第4章 4.2.1 共面直线（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册同步教案（高教版2021）

4．2　直线与直线的位置关系 4．2.1　共面直线 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课时 素养提升 04 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 课程标准 素养解读 1.理解并掌握平行线的传递性，并会应用其解决相关直线与直线平行问题． 2．理解并掌握等角定理. 1.通过平行线的传递性的应用，提升直观想象和逻辑推理等核心素养． 2．通过相交直线所成角的运算，提升数学运算等核心素养. 观察长方体ABCD ­A1B1C1D1，显然AB∥CD，CD∥C1D1，则AB与C1D1有何位置关系？ [知识点一]　共面直线　 相交或平行的两条直线称为　共面直线　. [知识点二]　平行线的传递性　 1．空间中平行于同一条直线的所有直线都　平行　，这一性质通常称为空间平行线的　传递　性． 2．符号表示：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))⇒a∥c. 1.平面中有哪些常用的证明两直线平行的定理？ 提示：三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行等． 2．平行线的传递性的实质及作用是什么？ 提示：实质上是说平行具有传递性；是判断空间两条直线平行的依据． [知识点三]　两条相交直线所成的角　 1．相交直线 同一平面内有且只有一个公共点的两条直线称为　相交直线　，当l与m相交于点A时，可简记作　l∩m＝A　. 2．两条相交直线所成的角 两条相交直线所形成的最小正角称为这两条相交直线所成的角，记为θ.显然，θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，并且角θ及其对顶角均为这两条相交直线所成的角． 规定：两条平行直线所成的角为0.因此，两条共面直线所成角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))). 3．等角定理 一般地，如果两条相交直线l1与l2分别平行于另外两条相交直线l′1与l′2，那么l1与l2所成的角和l′1与l′2所成的角相等，这个称为　等角定理　，常用来判定空间中的两个角相等． 1．设BB1是长方体的一条棱，则长方体中与BB1平行的棱有(　　) A．1条　 B．2条　　 C．3条　　 D．4条 解析：C　[画出长方体(图略)，与BB1平行的棱有3条．] 2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，BC与BD所成角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 解析：B　[正方体的各个面都是正方形，BD为正方形ABCD的对角线，所以∠CBD＝45°，故BC与BD所成角的大小为45°.] 3．E，F，G，H分别是空间四边形ABCD四条边的中点，则EH与FG的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．重合 D．既不相交也不平行 解析：A　 [如图，连接BD，EH，FG， 则EH綊eq \f(1,2)BD，FG綊eq \f(1,2)BD，∴EH綊FG.] 平行线的传递性 在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′中的中点，求证：EE′∥FF′. [思路点拨]　先证EE′∥BB′，再证FF′∥BB′，利用平行的传递性得结论． [证明]　因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.所以四边形EBB′E′是平行四边形，所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.所以EE′∥FF′. 证明空间中两条直线平行的方法 (1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明． (2)利用平行线的传递性即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由平行线的传递性得到a∥b. [变式训练] 1．如图所示的四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点， 求证：EF∥GH. 证明：因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC且EF＝eq \f(1,2)AC.又因为G，H分别为CD，DA的中点，所以GH∥AC且GH＝eq \f(1,2)AC.所以EF与GH平行且相等，即EF∥GH. 平行的综合应用 　如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点， 求证：四边形EFGH是平行四边形． [思路点拨]　利用三角形的中位线证明EF綊eq \f(1,2)AB，GH綊eq \f(1,2)DC，根据平行四边形的判定定理完成证明． [证明]　在△PAB中，因为E，F分别是PA，PB的中点，所以EF∥AB，EF＝eq \f(1,2)AB，同理GH∥DC，GH＝eq \f(1,2)DC.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB＝CD.所以EF∥GH，EF＝GH.所以四边形EFGH是平行四边形． 平行四边形的判定方法 (1)两组对边分别平行． (2)一组对边平行且相等． [变式训练] 2.如图，正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是棱AB，AD，B′C′，C′D′的中点． 求证：四边形EFF′E′为平行四边形． 证明：连接BD，B′D′(图略)，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF綊eq \f(1,2)BD，同理E′F′綊eq \f(1,2)B′D′.在正方体ABCD­A′B′C′D′中，四边形BB′D′D为平行四边形，所以BD綊B′D′，所以EF綊E′F′，故四边形EFF′E′为平行四边形． 相交直线所成的角 　已知正方体ABCD­A1B1C1D1，如图． (1)分别求AB与D1C1、BD所成的角的大小； (2)直线AB与DB所成的角和直线A1B1与D1B1所成的角是否相等？ [思路点拨]　先判断两直线的位置关系，构造两直线所成的角进行求解． [解]　(1)因为AB∥D1C1，所以AB与D1C1所成的角为0.又正方体的各个面都是正方形，BD为正方形ABCD的对角线，所以∠ABD＝eq \f(π,4)，即AB与BD所成的角的大小是eq \f(π,4). (2)显然，直线AB与DB所成的角是∠ABD，直线A1B1与D1B1所成的角是∠A1B1D1. 因为∠ABD＝eq \f(π,4)，∠A1B1D1＝eq \f(π,4)，所以∠ABD＝∠A1B1D1，即直线AB与DB所成的角和直线A1B1与D1B1所成的角相等． 求两条相交直线所成的角 (1)作出(找出)两条相交直线所成的角． (2)在三角形或四边形中求解这个角． [变式训练] 3．如图所示，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝eq \r(3)，BC＝1，CC′＝2.求： (1)直线A′D′与直线B′D′所成的角的大小； (2)直线BC与直线B′C′之间的距离． 解： (1)直线A′D′与直线B′D′所成的角是∠A′D′B′，因为A′D′＝BC＝1，A′B′＝AB＝eq \r(3)，在Rt△A′B′D′中，tan∠A′D′B′＝eq \f(A′B′,A′D′)＝eq \f(\r(3),1)＝eq \r(3)，所以∠A′D′B′＝eq \f(π,3).故直线A′D′与直线B′D′所成角的大小为eq \f(π,3). (2)∵BC∥B′C′，BB′⊥BC，BB′⊥B′C′，∴BB′为两个平行线BC与B′C′之间的距离，又BB′＝CC′＝2，所以直线BC与直线B′C′之间的距离为2. 1．下列结论中正确的是(　　) ①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交； ④空间中有四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c. A．①②③　　　　 B．②④ C．③④ D．②③ 解析：B　[①错，可以不平行；②正确；③错误，和另一条可以异面；④正确，由平行线的传递性可知．] 2．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝3，BC＝2，BB1＝1，则直线AB与直线BD所成角的正切值为(　　) A.eq \f(1,2)　　 B．2　　　 C.eq \f(2,3)　　　 D.eq \f(3,2) 解析：C　[已知，∠ABD即为所求的角，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(2,3).] 3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是(　　) A．相交　 B．异面　　 C．平行　　 D．垂直 解析：C　[如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理知，EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH.] 4．在长方体ABCD­A′B′C′D′中，与AD平行的棱有　________　.(填写所有符合条件的棱) 解析：与AD平行的棱有A′D′，B′C′，BC. 答案：A′D′，B′C′，BC $$ [基础过关] 1.关于两条直线平行，以下说法错误的是(　　) A．垂直于同一直线的两条直线平行 B．过直线外一点与该直线平行的直线只有一条 C．如果a∥b，b∥c，那么a∥c D．共面且没有公共点的两条直线是平行直线 解析：A　[B、C、D均正确．] 2．E，F，G，H分别是空间四边形ABCD四条边的中点，则EG与FH的位置关系是(　　) A．不相交 B．平行 C．相交 D．重合 解析：C　 [如图所示，连接BD，EF，FG，GH，HE，EG，HF， 由E，F，G，H是空间四边形ABCD四边中点，有EH綊BD，FG綊BD，∴EH綊FG，∴四边形EFGH是平行四边形，EG与FH是对角线．∴选C.] 3．已知直线a，b，有a∥b，a⊆α，b⊆β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是(　　) A．c与a，b都相交 B．c与a，b都不相交 C．c至多与a，b中的一条相交 D．c至少与a，b中的一条相交 解析：B　[若c与a，b都不相交，因为c与a在α内，所以a∥c.又c与b都在β内，所以b∥c.由公理4，可知a∥b符合条件．] 4．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH与MN是平行直线的图形(　　) 解析：A　[A中GH∥MN；B中因为N∈平面HG，且M∉平面HG，所以MN与GH既不平行也不相交；C中易证得HG与MN交于一点；D中GH与MN既不平行也不相交．] 5．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，则AB与CM所成的角的大小为(　　) A．90°　 B．60°　　 C．30°　　 ．0° 解析：A　 [把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示， AB∥CM，所以AB与CM所成的角的大小为0°.] 6．a，b，c是空间中三条直线，下面给出几个说法： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交； ③若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行． 则上述说法中正确的为　________　.(仅填序号) 解析：由空间平行线的传递性知①正确．若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行，也可能相交或不相交，②错误；若平面α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥l，b∥l，则a∥b，③错误． 答案：① 7．对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是　________　. 解析：如图所示．∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点， ∴MN∥AC，且MN＝AC，PQ∥AC且PQ＝AC， 即MN∥PQ且MN＝PQ， ∴四边形MNPQ是平行四边形．又∵BD∥MQ，AC⊥BD，∴MN⊥MQ，∴平行四边形MNPQ是矩形． 答案：矩形 8．如图，四棱锥C­ABED中，底面ABED是梯形，AB∥DE，DE＝2AB，且F是CD的中点，P是CE的中点，则AF与BP的位置关系是　________　. 解析：连接FP，因为F是CD的中点， P是CE的中点，所以FP∥DE，且FP＝DE，又因为AB∥DE，AB＝DE，所以AB∥FP且AB＝FP，所以四边形ABPF是平行四边形，所以AF∥BP. 答案：AF∥BP 9.如图，设E，F，G，H分别是四面体A­BCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，且＝＝λ，＝＝μ， 求证：(1)当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形； (2)当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形． 证明：(1)∵＝＝λ，∴EH∥BD，∴＝λ，同理，GF∥BD，＝μ.又∵λ＝μ，∴EH＝GF，且EH∥GF.∴四边形EFGH是平行四边形． (2)由(1)知EH∥GF，又∵λ≠μ，∴EH≠GF.∴四边形EFGH是梯形． [能力提升] 10．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是(　　) A．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1 C．OB与O1B1不平行 D．OB与O1B1不一定平行 解析：D　[OB与O1B1不一定平行，反例如图．] 11．已知三棱锥A­BCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝6，则MN＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：A　 [如图，延长AM，AN分别交BC，CD于点E，F， 连接EF，因为M，N分别是△ABC和△ACD的重心，所以AE，AF分别为△ABC和△ACD的中线，且＝＝，所以MN∥EF且MN＝EF，因为EF为△BCD的中位线，所以EF＝BD，所以MN＝BD＝×6＝2.] 12.如图所示，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若BD＝2，AC＝4，则四边形EFGH的周长为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：D　[因为E，H分别是空间四边形ABCD中的边AB，DA的中点，所以EH∥BD，且EH＝BD，同理FG∥BD，且FG＝BD.所以EH＝FG＝BD＝1，同理EF＝GH＝AC＝2， 所以四边形EFGH的周长为6.] 13．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是　________　.(填序号) 解析：结合公理4可知，①②均是平行直线，④中RS和PQ相交，③是既不平行也不相交的直线． 答案：①② 14．在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝，那么四边形EFGH的形状是　________　；若BD＝6 cm.四边形EFGH的面积为28 cm2，则EH与FG之间的距离为　________　cm. 解析：如图，由E，H分别是AB，AD的中点， 且＝＝，知EH∥BD∥GF，又EH≠FG，得四边形EFGH是梯形，若BD＝6 cm，则FG＝4 cm，EH＝3 cm.设EH与FG间的距离为h，因为梯形面积为(EH＋FG)h＝28 cm2，所以h＝8 cm，则EH与FG之间的距离为8 cm. 答案：梯形　8 15.如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点． 求证：四边形B1EDF为平行四边形． 证明：如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1. 因为E是AA1的中点，所以EQ綊A1D1.因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，所以EQ綊B1C1，所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E綊C1Q.又Q，F分别是D1D，C1C的中点，所以QD綊C1F，所以四边形DQC1F为平行四边形，所以C1Q綊FD.又B1E綊C1Q，所以B1E綊FD，故四边形B1EDF为平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4．2　直线与直线的位置关系 4．2.1　共面直线 课程标准 素养解读 1.理解并掌握平行线的传递性，并会应用其解决相关直线与直线平行问题． 2．理解并掌握等角定理. 1.通过平行线的传递性的应用，提升直观想象和逻辑推理等核心素养． 2．通过相交直线所成角的运算，提升数学运算等核心素养. 观察长方体ABCD ­A1B1C1D1，显然AB∥CD，CD∥C1D1，则AB与C1D1有何位置关系？ [知识点一]　共面直线　 相交或平行的两条直线称为　共面直线　. [知识点二]　平行线的传递性　 1．空间中平行于同一条直线的所有直线都　平行　，这一性质通常称为空间平行线的　传递　性． 2．符号表示：⇒a∥c. 1.平面中有哪些常用的证明两直线平行的定理？ 提示：三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行等． 2．平行线的传递性的实质及作用是什么？ 提示：实质上是说平行具有传递性；是判断空间两条直线平行的依据． [知识点三]　两条相交直线所成的角　 1．相交直线 同一平面内有且只有一个公共点的两条直线称为　相交直线　，当l与m相交于点A时，可简记作　l∩m＝A　. 2．两条相交直线所成的角 两条相交直线所形成的最小正角称为这两条相交直线所成的角，记为θ.显然，θ∈，并且角θ及其对顶角均为这两条相交直线所成的角． 规定：两条平行直线所成的角为0.因此，两条共面直线所成角的范围是. 3．等角定理 一般地，如果两条相交直线l1与l2分别平行于另外两条相交直线l′1与l′2，那么l1与l2所成的角和l′1与l′2所成的角相等，这个称为　等角定理　，常用来判定空间中的两个角相等． 1．设BB1是长方体的一条棱，则长方体中与BB1平行的棱有(　　) A．1条　 B．2条　　 C．3条　　D．4条 解析：C　[画出长方体(图略)，与BB1平行的棱有3条．] 2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，BC与BD所成角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 解析：B　[正方体的各个面都是正方形，BD为正方形ABCD的对角线，所以∠CBD＝45°，故BC与BD所成角的大小为45°.] 3．E，F，G，H分别是空间四边形ABCD四条边的中点，则EH与FG的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．重合 D．既不相交也不平行 解析：A　 [如图，连接BD， EH，FG， 则EH綊BD， FG綊BD， ∴EH綊FG.] 平行线的传递性 在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′中的中点，求证：EE′∥FF′. [思路点拨]　先证EE′∥BB′，再证FF′∥BB′，利用平行的传递性得结论． [证明]　因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.所以四边形EBB′E′是平行四边形，所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.所以EE′∥FF′. 证明空间中两条直线平行的方法 (1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明． (2)利用平行线的传递性即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由平行线的传递性得到a∥b. [变式训练] 1．如图所示的四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点， 求证：EF∥GH. 证明：因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC且EF＝AC.又因为G，H分别为CD，DA的中点，所以GH∥AC且GH＝AC.所以EF与GH平行且相等，即EF∥GH. 平行的综合应用 　如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点， 求证：四边形EFGH是平行四边形． [思路点拨]　利用三角形的中位线证明EF綊AB，GH綊DC，根据平行四边形的判定定理完成证明． [证明]　在△PAB中，因为E，F分别是PA，PB的中点，所以EF∥AB，EF＝AB，同理GH∥DC，GH＝DC.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB＝CD.所以EF∥GH，EF＝GH.所以四边形EFGH是平行四边形． 平行四边形的判定方法 (1)两组对边分别平行． (2)一组对边平行且相等． [变式训练] 2.如图，正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是棱AB，AD，B′C′，C′D′的中点． 求证：四边形EFF′E′为平行四边形． 证明：连接BD，B′D′(图略)，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF綊BD，同理E′F′綊B′D′.在正方体ABCD­A′B′C′D′中，四边形BB′D′D为平行四边形，所以BD綊B′D′，所以EF綊E′F′，故四边形EFF′E′为平行四边形． 相交直线所成的角 　已知正方体ABCD­A1B1C1D1，如图． (1)分别求AB与D1C1、BD所成的角的大小； (2)直线AB与DB所成的角和直线A1B1与D1B1所成的角是否相等？ [思路点拨]　先判断两直线的位置关系，构造两直线所成的角进行求解． [解]　(1)因为AB∥D1C1，所以AB与D1C1所成的角为0.又正方体的各个面都是正方形，BD为正方形ABCD的对角线，所以∠ABD＝，即AB与BD所成的角的大小是. (2)显然，直线AB与DB所成的角是∠ABD，直线A1B1与D1B1所成的角是∠A1B1D1. 因为∠ABD＝，∠A1B1D1＝，所以∠ABD＝∠A1B1D1，即直线AB与DB所成的角和直线A1B1与D1B1所成的角相等． 求两条相交直线所成的角 (1)作出(找出)两条相交直线所成的角． (2)在三角形或四边形中求解这个角． [变式训练] 3．如图所示，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝，BC＝1，CC′＝2.求： (1)直线A′D′与直线B′D′所成的角的大小； (2)直线BC与直线B′C′之间的距离． 解： (1)直线A′D′与直线B′D′所成的角是∠A′D′B′，因为A′D′＝BC＝1，A′B′＝AB＝，在Rt△A′B′D′中，tan∠A′D′B′＝＝＝，所以∠A′D′B′＝.故直线A′D′与直线B′D′所成角的大小为. (2)∵BC∥B′C′，BB′⊥BC，BB′⊥B′C′，∴BB′为两个平行线BC与B′C′之间的距离，又BB′＝CC′＝2，所以直线BC与直线B′C′之间的距离为2. 1．下列结论中正确的是(　　) ①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交； ④空间中有四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c. A．①②③　　　　 B．②④ C．③④ D．②③ 解析：B　[①错，可以不平行；②正确；③错误，和另一条可以异面；④正确，由平行线的传递性可知．] 2．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝3，BC＝2，BB1＝1，则直线AB与直线BD所成角的正切值为(　　) A.　　 B．2　　　 C.　　　 D. 解析：C　[已知，∠ABD即为所求的角，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝.] 3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是(　　) A．相交　 B．异面　　 C．平行　　 D．垂直 解析：C　[如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理知，EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH.] 4．在长方体ABCD­A′B′C′D′中，与AD平行的棱有　________　.(填写所有符合条件的棱) 解析：与AD平行的棱有A′D′，B′C′，BC. 答案：A′D′，B′C′，BC [基础过关] 1.关于两条直线平行，以下说法错误的是(　　) A．垂直于同一直线的两条直线平行 B．过直线外一点与该直线平行的直线只有一条 C．如果a∥b，b∥c，那么a∥c D．共面且没有公共点的两条直线是平行直线 解析：A　[B、C、D均正确．] 2．E，F，G，H分别是空间四边形ABCD四条边的中点，则EG与FH的位置关系是(　　) A．不相交 B．平行 C．相交 D．重合 解析：C　 [如图所示，连接BD，EF，FG，GH，HE，EG，HF， 由E，F，G，H是空间四边形ABCD四边中点，有EH綊BD，FG綊BD，∴EH綊FG，∴四边形EFGH是平行四边形，EG与FH是对角线．∴选C.] 3．已知直线a，b，有a∥b，a⊆α，b⊆β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是(　　) A．c与a，b都相交 B．c与a，b都不相交 C．c至多与a，b中的一条相交 D．c至少与a，b中的一条相交 解析：B　[若c与a，b都不相交，因为c与a在α内，所以a∥c.又c与b都在β内，所以b∥c.由公理4，可知a∥b符合条件．] 4．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH与MN是平行直线的图形(　　) 解析：A　[A中GH∥MN；B中因为N∈平面HG，且M∉平面HG，所以MN与GH既不平行也不相交；C中易证得HG与MN交于一点；D中GH与MN既不平行也不相交．] 5．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，则AB与CM所成的角的大小为(　　) A．90°　 B．60°　　 C．30°　　 ．0° 解析：A　 [把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示， AB∥CM，所以AB与CM所成的角的大小为0°.] 6．a，b，c是空间中三条直线，下面给出几个说法： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交； ③若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行． 则上述说法中正确的为　________　.(仅填序号) 解析：由空间平行线的传递性知①正确．若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行，也可能相交或不相交，②错误；若平面α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥l，b∥l，则a∥b，③错误． 答案：① 7．对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是　________　. 解析：如图所示．∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点， ∴MN∥AC，且MN＝AC，PQ∥AC且PQ＝AC， 即MN∥PQ且MN＝PQ， ∴四边形MNPQ是平行四边形．又∵BD∥MQ，AC⊥BD，∴MN⊥MQ，∴平行四边形MNPQ是矩形． 答案：矩形 8．如图，四棱锥C­ABED中，底面ABED是梯形，AB∥DE，DE＝2AB，且F是CD的中点，P是CE的中点，则AF与BP的位置关系是　________　. 解析：连接FP，因为F是CD的中点， P是CE的中点，所以FP∥DE，且FP＝DE，又因为AB∥DE，AB＝DE，所以AB∥FP且AB＝FP，所以四边形ABPF是平行四边形，所以AF∥BP. 答案：AF∥BP 9.如图，设E，F，G，H分别是四面体A­BCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，且＝＝λ，＝＝μ， 求证：(1)当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形； (2)当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形． 证明：(1)∵＝＝λ，∴EH∥BD，∴＝λ，同理，GF∥BD，＝μ.又∵λ＝μ，∴EH＝GF，且EH∥GF.∴四边形EFGH是平行四边形． (2)由(1)知EH∥GF，又∵λ≠μ，∴EH≠GF.∴四边形EFGH是梯形． [能力提升] 10．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是(　　) A．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1 C．OB与O1B1不平行 D．OB与O1B1不一定平行 解析：D　[OB与O1B1不一定平行，反例如图．] 11．已知三棱锥A­BCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝6，则MN＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：A　 [如图，延长AM，AN分别交BC，CD于点E，F， 连接EF，因为M，N分别是△ABC和△ACD的重心，所以AE，AF分别为△ABC和△ACD的中线，且＝＝，所以MN∥EF且MN＝EF，因为EF为△BCD的中位线，所以EF＝BD，所以MN＝BD＝×6＝2.] 12.如图所示，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若BD＝2，AC＝4，则四边形EFGH的周长为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：D　[因为E，H分别是空间四边形ABCD中的边AB，DA的中点，所以EH∥BD，且EH＝BD，同理FG∥BD，且FG＝BD.所以EH＝FG＝BD＝1，同理EF＝GH＝AC＝2， 所以四边形EFGH的周长为6.] 13．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是　________　.(填序号) 解析：结合公理4可知，①②均是平行直线，④中RS和PQ相交，③是既不平行也不相交的直线． 答案：①② 14．在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝，那么四边形EFGH的形状是　________　；若BD＝6 cm.四边形EFGH的面积为28 cm2，则EH与FG之间的距离为　________　cm. 解析：如图，由E，H分别是AB，AD的中点， 且＝＝，知EH∥BD∥GF，又EH≠FG，得四边形EFGH是梯形，若BD＝6 cm，则FG＝4 cm，EH＝3 cm.设EH与FG间的距离为h，因为梯形面积为(EH＋FG)h＝28 cm2，所以h＝8 cm，则EH与FG之间的距离为8 cm. 答案：梯形　8 15.如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点． 求证：四边形B1EDF为平行四边形． 证明：如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1. 因为E是AA1的中点，所以EQ綊A1D1.因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，所以EQ綊B1C1，所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E綊C1Q.又Q，F分别是D1D，C1C的中点，所以QD綊C1F，所以四边形DQC1F为平行四边形，所以C1Q綊FD.又B1E綊C1Q，所以B1E綊FD，故四边形B1EDF为平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$