第3章 3.2.1 双曲线的标准方程（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册同步教案（高教版2021）

3．2　双曲线 3．2.1　双曲线的标准方程 第3章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课时 素养提升 04 数学·拓展模块（GJ上） 第3章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 课程标准 素养解读 1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．掌握双曲线的标准方程及其求法． 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 1.通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养． 2．通过双曲线标准方程的求解，与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养. 广州塔是目前世界上已经建成的最高的塔桅建筑，广州塔的两侧轮廓线是什么图形？有什么特点？ [知识点一]　双曲线的定义　 　平面内与两个定点F1，F2的距离的　差的绝对值　是常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹称为双曲线，这　两个定点　称为双曲线的焦点，　两焦点间的距离　称为双曲线的焦距． 1.双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ [提示]　当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2；当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． 2．双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？ [提示]　点M在双曲线的右支上． ［知识点二］ 双曲线的标准方程 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 　eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1　(a＞0，b＞0) 　eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1　(a＞0，b＞0) 焦点 F1　(－c,0)　，F2　(c,0)　 F1　(0，－c)　，F2　(0，c)　 a，b，c的关系 c2＝　a2＋b2　 如何根据双曲线方程判断焦点在哪个坐标轴上？ [提示]　要判断双曲线的焦点在哪个坐标轴上，可将双曲线的方程化为标准方程，然后观察标准方程中含x项与含y项的符号，哪项的符号为正，焦点就在哪个坐标轴上. 1．双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1上的一点到两焦点的距离之差等于(　　) A．6 B．－6 C．±6 D．2eq \r(5) 解析：C　[a2＝9，a＝3,2a＝6.] 2．双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,16)＝1的焦距是(　　) A．6 B．3 C．2eq \r(41) D．eq \r(41) 解析：C　[a2＝25，b2＝16，c2＝25＋16＝41，c＝eq \r(41)，2c＝2eq \r(41).] 3．已知两点F1(－5,0)、F2(5,0)，与它们的距离的差的绝对值是8的点的轨迹方程是(　　) A.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1 B．eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1 C.eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1 D．eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1 解析：A　[2a＝8，c＝5，b＝3，焦点在x轴上，所求双曲线方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1.] 双曲线的定义及应用 　已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和a＝5时，P点的轨迹是(　　) A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线 [思路点拨]　根据双曲线的定义知，双曲线上的点到两个定点的距离之差的绝对值等于一个常数，且该常数要小于这两个定点间的距离，否则所给的方程就不是双曲线方程． 解析：C　[由题意知|F1F2|＝10，当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝2a＝6<10，此式中没有加绝对值，此时点P的轨迹是双曲线的一支；当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝10＝|F1F2|，点P的轨迹为以F2为端点沿x轴向右的一条射线．] 解决这类问题时注意双曲线定义中的几个关键点：“两个定点”“距离之差的绝对值”“常数”“常数小于两定点间距离”． [变式训练] 1．若双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1上的一点P到它的右焦点的距离为8，则点P到它的左焦点的距离是(　　) A．4 B．12 C．4或12 D．6 解析：C　[设P到它的左焦点的距离为x，当P在右支上时，有x－8＝4，∴x＝12，当P在左支上时，有8－x＝4，∴x＝4.] 双曲线标准方程的应用 　求下列双曲线的焦点坐标与焦距 (1)eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝1 (2)9y2－16x2＝144. [思路点拨]　先化为标准方程，再确定焦点在哪条坐标上，从而确定c的值． [解]　(1)因为含x项的系数为正，所以双曲线的焦点在x轴上，并且a2＝4，b2＝9，则c2＝a2＋b2＝4＋9＝13.所以c＝eq \r(13)，所以双曲线的焦点分别为F1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(13)，0))，F2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(13)，0))，焦距为2c＝2eq \r(13). (2)将双曲线的方程化为标准方程，即eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1.因为含y项的系数为正，所以双曲线的焦点在y轴上，并且a2＝16，b2＝9，所以c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，所以c＝5，所以双曲线的焦点分别为F1(0，－5)，F2(0,5)，焦距为2c＝10. 要判断双曲线的焦点在哪个坐标轴上，可将双曲线的方程化为标准方程．然后，观察标准方程中含x项与含y项的符号，哪项的符号为正，焦点就在哪个坐标轴上． [变式训练] 2．已知双曲线的方程，求焦点坐标和焦距． (1)eq \f(x2,32)－eq \f(y2,4)＝1；(2)x2－y2＝－8. 解析：(1)因为含x项的系数为正，所以双曲线的焦点在x轴上，并且a2＝32，b2＝4.于是有c2＝a2＋b2＝32＋4＝36，从而可得c＝6,2c＝12.所以，双曲线的焦点分别为(－6,0)、(6,0)，焦距为12. (2)将双曲线的方程化成标准方程，为eq \f(y2,8)－eq \f(x2,8)＝1.因为含y项的系数为正，所以双曲线的焦点在y轴上，并且a2＝8，b2＝8.于是有c2＝a2＋b2＝16，从而可得c＝4,2c＝8.所以，双曲线的焦点分别为(0，－4)、(0,4)，焦距为8. 求双曲线的标准方程 　求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)已知两点F1(－5,0)，F2(5,0)，求与它们距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程． (2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)； (3)以椭圆eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)＝1长轴的端点为焦点，且经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\r(10))). (4)过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))且焦点在坐标轴上． [思路点拨]　(1)(2)根据双曲线的定义求解即可 (3)所求焦点在x轴，且c＝2eq \r(2)，利用待定系数法求解 (4)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解． [解]　(1)由已知条件知，动点的轨迹是双曲线，焦点在x轴上，可设其方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．又因为2c＝10,2a＝6，则c＝5，a＝3.由c2＝a2＋b2，得b＝4，故所求轨迹方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1. (2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A(－5,6)在双曲线上，所以2a＝ |eq \r(－5－02＋6＋62)－eq \r(－5－02＋6－62)| ＝|13－5|＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.所以所求双曲线的标准方程是eq \f(y2,16)－eq \f(x2,20)＝1. (3)由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2eq \r(2).设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝c2＝8，eq \f(9,a2)－eq \f(10,b2)＝1，解得a2＝3，b2＝5.故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,5)＝1. (4)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.∵点P，Q在双曲线上，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(9A＋\f(225,16)B＝1，,\f(256,9)A＋25B＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A＝－\f(1,16)，,B＝\f(1,9).))∴双曲线的标准方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1. (1)求双曲线标准方程的步骤 ①定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式． ②定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． (2)双曲线标准方程的两种求法 ①定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． ②待定系数法：先设出双曲线的标准方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 注意：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0. [变式训练] 3．(1)焦点在x轴上，焦距为14，双曲线上的一点到两个焦点的距离之差为6；根据条件，求双曲线的标准方程． (2)焦点为F1(0，－6)和F2(0,6)，双曲线上一点M的坐标为(2，－5)． 解：(1)由于2c＝14,2a＝6，故c＝7，a＝3，从而b2＝c2－a2＝40.因为双曲线的焦点在x轴上，故双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,40)＝1； (2)由双曲线的定义知，||MF1|－|MF2||＝2a，即2a＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(2－02＋－5＋62)－\r(2－02＋－5－62)))， 化简得2a＝4eq \r(5)，即a＝2eq \r(5).又因为c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.由题设可知，双曲线的焦点在y轴上．因此，双曲线的标准方程为eq \f(y2,20)－eq \f(x2,16)＝1. 1．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是(　　 ) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线 解析：D　[F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．] 2．双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的焦点坐标是(　　) A．(0，±2) B．(±2,0) C．(0，±eq \r(2)) D．(±eq \r(2)，0) 解析：B　[焦点在x轴上，且a2＝1，b2＝3，所以c2＝4，故c＝2.] 3．双曲线eq \f(x2,10)－eq \f(y2,2)＝1的焦距为(　　) A．3eq \r(2) B．4eq \r(2) C．3eq \r(3) D．4eq \r(3) 解析：C [c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(12)＝2eq \r(3)，焦距2c＝4eq \r(3).] 4．双曲线eq \f(x2,k－2)＋eq \f(y2,k＋1)＝1，则k的取值范围为　________　. 解析：根据题意可得(k－2)(k＋1)<0，解得－1<k<2. 答案：(－1,2) $$ [基础过关] 1．动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(　　 ) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 解析：D　由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以M为端点的射线． 2．若方程＋＝1，表示双曲线，则k的取值范围是(　　) A．(5,10) B．(－∞，5) C．(10，＋∞) D．(－∞，5)∪(10，＋∞) 解析：A　[由双曲线标准方程－＝1或－＝1得或得5<k<10或∅，∴k∈(5,10)．] 3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为(　　 ) A.－＝1， B.－＝1 C.－＝1或－＝1 D.－＝0或－＝0 解析：C　[b2＝c2－a2＝72－52＝24.] 4．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是该双曲线上的一点，且|PF1|＝10，则|PF2|＝(　　 ) A．2或18 B．2 C．18 D．4 解析：C　[在双曲线－＝1中，a＝4，b＝4，c＝8，因为|PF1|＝10<a＋c＝12，所以点P在该双曲线左支上，则|PF2|＝2a＋|PF1|＝2×4＋10＝18.] 5．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为(　　) A．1 B．1或－2 C．1或 D． 解析：A　[由题意知解得a＝1.] 6．若点P到点(－6,0)和(6,0)的距离差的绝对值等于10，则点P的轨迹方程是(　　) 解析：c＝6，a＝5，b＝，焦点在x轴上，故双曲线方程为－＝1. 答案：－＝1 7．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是　________　. 解析：由题意知，双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，所以b2＝3，所以双曲线的方程为y2－＝1. 答案：y2－＝1 8．若曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为　________　. 解析：由曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，可得－＝1，即有m>0，且m－2>0，解得m>2. 答案：(2，＋∞) 9．求下列双曲线的焦点与焦距． (1)－＝1； (2)16x2－9y2＝－144. 解析：(1)∵a2＝25，b2＝20，∴c2＝a2＋b2＝45，∴c＝3，∴焦点坐标为，，焦距为6. (2)双曲线的方程可以化成－＝1，所以焦点坐标为(0,5)，(0，－5)，焦距为10. [能力提升] 10．过点(1,1)，且＝的双曲线的标准方程是(　　) A.－y2＝1 B．－x2＝1 C．x2－＝1 D．－y2＝1或－x2＝1 解析：D　[∵＝，∴b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，将点(1,1)代入方程中，得a2＝.此时双曲线方程为－y2＝1.同理求得焦点在y轴上时，双曲线方程为－x2＝1.] 11．已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：|MF1|－|MF2|＝2a(a为常数)，命题乙：M点轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲 乙，只有当2a<|F1F2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．] 12．双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(　　 ) A．2 B．7或17 C．12 D．22或2 解析：D　[因为a2＝25，所以a＝5.由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝10.由题意知|PF1|＝12，所以|PF1|－|PF2|＝±10，所以|PF2|＝22或2.] 13．若双曲线－＝1的一个焦点到坐标原点的距离为3，则m的值为　______　. 解析：依题意可知c＝3，当双曲线的焦点在x轴上时，m>5，c2＝m＋m－5＝9， 所以m＝7；当双曲线的焦点在y轴上时，m<0，c2＝－m＋5－m＝9，所以m＝－2.综上，m＝7或m＝－2. 答案：7或－2 14．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为　________　. 解析：不妨设|AF2|>|AF1|，由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m. 答案：4a＋2m 15．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)焦距为26且经过点M(0,12)； (2)经过点P(－3,2)和点Q(－6，－7)． 解：(1)因为双曲线经过点M(0,12)，所以点M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又因为2c＝26，所以c＝13，b2＝c2－a2＝25.所以双曲线的标准方程为－＝1. (2)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，则解得所以双曲线的标准方程为－＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3．2　双曲线 3．2.1　双曲线的标准方程 课程标准 素养解读 1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．掌握双曲线的标准方程及其求法． 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 1.通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养． 2．通过双曲线标准方程的求解，与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养. 广州塔是目前世界上已经建成的最高的塔桅建筑，广州塔的两侧轮廓线是什么图形？有什么特点？ [知识点一]　双曲线的定义　 　平面内与两个定点F1，F2的距离的　差的绝对值　是常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹称为双曲线，这　两个定点　称为双曲线的焦点，　两焦点间的距离　称为双曲线的焦距． 1.双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ [提示]　当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2；当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． 2．双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？ [提示]　点M在双曲线的右支上． ［知识点二］ 双曲线的标准方程 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 　－＝1　(a＞0，b＞0) 　－＝1　(a＞0，b＞0) 焦点 F1　(－c,0)　，F2　(c,0)　 F1　(0，－c)　，F2　(0，c)　 a，b，c的关系 c2＝　a2＋b2　 如何根据双曲线方程判断焦点在哪个坐标轴上？ [提示]　要判断双曲线的焦点在哪个坐标轴上，可将双曲线的方程化为标准方程，然后观察标准方程中含x项与含y项的符号，哪项的符号为正，焦点就在哪个坐标轴上. 1．双曲线－＝1上的一点到两焦点的距离之差等于(　　) A．6 B．－6 C．±6 D．2 解析：C　[a2＝9，a＝3,2a＝6.] 2．双曲线－＝1的焦距是(　　) A．6 B．3 C．2 D． 解析：C　[a2＝25，b2＝16，c2＝25＋16＝41，c＝，2c＝2.] 3．已知两点F1(－5,0)、F2(5,0)，与它们的距离的差的绝对值是8的点的轨迹方程是(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 解析：A　[2a＝8，c＝5，b＝3，焦点在x轴上，所求双曲线方程为－＝1.] 　双曲线的定义及应用 　已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和a＝5时，P点的轨迹是(　　) A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线 [思路点拨]　根据双曲线的定义知，双曲线上的点到两个定点的距离之差的绝对值等于一个常数，且该常数要小于这两个定点间的距离，否则所给的方程就不是双曲线方程． 解析：C　[由题意知|F1F2|＝10，当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝2a＝6<10，此式中没有加绝对值，此时点P的轨迹是双曲线的一支；当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝10＝|F1F2|，点P的轨迹为以F2为端点沿x轴向右的一条射线．] 解决这类问题时注意双曲线定义中的几个关键点：“两个定点”“距离之差的绝对值”“常数”“常数小于两定点间距离”． [变式训练] 1．若双曲线－＝1上的一点P到它的右焦点的距离为8，则点P到它的左焦点的距离是(　　) A．4 B．12 C．4或12 D．6 解析：C　[设P到它的左焦点的距离为x，当P在右支上时，有x－8＝4，∴x＝12，当P在左支上时，有8－x＝4，∴x＝4.] 　双曲线标准方程的应用 　求下列双曲线的焦点坐标与焦距 (1)－＝1 (2)9y2－16x2＝144. [思路点拨]　先化为标准方程，再确定焦点在哪条坐标上，从而确定c的值． [解]　(1)因为含x项的系数为正，所以双曲线的焦点在x轴上，并且a2＝4，b2＝9，则c2＝a2＋b2＝4＋9＝13.所以c＝，所以双曲线的焦点分别为F1，F2，焦距为2c＝2. (2)将双曲线的方程化为标准方程，即－＝1.因为含y项的系数为正，所以双曲线的焦点在y轴上，并且a2＝16，b2＝9，所以c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，所以c＝5，所以双曲线的焦点分别为F1(0，－5)，F2(0,5)，焦距为2c＝10. 要判断双曲线的焦点在哪个坐标轴上，可将双曲线的方程化为标准方程．然后，观察标准方程中含x项与含y项的符号，哪项的符号为正，焦点就在哪个坐标轴上． [变式训练] 2．已知双曲线的方程，求焦点坐标和焦距． (1)－＝1；(2)x2－y2＝－8. 解析：(1)因为含x项的系数为正，所以双曲线的焦点在x轴上，并且a2＝32，b2＝4.于是有c2＝a2＋b2＝32＋4＝36，从而可得c＝6,2c＝12.所以，双曲线的焦点分别为(－6,0)、(6,0)，焦距为12. (2)将双曲线的方程化成标准方程，为－＝1.因为含y项的系数为正，所以双曲线的焦点在y轴上，并且a2＝8，b2＝8.于是有c2＝a2＋b2＝16，从而可得c＝4,2c＝8.所以，双曲线的焦点分别为(0，－4)、(0,4)，焦距为8. 　求双曲线的标准方程 　求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)已知两点F1(－5,0)，F2(5,0)，求与它们距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程． (2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)； (3)以椭圆＋＝1长轴的端点为焦点，且经过点. (4)过点P，Q且焦点在坐标轴上． [思路点拨]　(1)(2)根据双曲线的定义求解即可 (3)所求焦点在x轴，且c＝2，利用待定系数法求解 (4)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解． [解]　(1)由已知条件知，动点的轨迹是双曲线，焦点在x轴上，可设其方程为－＝1(a>0，b>0)．又因为2c＝10,2a＝6，则c＝5，a＝3.由c2＝a2＋b2，得b＝4，故所求轨迹方程为－＝1. (2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A(－5,6)在双曲线上，所以2a＝ |－| ＝|13－5|＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.所以所求双曲线的标准方程是－＝1. (3)由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，解得a2＝3，b2＝5.故所求双曲线的标准方程为－＝1. (4)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.∵点P，Q在双曲线上，∴解得∴双曲线的标准方程为－＝1. (1)求双曲线标准方程的步骤 ①定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式． ②定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． (2)双曲线标准方程的两种求法 ①定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． ②待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 注意：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0. [变式训练] 3．(1)焦点在x轴上，焦距为14，双曲线上的一点到两个焦点的距离之差为6；根据条件，求双曲线的标准方程． (2)焦点为F1(0，－6)和F2(0,6)，双曲线上一点M的坐标为(2，－5)． 解：(1)由于2c＝14,2a＝6，故c＝7，a＝3，从而b2＝c2－a2＝40.因为双曲线的焦点在x轴上，故双曲线的标准方程为－＝1； (2)由双曲线的定义知，||MF1|－|MF2||＝2a，即2a＝， 化简得2a＝4，即a＝2.又因为c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.由题设可知，双曲线的焦点在y轴上．因此，双曲线的标准方程为－＝1. 1．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是(　　 ) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线 解析：D　[F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．] 2．双曲线x2－＝1的焦点坐标是(　　) A．(0，±2) B．(±2,0) C．(0，±) D．(±，0) 解析：B　[焦点在x轴上，且a2＝1，b2＝3，所以c2＝4，故c＝2.] 3．双曲线－＝1的焦距为(　　) A．3 B．4 C．3 D．4 解析：c＝＝＝2，焦距2c＝4. 4．双曲线＋＝1，则k的取值范围为　________　. 解析：根据题意可得(k－2)(k＋1)<0，解得－1<k<2. 答案：(－1,2) [基础过关] 1．动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(　　 ) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 解析：D　由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以M为端点的射线． 2．若方程＋＝1，表示双曲线，则k的取值范围是(　　) A．(5,10) B．(－∞，5) C．(10，＋∞) D．(－∞，5)∪(10，＋∞) 解析：A　[由双曲线标准方程－＝1或－＝1得或得5<k<10或∅，∴k∈(5,10)．] 3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为(　　 ) A.－＝1， B.－＝1 C.－＝1或－＝1 D.－＝0或－＝0 解析：C　[b2＝c2－a2＝72－52＝24.] 4．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是该双曲线上的一点，且|PF1|＝10，则|PF2|＝(　　 ) A．2或18 B．2 C．18 D．4 解析：C　[在双曲线－＝1中，a＝4，b＝4，c＝8，因为|PF1|＝10<a＋c＝12，所以点P在该双曲线左支上，则|PF2|＝2a＋|PF1|＝2×4＋10＝18.] 5．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为(　　) A．1 B．1或－2 C．1或 D． 解析：A　[由题意知解得a＝1.] 6．若点P到点(－6,0)和(6,0)的距离差的绝对值等于10，则点P的轨迹方程是(　　) 解析：c＝6，a＝5，b＝，焦点在x轴上，故双曲线方程为－＝1. 答案：－＝1 7．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是　________　. 解析：由题意知，双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，所以b2＝3，所以双曲线的方程为y2－＝1. 答案：y2－＝1 8．若曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为　________　. 解析：由曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，可得－＝1，即有m>0，且m－2>0，解得m>2. 答案：(2，＋∞) 9．求下列双曲线的焦点与焦距． (1)－＝1； (2)16x2－9y2＝－144. 解析：(1)∵a2＝25，b2＝20，∴c2＝a2＋b2＝45，∴c＝3，∴焦点坐标为，，焦距为6. (2)双曲线的方程可以化成－＝1，所以焦点坐标为(0,5)，(0，－5)，焦距为10. [能力提升] 10．过点(1,1)，且＝的双曲线的标准方程是(　　) A.－y2＝1 B．－x2＝1 C．x2－＝1 D．－y2＝1或－x2＝1 解析：D　[∵＝，∴b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，将点(1,1)代入方程中，得a2＝.此时双曲线方程为－y2＝1.同理求得焦点在y轴上时，双曲线方程为－x2＝1.] 11．已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：|MF1|－|MF2|＝2a(a为常数)，命题乙：M点轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲 乙，只有当2a<|F1F2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．] 12．双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(　　 ) A．2 B．7或17 C．12 D．22或2 解析：D　[因为a2＝25，所以a＝5.由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝10.由题意知|PF1|＝12，所以|PF1|－|PF2|＝±10，所以|PF2|＝22或2.] 13．若双曲线－＝1的一个焦点到坐标原点的距离为3，则m的值为　______　. 解析：依题意可知c＝3，当双曲线的焦点在x轴上时，m>5，c2＝m＋m－5＝9， 所以m＝7；当双曲线的焦点在y轴上时，m<0，c2＝－m＋5－m＝9，所以m＝－2.综上，m＝7或m＝－2. 答案：7或－2 14．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为　________　. 解析：不妨设|AF2|>|AF1|，由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m. 答案：4a＋2m 15．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)焦距为26且经过点M(0,12)； (2)经过点P(－3,2)和点Q(－6，－7)． 解：(1)因为双曲线经过点M(0,12)，所以点M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又因为2c＝26，所以c＝13，b2＝c2－a2＝25.所以双曲线的标准方程为－＝1. (2) 设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，则解得所以双曲线的标准方程为－＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$