第4章 4.3.1 直线与平面平行（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册同步教案（高教版2021）

4．3　直线与平面的位置关系 4．3.1　直线与平面平行 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课时 素养提升 04 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 课程标准 素养解读 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系． 2．学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系． 3．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用两个定理解决空间中的平行关系问题. 1.通过学习直线与平面平行的性质定理，判定定理，提升直观想象核心素养． 2．通过线面平行的性质与判定定理的应用，提升逻辑推理等核心素养. 观察下面图形，门扇的竖直两边是平行的，当门扇绕着一边转动时只要门扇不被关闭，不论转动到什么位置，它能活动的竖直一边所在直线都与固定的竖直边所在平面(墙面)有怎样的位置关系？ [知识点一]　直线与平面的位置关系　 直线与平面 的位置关系 定义 图形语言 符号语言 直线在平面内 　有无数个公共点　 　a⊆α　 直线与 平面相交 　有且只有一 　个公共点　 　b∩α＝B　 直线与 平面平行 　没有公共点　 　c∥α　 我们把直线l与平面α相交或平行的情况统称为　直线l在平面α外　，用符号表示为lα. [知识点二]　直线与平面平行的判定定理　 　　表示 定理　　 图形 文字 符号 直线与平面平行的判定定理 如果平面外的一条直线与这个　平面内的一条直线平行　，那么这条直线与这个平面平行 [知识点三]　直线与平面平行的性质定理　 文字语言 如果一条直线与一个平面　平行　，那么经过这条直线的任一平面和这个平面的交线，与这条直线　平行　 符号语言 m∥α，m⊂β，α∩β＝n⇒m∥n 图形语言 若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行，对吗？ 提示：根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误． 1．已知直线a，b，平面α，且满足a⊆α，则使b∥α的条件为(　　) A．b∥a B．b∥a且b⊄α C．a与b异面 D．a与b不相交 解析：B　[由线面平行的判定定理知需加上条件b∥a，bα.] 2．如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是(　　) A．相交 B．b∥α C．b⊆α D．b∥α或b⊆α 解析：D　[由a∥b且a∥α，知b∥α或b⊆α.] 3．长方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，与EF平行的长方体的面有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：C　 [因为E，F分别是AA1和BB1的中点， 所以A1EFB1是矩形，所以EF∥A1B1.又EF平面A1B1C1D1，所以EF∥平面A1B1C1D1，同理可证EF∥平面ABCD，EF∥平面CC1D1D，所以与EF平行的长方体的面有3个．] 直线与平面平行的判定定理的应用 　如图所示，已知点P为平行四边形ABCD外的一点，点M是PD的中点，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O点． 求证：直线PB∥平面MAC. [思路点拨]　根据直线与平面平行的判定，要想证得直线PB与平面MAC平行，首先要证得直线PB与平面MAC内的一条直线平行．观察图形，需要作出辅助线，即连接MO，然后可进行求证． [证明]　连接MO.在△PBD中，因为M是PD的中点，O是BD的中点，所以MO是△PBD的中位线，则MO∥PB.又因为直线MO在平面MAC内，PB不在平面MAC内，所以直线PB∥平面MAC. 应用判定定理证明线面平行的步骤 上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有： ①空间直线平行关系的传递性法； ②三角形中位线法； ③平行四边形法； ④成比例线段法． [变式训练] 1．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AB的中点．求证BC1∥平面A1CD. 证明：如图，连接AC1交A1C于点F，连接DF.因为四边形AA1C1C为矩形，所以点F是AC1的中点．又因为在△ABC1中，D是AB的中点，所以BC1∥DF.因为DF⊆平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD. 直线与平面平行的性质定理的应用 　如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体， 求证：四边形MNPQ是平行四边形． [思路点拨]　由线面平行的性质证明AB∥MN，AB∥PQ，即得MN∥PQ，再证MQ∥NP即可． [证明]　因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊆平面ABC，所以由线面平行的性质定理知，AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以四边形MNPQ是平行四边形． (1)利用线面平行的性质定理解题的步骤 (2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行． [变式训练] 2．如图，在五面体EF­ABCD中，已知四边形ABCD为梯形，AD∥BC，求证：AD∥EF. 证明：∵AD∥BC，AD平面BCEF，BC⊆平面BCEF，∴AD∥平面BCEF，∵AD⊆平面ADEF，平面ADEF∩平面BCEF＝EF，∴AD∥EF. 线面平行的综合应用 　如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l. (1)求证：l∥BC； (2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论． [思路点拨]　利用判定定理和性质定理之间的相互转化证明，但要注意步骤的规范性． [解]　(1)证明：因为BC∥AD，BC平面PAD，AD⊆平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，且BC⊆平面PBC，所以BC∥l. (2)平行．证明如下： 如图，取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM，所以四边形MNEA是平行四边形，所以MN∥AE.又AE⊆平面PAD，MN平面PAD，所以MN∥平面PAD. 判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下： 线线平行eq \o(――――→,\s\up17(在平面内作),\s\do15(或找一直线))线面平行eq \o(―――――→,\s\up17(经过直线作或找),\s\do15(平面与平面的交线))线线平行． [变式训练] 3.如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，平面APG交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH. 证明：如图，连接AC，交BD于点O， 连接MO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点．又因为点M是PC的中点，所以AP∥OM.又因为AP平面BDM，OM⊆平面BDM，所以AP∥平面BDM.因为平面PAHG∩平面BDM＝GH.AP⊆平面PAHG，所以AP∥GH. 1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是(　　) A．b与α内的一条直线不相交 B．b与α内的两条直线不相交 C．b与α内的无数条直线不相交 D．b与α内的所有直线不相交 解析：D　[若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α.] 2．给出下列命题： ①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行． 其中正确命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：B　[①中，直线可能与平面相交，故①错误；②是正确的；③中，一条直线与平面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故③错误．] 3．下列说法正确的是(　　) A．过一点可作无数多个平面与已知直线平行 B．过平面外一点可作无数多条直线与该平面平行 C．过一点作一直线的平行直线有无数多条 D．过两条平行线中的一条的任一平面均与另一条直线平行 解析：B　[过直线上一点不能作出平面与已知直线平行，A错误；过直线上一点不能作已知直线的平行线，过直线外一点只能作一条已知直线的平行线，C错误；两条平行线中的一条在平面上，另一条也可能在平面上，D错误．] 4．如图，三棱柱ABC­A1B1C1 中，A1B1与平面ABC的位置关系是　________　，AA1与平面BCC1B1的位置关系是　________　，AC与平面ACC1A1的位置关系是　________　.(填“平行”“相交”或“在平面内”) 解析：由直线与平面的位置关系知A1B1∥平面ABC，AA1与平面BCC1B1平行，AC⊆平面ACC1A1. 答案：平行　平行　在平面内 $$ 4．3　直线与平面的位置关系 4．3.1　直线与平面平行 课程标准 素养解读 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系． 2．学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系． 3．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用两个定理解决空间中的平行关系问题. 1.通过学习直线与平面平行的性质定理，判定定理，提升直观想象核心素养． 2．通过线面平行的性质与判定定理的应用，提升逻辑推理等核心素养. 观察下面图形，门扇的竖直两边是平行的，当门扇绕着一边转动时只要门扇不被关闭，不论转动到什么位置，它能活动的竖直一边所在直线都与固定的竖直边所在平面(墙面)有怎样的位置关系？ [知识点一]　直线与平面的位置关系　 直线与平面 的位置关系 定义 图形语言 符号语言 直线在平面内 　有无数个公共点　 　a⊆α　 直线与 平面相交 　有且只有一 　个公共点　 　b∩α＝B　 直线与 平面平行 　没有公共点　 　c∥α　 我们把直线l与平面α相交或平行的情况统称为　直线l在平面α外　，用符号表示为lα. [知识点二]　直线与平面平行的判定定理　 　　表示 定理　　 图形 文字 符号 直线与平面平行的判定定理 如果平面外的一条直线与这个　平面内的一条直线平行　，那么这条直线与这个平面平行 [知识点三]　直线与平面平行的性质定理　 文字语言 如果一条直线与一个平面　平行　，那么经过这条直线的任一平面和这个平面的交线，与这条直线　平行　 符号语言 m∥α，m⊂β，α∩β＝n⇒m∥n 图形语言 若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行，对吗？ 提示：根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误． 1．已知直线a，b，平面α，且满足a⊆α，则使b∥α的条件为(　　) A．b∥a B．b∥a且b⊄α C．a与b异面 D．a与b不相交 解析：B　[由线面平行的判定定理知需加上条件b∥a，bα.] 2．如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是(　　) A．相交 B．b∥α C．b⊆α D．b∥α或b⊆α 解析：D　[由a∥b且a∥α，知b∥α或b⊆α.] 3．长方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，与EF平行的长方体的面有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：C　 [因为E，F分别是AA1和BB1的中点， 所以A1EFB1是矩形，所以EF∥A1B1.又EF平面A1B1C1D1，所以EF∥平面A1B1C1D1，同理可证EF∥平面ABCD，EF∥平面CC1D1D，所以与EF平行的长方体的面有3个．] 直线与平面平行的判定定理的应用 　如图所示，已知点P为平行四边形ABCD外的一点，点M是PD的中点，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O点． 求证：直线PB∥平面MAC. [思路点拨]　根据直线与平面平行的判定，要想证得直线PB与平面MAC平行，首先要证得直线PB与平面MAC内的一条直线平行．观察图形，需要作出辅助线，即连接MO，然后可进行求证． [证明]　连接MO.在△PBD中，因为M是PD的中点，O是BD的中点，所以MO是△PBD的中位线，则MO∥PB.又因为直线MO在平面MAC内，PB不在平面MAC内，所以直线PB∥平面MAC. 应用判定定理证明线面平行的步骤 上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有： ①空间直线平行关系的传递性法； ②三角形中位线法； ③平行四边形法； ④成比例线段法． [变式训练] 1．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AB的中点．求证BC1∥平面A1CD. 证明：如图，连接AC1交A1C于点F，连接DF.因为四边形AA1C1C为矩形，所以点F是AC1的中点．又因为在△ABC1中，D是AB的中点，所以BC1∥DF.因为DF⊆平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD. 直线与平面平行的性质定理的应用 　如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体， 求证：四边形MNPQ是平行四边形． [思路点拨]　由线面平行的性质证明AB∥MN，AB∥PQ，即得MN∥PQ，再证MQ∥NP即可． [证明]　因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊆平面ABC，所以由线面平行的性质定理知，AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以四边形MNPQ是平行四边形． (1)利用线面平行的性质定理解题的步骤 (2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行． [变式训练] 2．如图，在五面体EF­ABCD中，已知四边形ABCD为梯形，AD∥BC，求证：AD∥EF. 证明：∵AD∥BC，AD平面BCEF，BC⊆平面BCEF，∴AD∥平面BCEF，∵AD⊆平面ADEF，平面ADEF∩平面BCEF＝EF，∴AD∥EF. 　线面平行的综合应用 　如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l. (1)求证：l∥BC； (2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论． [思路点拨]　利用判定定理和性质定理之间的相互转化证明，但要注意步骤的规范性． [解]　(1)证明：因为BC∥AD，BC平面PAD，AD⊆平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，且BC⊆平面PBC，所以BC∥l. (2)平行．证明如下： 如图，取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM，所以四边形MNEA是平行四边形，所以MN∥AE.又AE⊆平面PAD，MN平面PAD，所以MN∥平面PAD. 判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下： 线线平行线面平行线线平行． [变式训练] 3.如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，平面APG交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH. 证明：如图，连接AC，交BD于点O， 连接MO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点．又因为点M是PC的中点，所以AP∥OM.又因为AP平面BDM，OM⊆平面BDM，所以AP∥平面BDM.因为平面PAHG∩平面BDM＝GH.AP⊆平面PAHG，所以AP∥GH. 1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是(　　) A．b与α内的一条直线不相交 B．b与α内的两条直线不相交 C．b与α内的无数条直线不相交 D．b与α内的所有直线不相交 解析：D　[若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α.] 2．给出下列命题： ①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行． 其中正确命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：B　[①中，直线可能与平面相交，故①错误；②是正确的；③中，一条直线与平面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故③错误．] 3．下列说法正确的是(　　) A．过一点可作无数多个平面与已知直线平行 B．过平面外一点可作无数多条直线与该平面平行 C．过一点作一直线的平行直线有无数多条 D．过两条平行线中的一条的任一平面均与另一条直线平行 解析：B　[过直线上一点不能作出平面与已知直线平行，A错误；过直线上一点不能作已知直线的平行线，过直线外一点只能作一条已知直线的平行线，C错误；两条平行线中的一条在平面上，另一条也可能在平面上，D错误．] 4．如图，三棱柱ABC­A1B1C1 中，A1B1与平面ABC的位置关系是　________　，AA1与平面BCC1B1的位置关系是　________　，AC与平面ACC1A1的位置关系是　________　.(填“平行”“相交”或“在平面内”) 解析：由直线与平面的位置关系知A1B1∥平面ABC，AA1与平面BCC1B1平行，AC⊆平面ACC1A1. 答案：平行　平行　在平面内 [基础过关] 1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是(　　) A．直线m在平面α外 B．直线m与平面α内的两条直线平行 C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行 D．直线m与平面α内的一条直线平行 解析：C　[选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，因为缺少条件mα；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行．] 2．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线(　　) A．只有一条，不在平面α内 B．只有一条，在平面α内 C．有两条，不一定都在平面α内 D．有无数条，不一定都在平面α内 解析：B　 [如图所示， ∵l∥平面α，P∈α，∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，∴P∈m，∴l∥m且m 是唯一的．] 3．如图，下列正三棱柱ABC­A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是(　　) 解析：C　[在题图A，B中，易知AB∥A1B1∥MN，MN⊆平面MNP，AB平面MNP，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，PN⊆平面MNP，AB平面MNP，所以AB∥平面MNP.] 4．已知直线a，b，平面α，β，则a∥α的一个充分条件是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A．a⊥b，b⊥α B．a∥β，β∥α C．b⊂α，a∥b D．a∥b，b∥α，a⊄α 解析：D　[对于A，a⊥b，b⊥α，则a与平面α平行或在平面α内，不正确．对于B，a∥β，β∥α，则a与平面α平行或在平面α内，不正确．对于C，b⊂α，a∥b，则a与平面α平行或在平面α内，不正确．对于D，由线面平行的判定定理知正确．] 5．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 解析：A　[因为EH∥FG，FG⊆平面BCD，EH平面BCD，所以EH∥平面BCD.因为EH⊆平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.] 6.如图所示，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，则MN与平面BDC的位置关系是　________　. 解析：∵＝.∴MN∥BD，∵MN⊄平面BDC，BD⊂平面BDC，∴MN∥平面BDC 答案：MN∥平面BDC 7．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有　________　条． 解析：过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条． 答案：0或1 8．已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是　____________　. 解析：b与a相交，可确定一个平面β，若β与α平行，则b∥α；若β与α不平行，则b与α相交． 答案：相交或平行 9．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，BB1＝AB，D为BC的中点． 证明：A1C∥平面AB1D. 证明：连接A1B交AB1于点O，连接OD.在正三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面ABB1A1为平行四边形，则O为A1B的中点．又因为D为BC的中点，所以OD∥A1C.又OD⊆平面AB1D，A1C平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D. [能力提升] 10．如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则(　　) A．GH∥SA B．GH∥SD C．GH∥SC D．以上均有可能 解析：B　[因为GH∥平面SCD，GH⊆平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行．] 11．在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　) 解析：A　 [对于选项B，如图所示，连接CD， 因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB平面MNQ，MQ⊆平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ，选A.] 12.如图，已知平面α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，若AB∥α，则CD与EF的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．无法确定 解析：A　[由AB∥α，α∩γ＝EF，AB⊆γ得AB∥EF，因为EF平面β，AB⊆平面β，所以EF∥平面β，又因为α∩β＝CD，EF⊆平面α，所以CD∥EF.] 13．如图，在五面体EF­ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是　________　. 解析：∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF，又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE，∵MN平面ADE，DE⊆平面ADE，∴MN∥平面ADE. 答案：平行 14.如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN等于　________　. 解析：∵AB∥平面α，AB⊆平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，∴AB∥MN，又M是AC的中点，∴MN是梯形ABDC的中位线，故MN＝(AB＋CD)＝5. 答案：5 15.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：GH∥平面PAD. 证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥MO，而AP平面BDM，OM⊆平面BDM，∴PA∥平面BDM，又∵PA⊆平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.又PA⊆平面PAD，GH平面PAD，∴GH∥平面PAD. 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是(　　) A．直线m在平面α外 B．直线m与平面α内的两条直线平行 C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行 D．直线m与平面α内的一条直线平行 解析：C　[选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，因为缺少条件mα；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行．] 2．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线(　　) A．只有一条，不在平面α内 B．只有一条，在平面α内 C．有两条，不一定都在平面α内 D．有无数条，不一定都在平面α内 解析：B　 [如图所示， ∵l∥平面α，P∈α，∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，∴P∈m，∴l∥m且m 是唯一的．] 3．如图，下列正三棱柱ABC­A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是(　　) 解析：C　[在题图A，B中，易知AB∥A1B1∥MN，MN⊆平面MNP，AB平面MNP，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，PN⊆平面MNP，AB平面MNP，所以AB∥平面MNP.] 4．已知直线a，b，平面α，β，则a∥α的一个充分条件是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A．a⊥b，b⊥α B．a∥β，β∥α C．b⊂α，a∥b D．a∥b，b∥α，a⊄α 解析：D　[对于A，a⊥b，b⊥α，则a与平面α平行或在平面α内，不正确．对于B，a∥β，β∥α，则a与平面α平行或在平面α内，不正确．对于C，b⊂α，a∥b，则a与平面α平行或在平面α内，不正确．对于D，由线面平行的判定定理知正确．] 5．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 解析：A　[因为EH∥FG，FG⊆平面BCD，EH平面BCD，所以EH∥平面BCD.因为EH⊆平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.] 6.如图所示，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，则MN与平面BDC的位置关系是　________　. 解析：∵＝.∴MN∥BD，∵MN⊄平面BDC，BD⊂平面BDC，∴MN∥平面BDC 答案：MN∥平面BDC 7．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有　________　条． 解析：过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条． 答案：0或1 8．已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是　____________　. 解析：b与a相交，可确定一个平面β，若β与α平行，则b∥α；若β与α不平行，则b与α相交． 答案：相交或平行 9．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，BB1＝AB，D为BC的中点． 证明：A1C∥平面AB1D. 证明：连接A1B交AB1于点O，连接OD.在正三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面ABB1A1为平行四边形，则O为A1B的中点．又因为D为BC的中点，所以OD∥A1C.又OD⊆平面AB1D，A1C平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D. [能力提升] 10．如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则(　　) A．GH∥SA B．GH∥SD C．GH∥SC D．以上均有可能 解析：B　[因为GH∥平面SCD，GH⊆平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行．] 11．在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　) 解析：A　 [对于选项B，如图所示，连接CD， 因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB平面MNQ，MQ⊆平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ，选A.] 12.如图，已知平面α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，若AB∥α，则CD与EF的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．无法确定 解析：A　[由AB∥α，α∩γ＝EF，AB⊆γ得AB∥EF，因为EF平面β，AB⊆平面β，所以EF∥平面β，又因为α∩β＝CD，EF⊆平面α，所以CD∥EF.] 13．如图，在五面体EF­ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是　________　. 解析：∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF，又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE，∵MN平面ADE，DE⊆平面ADE，∴MN∥平面ADE. 答案：平行 14.如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN等于　________　. 解析：∵AB∥平面α，AB⊆平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，∴AB∥MN，又M是AC的中点，∴MN是梯形ABDC的中位线，故MN＝(AB＋CD)＝5. 答案：5 15.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：GH∥平面PAD. 证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥MO，而AP平面BDM，OM⊆平面BDM，∴PA∥平面BDM，又∵PA⊆平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.又PA⊆平面PAD，GH平面PAD，∴GH∥平面PAD. 学科网（北京）股份有限公司 $$