第4章 4.3.2 第1课时 直线与平面垂直(一)（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册同步教案（高教版2021）

4．3.2　直线与平面垂直 第1课时　直线与平面垂直(一) 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课时 素养提升 04 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 课程标准 素养解读 1.理解并掌握直线与平面垂直的相关定义． 2．掌握直线与平面垂直的判定定理，并能运用它们解决有关线面垂直问题. 1.通过学习直线与平面垂直的定义，提升直观想象的核心素养． 2．通过直线与平面垂直的判定定理的应用，提高逻辑推理等核心素养. 如图，阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么？随着太阳的移动，旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗？ [知识点一]　直线与平面垂直定义　 1．定义：如果直线l与平面α内的　任何一条　直线都垂直，那么称这条直线l与这个平面α互相垂直，记作l⊥α. 2．相关概念 垂线 这条直线l称为平面α的　垂线　 垂面 这个平面α称为直线l的　垂面　 垂足 直线与平面垂直时，它们唯一的　交点　 垂线段 过一点作平面的垂线，该点与垂足间的　线段　 点到平面的距离 垂线段的　长度　 3.重要结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． [知识点二]　直线与平面垂直的判定定理　 文字 语言 如果一条直线与平面内的　两条相交直线　都垂直，那么这条直线与这个平面垂直 符号 语言 l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊆α，　m∩n＝A⇒l⊥α　 图形 语言 [知识点三]　直线与平面垂直的判定定理的推论　 文字 语言 如果两条平行线中有一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 符号 语言 l∥m，l⊥α⇒m⊥α 图形 语言 直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？ 提示：定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直． 1．下列不能判断直线l与平面α垂直的是(　　) A．直线l与平面α内的所有直线都垂直 B．直线l与平面α内的任意直线都垂直 C．直线l与平面α内的两条相交直线都垂直 D．直线l与平面α内的无数条直线都垂直 解析：D　[根据直线与平面垂直的定义和判定定理，ABC正确，D错误．] 2．如果直线l与平面α内两条相交直线都垂直，那么直线l与平面α的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．斜交 D．直线在平面内 解析：B　[直线与平面垂直的判定定理．] 3．三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　) A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC 解析：C　[由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.] 直线与平面垂直的初步认识 　下列四个命题中，其中正确的是(　　) A．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行 B．若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线 C．若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直 D．过一点和已知平面垂直的直线有无数条 [思路点拨]　依据直线与平面垂直的定义逐一判断 [解析]　C　[l与平面α内的所有直线都垂直，所以A不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以B不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以C正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以D不正确．] 直线与平面垂直定义的“双向”作用 证明线面垂直：若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则该直线与已知平面垂直，即线线垂直⇒线面垂直． 证明线线垂直：若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直，即线面垂直⇒线线垂直． [变式训练] 1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　) A．若l⊥m，m⊆α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊆α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m 解析：B　[对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l⊥α，则l垂直α内的任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成的角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．] 直线与平面垂直的判定 　如图所示，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，求证： (1)BC⊥平面PAB； (2)AE⊥平面PBC； (3)PC⊥平面AEF. [思路点拨]　只须证明直线与平面内的两条相交直线都垂直即可． [证明]　(1)∵PA⊥平面ABC，BC⊆平面ABC，∴PA⊥BC.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.又AB∩PA＝A，AB，PA⊆平面PAB，∴BC⊥平面PAB. (2)∵BC⊥平面PAB，AE⊆平面PAB，∴BC⊥AE.∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，BC，PB⊆平面PBC，∴AE⊥平面PBC. (3)∵AE⊥平面PBC，PC⊆平面PBC，∴AE⊥PC.又∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，AE，AF⊆平面AEF，∴PC⊥平面AEF. (1)线线垂直和线面垂直的相互转化 (2)证明线面垂直的方法 在推线线垂直的过程中，若三角形的三边长符合勾股定理，则三角形是直角三角形，两条直角边相互垂直，得到线线垂直，即通过计算证明垂直关系． [变式训练] 2．如图所示，已知四面体ABCD，AB＝AC，DB＝DC，点M为BC的中点． 求证：BC⊥平面AMD. 证明：∵AB＝AC，DB＝DC，M为BC的中点， ∴AM⊥BC，DM⊥BC.又∵AM∩DM＝M，AM，DM⊆平面AMD，∴BC⊥平面AMD. 直线与平面垂直的判定定理的推论 　在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点，且AD＝PD＝2MA. 求证：GF⊥平面PDC. [思路点拨]　先证BC⊥平面PDC，再证GF∥BC，从而GF⊥平面PDC. 证明：因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.又BC⊆平面ABCD，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.在△PBC中，因为G，F分别为PB，PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC. 在两条平行线中，如果有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，实现了平行与垂直的转化，即线线平行eq \o(――→,\s\up7(推论),\s\do5(　))线面垂直． [变式训练] 1.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE. 求证：AE⊥BE. 证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.又AE⊆平面ABE，∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，AE⊆平面ACE，∴AE⊥BF.又∵BF⊆平面BCE，BC⊆平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE⊆平面BCE，∴AE⊥BE. 1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．不确定 解析：B　[一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．] 2．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是(　　) ①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边． A．①③ B．② C．②④ D．①②④ 解析：A　[由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面，对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直．] 3．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是(　　) A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥α C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α 解析：D　[根据线线平行，线面垂直和判定定理进行判断．] 4．三棱锥的四个面中，直角三角形最多有　______　个． 解析：如图，在三棱锥S­ABC中，SA⊥平面ABC，∠ABC＝90°.所以三棱锥的四个面都是直角三角形． 答案：4 $$ [基础过关] 1.直线l⊥平面α，直线m⊆α，则l与m不可能(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 解析：A　[若l∥m，l⃘α，m⊆α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m不可能平行．] 2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是(　　) A．垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．不确定 解析：A　[因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．] 3．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是(　　) A．l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直 C．l在平面α内 D．不能确定 解析：D　[如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．] 4．下列表述正确的个数为(　　) ①若直线a∥平面α，直线a⊥b，则b⊥α；②若直线a⃘平面α，b⊆α且a⊥b，则a⊥α；③若直线a平行于平面α内的两条直线，由a∥α；④若直线a垂直于平面α内的两条直线，则a⊥α. A．0 B．1 C．2 D．3 解析：A　[①中b与α还可能平行、斜交或b在平面α内；②只垂直了一条直线，不能证明a⊥α；③a有可能与在平面α内；④必须是α内两条相交直线．] 5．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　) A．异面 B．平行 C．垂直 D．不确定 解析：C　[∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊆α，∴BA⊥l，同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC⊆平面ABC，∴l⊥AC] 6．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有　________　个． 解析：如果两点所在直线与平面垂直，则经过这两点且与已知平面垂直的平面有无数个；如果这两点所在直线与已知平面斜交，则经过这两点且与已知平面垂直的平面有且只有1个． 答案：1或无数 7.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中， (1)与PC垂直的直线有　________　； (2)与AP垂直的直线有　________　. 解析：(1)因为PC⊥平面ABC，所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC. (2)∠BCA＝90°，所以BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面APC，所以AP⊥BC. 答案：(1)AB，AC，BC　(2)BC 8．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AC与平面BB1D1D的位置关系是　____________　. 解析：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AC⊆平面ABCD，所以BB1⊥AC，又AC⊥BD，BB1∩BD＝B，所以AC⊥平面BB1D1D. 答案：垂直 9．如图，平面α∩平面β＝CD，EA⊥α于点A，EB⊥β于点B. 求证：AB⊥CD. 证明：因为EA⊥α，CD⊆α，根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.同理因为EB⊥β，CD⊆β，则有EB⊥CD.又EA∩EB＝E，根据直线和平面垂直的判定定理，则有CD⊥平面AEB.又因为AB⊆平面AEB，所以CD⊥AB. [能力提升] 10．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是(　　) A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直 C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交 解析：C　[如图，取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO， ∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC， 又∵BD、AC异面，∴选C.] 11.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直 解析：C　[连接AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊆平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与直线BD的位置关系是垂直但不相交．] 12．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的(　　) A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心 解析：C　 [如图，设点P在平面ABC内的射影为O，连接OA，OB，OC. ∵三棱锥的三条侧棱两两相等， ∴PA＝PB＝PC.∵PO⊥底面ABC， ∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC， ∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心．] 13.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，此图形中直角三角形的个数为　________　个． 解析：∵PA⊥平面ABC， ∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∵AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.综上知：△ABC，△PAC，△PAB，△PBC，都是直角三角形，共有4个． 答案：4 14．在三棱柱ABC­A1B1C1 中CC1⊥底面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件　________　时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)． 解析：如图所示，连接B1C， 由BC＝CC1可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由CC1⊥底面ABC可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可． 答案：∠A1C1B1＝90° 15.如图，在三棱锥S­ABC中， ∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC. 求证：SD⊥平面ABC. 证明：∵SA＝SC，D是AC的中点，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，∴△ADS≌△BDS，∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC⊆平面ABC，BD⊆平面ABC，∴SD⊥平面ABC. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4．3.2　直线与平面垂直 第1课时　直线与平面垂直(一) 课程标准 素养解读 1.理解并掌握直线与平面垂直的相关定义． 2．掌握直线与平面垂直的判定定理，并能运用它们解决有关线面垂直问题. 1.通过学习直线与平面垂直的定义，提升直观想象的核心素养． 2．通过直线与平面垂直的判定定理的应用，提高逻辑推理等核心素养. 如图，阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么？随着太阳的移动，旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗？ [知识点一]　直线与平面垂直定义　 1．定义：如果直线l与平面α内的　任何一条　直线都垂直，那么称这条直线l与这个平面α互相垂直，记作l⊥α. 2．相关概念 垂线 这条直线l称为平面α的　垂线　 垂面 这个平面α称为直线l的　垂面　 垂足 直线与平面垂直时，它们唯一的　交点　 垂线段 过一点作平面的垂线，该点与垂足间的　线段　 点到平面的距离 垂线段的　长度　 3.重要结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． [知识点二]　直线与平面垂直的判定定理　 文字 语言 如果一条直线与平面内的　两条相交直线　都垂直，那么这条直线与这个平面垂直 符号 语言 l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊆α，　m∩n＝A⇒l⊥α　 图形 语言 [知识点三]　直线与平面垂直的判定定理的推论　 文字 语言 如果两条平行线中有一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 符号 语言 l∥m，l⊥α⇒m⊥α 图形 语言 直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？ 提示：定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直． 1．下列不能判断直线l与平面α垂直的是(　　) A．直线l与平面α内的所有直线都垂直 B．直线l与平面α内的任意直线都垂直 C．直线l与平面α内的两条相交直线都垂直 D．直线l与平面α内的无数条直线都垂直 解析：D　[根据直线与平面垂直的定义和判定定理，ABC正确，D错误．] 2．如果直线l与平面α内两条相交直线都垂直，那么直线l与平面α的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．斜交 D．直线在平面内 解析：B　[直线与平面垂直的判定定理．] 3．三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　) A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC 解析：C　[由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.] 　直线与平面垂直的初步认识 　下列四个命题中，其中正确的是(　　) A．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行 B．若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线 C．若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直 D．过一点和已知平面垂直的直线有无数条 [思路点拨]　依据直线与平面垂直的定义逐一判断 [解析]　C　[l与平面α内的所有直线都垂直，所以A不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以B不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以C正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以D不正确．] 直线与平面垂直定义的“双向”作用 证明线面垂直：若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则该直线与已知平面垂直，即线线垂直⇒线面垂直． 证明线线垂直：若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直，即线面垂直⇒线线垂直．[变式训练] 1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　) A．若l⊥m，m⊆α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊆α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m 解析：B　[对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l⊥α，则l垂直α内的任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成的角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．] 　直线与平面垂直的判定 　如图所示，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，求证： (1)BC⊥平面PAB； (2)AE⊥平面PBC； (3)PC⊥平面AEF. [思路点拨]　只须证明直线与平面内的两条相交直线都垂直即可． [证明]　(1)∵PA⊥平面ABC，BC⊆平面ABC，∴PA⊥BC.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.又AB∩PA＝A，AB，PA⊆平面PAB，∴BC⊥平面PAB. (2)∵BC⊥平面PAB，AE⊆平面PAB，∴BC⊥AE.∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，BC，PB⊆平面PBC，∴AE⊥平面PBC. (3)∵AE⊥平面PBC，PC⊆平面PBC，∴AE⊥PC.又∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，AE，AF⊆平面AEF，∴PC⊥平面AEF. (1)线线垂直和线面垂直的相互转化 (2)证明线面垂直的方法 在推线线垂直的过程中，若三角形的三边长符合勾股定理，则三角形是直角三角形，两条直角边相互垂直，得到线线垂直，即通过计算证明垂直关系． [变式训练] 2．如图所示，已知四面体ABCD，AB＝AC，DB＝DC，点M为BC的中点． 求证：BC⊥平面AMD. 证明：∵AB＝AC，DB＝DC，M为BC的中点， ∴AM⊥BC，DM⊥BC.又∵AM∩DM＝M，AM，DM⊆平面AMD，∴BC⊥平面AMD. 直线与平面垂直的判定定理的推论 　在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点，且AD＝PD＝2MA. 求证：GF⊥平面PDC. [思路点拨]　先证BC⊥平面PDC，再证GF∥BC，从而GF⊥平面PDC. 证明：因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.又BC⊆平面ABCD，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.在△PBC中，因为G，F分别为PB，PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC. 在两条平行线中，如果有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，实现了平行与垂直的转化，即线线平行线面垂直． [变式训练] 1. 如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE. 求证：AE⊥BE. 证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.又AE⊆平面ABE，∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，AE⊆平面ACE，∴AE⊥BF.又∵BF⊆平面BCE，BC⊆平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE⊆平面BCE，∴AE⊥BE. 1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．不确定 解析：B　[一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．] 2．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是(　　) ①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边． A．①③ B．② C．②④ D．①②④ 解析：A　[由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面，对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直．] 3．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是(　　) A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥α C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α 解析：D　[根据线线平行，线面垂直和判定定理进行判断．] 4．三棱锥的四个面中，直角三角形最多有　______　个． 解析：如图，在三棱锥S­ABC中，SA⊥平面ABC，∠ABC＝90°.所以三棱锥的四个面都是直角三角形． 答案：4 [基础过关] 1.直线l⊥平面α，直线m⊆α，则l与m不可能(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 解析：A　[若l∥m，l⃘α，m⊆α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m不可能平行．] 2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是(　　) A．垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．不确定 解析：A　[因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．] 3．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是(　　) A．l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直 C．l在平面α内 D．不能确定 解析：D　[如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．] 4．下列表述正确的个数为(　　) ①若直线a∥平面α，直线a⊥b，则b⊥α；②若直线a⃘平面α，b⊆α且a⊥b，则a⊥α；③若直线a平行于平面α内的两条直线，由a∥α；④若直线a垂直于平面α内的两条直线，则a⊥α. A．0 B．1 C．2 D．3 解析：A　[①中b与α还可能平行、斜交或b在平面α内；②只垂直了一条直线，不能证明a⊥α；③a有可能与在平面α内；④必须是α内两条相交直线．] 5．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　) A．异面 B．平行 C．垂直 D．不确定 解析：C　[∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊆α，∴BA⊥l，同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC⊆平面ABC，∴l⊥AC] 6．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有　________　个． 解析：如果两点所在直线与平面垂直，则经过这两点且与已知平面垂直的平面有无数个；如果这两点所在直线与已知平面斜交，则经过这两点且与已知平面垂直的平面有且只有1个． 答案：1或无数 7.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中， (1)与PC垂直的直线有　________　； (2)与AP垂直的直线有　________　. 解析：(1)因为PC⊥平面ABC，所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC. (2)∠BCA＝90°，所以BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面APC，所以AP⊥BC. 答案：(1)AB，AC，BC　(2)BC 8．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AC与平面BB1D1D的位置关系是　____________　. 解析：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AC⊆平面ABCD，所以BB1⊥AC，又AC⊥BD，BB1∩BD＝B，所以AC⊥平面BB1D1D. 答案：垂直 9．如图，平面α∩平面β＝CD，EA⊥α于点A，EB⊥β于点B. 求证：AB⊥CD. 证明：因为EA⊥α，CD⊆α，根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.同理因为EB⊥β，CD⊆β，则有EB⊥CD.又EA∩EB＝E，根据直线和平面垂直的判定定理，则有CD⊥平面AEB.又因为AB⊆平面AEB，所以CD⊥AB. [能力提升] 10．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是(　　) A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直 C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交 解析：C　[如图，取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO， ∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC， 又∵BD、AC异面，∴选C.] 11.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直 解析：C　[连接AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊆平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与直线BD的位置关系是垂直但不相交．] 12．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的(　　) A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心 解析：C　 [如图，设点P在平面ABC内的射影为O，连接OA，OB，OC. ∵三棱锥的三条侧棱两两相等， ∴PA＝PB＝PC.∵PO⊥底面ABC， ∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC， ∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心．] 13.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，此图形中直角三角形的个数为　________　个． 解析：∵PA⊥平面ABC， ∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∵AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.综上知：△ABC，△PAC，△PAB，△PBC，都是直角三角形，共有4个． 答案：4 14．在三棱柱ABC­A1B1C1 中CC1⊥底面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件　________　时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)． 解析：如图所示，连接B1C， 由BC＝CC1可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由CC1⊥底面ABC可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可． 答案：∠A1C1B1＝90° 15.如图，在三棱锥S­ABC中， ∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC. 求证：SD⊥平面ABC. 证明：∵SA＝SC，D是AC的中点，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，∴△ADS≌△BDS，∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC⊆平面ABC，BD⊆平面ABC，∴SD⊥平面ABC. 学科网（北京）股份有限公司 $$