第3章 3.3.2 抛物线的几何性质（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册同步教案（高教版2021）

3．3.2　抛物线的几何性质 第3章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课时 素养提升 04 数学·拓展模块（GJ上） 第3章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 课程标准 素养解读 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质． 2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题. 1.通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算核心素养． 2．通过抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养. 前面，我们利用双曲线的标准方程获得了双曲线的几何性质，是否可以利用抛物线的标准方程研究抛物线的几何性质呢？ ［知识点］ 抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 性质 焦点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))) 准线 x＝－eq \f(p,2) x＝eq \f(p,2) y＝－eq \f(p,2) y＝eq \f(p,2) 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R 　y≥0，x∈R　 　y≤0，x∈R　 对称轴 　x轴　 　y轴　 顶点 　(0,0)　 离心率 e＝　1　 焦点到准线的距离是多少？ [提示]　焦点到准线的距离为p. 1．顶点在原点，准线方程是x＝2的抛物线方程是(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝－8y D．y2＝－4x 解析：B　[eq \f(p,2)＝2，p＝4，焦点在x轴负半轴上．] 2．若抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且焦点到准线的距离为3，则该抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝±6x B．x2＝±6y C．y2＝±6x或x2＝±6y D．y2＝12x或x2＝12y 解析：C　[p＝3，焦点可分别在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴．] 3．已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点，且经过(2，－4)，则抛物线方程是(　　) A．y2＝8x B．x2＝y C．y2＝－8x D．x2＝－eq \f(1,4)y 解析：A　[设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，将(2，－4)代入方程，(－4)2＝2p×2，解得p＝4，故所求抛物线方程为y2＝8x.] 抛物线几何性质的应用 　根据条件，求下列抛物线的标准方程，并求焦点坐标，准线方程和离心率． (1)关于y轴对称，且过点P(4，－2)； (2)对称轴为坐标轴，且过点P(10,5)． [思路点拨]　问题中没有明确指出抛物线的焦点位置或对称轴，需要分情况讨论． [解]　(1)由于抛物线关于y轴对称，而点P为第四象限的点，故抛物线的焦点在y轴的负半轴上．设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．将点P的坐标(4，－2)代入方程，得42＝－2p×(－2)，解得p＝4.因此，抛物线的标准方程为x2＝－8y，焦点坐标为(0, －2)，准线方程为y＝2，离心率e＝1. (2)设所求抛物线的标准方程为：y2＝2p1x或x2＝2p2y(p1>0，p2>0)，将点P的坐标(10,5)分别代入上述两个方程，得52＝2p1×10或102＝2p2×5，解得p1＝eq \f(5,4)或p2＝10.故抛物线的标准方程为y2＝eq \f(5,2)x或x2＝20y.当标准方程为y2＝eq \f(5,2)x时，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)，0))，准线方程为x＝－eq \f(5,8)，离心率e＝1.当标准方程为x2＝20y时，焦点坐标为(0,5)，准线方程为y＝－5，离心率e＝1. (1)把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 ①开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． ②关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． ③定值：焦点到准线的距离为p. (2)用待定系数法求抛物线方程的步骤 [变式训练] 1．已知抛物线的顶点为原点，焦点在x轴上，抛物线上一点M(－3，m)到焦点的距离为7，求抛物线的标准方程，并求它的焦点坐标、顶点坐标、离心率和准线方程． 解：点M(－3，m)位于第二或第三象限，因此可知抛物线的开口向左，设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)．由题意可知，点M到抛物线准线的距离为7，因此准线方程为x＝4，则有eq \f(p,2)＝4，p＝8，所以抛物线的标准方程为y2＝－16x.焦点坐标为(－4,0)，准线方程为x＝4，顶点坐标为(0,0)，离心率e＝1. 与抛物线有关的最值问题 　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点． (1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值． [思路点拨]　根据抛物线的定义求解． [解]　 (1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线的定义，知|PF|＝d，于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为eq \r(22＋12)＝eq \r(5). (2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±eq \r(12)，因为eq \r(12)>2，所以点B在抛物线内部．自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)．由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4. 与抛物线定义有关的最值问题的解题思路 由抛物线的定义实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，再利用平面几何的性质，确定最值点，即得最值．特别地，已知F为抛物线C的焦点，P为C上的点，A为定点，则有下列结论成立： (1)|PA|＋|PF|的最小值＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(点A到准线l的距离，点A在抛物线内部，,|AF|，点A在抛物线外部；)) (2)|PA|－|PF|的最大值＝|AF|； (3)|PA|－|PF|的最小值＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－|AF|，点A在抛物线内部，,点A到准线距离的相反数，点A在抛物线外部.)) [变式训练] 2．已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，求|PA|＋|PQ|的最小值． 解：抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1, 如图，设点P在准线上的射影是点M， 根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1. 所以|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝eq \r(82＋7－12)－1＝10－1＝9，当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，故|PA|＋|PQ|的最小值为9. 抛物线的实际应用 　汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197 mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69 mm.由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1 mm) [思路点拨]　 eq \x(\a\al(建立恰当,的平面直,角坐标系))→eq \x(\a\al(根据条件,求出抛物,线的方程))→eq \x(\a\al(将灯泡安装,在抛物线的,焦点处即可)) [解]　如图在车灯的一个轴截面上建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，灯泡应安装在其焦点F处．在x轴上取一点C，使|OC|＝69 mm，过点C作x轴的垂线，交抛物线于A，B两点，线段AB就是灯口的直径，即|AB|＝197 mm，则点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(69，\f(197,2))). 将点A的坐标代入方程y2＝2px(p>0)，解得p≈70，此时焦点F的坐标约为(35,0)．因此，灯泡应安装在对称轴上距顶点约35 mm处． 求抛物线实际应用的五个步骤 (1)建立适当的坐标系． (2)设出合适的抛物线标准方程． (3)通过计算求出抛物线的标准方程． (4)求出需要求出的量． (5)还原到实际问题中，从而解决实际问题． [变式训练] 3．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高eq \f(3,4)米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？ [解]　如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝eq \f(8,5)，∴抛物线方程为x2＝－eq \f(16,5)y. ∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航． 设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－eq \f(16,5)yA，得yA＝－eq \f(5,4).又知船露出水面上的部分高eq \f(3,4)米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h＝|yA|＋eq \f(3,4)＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航． 1．下列关于抛物线x2＝－8y，说法正确的是(　　) A．焦点在y轴的正半轴上 B．焦点在y轴的负半轴上 C．关于x轴对称 D．离心率是2 解析：B　[由题知，焦点在y轴负半轴上．] 2．已知抛物线y2＝2px(p>0)上到焦点的距离为3的点的横坐标为2，则p等于(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：C　[由抛物线的定义知，抛物线的准线方程为x＝－1，eq \f(p,2)＝1，p＝2.] 3．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　 ) A．x2＝16y B．x2＝8y C．x2＝±8y D．x2＝±16y 解析：D　[顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.] 4．抛物线x2＝2y的焦点为　________　，顶点为　________　，焦点到准线的距离为　________　，准线方程为y＝　________　，离心率为　________　. 解析：p＝1，焦点在y轴的正半轴上，焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，准线方程为y＝－eq \f(1,2). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，(0,0)，1，－eq \f(1,2)，1 $$ 3．3.2　抛物线的几何性质 课程标准 素养解读 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质． 2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题. 1.通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算核心素养． 2．通过抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养. 前面，我们利用双曲线的标准方程获得了双曲线的几何性质，是否可以利用抛物线的标准方程研究抛物线的几何性质呢？ ［知识点］〓抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 续表 性质 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R 　y≥0，x∈R　 　y≤0，x∈R　 对称轴 　x轴　 　y轴　 顶点 　(0,0)　 离心率 e＝　1　 焦点到准线的距离是多少？ [提示]　焦点到准线的距离为p. 1．顶点在原点，准线方程是x＝2的抛物线方程是(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝－8y D．y2＝－4x 解析：B　[＝2，p＝4，焦点在x轴负半轴上．] 2．若抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且焦点到准线的距离为3，则该抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝±6x B．x2＝±6y C．y2＝±6x或x2＝±6y D．y2＝12x或x2＝12y 解析：C　[p＝3，焦点可分别在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴．] 3．已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点，且经过(2，－4)，则抛物线方程是(　　) A．y2＝8x B．x2＝y C．y2＝－8x D．x2＝－y 解析：A　[设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，将(2，－4)代入方程，(－4)2＝2p×2，解得p＝4，故所求抛物线方程为y2＝8x.] 　抛物线几何性质的应用 　根据条件，求下列抛物线的标准方程，并求焦点坐标，准线方程和离心率． (1)关于y轴对称，且过点P(4，－2)； (2)对称轴为坐标轴，且过点P(10,5)． [思路点拨]　问题中没有明确指出抛物线的焦点位置或对称轴，需要分情况讨论． [解]　(1)由于抛物线关于y轴对称，而点P为第四象限的点，故抛物线的焦点在y轴的负半轴上．设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．将点P的坐标(4，－2)代入方程，得42＝－2p×(－2)，解得p＝4.因此，抛物线的标准方程为x2＝－8y，焦点坐标为(0,-2)，准线方程为y＝2，离心率e＝1. (2)设所求抛物线的标准方程为：y2＝2p1x或x2＝2p2y(p1>0，p2>0)，将点P的坐标(10,5)分别代入上述两个方程，得52＝2p1×10或102＝2p2×5，解得p1＝或p2＝10.故抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝20y.当标准方程为y2＝x时，焦点坐标为，准线方程为x＝－，离心率e＝1.当标准方程为x2＝20y时，焦点坐标为(0,5)，准线方程为y＝－5，离心率e＝1. (1)把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 ①开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． ②关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． ③定值：焦点到准线的距离为p. (2)用待定系数法求抛物线方程的步骤 [变式训练] 1．已知抛物线的顶点为原点，焦点在x轴上，抛物线上一点M(－3，m)到焦点的距离为7，求抛物线的标准方程，并求它的焦点坐标、顶点坐标、离心率和准线方程． 解：点M(－3，m)位于第二或第三象限，因此可知抛物线的开口向左，设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)．由题意可知，点M到抛物线准线的距离为7，因此准线方程为x＝4，则有＝4，p＝8，所以抛物线的标准方程为y2＝－16x.焦点坐标为(－4,0)，准线方程为x＝4，顶点坐标为(0,0)，离心率e＝1. 　与抛物线有关的最值问题 　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点． (1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值． [思路点拨]　根据抛物线的定义求解． [解]　 (1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线的定义，知|PF|＝d，于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为＝. (2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±，因为>2，所以点B在抛物线内部．自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)．由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4. 与抛物线定义有关的最值问题的解题思路 由抛物线的定义实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，再利用平面几何的性质，确定最值点，即得最值．特别地，已知F为抛物线C的焦点，P为C上的点，A为定点，则有下列结论成立： (1)|PA|＋|PF|的最小值＝ (2)|PA|－|PF|的最大值＝|AF|； (3)|PA|－|PF|的最小值＝ [变式训练] 2．已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，求|PA|＋|PQ|的最小值． 解：抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1, 如图，设点P在准线上的射影是点M， 根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1. 所以|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1＝10－1＝9，当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，故|PA|＋|PQ|的最小值为9. 　抛物线的实际应用 　汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197 mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69 mm.由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1 mm) [思路点拨]　 →→ [解]　如图在车灯的一个轴截面上建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，灯泡应安装在其焦点F处．在x轴上取一点C，使|OC|＝69 mm，过点C作x轴的垂线，交抛物线于A，B两点，线段AB就是灯口的直径，即|AB|＝197 mm，则点A的坐标为. 将点A的坐标代入方程y2＝2px(p>0)，解得p≈70，此时焦点F的坐标约为(35,0)．因此，灯泡应安装在对称轴上距顶点约35 mm处． 求抛物线实际应用的五个步骤 (1)建立适当的坐标系． (2)设出合适的抛物线标准方程． (3)通过计算求出抛物线的标准方程． (4)求出需要求出的量． (5)还原到实际问题中，从而解决实际问题． [变式训练] 3．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？ [解]　如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝，∴抛物线方程为x2＝－y. ∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航． 设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船露出水面上的部分高米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h＝|yA|＋＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航． 1．下列关于抛物线x2＝－8y，说法正确的是(　　) A．焦点在y轴的正半轴上 B．焦点在y轴的负半轴上 C．关于x轴对称 D．离心率是2 解析：B　[由题知，焦点在y轴负半轴上．] 2．已知抛物线y2＝2px(p>0)上到焦点的距离为3的点的横坐标为2，则p等于(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：C　[由抛物线的定义知，抛物线的准线方程为x＝－1，＝1，p＝2.] 3．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　 ) A．x2＝16y B．x2＝8y C．x2＝±8y D．x2＝±16y 解析：D　[顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.] 4．抛物线x2＝2y的焦点为　________　，顶点为　________　，焦点到准线的距离为　________　，准线方程为y＝　________　，离心率为　________　. 解析：p＝1，焦点在y轴的正半轴上，焦点为，准线方程为y＝－. 答案：，(0,0)，1，－，1 [基础过关] 1．若点M到点(0,2)和直线y＝－2的距离相等，则点M的轨迹方程是(　　) A．y2＝4x B．y2＝8x C．x2＝4y D．x2＝8y 解析：D　[点M的轨迹为抛物线，＝2，p＝4，焦点在y轴正半轴上，故轨迹方程为x2＝8y.] 2．若抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且焦点在直线x＋y＋2＝0上，则抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝4x或x2＝－4y B．y2＝－4x或x2＝4y C．y2＝8x或x2＝－8y D．y2＝－8x或x2＝－8y 解析：D　[抛物线的焦点分别为(－2,0)或(0，－2)，故抛物线方程分别为y2＝－8x或x2＝－8y.] 3．已知抛物线y＝mx2的准线方程为y＝－1，则m＝(　　) A．－4 B．4 C．－ D． 解析：D　[抛物线标准方程为x2＝y,2p＝，＝＝1，故m＝.] 4．若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：A　[由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则P，∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.] 5．若抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点与椭圆＋y2＝1的左焦点重合，则p的值为(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 解析：C　[在椭圆方程中，a2＝5，b2＝1，则c2＝a2－b2＝4，∴c＝2，即在抛物线中，＝2，∴p＝4.] 6．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝　________　. 解析：抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，则a×1－0＋1＝0，解得a＝－1. 答案：－1 7．以双曲线－＝1的右焦点为焦点的抛物线方程为　________　. 解析：双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则＝3，则＝3，p＝6，故抛物线方程为y2＝12x. 答案：y2＝12x 8．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x－4y－12＝0上，则此抛物线的方程是　________　. 解析：直线3x－4y－12＝0与x轴的交点为(4,0)，所以＝4，p＝8，所求抛物线方程为y2＝16x. 9．求符合下列条件的抛物线的标准方程． (1)对称轴为y轴，并经过点(－6，－3)； (2)以圆x2＋y2－10y＝0的圆心为焦点； (3)顶点在原点，准线方程为x＝4. 解：(1)因为抛物线对称轴为y轴且经过点(－6，－3)，所以设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，将点(－6，－3)代入，解得p＝6.故抛物线方程为x2＝－12y. (2)由题可知，圆心坐标为(0,5)，即＝5，解得p＝10，故抛物线方程为x2＝20y. (3)设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，因为准线方程为x＝4，所以p＝8，故抛物线方程为y2＝－16x. [能力提升] 10．顶点在原点，并且以圆(x－2)2＋y2＝9的圆心为焦点的抛物线的方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝4x C．x2＝8y D．x2＝4y 解析：A　[由圆心坐标为(2,0)，则＝2，p＝4，得抛物线标准方程为y2＝8x.] 11．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－4)2＋y2＝25相切，则p的值为(　　 ) A. B．1 C．2 D．4 解析：C　[由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－.因为准线与圆相切，圆的方程为(x－4)2＋y2＝25，所以4＋＝5，所以p＝2.] 12.为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点(　　 ) A．0.5米 B．1米 C．1.5米 D．2米 解析：B　[若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图， 画出抛物面的轴截面，并建立平面直角坐标系，设抛物线方程x2＝2py(p>0)，集光板端点A(1,0.25)，代入抛物线方程可得2p＝4，所以抛物线方程x2＝4y，故焦点坐标是F(0,1)．所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m．] 13．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为　________　. 解析：在抛物线y2＝x中，p＝. ∴准线方程为x＝－， 设抛物线上点的坐标为(x，y)， 则有， 解得即所求点的坐标为 答案： 14.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m．若水面下降1 m，则水面宽度为　______　. 解析：由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意知，抛物线经过点A(－4，－2)和点B(4,2)，代入抛物线方程，解得p＝4， 所以抛物线方程为x2＝－8y，水面下降1米，即y＝－3，解得x1＝2，x2＝－2， 所以此时水面宽度d＝2x1＝4. 答案：4 m 15．已知抛物线y2＝8x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围； (2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长． 解： (1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0. (2)如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝|OM|.因为F(2,0)，所以|OM|＝|OF|＝3，所以M(3，0)．故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24；所以m＝2或m＝－2，所以A，B，所以|OA|＝|OB|＝，所以△OAB的周长为2＋4. 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．若点M到点(0,2)和直线y＝－2的距离相等，则点M的轨迹方程是(　　) A．y2＝4x B．y2＝8x C．x2＝4y D．x2＝8y 解析：D　[点M的轨迹为抛物线，＝2，p＝4，焦点在y轴正半轴上，故轨迹方程为x2＝8y.] 2．若抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且焦点在直线x＋y＋2＝0上，则抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝4x或x2＝－4y B．y2＝－4x或x2＝4y C．y2＝8x或x2＝－8y D．y2＝－8x或x2＝－8y 解析：D　[抛物线的焦点分别为(－2,0)或(0，－2)，故抛物线方程分别为y2＝－8x或x2＝－8y.] 3．已知抛物线y＝mx2的准线方程为y＝－1，则m＝(　　) A．－4 B．4 C．－ D． 解析：D　[抛物线标准方程为x2＝y,2p＝，＝＝1，故m＝.] 4．若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：A　[由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则P，∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.] 5．若抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点与椭圆＋y2＝1的左焦点重合，则p的值为(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 解析：C　[在椭圆方程中，a2＝5，b2＝1，则c2＝a2－b2＝4，∴c＝2，即在抛物线中，＝2，∴p＝4.] 6．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝　________　. 解析：抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，则a×1－0＋1＝0，解得a＝－1. 答案：－1 7．以双曲线－＝1的右焦点为焦点的抛物线方程为　________　. 解析：双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则＝3，则＝3，p＝6，故抛物线方程为y2＝12x. 答案：y2＝12x 8．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x－4y－12＝0上，则此抛物线的方程是　________　. 解析：直线3x－4y－12＝0与x轴的交点为(4,0)，所以＝4，p＝8，所求抛物线方程为y2＝16x. 9．求符合下列条件的抛物线的标准方程． (1)对称轴为y轴，并经过点(－6，－3)； (2)以圆x2＋y2－10y＝0的圆心为焦点； (3)顶点在原点，准线方程为x＝4. 解：(1)因为抛物线对称轴为y轴且经过点(－6，－3)，所以设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，将点(－6，－3)代入，解得p＝6.故抛物线方程为x2＝－12y. (2)由题可知，圆心坐标为(0,5)，即＝5，解得p＝10，故抛物线方程为x2＝20y. (3)设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，因为准线方程为x＝4，所以p＝8，故抛物线方程为y2＝－16x. [能力提升] 10．顶点在原点，并且以圆(x－2)2＋y2＝9的圆心为焦点的抛物线的方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝4x C．x2＝8y D．x2＝4y 解析：A　[由圆心坐标为(2,0)，则＝2，p＝4，得抛物线标准方程为y2＝8x.] 11．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－4)2＋y2＝25相切，则p的值为(　　 ) A. B．1 C．2 D．4 解析：C　[由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－.因为准线与圆相切，圆的方程为(x－4)2＋y2＝25，所以4＋＝5，所以p＝2.] 12.为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点(　　 ) A．0.5米 B．1米 C．1.5米 D．2米 解析：B　[若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图， 画出抛物面的轴截面，并建立平面直角坐标系，设抛物线方程x2＝2py(p>0)，集光板端点A(1,0.25)，代入抛物线方程可得2p＝4，所以抛物线方程x2＝4y，故焦点坐标是F(0,1)．所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m．] 13．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为　________　. 解析：在抛物线y2＝x中，p＝. ∴准线方程为x＝－， 设抛物线上点的坐标为(x，y)， 则有， 解得即所求点的坐标为 答案： 14.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m．若水面下降1 m，则水面宽度为　______　. 解析：由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意知，抛物线经过点A(－4，－2)和点B(4,2)，代入抛物线方程，解得p＝4， 所以抛物线方程为x2＝－8y，水面下降1米，即y＝－3，解得x1＝2，x2＝－2， 所以此时水面宽度d＝2x1＝4. 答案：4 m 15．已知抛物线y2＝8x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围； (2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长． 解： (1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0. (2)如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝|OM|.因为F(2,0)，所以|OM|＝|OF|＝3，所以M(3，0)．故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24；所以m＝2或m＝－2，所以A，B，所以|OA|＝|OB|＝，所以△OAB的周长为2＋4. 学科网（北京）股份有限公司 $$