第4章 4.1 平面（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册同步教案（高教版2021）

[基础过关] 1.如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面(　　) A．没有其他公共点 B．仅有这一个公共点 C．仅有两个公共点 D．有无数个公共点 解析：D　[根据公理3可知，两个不重合的平面若有一个公共点。则这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线．] 2．下列说法正确的是(　　) A．三点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．四边形是平面图形 D．两条相交直线可以确定一个平面 解析：D　[A错误，不共线的三点可以确定一个平面．B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．C错误，四边形不一定是平面图形．D正确，两条相交直线可以确定一个平面．] 3．若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则(　　) A．C∈α B．C∉α C．AB⊄α D．AB∩α＝C 解析：A　[因为A∈平面α，B∈平面α，所以AB⊆α，又因为C∈直线AB，所以C∈α.] 4．一条直线和直线外的三点所能确定的平面个数是(　　) A．1或3 B．1或4 C．1,3或4 D．1,2或4 解析：C　 [如图，(1)当A，B，C与l共面时，可确定一个平面； (2)当A，B，C与l不共面时，①当A，B，C中只有两点连线与l平行时，这样可确定3个平面；②当A，B，C中任意两点连线不与l平行时，可确定4个平面．] 5．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是(　　) 解析：D　[在选项A，B，C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P，Q，R，S共面．] 6．“平面α与平面β有一条公共直线l，且直线m在平面β内”用符号语言可表示为　________　. 解析：平面α与平面β有一条公共直线l，记作α∩β＝l，直线m在平面β内，记作m⊆β. 答案：α∩β＝l，且m⊆β 7．有下列几个说法：①两个相交平面有不在同一条直线上三个公共点；②经过空间任意三点至少有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面．其中正确说法的序号是　________　. 解析：两个相交平面的公共点都在一条直线，故①错；由公理1及其推论知②③正确． 答案：②③ 8．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是　________　. 解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面． 答案：1或4 9．求证：三棱台A1B1C1­ABC三条侧棱延长后相交于一点． 证明：延长AA1，BB1， 设AA1∩BB1＝P，又BB1⊆平面BCC1B1，所以P∈平面BCC1B1，因为AA1⊆平面ACC1A1， 所以P∈平面ACC1A1，所以P为平面BCC1B1和平面ACC1A1的公共点，又因为平面BCC1B1∩平面ACC1A1＝CC1，所以P∈CC1，即AA1，BB1，CC1延长后交于一点P. [能力提升] 10．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是(　　) 解析：D　[画两个相交平面时，被遮住的部分作虚线表示，并画出两平面的交线．] 11．下面是长方体ABCD－A1B1C1D1的几条棱，其中不符合条件“与直线A1D1既不相交也不平行”的是(　　) A．AB B．B1C1 C．B1B D．CD 解析：B　[如图所示，因为B1C1∥A1D1，所以选B.] 12.如图所示，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　) A．A、M、O三点共线 B．A、M、O、A1不共线 C．A、M、C、O不共面 D．B、B1、O、M共面 解析：A　[由题意，易知A，M，O三点在平面AB1D1与平面CC1A1A的交线上，易验证B、C、D均不正确．] 13．.下列命题： ①若直线a与平面α有公共点，则称a⊆α； ②若M∈α，M∈β，α∩β＝l，由M∈l； ③若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面． 其中正确的命题是　________　.(填写所有正确命题的序号) 解析：①错误．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交或a⊆α； ②正确．由公理3知该命题正确； ③如图，两个相交平面有三个公共点A、B、C，但A、B、C、D、E不共面． 答案：② 14．给出下列说法： ①不共面的四点中，任意三点不共线； ②和同一条直线相交的两条直线在同一平面内； ③三条两两相交的直线在同一平面内； ④有三个不同公共点的两个平面重合； ⑤依次首尾相接的四条线段不一定共面． 其中正确的个数是　________　. 解析：易知①⑤正确；②错误，因为在空间中，这两条直线可能是异面直线；③错误，如正方体中，具有同一顶点的三条棱不在同一平面内；④错误，三个不同的公共点可在两平面的交线上．所以正确命题的个数为2. 答案：2 15.如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A、D与B、C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R. 求证：P，Q，R三点共线． 证明∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P，∴AB，CD可确定一个平面，设为β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.∴AC⊆β，BD⊆β，平面α，β相交．∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R， ∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点． ∴P，Q，R都在α与β的交线上． 故P，Q，R三点共线． 学科网（北京）股份有限公司 $$4．1　平面 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课时 素养提升 04 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学·拓展模块（GJ上） 第4章 立体几何 课程标准 素养解读 1.理解点、直线、平面之间的位置关系，能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系． 2．能用文字、图形、符号三种语言描述三个公理． 3．理解三个公理的地位与作用. 1.通过符号语言描述空间中点、直线、平面之间的位置关系，提升数学抽象核心素养． 2．通过空间点、线、面位置关系的公理的学习，提升逻辑推理等核心素养. 生活中常见到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等，请问这是为什么？ [知识点一]　空间点、直线、平面之间的位置关系　 类型 位置关系 文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达 点与 直线 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A∉l 点与 平面 点A在平面α内 　A∈α　 点A在平面α外 A∉α 直线与 直线 直线a与l相交 a∩l＝M 直线a与l不相交 a∩l＝∅ 直线与 平面 直线l在平面α内 l⊆α 直线l 与平面α相交 l∩α＝A 直线l与平面α平行 l∥α 平面与 平面 平面α与平面β不相交 α∥β 平面α，β相交于l α∩β＝l [知识点二]　空间点、线、面位置关系的公理　 公理 文字语言 图形语言 符号语言 作用 公理 1 经过　不　在一条直线上的　三　个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α. ①确定平面的依据； ②判定点、线共面． 公理 2 如果一条直线上有　两　个点在一平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面　内　 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊆α ①确定直线在平面内的依据； ②判定点在平面内． 公理 3 如果不重合的两个平面　有一个公共点　，那么它们　有且只有　一条经过该点的公共直线. P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l. ①判定两平面相交的依据； ②判定点在直线上. 根据公理1和公理2，结合“两点确定一条直线”可以得到以下三个推论 推论1：一条直线和该直线　外　一点确定一个平面，如图①； 推论2：两条　相交　直线确定一个平面，如图②； 推论3：两条　平行　直线确定一个平面，如图③. 1.一个平面能否把空间分成两部分？ 提示：因为平面是无限延展的，一个平面能把空间分成两部分． 2．经过空间任意三点能确定一个平面吗？ 提示：不一定，只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面． 1．若一直线a在平面α内，则正确的图形是(　　) 解析：A　[选项B，C，D中直线a在平面α外，选项A中直线a在平面α内．] 2．如图所示，下列符号表示错误的是(　　) A．l∈α　 B．P∉l　　 C．l⊆α　　 D．P∈α 解析：A　[观察图知：P∉l，P∈α，l⊆α.l∈α是错误的．] 3．下列空间图形画法错误的是(　　) 解析：D　[遮挡部分应画成虚线，所以D错误．] 图形、文字、符号语言的相互转化 　完成下列各题： (1)将下列文字语言转换为符号语言． ①点A在平面α内，但不在平面β内； ②直线a经过平面α外一点M； ③直线l在平面α内，又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l)． (2)将下列符号语言转换为图形语言． ①a⊆α，b∩α＝A，A∉a； ②α∩β＝c，a⊆α，b⊆β，a∥c，b∩c＝P. [思路点拨]　正确利用点、直线、平面之间的位置关系，符号语言的正确表示． [解析]　(1)①A∈α，A∉β.②M∈a，M∉α.③α∩β＝l. (2)① ② 三种语言的转换方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示． (2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”． (3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别． [变式训练] 1．试用符号语言表示下列各语句，并画出图形； (1)若点Q在直线b上，b在平面β内； (2)直线l经过平面α外一点P，且与平面α相交于点M； (3)平面α与平面β相交于直线l，且l经过点P. 解析：(1)Q∈b，b⊆β，如图1所示． (2)P∈l，P∉α，l∩α＝M，如图2所示． (3)α∩β＝l，P∈l，如图3所示． 点、线共面问题 　如图，已知a⊆α，b⊆α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α. [思路点拨]　根据公理2及其推论证明 [证明]　PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面，记为β.所以直线a⊆β，点P∈β，因为P∈b，b⊆α，所示P∈α.又因为a⊆α，所以α与β重合，所以PQ⊆α. 证明多线共面的两种方法 (1)纳入平面法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内． (2)辅助平面法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合． [变式训练] 2．已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：a，b，c和l共面． 证明：如图，∵a∥b， ∴a与b确定一个平面，记为α， ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α， B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊆α.∵b∥c，∴b与c确定一个平面，记为β.同理l⊆β.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由推论2知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面． 点共线、线共点问题 　(1)如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊆α，CD⊆β，求证AB，CD，l共点． (2)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F. 求证：E，F，G，H四点必定共线． [思路点拨]　(1)先证AB，CD交于一点，再证这个点在直线l上． (2)证明E，F，G，H都在其两个平面的交线上． (1)[证明]　因为梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰， 所以AB，CD必定相交于一点．如图，设AB∩CD＝M.又因为AB⊆α，CD ⊆β，所以M∈α，且M∈β.所以M∈α∩β.又因为α∩β＝l，所以M∈l，即AB，CD，l共点． (2)[证明]　因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β(即平面ABCD)，又因为AB∩α＝E，AB⊆β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β和公共点．两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线． 点共线与线共点的证明思路 (1)点共线的思路：证明这些点都分别在两个相交的平面内，因此在两个平面的交线上． (2)线共点的思路：先由两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上． [变式训练] 3．已知三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b.若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线相交于同一点． 证明：因为α∩γ＝b， β∩γ＝a，所以a⊆γ，b⊆γ. 又由于直线a和b不平行，所以a，b必相交．设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.因为a⊆β，b⊆α，所以P∈β，P∈α.又α∩β＝c，所以P∈c，即交线c经过P.所以a，b，c三条直线相交于同一点． 1．下列说法正确的是(　　) A．平面是一块平的面 B．平面是无限延展的 C．平面的形状是平行四边形 D．一个平面的厚度可以是0.01 cm 解析：B　[平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，B说法是正确的；ACD三种说法是错误的．] 2．如果A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以表示为(　　) A．A⊆a.a⊆α，B∈α B．A∈a，a⊆α，B∈α C．A⊆α，a∈α，B⊆α D．A∈α，a∈α，B∈α 解析：B　[A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，表示为A∈a，a⊆α，B∈α.] 3．能确定一个平面的条件是(　　) A．空间三个点 B．一个点和一条直线 C．无数个点 D．两条相交直线 解析：D　[不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A、B、C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．] 4．设平面α与平面β相交于l，直线a⊆α，直线b⊆β，a∩b＝M，则M　________　l. 解析：因为a∩b＝M，a⊆α，b⊆β，所以M∈α，M∈β，又因为α∩β＝l，所以M∈l. 答案：∈ $$ 4．1　平面 课程标准 素养解读 1.理解点、直线、平面之间的位置关系，能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系． 2．能用文字、图形、符号三种语言描述三个公理． 3．理解三个公理的地位与作用. 1.通过符号语言描述空间中点、直线、平面之间的位置关系，提升数学抽象核心素养． 2．通过空间点、线、面位置关系的公理的学习，提升逻辑推理等核心素养. 生活中常见到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等，请问这是为什么？ [知识点一]　空间点、直线、平面之间的位置关系　 类型 位置关系 文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达 点与 直线 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A∉l 点与 平面 点A在平面α内 　A∈α　 点A在平面α外 A∉α 直线与 直线 直线a与l相交 a∩l＝M 直线a与l不相交 a∩l＝∅ 直线与 平面 直线l在平面α内 l⊆α 直线l 与平面α相交 l∩α＝A 直线l与平面α平行 l∥α 平面与 平面 平面α与平面β不相交 α∥β 平面α，β相交于l α∩β＝l [知识点二]　空间点、线、面位置关系的公理　 公理 文字语言 图形语言 符号语言 作用 公理 1 经过　不　在一条直线上的　三　个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α. ①确定平面的依据； ②判定点、线共面． 公理 2 如果一条直线上有　两　个点在一平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面　内　 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊆α ①确定直线在平面内的依据； ②判定点在平面内． 公理 3 如果不重合的两个平面　有一个公共点　，那么它们　有且只有　一条经过该点的公共直线. P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l. ①判定两平面相交的依据； ②判定点在直线上. 根据公理1和公理2，结合“两点确定一条直线”可以得到以下三个推论 推论1：一条直线和该直线　外　一点确定一个平面，如图①； 推论2：两条　相交　直线确定一个平面，如图②； 推论3：两条　平行　直线确定一个平面，如图③. 1.一个平面能否把空间分成两部分？ 提示：因为平面是无限延展的，一个平面能把空间分成两部分． 2．经过空间任意三点能确定一个平面吗？ 提示：不一定，只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面． 1．若一直线a在平面α内，则正确的图形是(　　) 解析：A　[选项B，C，D中直线a在平面α外，选项A中直线a在平面α内．] 2．如图所示，下列符号表示错误的是(　　) A．l∈α　 B．P∉l　　 C．l⊆α　　 D．P∈α 解析：A　[观察图知：P∉l，P∈α，l⊆α.l∈α是错误的．] 3．下列空间图形画法错误的是(　　) 解析：D　[遮挡部分应画成虚线，所以D错误．] 　图形、文字、符号语言的相互转化 　完成下列各题： (1)将下列文字语言转换为符号语言． ①点A在平面α内，但不在平面β内； ②直线a经过平面α外一点M； ③直线l在平面α内，又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l)． (2)将下列符号语言转换为图形语言． ①a⊆α，b∩α＝A，A∉a； ②α∩β＝c，a⊆α，b⊆β，a∥c，b∩c＝P. [思路点拨]　正确利用点、直线、平面之间的位置关系，符号语言的正确表示． [解析]　(1)①A∈α，A∉β.②M∈a，M∉α.③α∩β＝l. (2)① ② 三种语言的转换方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示． (2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”． (3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别． [变式训练] 1．试用符号语言表示下列各语句，并画出图形； (1)若点Q在直线b上，b在平面β内； (2)直线l经过平面α外一点P，且与平面α相交于点M； (3)平面α与平面β相交于直线l，且l经过点P. 解析：(1)Q∈b，b⊆β，如图1所示． (2)P∈l，P∉α，l∩α＝M，如图2所示． (3)α∩β＝l，P∈l，如图3所示． 　点、线共面问题 　如图，已知a⊆α，b⊆α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α. [思路点拨]　根据公理2及其推论证明 [证明]　PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面，记为β.所以直线a⊆β，点P∈β，因为P∈b，b⊆α，所示P∈α.又因为a⊆α，所以α与β重合，所以PQ⊆α. 证明多线共面的两种方法 (1)纳入平面法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内． (2)辅助平面法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合． [变式训练] 2．已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：a，b，c和l共面． 证明：如图，∵a∥b， ∴a与b确定一个平面，记为α， ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α， B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊆α.∵b∥c，∴b与c确定一个平面，记为β.同理l⊆β.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由推论2知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面． 　点共线、线共点问题 　(1)如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊆α，CD⊆β，求证AB，CD，l共点． (2)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F. 求证：E，F，G，H四点必定共线． [思路点拨]　(1)先证AB，CD交于一点，再证这个点在直线l上． (2)证明E，F，G，H都在其两个平面的交线上． (1)[证明]　因为梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰， 所以AB，CD必定相交于一点．如图，设AB∩CD＝M.又因为AB⊆α，CD ⊆β，所以M∈α，且M∈β.所以M∈α∩β.又因为α∩β＝l，所以M∈l，即AB，CD，l共点． (2)[证明]　因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β(即平面ABCD)，又因为AB∩α＝E，AB⊆β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β和公共点．两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线． 点共线与线共点的证明思路 (1)点共线的思路：证明这些点都分别在两个相交的平面内，因此在两个平面的交线上． (2)线共点的思路：先由两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上． [变式训练] 3．已知三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b.若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线相交于同一点． 证明：因为α∩γ＝b， β∩γ＝a，所以a⊆γ，b⊆γ. 又由于直线a和b不平行，所以a，b必相交．设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.因为a⊆β，b⊆α，所以P∈β，P∈α.又α∩β＝c，所以P∈c，即交线c经过P.所以a，b，c三条直线相交于同一点． 1．下列说法正确的是(　　) A．平面是一块平的面 B．平面是无限延展的 C．平面的形状是平行四边形 D．一个平面的厚度可以是0.01 cm 解析：B　[平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，B说法是正确的；ACD三种说法是错误的．] 2．如果A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以表示为(　　) A．A⊆a.a⊆α，B∈α B．A∈a，a⊆α，B∈α C．A⊆α，a∈α，B⊆α D．A∈α，a∈α，B∈α 解析：B　[A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，表示为A∈a，a⊆α，B∈α.] 3．能确定一个平面的条件是(　　) A．空间三个点 B．一个点和一条直线 C．无数个点 D．两条相交直线 解析：D　[不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A、B、C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．] 4．设平面α与平面β相交于l，直线a⊆α，直线b⊆β，a∩b＝M，则M　________　l. 解析：因为a∩b＝M，a⊆α，b⊆β，所以M∈α，M∈β，又因为α∩β＝l，所以M∈l. 答案：∈ [基础过关] 1.如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面(　　) A．没有其他公共点 B．仅有这一个公共点 C．仅有两个公共点 D．有无数个公共点 解析：D　[根据公理3可知，两个不重合的平面若有一个公共点。则这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线．] 2．下列说法正确的是(　　) A．三点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．四边形是平面图形 D．两条相交直线可以确定一个平面 解析：D　[A错误，不共线的三点可以确定一个平面．B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．C错误，四边形不一定是平面图形．D正确，两条相交直线可以确定一个平面．] 3．若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则(　　) A．C∈α B．C∉α C．AB⊄α D．AB∩α＝C 解析：A　[因为A∈平面α，B∈平面α，所以AB⊆α，又因为C∈直线AB，所以C∈α.] 4．一条直线和直线外的三点所能确定的平面个数是(　　) A．1或3 B．1或4 C．1,3或4 D．1,2或4 解析：C　 [如图，(1)当A，B，C与l共面时，可确定一个平面； (2)当A，B，C与l不共面时，①当A，B，C中只有两点连线与l平行时，这样可确定3个平面；②当A，B，C中任意两点连线不与l平行时，可确定4个平面．] 5．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是(　　) 解析：D　[在选项A，B，C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P，Q，R，S共面．] 6．“平面α与平面β有一条公共直线l，且直线m在平面β内”用符号语言可表示为　________　. 解析：平面α与平面β有一条公共直线l，记作α∩β＝l，直线m在平面β内，记作m⊆β. 答案：α∩β＝l，且m⊆β 7．有下列几个说法：①两个相交平面有不在同一条直线上三个公共点；②经过空间任意三点至少有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面．其中正确说法的序号是　________　. 解析：两个相交平面的公共点都在一条直线，故①错；由公理1及其推论知②③正确． 答案：②③ 8．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是　________　. 解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面． 答案：1或4 9．求证：三棱台A1B1C1­ABC三条侧棱延长后相交于一点． 证明：延长AA1，BB1， 设AA1∩BB1＝P，又BB1⊆平面BCC1B1，所以P∈平面BCC1B1，因为AA1⊆平面ACC1A1， 所以P∈平面ACC1A1，所以P为平面BCC1B1和平面ACC1A1的公共点，又因为平面BCC1B1∩平面ACC1A1＝CC1，所以P∈CC1，即AA1，BB1，CC1延长后交于一点P. [能力提升] 10．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是(　　) 解析：D　[画两个相交平面时，被遮住的部分作虚线表示，并画出两平面的交线．] 11．下面是长方体ABCD－A1B1C1D1的几条棱，其中不符合条件“与直线A1D1既不相交也不平行”的是(　　) A．AB B．B1C1 C．B1B D．CD 解析：B　[如图所示，因为B1C1∥A1D1，所以选B.] 12.如图所示，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　) A．A、M、O三点共线 B．A、M、O、A1不共线 C．A、M、C、O不共面 D．B、B1、O、M共面 解析：A　[由题意，易知A，M，O三点在平面AB1D1与平面CC1A1A的交线上，易验证B、C、D均不正确．] 13．.下列命题： ①若直线a与平面α有公共点，则称a⊆α； ②若M∈α，M∈β，α∩β＝l，由M∈l； ③若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面． 其中正确的命题是　________　.(填写所有正确命题的序号) 解析：①错误．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交或a⊆α； ②正确．由公理3知该命题正确； ③如图，两个相交平面有三个公共点A、B、C，但A、B、C、D、E不共面． 答案：② 14．给出下列说法： ①不共面的四点中，任意三点不共线； ②和同一条直线相交的两条直线在同一平面内； ③三条两两相交的直线在同一平面内； ④有三个不同公共点的两个平面重合； ⑤依次首尾相接的四条线段不一定共面． 其中正确的个数是　________　. 解析：易知①⑤正确；②错误，因为在空间中，这两条直线可能是异面直线；③错误，如正方体中，具有同一顶点的三条棱不在同一平面内；④错误，三个不同的公共点可在两平面的交线上．所以正确命题的个数为2. 答案：2 15.如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A、D与B、C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R. 求证：P，Q，R三点共线． 证明∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P，∴AB，CD可确定一个平面，设为β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.∴AC⊆β，BD⊆β，平面α，β相交．∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R， ∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点． ∴P，Q，R都在α与β的交线上． 故P，Q，R三点共线． 学科网（北京）股份有限公司 $$