第4章 4.4.2 二面角（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册同步教案（高教版2021）

4．4.2　二面角 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课时 素养提升 04 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 课程标准 素养解读 1.了解二面角及其平面角的概念． 2．会求二面角的大小. 1.通过二面角的有关概念，提升直观想象核心素养． 2．通过二面角的大小的求解，培养逻辑推理和数学运算等核心素养. 观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？ [知识点一]　二面角的概念　 1．半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分称为一个半平面． 2．二面角：如下图所示，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为　二面角　.这条直线称为　二面角的棱　，这两个半平面称为　二面角的面　.图中所示的二面角可记为　α­l­β　. 3．画法： 4．记法：二面角α­l­β或α­AB­β或M­l­N或M­AB­N. [知识点二]　二面角的大小　 1.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点， 分别在二面角的两个半平面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的　最小正角　称为二面角的平面角．即若有①O　∈　l；②OA　⊂　α，OB　⊂　β；③OA　⊥　l，OB　⊥　l，则二面角α­l­β的平面角是　∠AOB　. 规定，当二面角的两个半平面重合时，二面角为　零角　；当二面角的两个半平面构成一个面时，二面角为　平角　.于是，二面角的取值范围是[0，π]．当二面角的平面角为直角时，称为　直二面角　. 2．二面角的大小：二面角的大小用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这二面角是多少度． 二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？ 提示：无关．如图，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关． 1．下列说法中，正确的是(　　) A．二面角是两个平面所组成的图形 B．二面角是指角的两边分别在两个平面内的角 C．二面角的平面角的两条边与二面角的棱垂直 D．二面角一定不是钝角 解析：C　[根据二面角的定义知，C正确．] 2．以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角．可能为钝角的有(　　) A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．3个 解析：B　[异面直线所成角的范围为(0°，90°]，直线和平面所成角的范围为[0°，90°]，二面角的平面角的范围为[0°，180°]，只有二面角的平面角可能为钝角．] 3．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2eq \r(6)，则侧面与底面所成的二面角的大小为　________　. 解析：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2eq \r(6)，则底面边长为2eq \r(3)，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，所以侧面与底面所成的二面角的正切值为eq \r(3)，故所求的二面角为60°. 答案：60° 二面角的概念 　下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个半平面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个半平面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的有(　　) A．①③　　B．②④　　C．③④　　D．①② [思路点拨]　根据二面角的定义判断． [解析]：B　[由二面角的定义知，①错误；a，b分别垂直于两个半平面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③错误；由定义知④正确．] 二面角是一个图形，其大小用它的平面角来度量．二面角的大小与顶点在棱上的位置无关． [变式训练] 1．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为(　　) A．相等　　　　　　　　　 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 解析：D　[如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中， E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D­AA1­E与二面角B1­AB­D的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补．] 二面角的计算问题 　如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中： (1)求二面角D′­AB­D的大小； (2)求二面角A′­AB­D的大小． [思路点拨]　关键是找二面角的平面角，∠D′AD是二面角D′­AB­D的平面角，∠A′AD是二面角A′­AB­D的平面角． [解]　(1)在正方体ABCD­A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，所以∠D′AD为二面角D′­AB­D的平面角，在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′­AB­D的大小为45°. (2)因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，∠A′AD为二面角A′­AB­D的平面角．又∠A′AD＝90°，所以二面角A′­AB­D的大小为90°. (1)求二面角大小的步骤 ①找出这个平面角； ②证明这个角是二面角的平面角； ③作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小． (2)确定二面角的平面角的方法 ①定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． ②垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角． [变式训练] 2．如图1，将等腰直角三角形ABC以斜边AB上的高CD为棱折成直二面角(如图2)，求∠ADB的大小． 解：因为CD是等腰直角三角形ABC斜边AB上的高，所以CD⊥AB.于是二面角A－CD－B中，AD⊥CD，BD⊥CD，从而∠ADB是二面角A－CD－B的平面角．由于二面角A－CD－B是直二面角，所以∠ADB＝90°. 1．下列说法： ①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个平面内作射线所成的角；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系． 其中正确的个数是(　　) A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3 解析：A　[根据二面角定义知①②③都不正确．] 2．下列命题中正确的是(　　) A．垂直于同一条直线的两个平面垂直 B．过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行 C．与异面直线所成角、线面所成角一样，二面角也是平面图形 D．对某个二面角来说，它的平面角是唯一的 解析：B　[垂直于同一条直线的两个平面平行；A错误；二面角是空间图形，C错误；二面角的平面角有无数个，D错误．] 3.如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个直二面角，则此时∠B′AC大小是(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 解析：B　[连接B′C，∵△ABC是等腰直角三角形， 且AD⊥BC，则∠B′DC为二面角的平面角，设AD＝B′D＝a，则AB′＝AC＝eq \r(2)a，在△B′DC中∠B′DC＝90°，∴B′C＝eq \r(2)a，∴△AB′C是等边三角形，∠B′AC＝60°.] 4．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是　________　. 解析：可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°. 答案：45° $$ 4．4.2　二面角 课程标准 素养解读 1.了解二面角及其平面角的概念． 2．会求二面角的大小. 1.通过二面角的有关概念，提升直观想象核心素养． 2．通过二面角的大小的求解，培养逻辑推理和数学运算等核心素养. 观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？ [知识点一]　二面角的概念　 1．半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分称为一个半平面． 2．二面角：如下图所示，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为　二面角　.这条直线称为　二面角的棱　，这两个半平面称为　二面角的面　.图中所示的二面角可记为　α­l­β　. 3．画法： 4．记法：二面角α­l­β或α­AB­β或M­l­N或M­AB­N. [知识点二]　二面角的大小　 1.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点， 分别在二面角的两个半平面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的　最小正角　称为二面角的平面角．即若有①O　∈　l；②OA　⊂　α，OB　⊂　β；③OA　⊥　l，OB　⊥　l，则二面角α­l­β的平面角是　∠AOB　. 规定，当二面角的两个半平面重合时，二面角为　零角　；当二面角的两个半平面构成一个面时，二面角为　平角　.于是，二面角的取值范围是[0，π]．当二面角的平面角为直角时，称为　直二面角　. 2．二面角的大小：二面角的大小用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这二面角是多少度． 二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？ 提示：无关．如图，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关． 1．下列说法中，正确的是(　　) A．二面角是两个平面所组成的图形 B．二面角是指角的两边分别在两个平面内的角 C．二面角的平面角的两条边与二面角的棱垂直 D．二面角一定不是钝角 解析：C　[根据二面角的定义知，C正确．] 2．以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角．可能为钝角的有(　　) A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．3个 解析：B　[异面直线所成角的范围为(0°，90°]，直线和平面所成角的范围为[0°，90°]，二面角的平面角的范围为[0°，180°]，只有二面角的平面角可能为钝角．] 3．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角的大小为　________　. 解析：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，所以侧面与底面所成的二面角的正切值为，故所求的二面角为60°. 答案：60° 二面角的概念 　下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个半平面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个半平面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的有(　　) A．①③　　B．②④　　C．③④　　D．①② [思路点拨]　根据二面角的定义判断． [解析]：B　[由二面角的定义知，①错误；a，b分别垂直于两个半平面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③错误；由定义知④正确．] 二面角是一个图形，其大小用它的平面角来度量．二面角的大小与顶点在棱上的位置无关． [变式训练] 1．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为(　　) A．相等　　　　　　　　　 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 解析：D　[如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中， E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D­AA1­E与二面角B1­AB­D的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补．] 二面角的计算问题 　如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中： (1)求二面角D′­AB­D的大小； (2)求二面角A′­AB­D的大小． [思路点拨]　关键是找二面角的平面角，∠D′AD是二面角D′­AB­D的平面角，∠A′AD是二面角A′­AB­D的平面角． [解]　(1)在正方体ABCD­A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，所以∠D′AD为二面角D′­AB­D的平面角，在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′­AB­D的大小为45°. (2)因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，∠A′AD为二面角A′­AB­D的平面角．又∠A′AD＝90°，所以二面角A′­AB­D的大小为90°. (1)求二面角大小的步骤 ①找出这个平面角； ②证明这个角是二面角的平面角； ③作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小． (2)确定二面角的平面角的方法 ①定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． ②垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角． [变式训练] 2．如图1，将等腰直角三角形ABC以斜边AB上的高CD为棱折成直二面角(如图2)，求∠ADB的大小． 解：因为CD是等腰直角三角形ABC斜边AB上的高，所以CD⊥AB.于是二面角A－CD－B中，AD⊥CD，BD⊥CD，从而∠ADB是二面角A－CD－B的平面角．由于二面角A－CD－B是直二面角，所以∠ADB＝90°. 1．下列说法： ①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个平面内作射线所成的角；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系． 其中正确的个数是(　　) A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3 解析：A　[根据二面角定义知①②③都不正确．] 2．下列命题中正确的是(　　) A．垂直于同一条直线的两个平面垂直 B．过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行 C．与异面直线所成角、线面所成角一样，二面角也是平面图形 D．对某个二面角来说，它的平面角是唯一的 解析：B　[垂直于同一条直线的两个平面平行；A错误；二面角是空间图形，C错误；二面角的平面角有无数个，D错误．] 3.如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个直二面角，则此时∠B′AC大小是(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 解析：B　[连接B′C，∵△ABC是等腰直角三角形， 且AD⊥BC，则∠B′DC为二面角的平面角，设AD＝B′D＝a，则AB′＝AC＝a，在△B′DC中∠B′DC＝90°，∴B′C＝a，∴△AB′C是等边三角形，∠B′AC＝60°.] 4．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是　________　. 解析：可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°. 答案：45° [基础过关] 1．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是(　　) A．互为余角　　　　 B．相等 C．其和为周角 D．互为补角 解析：D　[画图知，从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D.] 2．在四棱锥V­ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面是腰长为3的等腰三角形，则二面角V­AB­C的余弦值的大小为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 解析：B　[如图所示，取AB的中点E， 连接VE，过V作底面的垂线，垂足为O，连接OE.根据题意可知，∠VEO是二面角V­AB­C的平面角．因为OE＝1，VE＝＝2，所以cos∠VEO＝＝＝.] 3．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后的△ABC是(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 解析：A　[如图①，设正方形ABCD的边长为1，AC与BD相交于O，则折成直二面角后如图②，AB＝BC＝1，AC＝＝＝1，则△ABC是等边三角形．] 4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角A­BC­A1的平面角等于(　　) A．30°　　B．45°　　C．60°　　D．90° 解析：B　[根据正方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA1即为二面角A­BC­A1的平面角．又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.] 5．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角B′­AD­C，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角的大小是(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 解析： A　[设在等腰直线△ABC中，AB＝AC＝a，则BC＝a，∴B′D＝CD＝a.∵等腰直角三角形△ABC斜边BC上的高AD＝a，∴B′D⊥AD，CD⊥AD，∴∠B′DC是二面角B′­AD­C的平面角．如图，连接B′C.∵∠B′AC＝60°，∴B′C＝a，∴B′D2＋CD2＝B′C2，∴∠B′DC＝90°，∴二面角B′－AD－C的大小是90°.] 6．在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，沿AD折成二面角B­AD­C.若此时BC＝a，则二面角B­AD­C的大小为　________　. 解析：在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，沿AD折成二面角B­AD­C，由二面角的定义知，∠BDC为所求二面角B­AD­C的平面角，又BC＝BD＝DC＝a，∴△BDC为等边三角形， ∴∠BDC＝60°，即二面角B­AD­C的大小为60°. 答案：60° 7.如图，在三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝2，则二面角P­AB­C的大小为　________　. 解析：如图，取AB中点M，连接PM，MC， 则PM⊥AB，CM⊥AB，∴∠PMC就是二面角P­AB­C的平面角．在△PAB中，PM＝＝1，同理MC＝1，则△PMC是等边三角形，所以∠PMC＝60°. 答案：60° 8.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B­PA­C的大小等于　________　. 解析：因为PA⊥平面ABC.所以PA⊥AB，PA⊥AC，∠BAC为二面角B­PA­C的平面角．又∠BAC＝90°，所以二面角B­PA­C的大小为90°. 答案：90° 9.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P­BC­A的大小． 解：由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC. ∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上， ∴AC⊥BC. 又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC. 又∵BC是二面角P­BC­A的棱， ∴∠PCA是二面角P­BC­A的平面角． 由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形， ∴∠PCA＝45°，即二面角P­BC­A的大小是45°. [能力提升] 10．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1­BD­A的正切值为(　　) A. B. C. D. 解析：C　[如图所示，连接AC交BD于点O， 连接A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠A1OA为二面角A1­BD­A 的平面角．设AA1＝1，则AO＝.∴tan∠A1OA＝＝.] 11.如图所示，在三棱锥S­ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝1，SA＝，则二面角S­BC­A的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：C　[取BC的中点O，连接SO，AO， 因为AB＝AC，O是BC的中点，所以AO⊥BC，同理可证SO⊥BC，所以∠SOA是二面角S­BC­A的平面角．在△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，AB＝1，所以AO＝1×sin 60°＝. 同理可求SO＝. 又SA＝，所以△SOA是等边三角形，所以∠SOA＝60°， 所以二面角S­BC­A的大小为60°.] 12．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列几种说法不正确的是(　　) A．A1C1⊥BD B．B1C与BD所成的角为60° C．二面角A1­BC­D的平面角为45° D．AC1与平面ABCD所成的角为45° 解析：D　[对于A，连接AC， 则AC⊥BD，A1C1∥AC，∴A1C1⊥BD，故A正确；对于B，连接A1D，∵B1C∥A1D，∴B1C与BD所成的角为∠A1DB，连接A1B，△A1DB为等边三角形，∴B1C与BD所成的角为60°，故B正确；对于C，∵BC⊥平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴BC⊥A1B.又∵AB⊥BC，平面A1BC∩平面BCD＝BC，A1B⊂平面A1BC，AB⊂平面BCD，∴∠ABA1是二面角A1­BC­D的平面角．∵△A1AB是等腰直角三角形，∴∠ABA1＝45°，故C正确；对于D，∵C1C⊥平面ABCD，AC1∩平面ABCD＝A，∴∠C1AC是AC1与平面ABCD所成的角．∵AC≠C1C，∴∠C1AC≠45°，故D错误．] 13.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面AA1B1B与平面AA1C1C所成角的大小为　________　. 解析：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面AA1B1B∩平面AA1C1C＝AA1，AA1⊥AC，AA1⊥AB，所以∠BAC就是平面AA1B1B与平面AA1C1C所成的角，所以∠BAC＝. 答案： 14．已知△ABC是等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AC，则二面角P­BC­A为　________　. 解析：如图所示，作BC的中点M，连接PM、AM. 设PA＝a，则等边△ABC边长为2a，AM＝a，AM⊥BC.又因为AB、AC分别为斜线PB、PC在面ABC上的射影，AB＝AC，所以PB＝PC，故PM⊥BC，∠PMA为二面角P­BC­A的平面角．又因为PA⊥平面ABC，AM⊂平面ABC，所以PA⊥AM.在Rt△PAM中，PA＝a，AM＝a，tan∠PMA＝＝，则∠PMA＝30°，故二面角P­BC­A的度数为30°. 答案：30° 15．在三棱锥P­ABC中，∠APB＝∠BPC＝∠APC＝60°，求二面角A­PB­C的余弦值． 解：在PB上取PQ＝1，作MQ⊥PB交PA于M，作QN⊥PB交PC于N，所以∠MQN为二面角A­PB­C的平面角，解直角三角形得MQ＝NQ＝，PN＝PM＝2，又∠APC＝60°，所以MN＝2，所以cos∠MQN＝＝，即二面角A­PB­C的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是(　　) A．互为余角　　　　 B．相等 C．其和为周角 D．互为补角 解析：D　[画图知，从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D.] 2．在四棱锥V­ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面是腰长为3的等腰三角形，则二面角V­AB­C的余弦值的大小为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 解析：B　[如图所示，取AB的中点E， 连接VE，过V作底面的垂线，垂足为O，连接OE.根据题意可知，∠VEO是二面角V­AB­C的平面角．因为OE＝1，VE＝＝2，所以cos∠VEO＝＝＝.] 3．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后的△ABC是(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 解析：A　[如图①，设正方形ABCD的边长为1，AC与BD相交于O，则折成直二面角后如图②，AB＝BC＝1，AC＝＝＝1，则△ABC是等边三角形．] 4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角A­BC­A1的平面角等于(　　) A．30°　　B．45°　　C．60°　　D．90° 解析：B　[根据正方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA1即为二面角A­BC­A1的平面角．又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.] 5．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角B′­AD­C，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角的大小是(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 解析： A　[设在等腰直线△ABC中，AB＝AC＝a，则BC＝a，∴B′D＝CD＝a.∵等腰直角三角形△ABC斜边BC上的高AD＝a，∴B′D⊥AD，CD⊥AD，∴∠B′DC是二面角B′­AD­C的平面角．如图，连接B′C.∵∠B′AC＝60°，∴B′C＝a，∴B′D2＋CD2＝B′C2，∴∠B′DC＝90°，∴二面角B′－AD－C的大小是90°.] 6．在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，沿AD折成二面角B­AD­C.若此时BC＝a，则二面角B­AD­C的大小为　________　. 解析：在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，沿AD折成二面角B­AD­C，由二面角的定义知，∠BDC为所求二面角B­AD­C的平面角，又BC＝BD＝DC＝a，∴△BDC为等边三角形， ∴∠BDC＝60°，即二面角B­AD­C的大小为60°. 答案：60° 7.如图，在三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝2，则二面角P­AB­C的大小为　________　. 解析：如图，取AB中点M，连接PM，MC， 则PM⊥AB，CM⊥AB，∴∠PMC就是二面角P­AB­C的平面角．在△PAB中，PM＝＝1，同理MC＝1，则△PMC是等边三角形，所以∠PMC＝60°. 答案：60° 8.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B­PA­C的大小等于　________　. 解析：因为PA⊥平面ABC.所以PA⊥AB，PA⊥AC，∠BAC为二面角B­PA­C的平面角．又∠BAC＝90°，所以二面角B­PA­C的大小为90°. 答案：90° 9.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P­BC­A的大小． 解：由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC. ∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上， ∴AC⊥BC. 又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC. 又∵BC是二面角P­BC­A的棱， ∴∠PCA是二面角P­BC­A的平面角． 由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形， ∴∠PCA＝45°，即二面角P­BC­A的大小是45°. [能力提升] 10．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1­BD­A的正切值为(　　) A. B. C. D. 解析：C　[如图所示，连接AC交BD于点O， 连接A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠A1OA为二面角A1­BD­A 的平面角．设AA1＝1，则AO＝.∴tan∠A1OA＝＝.] 11.如图所示，在三棱锥S­ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝1，SA＝，则二面角S­BC­A的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：C　[取BC的中点O，连接SO，AO， 因为AB＝AC，O是BC的中点，所以AO⊥BC，同理可证SO⊥BC，所以∠SOA是二面角S­BC­A的平面角．在△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，AB＝1，所以AO＝1×sin 60°＝. 同理可求SO＝. 又SA＝，所以△SOA是等边三角形，所以∠SOA＝60°， 所以二面角S­BC­A的大小为60°.] 12．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列几种说法不正确的是(　　) A．A1C1⊥BD B．B1C与BD所成的角为60° C．二面角A1­BC­D的平面角为45° D．AC1与平面ABCD所成的角为45° 解析：D　[对于A，连接AC， 则AC⊥BD，A1C1∥AC，∴A1C1⊥BD，故A正确；对于B，连接A1D，∵B1C∥A1D，∴B1C与BD所成的角为∠A1DB，连接A1B，△A1DB为等边三角形，∴B1C与BD所成的角为60°，故B正确；对于C，∵BC⊥平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴BC⊥A1B.又∵AB⊥BC，平面A1BC∩平面BCD＝BC，A1B⊂平面A1BC，AB⊂平面BCD，∴∠ABA1是二面角A1­BC­D的平面角．∵△A1AB是等腰直角三角形，∴∠ABA1＝45°，故C正确；对于D，∵C1C⊥平面ABCD，AC1∩平面ABCD＝A，∴∠C1AC是AC1与平面ABCD所成的角．∵AC≠C1C，∴∠C1AC≠45°，故D错误．] 13.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面AA1B1B与平面AA1C1C所成角的大小为　________　. 解析：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面AA1B1B∩平面AA1C1C＝AA1，AA1⊥AC，AA1⊥AB，所以∠BAC就是平面AA1B1B与平面AA1C1C所成的角，所以∠BAC＝. 答案： 14．已知△ABC是等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AC，则二面角P­BC­A为　________　. 解析：如图所示，作BC的中点M，连接PM、AM. 设PA＝a，则等边△ABC边长为2a，AM＝a，AM⊥BC.又因为AB、AC分别为斜线PB、PC在面ABC上的射影，AB＝AC，所以PB＝PC，故PM⊥BC，∠PMA为二面角P­BC­A的平面角．又因为PA⊥平面ABC，AM⊂平面ABC，所以PA⊥AM.在Rt△PAM中，PA＝a，AM＝a，tan∠PMA＝＝，则∠PMA＝30°，故二面角P­BC­A的度数为30°. 答案：30° 15．在三棱锥P­ABC中，∠APB＝∠BPC＝∠APC＝60°，求二面角A­PB­C的余弦值． 解：在PB上取PQ＝1，作MQ⊥PB交PA于M，作QN⊥PB交PC于N，所以∠MQN为二面角A­PB­C的平面角，解直角三角形得MQ＝NQ＝，PN＝PM＝2，又∠APC＝60°，所以MN＝2，所以cos∠MQN＝＝，即二面角A­PB­C的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$