第4章 4.2.2 异面直线（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册同步教案（高教版2021）

4．2.2　异面直线 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课时 素养提升 04 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 课程标准 素养解读 1.理解异面直线垂直的定义． 2．理解异面直线所成角的概念． 3．会求给定两条异面直线所成的角. 通过异面直线定义、画法及夹角的学习，提升直观想象等核心素养. 观察长方体ABCD­A1B1C1D1，棱A1D1所在的直线与棱BB1所在的直线在同一个平面内吗？它们是什么关系？ [知识点一]　异面直线　 1．定义： 把不同在任何一个平面内的两条直线称为　异面直线　. 2．画法： 3．异面直线判定定理： 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内　不经过　该点的直线是异面直线． [知识点二]　异面直线所成的角　 1．定义： 已知两条异面直线a，b，在空间上任一点P分别作直线a′∥a，b′∥b，得到两条相交直线a′，b′，我们把相交直线a′与b′所成的角θ，称为异面直线a与b所成的角． 2．两条异面直线垂直： 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就称这两条异面直线互相垂直．两条异面直线互相垂直，记作　a⊥b　. 规定：两条平行直线所成的角为0，因此，空间两条直线所成角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).两条异面直线所成角的取值范围是　eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))　. [知识点三]　异面直线的公垂线　 与两条异面直线同时垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，两条异面直线的公垂线有且只有　一条　.两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的部分，称为这两条异面直线的　公垂线段　，公垂线段的长度称为两条异面直线的　距离　. 1.异面直线a，b所成角的大小与点O的位置有关吗？ 提示：无关，在定义中，空间一点O是任取的，根据空间等角定理，可以判定异面直线a，b所成的角与直线a′，b′所成的锐角(或直角)相等，角的大小与点O的位置无关． 2．两直线垂直，它们一定相交吗？ 提示：不一定． 1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是(　　) A．共面 B．平行 C．异面 D．平行或异面 解析：D　[若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．] 2．在三棱锥S­ABC中，与SA是异面直线的是(　　) A．SB B．SC C．BC D．AB 解析：C　[如图所示，SB，SC，AB，AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线．] 3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线A1D1与BC1所成的角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：B　[在正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1D1∥B1C1，所以∠B1C1B为A1D1与BC1所成的角，∠B1C1B＝45°.] 空间两条直线位置关系的判定 　(1)如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是(　　) 　　　　 A．6 B．4 C．5 D．8 (2)若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系是(　　) A．异面 B．相交或平行 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 [思路点拨]　结合异面直线的定义判断． [解析]　(1)B　[结合异面直线的定义可知，与AA1异面的棱有BC，B1C1，CD，C1D1，共4条．] (2)D　 [如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中： ①AA1与DC异面，与B1C1异面，此时DC与B1C1异面；②AA1与DC异面，与BC异面，此时DC与BC相交；③AA1与DC异面，与D1C1异面，此时DC与D1C1平行．] (1)判断空间中两条直线位置关系的思路 ①建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线． ②重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系． (2)判定两条直线是异面直线的方法 ①证明两条直线既不平行又不相交． ②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，B∉l，l⊂α，则AB与l是异面直线(如图)． [变式训练] 1如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A1B与直线D1C的位置关系是　________　； ②直线A1B与直线B1C的位置关系是　________　； ③直线D1D与直线D1C的位置关系是　________　； ④直线AB与直线B1C的位置关系是　________　. 解析：直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1，B，B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面，同理，直线AB与直线B1C异面，所以②④应该填“异面”． 答案：①平行　②异面　③相交　④异面 异面直线所成的角 　如图，在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心． 求：(1)BE与CG所成的角； (2)FO与BD所成的角． [思路点拨]　平移两条异面直线中的一条或两条，构造相交直线，然后把所求角放在三角形中求解． [解]　(1)如图，因为CG∥BF.所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角， 又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°. (2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°. 求异面直线所成角的步骤 一作：选择适当的点，平移法作出异面直线所成的角． 二证：证明作出的角就是要求的角． 三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊三角形求解． [变式训练] 2．已知正方体ABCD­A′B′C′D′中： (1)BC′与CD′所成的角为　________　； (2)AD与BC′所成的角为　________　. 解析：如图，(1) 连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°， (2)由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC＝45°. 答案：(1)60°　(2)45° 空间直线的垂直关系 　空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝eq \r(5)，EF＝3. 求证：AC⊥BD. [思路点拨]　要证AC⊥BD，只须证AC与BD所成的角是直角即可． [证明]　∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GE∥BD，同理GF∥AC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．在△EFG中，∵FG＝2，GE＝eq \r(5)，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°.∴AC⊥BD. 证明两条异面直线垂直的步骤 (1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角； (2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)； (3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数； (4)给出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证． [变式训练] 1.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四边形， 求证：PA⊥CD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD， ∴∠PAB是PA与CD所成的角．又∵PA⊥AB， ∴∠PAB＝90°，故PA⊥CD. 1．关于异面直线，下列说法中正确的是(　　) A．平面内的一条直线和这平面外的一条直线是异面直线 B．分别在不同平面内的两条直线是异面直线 C．不在同一个平面内的两条直线是异面直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线 解析：D　[对于A，平面内的直线还可能与平面外的直线相交或平行；对于B，分别位于两个平面内的直线还可能平行或相交；对于C，不在同一个平面内的两条直线还可能相交或平行，对于D，符合异面直线的定义．] 2．关于两条直线垂直，下列说法正确的是(　　) A．经过一点作已知直线的垂线有且只有一条 B．如果两条直线互相垂直，那么它们一定相交 C．如果a⊥b，b⊥c，那么a⊥c D．如果两条异面直线所成的角为eq \f(π,2)，那么两条直线垂直 解析：D　[经过一点作已知直线的垂线有无数条，A错误；空间中两直线垂直有相交垂直和异面垂直，B错误；垂直于同一直线的两直线可相交，可平行，C错误；根据异面直线垂直的定义可知，D正确．] 3．若m∥n，l与m是异面直线，那么l与n的位置关系是(　　) A．平行　　　　　 B．相交 C．异面 D．相交或异面 解析：D　[若m∥n，l与m是异面直线，则l与n相交或异面．] 4.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱C1C与BC的中点，则直线EF与直线D1C所成的角的大小是　________　. 解析：连接BC1，A1B(图略)． ∵BC1∥EF，A1B∥CD1，则∠A1BC1即为EF与D1C所成的角．又∵∠A1BC1为60°，∴直线EF与D1C所成的角为60°. 答案：60° $$ 4．2.2　异面直线 课程标准 素养解读 1.理解异面直线垂直的定义． 2．理解异面直线所成角的概念． 3．会求给定两条异面直线所成的角. 通过异面直线定义、画法及夹角的学习，提升直观想象等核心素养. 观察长方体ABCD­A1B1C1D1，棱A1D1所在的直线与棱BB1所在的直线在同一个平面内吗？它们是什么关系？ [知识点一]　异面直线　 1．定义： 把不同在任何一个平面内的两条直线称为　异面直线　. 2．画法： 3．异面直线判定定理： 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内　不经过　该点的直线是异面直线． [知识点二]　异面直线所成的角　 1．定义： 已知两条异面直线a，b，在空间上任一点P分别作直线a′∥a，b′∥b，得到两条相交直线a′，b′，我们把相交直线a′与b′所成的角θ，称为异面直线a与b所成的角． 2．两条异面直线垂直： 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就称这两条异面直线互相垂直．两条异面直线互相垂直，记作　a⊥b　. 规定：两条平行直线所成的角为0，因此，空间两条直线所成角的范围是.两条异面直线所成角的取值范围是　　. [知识点三]　异面直线的公垂线　 与两条异面直线同时垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，两条异面直线的公垂线有且只有　一条　.两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的部分，称为这两条异面直线的　公垂线段　，公垂线段的长度称为两条异面直线的　距离　. 1.异面直线a，b所成角的大小与点O的位置有关吗？ 提示：无关，在定义中，空间一点O是任取的，根据空间等角定理，可以判定异面直线a，b所成的角与直线a′，b′所成的锐角(或直角)相等，角的大小与点O的位置无关． 2．两直线垂直，它们一定相交吗？ 提示：不一定． 1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是(　　) A．共面 B．平行 C．异面 D．平行或异面 解析：D　[若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．] 2．在三棱锥S­ABC中，与SA是异面直线的是(　　) A．SB B．SC C．BC D．AB 解析：C　[如图所示，SB，SC，AB，AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线．] 3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线A1D1与BC1所成的角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：B　[在正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1D1∥B1C1，所以∠B1C1B为A1D1与BC1所成的角，∠B1C1B＝45°.] 　空间两条直线位置关系的判定 　(1)如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是(　　) 　　　　 A．6 B．4 C．5 D．8 (2)若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系是(　　) A．异面 B．相交或平行 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 [思路点拨]　结合异面直线的定义判断． [解析]　(1)B　[结合异面直线的定义可知，与AA1异面的棱有BC，B1C1，CD，C1D1，共4条．] (2)D　 [如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中： ①AA1与DC异面，与B1C1异面，此时DC与B1C1异面；②AA1与DC异面，与BC异面，此时DC与BC相交；③AA1与DC异面，与D1C1异面，此时DC与D1C1平行．] (1)判断空间中两条直线位置关系的思路 ①建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线． ②重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系． (2)判定两条直线是异面直线的方法 ①证明两条直线既不平行又不相交． ②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，B∉l，l⊂α，则AB与l是异面直线(如图)． [变式训练] 1. 如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A1B与直线D1C的位置关系是　________　； ②直线A1B与直线B1C的位置关系是　________　； ③直线D1D与直线D1C的位置关系是　________　； ④直线AB与直线B1C的位置关系是　________　. 解析：直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1，B，B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面，同理，直线AB与直线B1C异面，所以②④应该填“异面”． 答案：①平行　②异面　③相交　④异面 　异面直线所成的角 　如图，在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心． 求：(1)BE与CG所成的角； (2)FO与BD所成的角． [思路点拨]　平移两条异面直线中的一条或两条，构造相交直线，然后把所求角放在三角形中求解． [解]　(1)如图，因为CG∥BF.所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角， 又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°. (2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°. 求异面直线所成角的步骤 一作：选择适当的点，平移法作出异面直线所成的角． 二证：证明作出的角就是要求的角． 三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊三角形求解． [变式训练] 2．已知正方体ABCD­A′B′C′D′中： (1)BC′与CD′所成的角为　________　； (2)AD与BC′所成的角为　________　. 解析：如图，(1) 连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°， (2)由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC＝45°. 答案：(1)60°　(2)45° 　空间直线的垂直关系 　空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3. 求证：AC⊥BD. [思路点拨]　要证AC⊥BD，只须证AC与BD所成的角是直角即可． [证明]　∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GE∥BD，同理GF∥AC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°.∴AC⊥BD. 证明两条异面直线垂直的步骤 (1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角； (2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)； (3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数； (4)给出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证． [变式训练] 2. 如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四边形， 求证：PA⊥CD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD， ∴∠PAB是PA与CD所成的角．又∵PA⊥AB， ∴∠PAB＝90°，故PA⊥CD. 1．关于异面直线，下列说法中正确的是(　　) A．平面内的一条直线和这平面外的一条直线是异面直线 B．分别在不同平面内的两条直线是异面直线 C．不在同一个平面内的两条直线是异面直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线 解析：D　[对于A，平面内的直线还可能与平面外的直线相交或平行；对于B，分别位于两个平面内的直线还可能平行或相交；对于C，不在同一个平面内的两条直线还可能相交或平行，对于D，符合异面直线的定义．] 2．关于两条直线垂直，下列说法正确的是(　　) A．经过一点作已知直线的垂线有且只有一条 B．如果两条直线互相垂直，那么它们一定相交 C．如果a⊥b，b⊥c，那么a⊥c D．如果两条异面直线所成的角为，那么两条直线垂直 解析：D　[经过一点作已知直线的垂线有无数条，A错误；空间中两直线垂直有相交垂直和异面垂直，B错误；垂直于同一直线的两直线可相交，可平行，C错误；根据异面直线垂直的定义可知，D正确．] 3．若m∥n，l与m是异面直线，那么l与n的位置关系是(　　) A．平行　　　　　 B．相交 C．异面 D．相交或异面 解析：D　[若m∥n，l与m是异面直线，则l与n相交或异面．] 4.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱C1C与BC的中点，则直线EF与直线D1C所成的角的大小是　________　. 解析：连接BC1，A1B(图略)． ∵BC1∥EF，A1B∥CD1，则∠A1BC1即为EF与D1C所成的角．又∵∠A1BC1为60°，∴直线EF与D1C所成的角为60°. 答案：60° [基础过关] 1．已知空间三条直线 l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则(　　) A．m与n异面 B．m与n相交 C．m与n平行 D．m与n异面、相交、平行均有可能 解析：D　[在如图所示的长方体中， m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．] 2.如图，正四棱台ABCD­A′B′C′D′中，A′D′所在的直线与BB′所在的直线是(　　) A．相交直线 B．平行直线 C．不互相垂直的异面直线 D．互相垂直的异面直线 解析：C　[若A′D′与B′B共面，则A′B′也在此平面内，因A′B′与B′B相交，其确定的平面为ABB′A′，故A′D′⊂平面ABB′A′与ABCD­A′B′C′D′为四棱台矛盾，故A′D′与B′B异面．又因为四边形BCC′B′是等腰梯形，所以BB′与B′C′不垂直，因B′C′∥A′D′，即BB′与A′D′不垂直．] 3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1垂直的直线条数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：A　[在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AD，A1D1，BC，B1C1，共有4条直线与直线BA1垂直．] 4．在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，AB＝1，PD＝2，则异面直线PA与BD所成角的余弦值为(　　) A. B． C. D． 解析：D　[由题意，将四棱锥扩充为长方体ABCD­EFGP，则BG∥AP，所以∠DBG为异面直线PA与BD所成的角，因为AB＝1，PD＝2，所以由余弦定理可得cos∠DBG＝＝.] 5．在正方体ABCD­A′B′C′D′中，若棱长为1，则异面直线A′B′与BC′的距离是(　　) A．0 B． C. D．1 解析：B　[连接B′C，交BC′于O，则B′O为异面直线A′B′与BC′的公垂线，在正方形BCC′B′中，B′O＝B′C＝.] 6．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是　________　. 解析：连接AD1，则AD1∥BC1. ∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°， 即AC与BC1所成的角为60°. 答案：60° 7.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： ①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD. 以上结论中正确结论的序号为　________　. 解析：把正方体平面展开图还原到原来的正方体， 如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确． 答案：①③ 8.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　) A．45° B．60° C．90° D．120° 解析：B　 [取A1B1中点I， 连接IG、IH，则EF綊IG.易知IG，IH，HG相等，则△HGI为等边三角形，则IG与GH所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°.] 9.如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，已知AB＝8，BC＝CC′＝6.求： (1)直线DD′与BC′的距离； (2)直线DD′与BC′所成的角的大小． 解：(1)在长方体ABCD­A′B′C′D′，D′C′⊥DD′，D′C′⊥平面BCC′B′，BC′⊆平面BCC′B′，所以D′C′⊥BC′.因此，D′C′为直线DD′与BC′的公垂线，即直线DD′与BC′的距离为D′C′的长度，而D′C′＝AB＝8，所以直线DD′与BC′的距离为8. (2)在长方体ABCD­A′B′C′D′中，DD′∥CC′，所以直线DD′与BC′所成的角就是CC′与BC′所成的角，即∠BC′C.因为在Rt△BCC′中，BC＝CC′＝6，所以∠BC′C＝.即直线DD′与BC′所成角的大小为. [能力提升] 10．在正四棱柱(侧面是矩形，底面是正方形的棱柱)ABCD­A1B1C1D1中，若E、F分别是AB1、BC1的中点，则下列结论中不成立的是(　　) A．EF与BB1垂直 B．EF与BD垂直 C．EF与CD异面 D．EF与A1C1异面 解析：D　 [如图所示，连接B1C、AC， 因为E、F分别是AB1、BC1的中点，F也是B1C的中点，即EF是△ACB1的中位线，所以EF∥AC∥A1C1，D错误．] 11．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　) A. B． C. D． 解析：C　 [如图，连接BE， ∵AB∥CD，∴异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝.又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE， ∴tan∠EAB＝＝.] 12．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是(　　) A．60° B．75° C．90° D．105° 解析：C　 [设BB1＝1，如图， 延长CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，因为AB1＝，B1C2＝，AC2＝，所以AC＝AB＋B1C，则∠AB1C2＝90°.] 13．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与棱AA1垂直的棱有　________　条． 解析：相交垂直有4条，异面垂直有4条． 答案：8 14.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于　________　. 解析：取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN， ∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角， ∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5 答案：5 15.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点E在棱AB上，已知AB＝BC＝EB＝4，BB1＝3.求： (1)直线CD1与AB之间的距离； (2)直线B1E与CC1所成角的正切值． 解：(1)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，BC⊥平面DCC1D1，所以BC⊥CD1，又因为BC⊥AB，所以BC为直线CD1与AB之间距离，BC＝4. (2)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1CC1，所以∠BB1E为直线B1E与CC1所成角．在Rt△BB1E中，EB＝AB＝，BB1＝3，所以tan∠BB1E＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．已知空间三条直线 l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则(　　) A．m与n异面 B．m与n相交 C．m与n平行 D．m与n异面、相交、平行均有可能 解析：D　[在如图所示的长方体中， m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．] 2.如图，正四棱台ABCD­A′B′C′D′中，A′D′所在的直线与BB′所在的直线是(　　) A．相交直线 B．平行直线 C．不互相垂直的异面直线 D．互相垂直的异面直线 解析：C　[若A′D′与B′B共面，则A′B′也在此平面内，因A′B′与B′B相交，其确定的平面为ABB′A′，故A′D′⊂平面ABB′A′与ABCD­A′B′C′D′为四棱台矛盾，故A′D′与B′B异面．又因为四边形BCC′B′是等腰梯形，所以BB′与B′C′不垂直，因B′C′∥A′D′，即BB′与A′D′不垂直．] 3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1垂直的直线条数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：A　[在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AD，A1D1，BC，B1C1，共有4条直线与直线BA1垂直．] 4．在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，AB＝1，PD＝2，则异面直线PA与BD所成角的余弦值为(　　) A. B． C. D． 解析：D　[由题意，将四棱锥扩充为长方体ABCD­EFGP，则BG∥AP，所以∠DBG为异面直线PA与BD所成的角，因为AB＝1，PD＝2，所以由余弦定理可得cos∠DBG＝＝.] 5．在正方体ABCD­A′B′C′D′中，若棱长为1，则异面直线A′B′与BC′的距离是(　　) A．0 B． C. D．1 解析：B　[连接B′C，交BC′于O，则B′O为异面直线A′B′与BC′的公垂线，在正方形BCC′B′中，B′O＝B′C＝.] 6．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是　________　. 解析：连接AD1，则AD1∥BC1. ∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°， 即AC与BC1所成的角为60°. 答案：60° 7.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： ①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD. 以上结论中正确结论的序号为　________　. 解析：把正方体平面展开图还原到原来的正方体， 如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确． 答案：①③ 8.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　) A．45° B．60° C．90° D．120° 解析：B　 [取A1B1中点I， 连接IG、IH，则EF綊IG.易知IG，IH，HG相等，则△HGI为等边三角形，则IG与GH所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°.] 9.如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，已知AB＝8，BC＝CC′＝6.求： (1)直线DD′与BC′的距离； (2)直线DD′与BC′所成的角的大小． 解：(1)在长方体ABCD­A′B′C′D′，D′C′⊥DD′，D′C′⊥平面BCC′B′，BC′⊆平面BCC′B′，所以D′C′⊥BC′.因此，D′C′为直线DD′与BC′的公垂线，即直线DD′与BC′的距离为D′C′的长度，而D′C′＝AB＝8，所以直线DD′与BC′的距离为8. (2)在长方体ABCD­A′B′C′D′中，DD′∥CC′，所以直线DD′与BC′所成的角就是CC′与BC′所成的角，即∠BC′C.因为在Rt△BCC′中，BC＝CC′＝6，所以∠BC′C＝.即直线DD′与BC′所成角的大小为. [能力提升] 10．在正四棱柱(侧面是矩形，底面是正方形的棱柱)ABCD­A1B1C1D1中，若E、F分别是AB1、BC1的中点，则下列结论中不成立的是(　　) A．EF与BB1垂直 B．EF与BD垂直 C．EF与CD异面 D．EF与A1C1异面 解析：D　 [如图所示，连接B1C、AC， 因为E、F分别是AB1、BC1的中点，F也是B1C的中点，即EF是△ACB1的中位线，所以EF∥AC∥A1C1，D错误．] 11．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　) A. B． C. D． 解析：C　 [如图，连接BE， ∵AB∥CD，∴异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝.又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE， ∴tan∠EAB＝＝.] 12．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是(　　) A．60° B．75° C．90° D．105° 解析：C　 [设BB1＝1，如图， 延长CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，因为AB1＝，B1C2＝，AC2＝，所以AC＝AB＋B1C，则∠AB1C2＝90°.] 13．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与棱AA1垂直的棱有　________　条． 解析：相交垂直有4条，异面垂直有4条． 答案：8 14.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于　________　. 解析：取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN， ∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角， ∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5 答案：5 15.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点E在棱AB上，已知AB＝BC＝EB＝4，BB1＝3.求： (1)直线CD1与AB之间的距离； (2)直线B1E与CC1所成角的正切值． 解：(1)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，BC⊥平面DCC1D1，所以BC⊥CD1，又因为BC⊥AB，所以BC为直线CD1与AB之间距离，BC＝4. (2)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1CC1，所以∠BB1E为直线B1E与CC1所成角．在Rt△BB1E中，EB＝AB＝，BB1＝3，所以tan∠BB1E＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$