第3章 3.1.2 椭圆的几何性质（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册同步教案（高教版2021）

3．1.2　椭圆的几何性质 课程标准 素养解读 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形． 2．根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线. 1.通过椭圆性质的学习与应用，培养学生的数学运算的核心素养． 2．借助离心率问题的求解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养. 与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等． 观察椭圆＋＝1(a >b>0 )的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？ [知识点一]　椭圆的简单几何性质　 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a>b>0) 范围 　－a≤x≤a且－b≤y≤b　 　－b≤x≤b且－a≤y≤a　 续表 对称性 对称轴为　坐标轴　，对称中心为　原点　 顶点 　A1(－a,0)，A2(a,0)　 　B1(0，－b)，B2(0，b)　 　A1(0，－a)，A2(0，a)　 　B1(－b,0)，B2(b,0)　 轴长 短轴长|B1B2|＝　2b　，长轴长|A1A2|＝　2a　 焦点 　F1(－c，0)，F2(c,0)　 　F1(0，－c)，F2(0，c)　 焦距 |F1F2|＝2c 　[知识点二]　离心率 1．定义：把椭圆的焦距与长轴长的比　　称为椭圆的　离心率　，记作e，即e＝　　. 2．性质：离心率e的范围是　(0,1)　.当e越接近于1时，椭圆　越扁　；当e越接近于　0　时，椭圆就越接近于圆．离心率e的大小反映了椭圆的扁平程度． 1.离心率e能否用表示？ [提示]　不能．e2＝＝＝1－2， 所以e＝. 2．离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？ [提示]　不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴长的比值相同． 1．椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0,13)，(－10,0)，则焦点坐标为(　　) A．(±13,0) B．(0，±10) C．(0，±13) D．(0，±) 解析：D　[由题意知，椭圆的焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝.] 2．已知椭圆上一点到两焦点(2,0)和(－2,0)的距离之和等于6，则椭圆的短轴长为(　　) A．5 B．10 C. D．2 解析：D　[2a＝6，c＝2，b2＝32－22＝5，所以b＝，2b＝2.] 3．已知中心在原点的椭圆C的左焦点为F(－1,0)，离心率等于，则C的方程是(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋y2＝1 解析：C　[依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝＝，即a＝3，b2＝a2－c2＝8，因此椭圆的方程是＋＝1.] 　椭圆的简单几何性质 　求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． [思路点拨]　→→→ [解]　将椭圆方程变形为＋＝1，∴a＝3，b＝2，∴c＝＝＝.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6.2c＝2，焦点坐标为F1，F2.顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，离心率e＝＝. 由标准方程研究性质时的两点注意 (1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型． (2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而是2a,2b,2c. [变式训练] 1．求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标． [解]　把已知方程化成标准方程为＋＝1，所以a＝4，b＝3，c＝＝， 所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6； 离心率e＝＝；两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)； 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)． 　求椭圆的离心率 [例2]　已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率是　________　. [思路点拨]　△ABF2为正三角形⇒∠AF2F1＝30°⇒把|AF1|，|AF2|，|F1F2|用参数表示． [解析]　不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝＝x＝2c，再由椭圆的定义， 可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x， 所以e＝＝＝. [答案]　 求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解；若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． [变式训练] 2．椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是(　　) A.－1 B．2－　 C.－1　 D．2－ 解析：如图，设F(c,0)，由于△OAF是等边三角形， 得A，因为点A在椭圆上，所以有＋＝1①，在椭圆中有a2＝b2＋c2②，联立①②，得c2＝(4－2)a2， 即c＝(－1)a，则其离心率e＝＝－1. 答案：A 　　　由几何性质求椭圆的标准方程 [例3]　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点(3,0)，离心率e＝； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8； (3)经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率． [思路点拨]　(1)焦点位置不确定，分两种情况求解． (2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解． (3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系，再用待定系数法求解． 法二：设与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)． [解]　(1)若焦点在x轴上，则a＝3， ∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3. ∴椭圆的方程为＋＝1. 若焦点在y轴上，则b＝3， ∵e＝＝＝＝，解得a2＝27. ∴椭圆的方程为＋＝1. ∴所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1. (2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)． 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形， OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， ∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32， 故所求椭圆的方程为＋＝1. (3)法一：由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.将点M(1,2)代入椭圆方程得＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3.故所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1. 法二：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等． (2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个． [变式训练] 3．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)，求椭圆的标准方程． 解：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．由已知a＝2b，又过点(2，－6)，因此有＋＝1或＋＝1，则可得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13.故所求的方程为＋＝1或＋＝1. 　椭圆的实际应用 　嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3 476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是(　　) A．焦距长约为300公里 B．长轴长约为3 988公里 C．两焦点坐标约为(±150,0) D．离心率约为 [思路点拨]　近月点与月球表面的距离为a－c，远月点与月球表面的距离为a＋c，构造方程组求解． [解]　A　[设该椭圆的半长轴长为a，半焦距长为c.依题意可得月球半径约为×3 476＝1 738， a－c＝100＋1 738＝1 838，a＋c＝400＋1 738＝2 138，2a＝1 838＋2 138＝3 976，a＝1 988， c＝2 138－1 988＝150，椭圆的离心率约为e＝＝＝，可得结论A项正确，B、D项错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C项错误．综上可知，正确的为A.] 求椭圆应用问题的步骤 (1)根据题意构造方程(组) (2)通过计算求出椭圆中a，b，c的值 (3)求出所要求出的量 (4)还原到实际问题中，从而解决实际问题 [变式训练] 4.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为　________　cm. 解析：由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同，由大椭圆长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，可得焦距长为20 cm，故离心率为e＝，所以小椭圆的离心率为e＝，小椭圆的短轴长为10 cm，即2b＝10 cm，由e＝，可得a＝10 cm，所以长轴长为20 cm. 答案：20 1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) A．5,3,0.8 B．10,6,0.8 C．5,3,0.6 D．10,6,0.6 解析：B　[椭圆方程可化为＋＝1，则a＝5，b＝3，c＝＝4，e＝＝.] 2．椭圆＋＝1的离心率是(　　) A. B． C. D． 解析：D　[由椭圆方程可知a＝3，b＝所以c＝＝2，所以椭圆＋＝1的离心率为e＝＝.] 3．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于(　　) A．8　　 B．7　　　 C．5　　　 D．4 解析：A　[由题意得m－2＞10－m且10－m＞0，于是6＜m＜10，再由(m－2)－(10－m)＝22，得m＝8.] 4．若椭圆＋＝1(0<m<4)的离心率为，则m的值为　________　. 解析：a2＝4，b2＝4－m，c2＝m，e＝＝，则m＝1. 答案：1 [基础过关] 1．若椭圆＋＝1过点，则其焦距为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：D　[将点代入＋＝1，得m2＝16，所以a2＝16，b2＝4，c2＝12,2c＝4.] 2．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为(　　) A．2 B． C．4 D． 解析：D　[x2＋my2＝1，∴x2＋＝1，∴a2＝，b2＝1，∴a＝，b＝1，∴＝2，∴m＝.] 3．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　) A. B． C. D． 解析：C　[∵a2＝4＋22＝8，∴a＝2，∴e＝＝＝.] 4．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 解析：A　[由题意知解得因此所求椭圆的方程为＋＝1.] 5．离心率为，长轴长为6的椭圆方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1或＋＝1 D.＋＝1或＋＝1 解析：D　[由题意知2a＝6，a＝3，e＝＝，c＝2，b＝，焦点在x轴或y轴上．] 6．已知椭圆的长轴顶点为(0，±4)，且离心率e＝，则椭圆的方程是　________　. 解析：由题意可知，a＝4，e＝＝，c＝2，所以b＝2，又焦点在y轴上，故所求椭圆方程为＋＝1. 答案：＋＝1 7．长半轴长为8，离心率为，焦点在y轴上的椭圆的标准方程是　________　. 解析：由题意可知a＝8，e＝＝，则c＝2，从而b2＝a2－c2＝60.又因为焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1. 答案：＋＝1 8．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为　________　. 解析：由题意知0<m<2，且e2＝1－＝1－＝.所以m＝. 答案： 9．求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标． 解析：将原方程化为标准方程＋＝1.容易看出，椭圆的焦点在x轴上，并a＝5，b＝4.所以c＝＝＝3.从而，椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝8，离心率e＝＝，焦点坐标分别为(－3,0)、(3,0)，顶点坐标分别为(－5,0)、(5,0)、(0，－4)、(0,4)． [能力提升] 10．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为(　　) A. B． C. D． 解析：B　[根据题意可得a＝，由e＝＝可得c＝，所以m＝a2－c2＝.] 11．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 解析：C　[依题意得c＝2，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，所以解得a＝8，b＝2.] 12．已知地球运行的轨道是长半轴为1.50×108 km，离心率约为0.02的椭圆，太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最远距离和最近距离分别为(注：把地球、太阳看成质点)(　　) A．3.06×108 km,2.94×108 km B．1.53×108 km,1.47×108 km C．3.03×108 km,2.97×108 km D．1.56×108 km,1.44×108 km 解析：B　[a＝1.50×108，e＝＝0.02，c＝0.02×1.50×108＝0.03×108，所以a－c＝1.47×108 km，a＋c＝1.53×108 km.] 13．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则该椭圆的离心率为　________　. 解析：由已知得消去参数b，得3a2－2ac－5c2＝0，即3a＝5c或a＝－c(舍去)，所以e＝＝. 14．阿基米德(公元前287年－公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的半长轴长与半短轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为20π，则椭圆C的标准方程为　______________________　. 解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，椭圆C的面积为S＝πab＝20π， 又e＝＝，解得a2＝，b2＝12，所以椭圆C的方程为＋＝1. 答案：＋＝1 15．求满足下列条件的椭圆的方程． (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2,0)； (2)焦点为(－3,0)和(3,0)，且e＝. 解：(1)当焦点在x轴上时，则a＝2，b＝1，故所求的椭圆方程为＋y2＝1；当焦点在y轴上时，则b＝2，a＝4，故所求的椭圆方程为＋＝1. 综上，所求椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1. (2)因为c＝3，e＝＝，所以a＝9，b＝＝6.故所求的椭圆的方程为＋＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．若椭圆＋＝1过点，则其焦距为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：D　[将点代入＋＝1，得m2＝16，所以a2＝16，b2＝4，c2＝12,2c＝4.] 2．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为(　　) A．2 B． C．4 D． 解析：D　[x2＋my2＝1，∴x2＋＝1，∴a2＝，b2＝1，∴a＝，b＝1，∴＝2，∴m＝.] 3．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　) A. B． C. D． 解析：C　[∵a2＝4＋22＝8，∴a＝2，∴e＝＝＝.] 4．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 解析：A　[由题意知解得因此所求椭圆的方程为＋＝1.] 5．离心率为，长轴长为6的椭圆方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1或＋＝1 D.＋＝1或＋＝1 解析：D　[由题意知2a＝6，a＝3，e＝＝，c＝2，b＝，焦点在x轴或y轴上．] 6．已知椭圆的长轴顶点为(0，±4)，且离心率e＝，则椭圆的方程是　________　. 解析：由题意可知，a＝4，e＝＝，c＝2，所以b＝2，又焦点在y轴上，故所求椭圆方程为＋＝1. 答案：＋＝1 7．长半轴长为8，离心率为，焦点在y轴上的椭圆的标准方程是　________　. 解析：由题意可知a＝8，e＝＝，则c＝2，从而b2＝a2－c2＝60.又因为焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1. 答案：＋＝1 8．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为　________　. 解析：由题意知0<m<2，且e2＝1－＝1－＝.所以m＝. 答案： 9．求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标． 解析：将原方程化为标准方程＋＝1.容易看出，椭圆的焦点在x轴上，并a＝5，b＝4.所以c＝＝＝3.从而，椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝8，离心率e＝＝，焦点坐标分别为(－3,0)、(3,0)，顶点坐标分别为(－5,0)、(5,0)、(0，－4)、(0,4)． [能力提升] 10．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为(　　) A. B． C. D． 解析：B　[根据题意可得a＝，由e＝＝可得c＝，所以m＝a2－c2＝.] 11．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 解析：C　[依题意得c＝2，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，所以解得a＝8，b＝2.] 12．已知地球运行的轨道是长半轴为1.50×108 km，离心率约为0.02的椭圆，太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最远距离和最近距离分别为(注：把地球、太阳看成质点)(　　) A．3.06×108 km,2.94×108 km B．1.53×108 km,1.47×108 km C．3.03×108 km,2.97×108 km D．1.56×108 km,1.44×108 km 解析：B　[a＝1.50×108，e＝＝0.02，c＝0.02×1.50×108＝0.03×108，所以a－c＝1.47×108 km，a＋c＝1.53×108 km.] 13．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则该椭圆的离心率为　________　. 解析：由已知得消去参数b，得3a2－2ac－5c2＝0，即3a＝5c或a＝－c(舍去)，所以e＝＝. 14．阿基米德(公元前287年－公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的半长轴长与半短轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为20π，则椭圆C的标准方程为　______________________　. 解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，椭圆C的面积为S＝πab＝20π， 又e＝＝，解得a2＝，b2＝12，所以椭圆C的方程为＋＝1. 答案：＋＝1 15．求满足下列条件的椭圆的方程． (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2,0)； (2)焦点为(－3,0)和(3,0)，且e＝. 解：(1)当焦点在x轴上时，则a＝2，b＝1，故所求的椭圆方程为＋y2＝1；当焦点在y轴上时，则b＝2，a＝4，故所求的椭圆方程为＋＝1. 综上，所求椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1. (2)因为c＝3，e＝＝，所以a＝9，b＝＝6.故所求的椭圆的方程为＋＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$3．1.2　椭圆的几何性质 第3章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课时 素养提升 04 数学·拓展模块（GJ上） 第3章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 课程标准 素养解读 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形． 2．根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线. 1.通过椭圆性质的学习与应用，培养学生的数学运算的核心素养． 2．借助离心率问题的求解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养. 与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等． 观察椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a >b>0 )的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？ [知识点一]　椭圆的简单几何性质　 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0) 范围 　－a≤x≤a且－b≤y≤b　 　－b≤x≤b且－a≤y≤a　 对称性 对称轴为　坐标轴　，对称中心为　原点　 顶点 　A1(－a,0)，A2(a,0)　 　B1(0，－b)，B2(0，b)　 　A1(0，－a)，A2(0，a)　 　B1(－b,0)，B2(b,0)　 轴长 短轴长|B1B2|＝　2b　，长轴长|A1A2|＝　2a　 焦点 　F1(－c，0)，F2(c,0)　 　F1(0，－c)，F2(0，c)　 焦距 |F1F2|＝2c [知识点二]　离心率 1．定义：把椭圆的焦距与长轴长的比　eq \f(c,a)　称为椭圆的　离心率　，记作e，即e＝　eq \f(c,a)　. 2．性质：离心率e的范围是　(0,1)　.当e越接近于1时，椭圆　越扁　；当e越接近于　0　时，椭圆就越接近于圆．离心率e的大小反映了椭圆的扁平程度． 1.离心率e能否用eq \f(b,a)表示？ [提示]　不能．e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2， 所以e＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2). 2．离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？ [提示]　不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴长的比值相同． 1．椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0,13)，(－10,0)，则焦点坐标为(　　) A．(±13,0) B．(0，±10) C．(0，±13) D．(0，±eq \r(69)) 解析：D　[由题意知，椭圆的焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(69).] 2．已知椭圆上一点到两焦点(2,0)和(－2,0)的距离之和等于6，则椭圆的短轴长为(　　) A．5 B．10 C.eq \r(5) D．2eq \r(5) 解析：D　[2a＝6，c＝2，b2＝32－22＝5，所以b＝eq \r(5)，2b＝2eq \r(5).] 3．已知中心在原点的椭圆C的左焦点为F(－1,0)，离心率等于eq \f(1,3)，则C的方程是(　　) A.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,9)＝1 B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1 D．eq \f(x2,4)＋y2＝1 解析：C　[依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,3)，即a＝3，b2＝a2－c2＝8，因此椭圆的方程是eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.] 椭圆的简单几何性质 　求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． [思路点拨]　eq \x(化为标准形式)→eq \x(确定焦点位置)→eq \x(求a，b，c)→eq \x(求椭圆几何性质) [解]　将椭圆方程变形为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，∴a＝3，b＝2，∴c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(9－4)＝eq \r(5).∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6.2c＝2eq \r(5)，焦点坐标为F1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(5)，0))，F2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5)，0)).顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),3). 由标准方程研究性质时的两点注意 (1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型． (2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而是2a,2b,2c. [变式训练] 1．求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标． [解]　把已知方程化成标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1，所以a＝4，b＝3，c＝eq \r(16－9)＝eq \r(7)， 所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6； 离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),4)；两个焦点坐标分别是(－eq \r(7)，0)，(eq \r(7)，0)； 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)． 求椭圆的离心率 [例2]　已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率是　________　. [思路点拨]　△ABF2为正三角形⇒∠AF2F1＝30°⇒把|AF1|，|AF2|，|F1F2|用参数表示． [解析]　不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝eq \r(|AF2|2－|AF1|2)＝eq \r(3)x＝2c，再由椭圆的定义， 可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x， 所以e＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(\r(3)x,3x)＝eq \f(\r(3),3). [答案]　eq \f(\r(3),3) 求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解；若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq \f(c,a)求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． [变式训练] 2．椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是(　　) A.eq \r(3)－1 B．2－eq \r(3)　 C.eq \r(2)－1　 D．2－eq \r(2) 解析：如图，设F(c,0)，由于△OAF是等边三角形， 得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，因为点A在椭圆上，所以有eq \f(c2,4a2)＋eq \f(3c2,4b2)＝1①，在椭圆中有a2＝b2＋c2②，联立①②，得c2＝(4－2eq \r(3))a2， 即c＝(eq \r(3)－1)a，则其离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)－1. 答案：A 由几何性质求椭圆的标准方程 [例3]　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点(3,0)，离心率e＝eq \f(\r(6),3)； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8； (3)经过点M(1,2)，且与椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝1有相同离心率． [思路点拨]　(1)焦点位置不确定，分两种情况求解． (2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解． (3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系，再用待定系数法求解． 法二：设与椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝1有相同离心率的椭圆方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝k1(k1>0)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝k2(k2>0)． [解]　(1)若焦点在x轴上，则a＝3， ∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，∴c＝eq \r(6)，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3. ∴椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1. 若焦点在y轴上，则b＝3， ∵e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \r(1－\f(9,a2))＝eq \f(\r(6),3)，解得a2＝27. ∴椭圆的方程为eq \f(y2,27)＋eq \f(x2,9)＝1. ∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1或eq \f(y2,27)＋eq \f(x2,9)＝1. (2)设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)． 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形， OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， ∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32， 故所求椭圆的方程为eq \f(x2,32)＋eq \f(y2,16)＝1. (3)法一：由题意知e2＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为eq \f(x2,2b2)＋eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,2b2)＋eq \f(x2,b2)＝1.将点M(1,2)代入椭圆方程得eq \f(1,2b2)＋eq \f(4,b2)＝1或eq \f(4,2b2)＋eq \f(1,b2)＝1，解得b2＝eq \f(9,2)或b2＝3.故所求椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,\f(9,2))＝1或eq \f(y2,6)＋eq \f(x2,3)＝1. 法二：设所求椭圆方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝k1(k1>0)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得eq \f(1,12)＋eq \f(4,6)＝k1或eq \f(4,12)＋eq \f(1,6)＝k2，解得k1＝eq \f(3,4)，k2＝eq \f(1,2)，故eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝eq \f(3,4)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝eq \f(1,2)，即所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,\f(9,2))＝1或eq \f(y2,6)＋eq \f(x2,3)＝1. 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝eq \f(c,a)等． (2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个． [变式训练] 3．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)，求椭圆的标准方程． 解：设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由已知a＝2b，又过点(2，－6)，因此有eq \f(22,a2)＋eq \f(－62,b2)＝1或eq \f(－62,a2)＋eq \f(22,b2)＝1，则可得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13.故所求的方程为eq \f(x2,148)＋eq \f(y2,37)＝1或eq \f(y2,52)＋eq \f(x2,13)＝1. 椭圆的实际应用 　嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3 476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是(　　) A．焦距长约为300公里 B．长轴长约为3 988公里 C．两焦点坐标约为(±150,0) D．离心率约为eq \f(75,997) [思路点拨]　近月点与月球表面的距离为a－c，远月点与月球表面的距离为a＋c，构造方程组求解． [解]　A　[设该椭圆的半长轴长为a，半焦距长为c.依题意可得月球半径约为eq \f(1,2)×3 476＝1 738， a－c＝100＋1 738＝1 838，a＋c＝400＋1 738＝2 138，2a＝1 838＋2 138＝3 976，a＝1 988， c＝2 138－1 988＝150，椭圆的离心率约为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(150,1 988)＝eq \f(75,994)，可得结论A项正确，B、D项错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C项错误．综上可知，正确的为A.] 求椭圆应用问题的步骤 (1)根据题意构造方程(组) (2)通过计算求出椭圆中a，b，c的值 (3)求出所要求出的量 (4)还原到实际问题中，从而解决实际问题 [变式训练] 4.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为　________　cm. 解析：由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同，由大椭圆长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，可得焦距长为20eq \r(3) cm，故离心率为e＝eq \f(\r(3),2)，所以小椭圆的离心率为e＝eq \f(\r(3),2)，小椭圆的短轴长为10 cm，即2b＝10 cm，由e＝eq \r(1－\f(b2,a2))，可得a＝10 cm，所以长轴长为20 cm. 答案：20 1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) A．5,3,0.8 B．10,6,0.8 C．5,3,0.6 D．10,6,0.6 解析：B　[椭圆方程可化为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)＝1，则a＝5，b＝3，c＝eq \r(25－9)＝4，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4,5).] 2．椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的离心率是(　　) A.eq \f(\r(14),3) B．eq \f(2\r(14),9) C.eq \f(4,9) D．eq \f(2,3) 解析：D　[由椭圆方程可知a＝3，b＝eq \r(5)所以c＝eq \r(9－5)＝2，所以椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,3).] 3．已知椭圆eq \f(x2,10－m)＋eq \f(y2,m－2)＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于(　　) A．8　　 B．7　　　 C．5　　　 D．4 解析：A　[由题意得m－2＞10－m且10－m＞0，于是6＜m＜10，再由(m－2)－(10－m)＝22，得m＝8.] 4．若椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,4－m)＝1(0<m<4)的离心率为eq \f(1,2)，则m的值为　________　. 解析：a2＝4，b2＝4－m，c2＝m，e＝eq \f(1,2)＝eq \f(\r(m),2)，则m＝1. 答案：1 $$