第4章 4.4.3 两平面垂直（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册同步教案（高教版2021）

2025-07-10

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教辅

内容正文：

4．4.3　两平面垂直课程标准素养解读 1.理解并掌握两个平面垂直的判定定理，并能解决有关面面垂直的问题． 2．掌握面面垂直的性质定理，并能证明线面的垂直关系． 3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系并能解决垂直关系的综合问题. 1.通过面面垂直判定定理的应用，提升逻辑推理等核心素养． 2．通过学习面面垂直的性质定理，培养直观想象等核心素养． 3．通过面面垂直、线面垂直判定与性质的应用，提升逻辑推理等核心素养. 观察如图所示的长方体，结合平面与平面垂直的性质定理，探究下列问题(记平面CDD′C′为α，平面ABCD为β)：结合图形说明平面α内的直线与平面β都有什么关系？ [知识点一]　平面与平面垂直　 1．定义：当两个平面所成的角是时，称为两个平面互相垂直． 2．画法： 3．记作：　α⊥β　. 4．判定定理文字语言如果一个平面经过另一个平面的一条　垂线　，那么这两个平面垂直图形语言符号语言 l⊥α，　l⊂β　⇒α⊥β [知识点二]　平面与平面垂直的性质定理　文字语言如果两个平面互相垂直，那么在　一个平面内　垂直于这两个平面的　交线　的直线，垂直于另一个平面符号语言图形语言作用 ①面面垂直⇒　线面　垂直； ②作面的垂线 1.两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？提示：不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面． 2．如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗？提示：正确．若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线；若a与l不垂直，则只需b⊥l即可，则a⊥α，故a⊥b，从而β内有无数条平行于b的直线均与a垂直． 1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是(　　) A．平行　　　　 B．可能重合 C．相交且垂直 D．相交不垂直解析：C　[由面面垂直的判定定理，得α与β垂直．] 2．平面α⊥平面β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l则(　　) A．m∥β B．m⊂β C．m⊥β D．m与β相交但不一定垂直解析：C　[由面面垂直的性质定理知C正确．] 3．若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么(　　) A．直线a垂直于第二个平面 B．直线b垂直于第一个平面 C．直线a不一定垂直于第二个平面 D．过a的平面必垂直于过b的平面解析：C　[直线a与直线b均不一定为两面的交线．] 平面与平面垂直的判定　如图所示，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为BD的中点，求证：平面AEC⊥平面ABD. [思路点拨]　要证明面面垂直，先证明线线垂直，然后得线面垂直，最后证明面面垂直． [证明]　因为AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC＝AC，所以△ABC≌△ADC，可知BC＝DC.又因为AB＝AD，E为BD的中点，所以BD⊥CE，BD⊥AE.因为CE，AE是平面AEC内的两条相交直线，所以BD⊥平面AEC.又因为BD⊂平面ABD，所以平面AEC⊥平面ABD. 证明平面与平面垂直的两种常用方法 (1)利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是： ①找出两相交平面的平面角； ②证明这个平面角是直角； ③根据定义，这两个相交平面互相垂直． (2)利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是： [变式训练] 1．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段BD，BC的中点．求证：平面EFB1⊥平面BCC1B1. 证明：在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段BD，BC的中点，则EF∥CD.又因为CD⊥平面BCC1B1，所以EF⊥平面BCC1B1，又因为EF⊂平面EFB1，所以平面EFB1⊥平面BCC1B1. 面面垂直的性质定理的应用　如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC. 求证：AM⊥平面EBC. [思路点拨]　根据面面垂直的性质可证BC⊥平面ACDE，从而BC⊥AM，再证AM⊥平面EBC. 证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM.∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.又BC∩CE＝C，BC，EC⊂平面EBC，∴AM⊥平面EBC. 应用面面垂直的性质定理的策略 (1)应用步骤：面面垂直线面垂直―→线线垂直 (2)应用类型：①证明线面垂直、线线垂直；②作线面角或作二面角的平面角． [变式训练] 2．如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：PA⊥底面ABCD. 证明：因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD.所以PA⊥底面ABCD. 垂直关系的综合问题　已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC. [思路点拨]　由面面垂直证线面垂直，再由线面垂直证线线垂直．证明：如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D.因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC.AD⊆平面PAC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC，又BC⊆平面PBC，所以AD⊥BC.因为PA⊥平面ABC，BC⊆平面ABC，所以PA⊥BC，因为AD∩PA＝A，AD，PA⊆平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又因为AC⊆平面PAC，所以BC⊥AC. 垂直关系的转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．第一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下： [变式训练] 3．如图，△ABC是正三角形，若AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，求证：AE∥平面BCD. 证明：如图，取BC的中点M，连接DM，AM，因为BD＝CD，所以DM⊥BC.又因为平面BCD⊥平面ABC，DM⊆平面BCD，两平面交线为BC，所以DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM.又因为AE⊄平面BCD，DM⊆平面BCD，所以AE∥平面BCD. 1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，l∥α，m⊆α和m⊥γ，那么必有(　　) A．α⊥γ且l⊥m　　 B．α⊥γ且m∥β C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ 解析：A　[B错，有可能m与β相交；C错，可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．] 2．设有直线m，n和平面α，β，则下列结论中正确的是(　　) ①若m∥n，n⊥β，m⊆α，则α⊥β；②若m⊥n，α∩β＝m，n⊆α，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β. A．①②　　B．①③　　C．②③　　D．①②③ 解析：B　[②错误，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．] 3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是(　　) A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊆β C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β 解析：D　[由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，所以l⊥β，所以α⊥β.] 4．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊆β，n⊥l，直线m⊥α，则m与n的位置关系是　____________　. 解析：因为α⊥β，α∩β＝l，n⊆β，n⊥l，所以n⊥α.又因为m⊥α，所以m∥n. 答案：平行 [基础过关] 1.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面(　　) A．有1个　　　　B．有2个 C．有无数个 D．不存在解析：C　[由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．] 2．下列命题中正确的是(　　) A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β D．若平面α内的两条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β 解析：C　[当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B，D错，C正确．] 3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　) A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m.n⊆α C．m∥n，n⊥β，m⊆α D．m∥n，m⊥α，n⊥β 解析：C　[∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊆α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β.] 4．下列命题：①垂直于同一个平面的两个平面互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相垂直；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行，其中正确的命题个数为(　　) A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个解析：A　[垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，①错误；垂直于同一个平面的两条直线互相平行，②错误；垂直于同一条直线的两条直线可能异面、相交或平行，③错误；垂直于同一条直线的两个平面互相平行，④正确．] 5．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(　　) A．平面DD1C1C B．平面A1DB1 C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB 解析：B　[∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1⊂平面A1DB1，∴AD1⊥平面A1DB1.] 6．如图，在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，则互相垂直的平面有______________．解析：因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，PB，PC⊆平面PBC，所以PA⊥平面PBC.又PA⊆平面PAB，PA⊆平面PAC，所以平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.同理可证平面PAB⊥平面PAC. 答案：平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC，平面PAB⊥平面PAC. 7．平面α⊥平面β，直线a∥α，以下三个结论： ①a⊥β；②a∥β；③a与β相交．其中可能正确的序号为　________　. 解析：因为a∥α，平面α⊥平面β，所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能．答案：①②③ 8．如图所示，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，图中有　________　个直角三角形，互相垂直的平面共有　________　对．解析：因为AB⊥平面BCD，BC⊥CD，所以△ABC，△ABD，△ACD，△BCD都是直角三角形，共有4个；图中互相垂直的平面有：平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ADC，所以图中互相垂直的平面共有3对．答案：4　3 9．如图，在四棱锥PABCD中，若PA⊥平面ABCD且四边形ABCD是菱形．求证：平面PAC⊥平面PBD. 证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PA.因为四边形ABCD是菱形，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥AC.又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.又因为BD⊂平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD. [能力提升] 10．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　　) A．α⊥β且m⊂α　　 B．α⊥β且m∥α C．m∥n且n⊥β D．m⊥n且n∥β 解析：C　[对于A，对于B，由α⊥β且m⊂α，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故A不成立；对于B，由α⊥β且m∥α，可得m⊂β或m∥β或m与β相交，故B不成立；对于C，由m∥n且n⊥β，可得m⊥β，故C成立；对于D，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故D不成立．] 11．已知平面α，β和直线m，l则下列说法正确的是(　　) A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β B．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β C．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β D．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β 解析：D　[对于说法A缺少了条件：l⊂α；说法B缺少了条件：α⊥β；说法C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；说法D具备了面面垂直的性质定理的所有条件．] 12．在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1(　　) A．平行　　B．共面　　C．垂直　　D．不垂直解析：C　[如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD.所以BD⊥AC.因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CC1.] 13．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是　____________　.(填“垂直”“不垂直”其中的一个) 解析：如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD.又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，CC1，AC⊂平面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C.又BD⊂平面EBD，所以平面EBD⊥平面AA1C1C. 答案：垂直 14．如图，在三棱锥PABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°.PA＝1，AB＝2，则PB＝　________　. 解析：因为侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，所以PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝＝＝. 答案： 15．如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. 证明：(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC. (2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又因为AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC. 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面(　　) A．有1个　　　　 B．有2个 C．有无数个 D．不存在解析：C　[由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．] 2．下列命题中正确的是(　　) A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β D．若平面α内的两条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β 解析：C　[当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B，D错，C正确．] 3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　) A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m.n⊆α C．m∥n，n⊥β，m⊆α D．m∥n，m⊥α，n⊥β 解析：C　[∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊆α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β.] 4．下列命题：①垂直于同一个平面的两个平面互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相垂直；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行，其中正确的命题个数为(　　) A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个解析：A　[垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，①错误；垂直于同一个平面的两条直线互相平行，②错误；垂直于同一条直线的两条直线可能异面、相交或平行，③错误；垂直于同一条直线的两个平面互相平行，④正确．] 5．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(　　) A．平面DD1C1C B．平面A1DB1 C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB 解析：B　[∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1⊂平面A1DB1，∴AD1⊥平面A1DB1.] 6．如图，在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，则互相垂直的平面有______________．解析：因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，PB，PC⊆平面PBC，所以PA⊥平面PBC.又PA⊆平面PAB，PA⊆平面PAC，所以平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.同理可证平面PAB⊥平面PAC. 答案：平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC，平面PAB⊥平面PAC. 7．平面α⊥平面β，直线a∥α，以下三个结论： ①a⊥β；②a∥β；③a与β相交．其中可能正确的序号为　________　. 解析：因为a∥α，平面α⊥平面β，所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能．答案：①②③ 8．如图所示，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，图中有　________　个直角三角形，互相垂直的平面共有　________　对．解析：因为AB⊥平面BCD，BC⊥CD，所以△ABC，△ABD，△ACD，△BCD都是直角三角形，共有4个；图中互相垂直的平面有：平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ADC，所以图中互相垂直的平面共有3对．答案：4　3 9．如图，在四棱锥PABCD中，若PA⊥平面ABCD且四边形ABCD是菱形．求证：平面PAC⊥平面PBD. 证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PA.因为四边形ABCD是菱形，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥AC.又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.又因为BD⊂平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD. [能力提升] 10．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　　) A．α⊥β且m⊂α　　 B．α⊥β且m∥α C．m∥n且n⊥β D．m⊥n且n∥β 解析：C　[对于A，对于B，由α⊥β且m⊂α，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故A不成立；对于B，由α⊥β且m∥α，可得m⊂β或m∥β或m与β相交，故B不成立；对于C，由m∥n且n⊥β，可得m⊥β，故C成立；对于D，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故D不成立．] 11．已知平面α，β和直线m，l则下列说法正确的是(　　) A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β B．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β C．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β D．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β 解析：D　[对于说法A缺少了条件：l⊂α；说法B缺少了条件：α⊥β；说法C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；说法D具备了面面垂直的性质定理的所有条件．] 12．在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1(　　) A．平行　　B．共面　　C．垂直　　D．不垂直解析：C　[如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD.所以BD⊥AC.因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CC1.] 13．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是　____________　.(填“垂直”“不垂直”其中的一个) 解析：如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD.又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，CC1，AC⊂平面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C.又BD⊂平面EBD，所以平面EBD⊥平面AA1C1C. 答案：垂直 14．如图，在三棱锥PABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°.PA＝1，AB＝2，则PB＝　________　. 解析：因为侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，所以PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝＝＝. 答案： 15．如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. 证明：(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC. (2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又因为AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC. 学科网（北京）股份有限公司 $$4．4.3　两平面垂直第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何课前预习学案课堂互动学案 01 02 随堂步步夯实 03 课时素养提升 04 数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何课前预习学案下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何课堂互动学案下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何随堂步步夯实下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何下一页上一页返回导航数学·拓展模块（GJ上）第4章立体几何课程标准素养解读 1.理解并掌握两个平面垂直的判定定理，并能解决有关面面垂直的问题． 2．掌握面面垂直的性质定理，并能证明线面的垂直关系． 3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系并能解决垂直关系的综合问题. 1.通过面面垂直判定定理的应用，提升逻辑推理等核心素养． 2．通过学习面面垂直的性质定理，培养直观想象等核心素养． 3．通过面面垂直、线面垂直判定与性质的应用，提升逻辑推理等核心素养. 观察如图所示的长方体，结合平面与平面垂直的性质定理，探究下列问题(记平面CDD′C′为α，平面ABCD为β)：结合图形说明平面α内的直线与平面β都有什么关系？ [知识点一]　平面与平面垂直　 1．定义：当两个平面所成的角是eq \f(π,2)时，称为两个平面互相垂直． 2．画法： 3．记作：　α⊥β　. 4．判定定理文字语言如果一个平面经过另一个平面的一条　垂线　，那么这两个平面垂直图形语言符号语言 l⊥α，　l⊂β　⇒α⊥β [知识点二]　平面与平面垂直的性质定理　文字语言如果两个平面互相垂直，那么在　一个平面内　垂直于这两个平面的　交线　的直线，垂直于另一个平面符号语言图形语言作用 ①面面垂直⇒　线面　垂直； ②作面的垂线 1.两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？提示：不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面． 2．如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗？提示：正确．若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线；若a与l不垂直，则只需b⊥l即可，则a⊥α，故a⊥b，从而β内有无数条平行于b的直线均与a垂直． 1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是(　　) A．平行　　　　 B．可能重合 C．相交且垂直 D．相交不垂直解析：C　[由面面垂直的判定定理，得α与β垂直．] 2．平面α⊥平面β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l则(　　) A．m∥β B．m⊂β C．m⊥β D．m与β相交但不一定垂直解析：C　[由面面垂直的性质定理知C正确．] 3．若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么(　　) A．直线a垂直于第二个平面 B．直线b垂直于第一个平面 C．直线a不一定垂直于第二个平面 D．过a的平面必垂直于过b的平面解析：C　[直线a与直线b均不一定为两面的交线．] 平面与平面垂直的判定　如图所示，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为BD的中点，求证：平面AEC⊥平面ABD. [思路点拨]　要证明面面垂直，先证明线线垂直，然后得线面垂直，最后证明面面垂直． [证明]　因为AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC＝AC，所以△ABC≌△ADC，可知BC＝DC.又因为AB＝AD，E为BD的中点，所以BD⊥CE，BD⊥AE.因为CE，AE是平面AEC内的两条相交直线，所以BD⊥平面AEC.又因为BD⊂平面ABD，所以平面AEC⊥平面ABD. 证明平面与平面垂直的两种常用方法 (1)利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是： ①找出两相交平面的平面角； ②证明这个平面角是直角； ③根据定义，这两个相交平面互相垂直． (2)利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是： [变式训练] 1．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段BD，BC的中点．求证：平面EFB1⊥平面BCC1B1. 证明：在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段BD，BC的中点，则EF∥CD.又因为CD⊥平面BCC1B1，所以EF⊥平面BCC1B1，又因为EF⊂平面EFB1，所以平面EFB1⊥平面BCC1B1. 面面垂直的性质定理的应用　如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC. 求证：AM⊥平面EBC. [思路点拨]　根据面面垂直的性质可证BC⊥平面ACDE，从而BC⊥AM，再证AM⊥平面EBC. 证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM.∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.又BC∩CE＝C，BC，EC⊂平面EBC，∴AM⊥平面EBC. 应用面面垂直的性质定理的策略 (1)应用步骤：面面垂直eq \o(―――――――→,\s\up17(直线垂直两平面交线),\s\do5(　))线面垂直―→线线垂直 (2)应用类型：①证明线面垂直、线线垂直；②作线面角或作二面角的平面角． [变式训练] 2．如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：PA⊥底面ABCD. 证明：因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD.所以PA⊥底面ABCD. 垂直关系的综合问题　已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC. [思路点拨]　由面面垂直证线面垂直，再由线面垂直证线线垂直．证明：如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D. 因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC.AD⊆平面PAC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC，又BC⊆平面PBC，所以AD⊥BC.因为PA⊥平面ABC，BC⊆平面ABC，所以PA⊥BC，因为AD∩PA＝A，AD，PA⊆平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又因为AC⊆平面PAC，所以BC⊥AC. 垂直关系的转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．第一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下： [变式训练] 3．如图，△ABC是正三角形，若AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，求证：AE∥平面BCD. 证明：如图，取BC的中点M，连接DM，AM，因为BD＝CD，所以DM⊥BC.又因为平面BCD⊥平面ABC，DM⊆平面BCD，两平面交线为BC，所以DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM.又因为AE⊄平面BCD，DM⊆平面BCD，所以AE∥平面BCD. 1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，l∥α，m⊆α和m⊥γ，那么必有(　　) A．α⊥γ且l⊥m　　 B．α⊥γ且m∥β C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ 解析：A　[B错，有可能m与β相交；C错，可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．] 2．设有直线m，n和平面α，β，则下列结论中正确的是(　　) ①若m∥n，n⊥β，m⊆α，则α⊥β；②若m⊥n，α∩β＝m，n⊆α，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β. A．①②　　B．①③　　C．②③　　D．①②③ 解析：B　[②错误，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．] 3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是(　　) A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊆β C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β 解析：D　[由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，所以l⊥β，所以α⊥β.] 4．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊆β，n⊥l，直线m⊥α，则m与n的位置关系是　____________　. 解析：因为α⊥β，α∩β＝l，n⊆β，n⊥l，所以n⊥α.又因为m⊥α，所以m∥n. 答案：平行 $$

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第4章 4.4.3 两平面垂直（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册同步教案（高教版2021）

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