,∴ x=-2.当x=-2时,原式= 2-2 2+2=0. 7. C 8. A 9. A 解析:当ab=1时,M= aa+1+ b b+1= a a+ab+ b b+ab= a a(b+1)+ b b(a+1)= 1 b+1+ 1 a+1=N.∴ 当 ab=1时,M=N,即结论①正确.当a+b=0时,则b= -a.∴ M = aa+1 + b b+1 = a a+1 + -a -a+1 = -2a2 (a+1)(1-a) ,N = 1a+1+ 1 b+1= 1 a+1+ 1 -a+1= 2 (a+1)(1-a).∴ M·N= -4a 2 (1-a2)2≤0 ,即结论②正确. 综上所述,结论①和结论②都正确. 10. 2400 m2+10m 11. ∵ 3x-4 (x-1)(x-2) = A(x-2)+B(x-1) (x-1)(x-2) = (A+B)x+(-2A-B) (x-1)(x-2) ,∴ 3x-4=(A+B)x+(-2A- B).∴ A+B=3, -2A-B=-4, 解得A=1,B=2. 12. (1) 当x>0时,M-N>0.理由:∵ M=x+12 ,N= x x+1 ,∴ M -N =x+12 - x x+1= (x+1)2-2x 2(x+1) = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 2　分式的乘除 1. 分式与分式相乘,用分子的积作为积的 ,分母的积作为积的 .用 字母表示:A B ·C D= . 2. 分式除以分式,把除式的分子与分母 后,与被除式 .用字母表示:AB÷ C D= = . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 计算: (1) a3b 2cd2 ·-c 2d a2b3 ; (2) (x2-x)· x-1x2-2x+1 ; (3) 4x-2x2 x+2 · x 2+2x x2-4x+4. (1) 积的分子与分母的公因式为a2bcd, 只要约去这个公因式即可.(2) 可把算式中的 整式看作分母是1的分式,然后利用乘法法则 计算.(3) 把分式中的多项式分解因式,可以看 出积的分子、分母的公因式为(x+2)(x-2), 约分即可. 解答: 解有所悟:在分式的乘法运算中:(1) 当分式的分 子、分母是单项式时,可先约分,再进行乘法运算; (2) 当分式与整式相乘时,可以先将整式看作分母 是1的分式,再根据乘法法则计算;(3) 当分式的分 子、分母是多项式时,要先对分子、分母进行因式分 解,再利用分式的乘法法则计算. 典例2 计算: (1) xy2 2z2÷ -3x2y2 4az2 ; (2) (a-1)2 a-3 ÷ (a-1); (3) x2-9y2 x2+6xy+9y2 ÷ x+3y3x2+9xy . (1) 根据除法法则把除式的分子、分母颠 倒位置后,再与被除式相乘.(2) 可先把除式中 的整式看作分母是1的分式,然后利用除法法 则计算.(3) 先将分子、分母中的多项式分解因 式,然后利用除法法则计算. 解答: 解有所悟:在分式的除法运算中:(1) 分式的分子、 分母都是多项式时,要先分解因式并约分,再进行 分式的除法运算;(2) 若除式或被除式为整式,则可 以先将整式看作分母是1的分式,然后根据分式的 除法法则计算. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 54 [基础过关] 1. 计算 -a2b ·2ba2的结果是 ( ) A. -1a B. -12a C. -14a D. -b 2 a 2. 化简x3÷x 3 y 2 的结果是 ( ) A. x6 y2 B. x3y2 C. y2 x3 D. x2y6 3. 某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏, 用合作的方式完成分式的化简,规则如下: 每人只能看到前一人给的式子,并进行一步 计算,再将计算结果传递给下一人,最后完 成化简,过程如图所示.对于甲、乙、丙三人 的接力过程,判断正确的是 ( ) 第3题 A. 三人都正确 B. 甲有错误 C. 乙有错误 D. 丙有错误 4. 美琪在做数学作业时,不小心将式子中除号 后边的代数式污染,即 4-x 2 3x2-2xy ÷ ,查看 答案为 x+2 3x-2y ,则被污染的代数式为( ) A. 2 x+1 B. x-2 x C. 2-x x D. x+1 2x-1 5. 若 □ a-b÷ 3a a2-b2 运算的结果是整式,则“□” 代表的式子可能是 ( ) A. ab B. a+b C. a-b D. 1 a 6. 若x-1 x+2÷ x-1 x 有意义,则x 的取值范围是 . 7. 若x 等于它的倒数,则2x+4x2 ·3x-6 x2-4 的值 是 . 8. 计算: (1) x2 y · y -x 2 ; (2) 2-m m+2÷ m2-4m+4 m2-4 ; (3) a2-3a a2+a÷ a-3 a2-1 ·a+1 a-1. 9. (教材P13习题第4题变式)先化简,再 求值: (1) m+1 m+2 · m 2-4 m2+2m+1 ,其中m=1; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 55 (2) a2+b2+2ab ab ÷ a2-b2 a-b ,其中a=2,b=-12. [综合提升] 10. 有下列各式:① -2n a2b 2 ;② -8m 4n2 a2b ; ③ 8m4n2 a5b ·an bm2 ;④ 4n2 ab2÷a 3.其中,相等的 两个式子是 ( ) A. ①和② B. ①和④ C. ②和③ D. ③和④ 答案讲解 11. 关于式子x 2+2x+1 x2-1 ÷ x x-1 ,下列 说法中正确的是 ( ) A. 当x=1时,其值为2 B. 当x=-1时,其值为0 C. 当-1<x<0时,其值为正数 D. 当x<-1时,其值为正数 12. 算式 x-2 x2-4x+4÷ 1 x+6 的值为F(x 取整 数),则F 可以取到的整数值有 ( ) A. 0个 B. 7个 C. 8个 D. 无数个 13. 请从① x2-2x+1 x ;② x2+x x2-1 ;③ x x+1 中 选取两个式子相乘并化简,再从-1,1,2中 选择合适的数代入求值. 答案讲解 14. (教材P13习题第5题变式)许老 师讲完了分式的乘除后,给同学们 出了这样一道题:若x=-2025, 求代数式 x 2-4 x2+x+1÷ x2-2x x3+x2+x · 1 x+2 的 值.琪琪说:“老师,这道题中的x=-2025 是多余的条件.”请你判断琪琪的说法是否 正确,并说明理由. 15. 甲、乙两支工程队合修一条公路,甲工程队 每天修(a2-4)m,乙工程队每天修(a- 2)2m,则甲工程队修900m所用的时间是 乙工程队修600m所用的时间的多少倍 (a>2,用含a的代数式表示)? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备