第3章 3.2.2 双曲线的几何性质（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册同步教案（高教版2021）

3．2.2　双曲线的几何性质 课程标准 素养解读 1.掌握双曲线的范围、对称性、中心、顶点、轴、渐近线、离心率等几何性质，能够应用双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质． 2．掌握根据双曲线的几何性质解决有关问题的方法. 1.通过学习双曲线的几何性质，培养学生的直观想象、数学运算核心素养． 2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升学生的直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养. 前面，我们借助于椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质．那么，如何借助与双曲线的标准方程来研究双曲线的几何性质呢？ ［知识点一］ 双曲线的几何性质 　标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 性质 图形 焦点 　F1(－c,0)，F2(c,0)　 　F1(0，－c)，F2(0，c)　 焦距 　|F1F2|＝2c　 范围 　x≤－a　或　x≥a　， y∈R 　y≤－a　或　y≥a　， x∈R 性质 对称性 对称轴：　坐标轴　，对称中心：　原点　 顶点 　A1(－a,0)，A2(a,0)　 　A1(0，－a)，A2(0，a)　 轴 实轴：线段　A1A2　，长：　2a　，虚轴：线段　B1B2　， 长：　2b　，半实轴长：　a　，半虚轴长：　b　 离心率 e＝∈　(1，＋∞)　 渐近线 　y＝±x　 　y＝±x　 ［知识点二］ 双曲线的中心和等轴双曲线 1．双曲线的中心 双曲线的　对称中心　叫做双曲线的中心． 2．等轴双曲线 　实轴和虚轴等长　的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝　　，渐近线方程为　y＝±x　. 1.渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？ [提示]　渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同． 2．双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？ [提示]　e2＝＝1＋，是渐近线的斜率或其倒数．e越大，的值越大，从而渐近线y＝±x的斜率的绝对值越大，双曲线的“张口”就越大．因此，离心率e反映了双曲线的“张口”大小． 1．双曲线－y2＝1的顶点坐标是(　　 ) A．(4,0)，(0,1)　　 B．(－4,0)，(4,0) C．(0,1)，(0，－1) D．(－4,0)，(0，－1) 解析：B　[由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．] 2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：C　[双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4.] 3．双曲线y2－＝1的渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：C　[令y2－＝0，∴渐近线方程为：y＝±x.] 　　　根据双曲线方程研究几何性质 　　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． [思路点拨]　先化为标准方程，再研究其性质． [解]　双曲线的方程化为标准形式是－＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－，0)，(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x. 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式； (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值； (3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质． [提醒]　求性质时一定要注意焦点的位置． [变式训练] 1．求双曲线9y2－16x2＝144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 解析：把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为－＝1.由此可知，半实轴长a＝4，半虚轴长b＝3；c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x. 　由双曲线的几何性质求标准方程 　根据以下条件，求双曲线的标准方程． (1)过点P，离心率为； (2)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率 e＝； (3)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点. [思路点拨]　确定焦点在哪条坐标轴上，利用待定系数法构造方程(组)求解． [解]　(1)若双曲线的焦点在x轴上，设其方程为－＝1(a>0，b>0)，∵e＝，∴＝2，即a2＝b2①，又双曲线过P，∴－＝1②，由①②得a2＝b2＝4，故双曲线方程为－＝1.若双曲线的焦点在y轴上，设其方程为－＝1(a>0，b>0)， 同理有a2＝b2，③ －＝1，④ 由③④得a2＝b2＝－4(舍去)．综上，双曲线的标准方程为－＝1. (2)由椭圆方程＋＝1，知半焦距为＝，∴焦点是F1，F2.因此双曲线的焦点为，.设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 由已知条件，有解得∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1. (3)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，将点代入得λ＝，∴双曲线方程为－＝，即双曲线的标准方程为－＝1. (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的五种方法与技巧 ①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)． ②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)． ③渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0)． ④与双曲线－＝1或－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)． ⑤与双曲线－＝1(a>0，b>0)离心率相等的双曲线的方程可设为－＝λ(λ>0)或－＝λ(λ>0)，这是因为离心率不能确定焦点位置． [变式训练] 2．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点的坐标为(10,0)，一条渐近线的方程为3x－4y＝0； (2)焦距为12，离心率为. 解：(1)由题设可知，双曲线的焦点在x轴上，渐近线的方程为y＝x.于是有解得因此，所求的双曲线的标准方程为－＝1； (2)由已知条件可知2c＝12，因此c＝6.又e＝＝，故a＝4，故b2＝c2－a2＝20.于是，当双曲线的焦点在x轴上时，所求双曲线的标准方程为－＝1.当双曲线的焦点在y轴上时，所求双曲线的标准方程为－＝1. 　求双曲线的离心率 　若双曲线 －＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　 ) A. B． C. D． [思路点拨]　先求，根据e＝＝＝＝求解． [解]　由题意知＝，则e2＝1＋＝，所以e＝. [答案]　D 求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解． (2)若已知a，b，可直接利用e＝得解． [变式训练] 3．(1) 已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为　________　. (2)已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则其离心率为　________　. 解析：(1)由题意知－＝1，c2＝a2＋b2＝4，得a＝1，b＝，∴e＝2. (2)当焦点在x轴上时，＝2，这时离心率e＝＝＝. 当焦点在y轴上时，＝2，即＝，这时离心率e＝＝＝. 答案：(1)2　(2)或 　　　双曲线的实际应用 　已知A、B两个哨所相距1 600 m，在A哨所听到炮弹爆炸声比在B哨所晚3 s．求炮弹爆炸点所有可能位置构成的曲线的方程(声速为340 m/s)． [思路点拨]　根据题意，由A、B两处听到爆炸声的时间差可算出A、B两处与爆炸点的距离差，它是一个定值．因此，爆炸点所有可能的位置都在某双曲线上，又因为爆炸点距离A处比距离B处远，所以爆炸点应在该双曲线中靠近B处的一支上． [解]　如图所示，建立平面直角坐标系，使A、B两点在x轴上，且坐标原点为线段AB的中点．设爆炸点M的坐标为(x，y)，则|MA|－|MB|＝340×3＝1 020，于是有2a＝1 020，a＝510，a2＝260 100.因为|AB|＝1 600，所以2c＝1 600，c＝800，b2＝c2－a2＝379 900.又|MA|－|MB|＝1 020>0.故爆炸点M在双曲线的右支上，从而x≥510.因此，所求曲线方程为－＝1(x≥510)． 利用双曲线解决实际问题的基本步骤： (1)建立适当的坐标系． (2)求出双曲线的标准方程 (3)根据双曲线的方程及性质解决实际问题． [变式训练] 4．“神舟”九号飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P 远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角． 解：因为|PC|＝|PB|，所以P在线段BC的垂直平分线上．又因为|PB|－|PA|＝4<6＝|AB|，所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上．以线段AB的中点为坐标原点，AB的垂直平分线所在直线为y轴，正东方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示． 则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)．所以双曲线方程为－＝1(x>2)，BC的垂直平分线方程为x－y＋7＝0.联立两方程解得x＝8(舍负)，y＝5，所以P(8,5)，kPA＝tan∠PAx＝，所以∠PAx＝60°，所以P点在A点的北偏东30°方向． 1．双曲线－＝1的范围是(　　) A．|x|>2 B．|x|>2，|y|>3 C．|x|≥ D．|x|≥，|y|≥ 解析：C　[由双曲线的性质可得|x|≥，y∈R.] 2．双曲线－＝1的离心率为(　　) A. B． C. D． 解析：C　[a＝，b＝3，则c＝4，e＝＝.] 3．双曲线－＝1的渐近线方程是(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：D　[令－＝0，得渐近线方程为y＝±x.] 4．若双曲线－＝1(a>0)的离心率为，则a＝　________　. 解析：由题意可得，＝，得a2＝16，又a>0，所以a＝4. 答案：4 [基础过关] 1．下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．x2－＝1 D．－y2＝1 解析：A　[在A项中，双曲线方程为x2－＝1，即a＝1，b＝2.∴渐近线的方程为y＝±2x.] 2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 解析：D　[由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1.] 3．已知双曲线－＝1(m>0)的一条渐近线方程为x－4y＝0，其虚轴长为(　　 ) A．16　　 B．8　　　 C．2　　　 D．1 解析：C　[由题意＝，得m＝1，所以虚轴长为2.] 4．若实数k满足0<k<5，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　 ) A．实半轴长相等　 B．虚半轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 解析：D　[若0<k<5，则5－k>0,16－k>0，故方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴长为4，虚半轴长为，焦距2c＝2，离心率e＝；同理，方程－＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴长为，虚半轴长为，焦距2c＝2，离心率e＝.可知两曲线的焦距相等．] 5．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(　　) A．4 B．－4 C．－ D． 解析：C　[由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－＝b2＝4，∴m＝－.] 6．双曲线－＝1的两条渐近线的方程为　________　. 解析：法一　由双曲线的标准方程知焦点在x轴上，a2＝16，b2＝9，则a＝4，b＝3，故双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x＝±x. 法二　令－＝0，得渐近线方程为y＝±x. 答案：y＝±x 7．双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，与椭圆＋＝1有相同的焦点，求双曲线标准方程　________　. 解析：设所求双曲线方程为x2－＝λ(λ>0)，又∵c＝＝.∴λ＋4λ＝5.∴λ＝1，∴双曲线的标准方程为x2－＝1. 答案：x2－＝1 8．已知双曲线－y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝　________　. 解析：焦点在x轴上，a2＝m2，b2＝1，b＝2a，即4m2＝1，m＝±. 答案：± 9．已知双曲线的标准方程为－＝1，求双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和渐近线方程． 解：由题意得a2＝4，b2＝12，则c2＝16，所以实轴长为4，虚轴长为4，焦距为8，顶点坐标为(－2,0)，(2,0)，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，渐近线方程为y＝±x. [能力提升] 10．两顶点之间的距离为2，且渐近线方程为y＝±x的双曲线的标准方程是(　　) A．x2－y2＝1 B．x2－y2＝2 C．x2－y2＝1或y2－x2＝1 D．x2－y2＝2或y2－x2＝2 解析：C　[2a＝2，a＝b＝1，焦点在x轴或y轴上均可，双曲线方程为x2－y2＝1或y2－x2＝1.] 11．双曲线x2－y2＝－3的(　　) A．顶点坐标是，虚轴端点坐标是 B．顶点坐标是，虚轴端点坐标是 C．顶点坐标是，渐近线方程是y＝±x D．虚轴端点坐标是，渐近线方程是x＝y 解析：B　[双曲线方程可化为－＝1，焦点在y轴上．∴a＝b＝.] 12．在平面直角坐标系中，半实轴长为1，半虚轴长为2的双曲线的标准方程是(　　) A．x2－＝1 B．y2－＝1 C.－＝1或－＝1 D．x2－＝1或y2－＝1 解析：D　[由题意，知a＝1，b＝2.焦点在x轴上时，双曲线的标准方程是x2－＝1；焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为y2－＝1.] 13．已知双曲线－＝1的焦距是8，则k的值为　________　. 解析：2c＝8，a2＋b2＝(k＋1)＋5＝42，k＝10. 答案：10 14．过点P(3,1)的等轴双曲线的标准方程是　________　. 解析：将点P(3,1) 代入方程－＝1，有－＝1，解得a2＝8.故等轴双曲线的标准方程为－＝1. 答案：－＝1 15．求符合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴，虚轴长为6，离心率为； (2)顶点间的距离为6，渐近线方程为y＝±x. 解：(1)焦点在x轴，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． 由题意得所以双曲线的标准方程为－＝1. (2)当焦点在x轴时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． 由题意得解得a＝3，b＝.所以焦点在x轴的双曲线的标准方程为－＝1.同理可求得焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$3．2.2　双曲线的几何性质 第3章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课时 素养提升 04 数学·拓展模块（GJ上） 第3章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 课程标准 素养解读 1.掌握双曲线的范围、对称性、中心、顶点、轴、渐近线、离心率等几何性质，能够应用双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质． 2．掌握根据双曲线的几何性质解决有关问题的方法. 1.通过学习双曲线的几何性质，培养学生的直观想象、数学运算核心素养． 2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升学生的直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养. 前面，我们借助于椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质．那么，如何借助与双曲线的标准方程来研究双曲线的几何性质呢？ ［知识点一］ 双曲线的几何性质 　标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0) 性质 图形 焦点 　F1(－c,0)，F2(c,0)　 　F1(0，－c)，F2(0，c)　 性质 焦距 　|F1F2|＝2c　 范围 　x≤－a　或　x≥a　， y∈R 　y≤－a　或　y≥a　， x∈R 性质 对称性 对称轴：　坐标轴　，对称中心：　原点　 顶点 　A1(－a,0)，A2(a,0)　 　A1(0，－a)，A2(0，a)　 轴 实轴：线段　A1A2　，长：　2a　，虚轴：线段　B1B2　， 长：　2b　，半实轴长：　a　，半虚轴长：　b　 离心率 e＝eq \f(c,a)∈　(1，＋∞)　 渐近线 　y＝±eq \f(b,a)x　 　y＝±eq \f(a,b)x　 ［知识点二］ 双曲线的中心和等轴双曲线 1．双曲线的中心 双曲线的　对称中心　叫做双曲线的中心． 2．等轴双曲线 　实轴和虚轴等长　的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝　eq \r(2)　，渐近线方程为　y＝±x　. 1.渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？ [提示]　渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同． 2．双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？ [提示]　e2＝eq \f(c2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)，eq \f(b,a)是渐近线的斜率或其倒数．e越大，eq \f(b,a)的值越大，从而渐近线y＝±eq \f(b,a)x的斜率的绝对值越大，双曲线的“张口”就越大．因此，离心率e反映了双曲线的“张口”大小． 1．双曲线eq \f(x2,16)－y2＝1的顶点坐标是(　　 ) A．(4,0)，(0,1)　　 B．(－4,0)，(4,0) C．(0,1)，(0，－1) D．(－4,0)，(0，－1) 解析：B　[由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．] 2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　) A．2 B．2eq \r(2) C．4 D．4eq \r(2) 解析：C　[双曲线方程可变形为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4.] 3．双曲线y2－eq \f(x2,2)＝1的渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±eq \r(2)x C．y＝±eq \f(\r(2),2)x D．y＝±eq \f(1,2)x 解析：C　[令y2－eq \f(x2,2)＝0，∴渐近线方程为：y＝±eq \f(\r(2),2)x.] 根据双曲线方程研究几何性质 　　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． [思路点拨]　先化为标准方程，再研究其性质． [解]　双曲线的方程化为标准形式是eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝eq \r(13).又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－eq \r(13)，0)，(eq \r(13)，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(13),3)，渐近线方程为y＝±eq \f(2,3)x. 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式； (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值； (3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质． [提醒]　求性质时一定要注意焦点的位置． [变式训练] 1．求双曲线9y2－16x2＝144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 解析：把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为eq \f(y2,42)－eq \f(x2,32)＝1.由此可知，半实轴长a＝4，半虚轴长b＝3；c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(42＋32)＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)；渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x. 由双曲线的几何性质求标准方程 　根据以下条件，求双曲线的标准方程． (1)过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\r(5)))，离心率为eq \r(2)； (2)与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有公共焦点，且离心率e＝eq \f(\r(5),2)； (3)与双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1有共同渐近线，且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，2\r(3))). [思路点拨]　确定焦点在哪条坐标轴上，利用待定系数法构造方程(组)求解． [解]　(1)若双曲线的焦点在x轴上，设其方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∵e＝eq \r(2)，∴eq \f(c2,a2)＝2，即a2＝b2①，又双曲线过Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\r(5)))，∴eq \f(9,a2)－eq \f(5,b2)＝1②，由①②得a2＝b2＝4，故双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1.若双曲线的焦点在y轴上，设其方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)， 同理有a2＝b2，③ eq \f(5,a2)－eq \f(9,b2)＝1，④ 由③④得a2＝b2＝－4(舍去)．综上，双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1. (2)由椭圆方程eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，知半焦距为eq \r(9－4)＝eq \r(5)，∴焦点是F1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(5)，0))，F2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5)，0)).因此双曲线的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(5)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5)，0)).设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)， 由已知条件，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(5),2)，,a2＋b2＝c2，,c＝\r(5)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1.))∴所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－y2＝1. (3)设所求双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝λ(λ≠0)，将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，2\r(3)))代入得λ＝eq \f(1,4)，∴双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝eq \f(1,4)，即双曲线的标准方程为eq \f(x2,\f(9,4))－eq \f(y2,4)＝1. (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的五种方法与技巧 ①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)． ②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)． ③渐近线为y＝±eq \f(n,m)x的双曲线方程可设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0)． ④与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝λ(λ≠0)． ⑤与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)离心率相等的双曲线的方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ>0)或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝λ(λ>0)，这是因为离心率不能确定焦点位置． [变式训练] 2．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点的坐标为(10,0)，一条渐近线的方程为3x－4y＝0； (2)焦距为12，离心率为eq \f(3,2). 解：(1)由题设可知，双曲线的焦点在x轴上，渐近线的方程为y＝eq \f(3,4)x.于是有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝100，,\f(b,a)＝\f(3,4).))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝8，,b＝6.))因此，所求的双曲线的标准方程为eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1； (2)由已知条件可知2c＝12，因此c＝6.又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,2)，故a＝4，故b2＝c2－a2＝20.于是，当双曲线的焦点在x轴上时，所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,20)＝1.当双曲线的焦点在y轴上时，所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,20)＝1. 求双曲线的离心率 　若双曲线 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　 ) A.eq \f(\r(7),3) B．eq \f(5,4) C.eq \f(4,3) D．eq \f(5,3) [思路点拨]　先求eq \f(b,a)，根据e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)求解． [解]　由题意知eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，则e2＝1＋eq \f(b2,a2)＝eq \f(25,9)，所以e＝eq \f(5,3). [答案]　D 求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a，c，则直接利用e＝eq \f(c,a)得解． (2)若已知a，b，可直接利用e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)得解． [变式训练] 3．(1) 已知点(2,3)在双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为　________　. (2)已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则其离心率为　________　. 解析：(1)由题意知eq \f(4,a2)－eq \f(9,b2)＝1，c2＝a2＋b2＝4，得a＝1，b＝eq \r(3)，∴e＝2. (2)当焦点在x轴上时，eq \f(b,a)＝2，这时离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋22)＝eq \r(5). 当焦点在y轴上时，eq \f(a,b)＝2，即eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，这时离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(5),2). 答案：(1)2　(2)eq \r(5)或eq \f(\r(5),2) 双曲线的实际应用 [思路点拨]　根据题意，由A、B两处听到爆炸声的时间差可算出A、B两处与爆炸点的距离差，它是一个定值．因此，爆炸点所有可能的位置都在某双曲线上，又因为爆炸点距离A处比距离B处远，所以爆炸点应在该双曲线中靠近B处的一支上． 　已知A、B两个哨所相距1 600 m，在A哨所听到炮弹爆炸声比在B哨所晚3 s．求炮弹爆炸点所有可能位置构成的曲线的方程(声速为340 m/s)． [解]　如图所示，建立平面直角坐标系，使A、B两点在x轴上，且坐标原点为线段AB的中点．设爆炸点M的坐标为(x，y)，则|MA|－|MB|＝340×3＝1 020，于是有2a＝1 020，a＝510，a2＝260 100.因为|AB|＝1 600，所以2c＝1 600，c＝800，b2＝c2－a2＝379 900.又|MA|－|MB|＝1 020>0.故爆炸点M在双曲线的右支上，从而x≥510.因此，所求曲线方程为eq \f(x2,260 100)－eq \f(y2,379 900)＝1(x≥510)． 利用双曲线解决实际问题的基本步骤： (1)建立适当的坐标系． (2)求出双曲线的标准方程 (3)根据双曲线的方程及性质解决实际问题． [变式训练] 4．“神舟”九号飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P 远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角． 解：因为|PC|＝|PB|，所以P在线段BC的垂直平分线上．又因为|PB|－|PA|＝4<6＝|AB|，所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上．以线段AB的中点为坐标原点，AB的垂直平分线所在直线为y轴，正东方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示． 则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2eq \r(3))．所以双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x>2)，BC的垂直平分线方程为x－eq \r(3)y＋7＝0.联立两方程解得x＝8(舍负)，y＝5eq \r(3)，所以P(8,5eq \r(3))，kPA＝tan∠PAx＝eq \r(3)，所以∠PAx＝60°，所以P点在A点的北偏东30°方向． 1．双曲线eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1的范围是(　　) A．|x|>2 B．|x|>2，|y|>3 C．|x|≥eq \r(2) D．|x|≥eq \r(2)，|y|≥eq \r(3) 解析：C　[由双曲线的性质可得|x|≥eq \r(2)，y∈R.] 2．双曲线eq \f(x2,7)－eq \f(y2,9)＝1的离心率为(　　) A.eq \f(4,3) B．eq \f(7,4) C.eq \f(4,7) eq \r(7) D．eq \f(\r(7),4) 解析：C　[a＝eq \r(7)，b＝3，则c＝4，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4\r(7),7).] 3．双曲线eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1的渐近线方程是(　　) A．y＝±eq \f(\r(6),3)x B．y＝±eq \f(\r(6),2)x C．y＝±eq \r(3)x D．y＝±eq \f(\r(3),3)x 解析：D　[令eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝0，得渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x.] 4．若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,4)＝1(a>0)的离心率为eq \f(\r(5),2)，则a＝　________　. 解析：由题意可得，eq \f(a2＋4,a2)＝eq \f(5,4)，得a2＝16，又a>0，所以a＝4. 答案：4 $$ [基础过关] 1．下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．x2－＝1 D．－y2＝1 解析：A　[在A项中，双曲线方程为x2－＝1，即a＝1，b＝2.∴渐近线的方程为y＝±2x.] 2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 解析：D　[由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1.] 3．已知双曲线－＝1(m>0)的一条渐近线方程为x－4y＝0，其虚轴长为(　　 ) A．16　　 B．8　　　 C．2　　　 D．1 解析：C　[由题意＝，得m＝1，所以虚轴长为2.] 4．若实数k满足0<k<5，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　 ) A．实半轴长相等　 B．虚半轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 解析：D　[若0<k<5，则5－k>0,16－k>0，故方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴长为4，虚半轴长为，焦距2c＝2，离心率e＝；同理，方程－＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴长为，虚半轴长为，焦距2c＝2，离心率e＝.可知两曲线的焦距相等．] 5．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(　　) A．4 B．－4 C．－ D． 解析：C　[由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－＝b2＝4，∴m＝－.] 6．双曲线－＝1的两条渐近线的方程为　________　. 解析：法一　由双曲线的标准方程知焦点在x轴上，a2＝16，b2＝9，则a＝4，b＝3，故双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x＝±x. 法二　令－＝0，得渐近线方程为y＝±x. 答案：y＝±x 7．双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，与椭圆＋＝1有相同的焦点，求双曲线标准方程　________　. 解析：设所求双曲线方程为x2－＝λ(λ>0)，又∵c＝＝.∴λ＋4λ＝5.∴λ＝1，∴双曲线的标准方程为x2－＝1. 答案：x2－＝1 8．已知双曲线－y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝　________　. 解析：焦点在x轴上，a2＝m2，b2＝1，b＝2a，即4m2＝1，m＝±. 答案：± 9．已知双曲线的标准方程为－＝1，求双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和渐近线方程． 解：由题意得a2＝4，b2＝12，则c2＝16，所以实轴长为4，虚轴长为4，焦距为8，顶点坐标为(－2,0)，(2,0)，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，渐近线方程为y＝±x. [能力提升] 10．两顶点之间的距离为2，且渐近线方程为y＝±x的双曲线的标准方程是(　　) A．x2－y2＝1 B．x2－y2＝2 C．x2－y2＝1或y2－x2＝1 D．x2－y2＝2或y2－x2＝2 解析：C　[2a＝2，a＝b＝1，焦点在x轴或y轴上均可，双曲线方程为x2－y2＝1或y2－x2＝1.] 11．双曲线x2－y2＝－3的(　　) A．顶点坐标是，虚轴端点坐标是 B．顶点坐标是，虚轴端点坐标是 C．顶点坐标是，渐近线方程是y＝±x D．虚轴端点坐标是，渐近线方程是x＝y 解析：B　[双曲线方程可化为－＝1，焦点在y轴上．∴a＝b＝.] 12．在平面直角坐标系中，半实轴长为1，半虚轴长为2的双曲线的标准方程是(　　) A．x2－＝1 B．y2－＝1 C.－＝1或－＝1 D．x2－＝1或y2－＝1 解析：D　[由题意，知a＝1，b＝2.焦点在x轴上时，双曲线的标准方程是x2－＝1；焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为y2－＝1.] 13．已知双曲线－＝1的焦距是8，则k的值为　________　. 解析：2c＝8，a2＋b2＝(k＋1)＋5＝42，k＝10. 答案：10 14．过点P(3,1)的等轴双曲线的标准方程是　________　. 解析：将点P(3,1) 代入方程－＝1，有－＝1，解得a2＝8.故等轴双曲线的标准方程为－＝1. 答案：－＝1 15．求符合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴，虚轴长为6，离心率为； (2)顶点间的距离为6，渐近线方程为y＝±x. 解：(1)焦点在x轴，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． 由题意得所以双曲线的标准方程为－＝1. (2)当焦点在x轴时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． 由题意得解得a＝3，b＝.所以焦点在x轴的双曲线的标准方程为－＝1.同理可求得焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$