第3章 3.1.1 椭圆的标准方程（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册同步教案（高教版2021）

3．1　椭圆 3．1.1　椭圆的标准方程 第3章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课时 素养提升 04 数学·拓展模块（GJ上） 第3章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第3章 圆锥曲线 数学·拓展模块（GJ上） 课程标准 素养解读 1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程． 2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程． 3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题. 1.通过椭圆标准方程的学习，培养学生的数学运算素养． 2．借助轨迹方程的学习，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养. 中国国家大剧院是首都北京的地标性建筑之一，它位于人民大会堂的西侧．观察下图，国家大剧院及其倒影的轮廓线是什么图形？有什么特点？ [知识点一]　椭圆的定义　 一般地，把平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的　焦点　，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距． 1.椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 2．椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？ 提示：1.点的轨迹是线段F1F2. 2．当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． [知识点二]　椭圆的标准方程　 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1 (a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c 的关系 b2＝a2－c2 1．下列方程中，表示椭圆的是(　　) A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,4)＝1 B．x2＋y2＝8 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1 D．(x＋2)2＋y2＝3 解析：C　[椭圆方程的特点是x2和y2的系数不相等．] 2．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　) A.eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,36)＝1 B．eq \f(y2,400)＋eq \f(x2,336)＝1 C.eq \f(y2,100)＋eq \f(x2,36)＝1 D．eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,12)＝1 解析：C　[由题意知c＝8,2a＝20，∴a＝10，∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为eq \f(y2,100)＋eq \f(x2,36)＝1.] 3．椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的焦点坐标是(　　) A．(0,4)和(0，－4) B．(4,0)和(－4,0) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(34)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\r(34))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(34)，0))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(34)，0)) 解析：B　[a2＝25，b2＝9，c2＝25－9＝16，焦点在x轴上．] 椭圆定义的应用 　如图所示，已知过椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点． 求△AF1B的周长； [思路点拨]　因为A，B在椭圆上，所以由椭圆的定义可知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，故|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a，为常数． [解]　由题意知A，B在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上，故有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，|AF2|＋|BF2|＝|AB|.所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝20. (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. (2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解． [变式训练] 1．椭圆eq \f(x2,25)＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：D　[根据椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为2a－2＝2×5－2＝8.] 椭圆标准方程的应用 　判断下列椭圆的焦点在哪一条坐标轴上，并求焦点坐标和焦距． (1)eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1 (2)2x2＋y2＝8 [思路点拨]　(1)根据a2＝16，b2＝9判断焦点位置，根据c2＝a2－b2求焦点坐标和焦距 (2)先化为标准方程，再求解． [解]　(1)由题意∵16>9，∴a2＝16，b2＝9，c2＝a2－b2＝16－9＝7，∴c＝eq \r(7)，∴焦点在x轴上，焦点坐标为F1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(7)，0))，F2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(7)，0))，焦距|F1F2|＝2eq \r(7). (2)把2x2＋y2＝8化为标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1，∵8>4，∴a2＝8，b2＝4，c2＝a2－b2＝8－4＝4，∴c＝2.∴椭圆的焦点在y轴上，焦点坐标为F1(0，－2)，F2(0,2)，焦距|F1F2|＝4. 要判断椭圆的焦点在哪个坐标轴上，可将椭圆方程化为标准方程．然后，观察标准方程中含x项与含y项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪个坐标轴上． [变式训练] 2．指出下列椭圆中，a，b，c的值，并说出焦点所在的坐标轴． (1)eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1；(2)eq \f(y2,100)＋eq \f(x2,64)＝1. 解：(1)因为25>16，所以椭圆的焦点在x轴上，并且a2＝25，b2＝16，则c2＝a2－b2＝25－16＝9，可求出a＝5，b＝4，c＝3. (2)因为100>64，所以椭圆的焦点在y轴上，并且a2＝100，b2＝64，则c2＝a2－b2＝100－64＝36，可求出a＝10，b＝8，c＝6. 求椭圆的标准方程 　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\r(3)))和点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)，1)). [思路点拨]　对于(1)、(2)可直接用待定系数法设出方程求解，但要注意焦点位置．对于(3)由于题中条件不能确定椭圆焦点在哪个坐标轴上，所以应分类讨论求解，为了避免讨论，还可以设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)然后代入已知点求出A、B. [解]　(1)∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝52－42＝9.∴所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1. (2)∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．∵椭圆经过点(0,2)和(1,0)， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1))，⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝4,b2＝1))，故所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,4)＋x2＝1. (3)法一：①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．∵点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\r(3)))和点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)，1))在椭圆上，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)))2,b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)))2,a2)＋\f(12,b2)＝1.))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝1，,b2＝9.))而a>b>0，∴a2＝1，b2＝9不合题意，即焦点在x轴上的椭圆的方程不存在． ②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．∵点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\r(3)))和点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)，1))在椭圆上， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)))2,b2)＝1，,\f(12,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)))2,b2)＝1.))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b2＝1.)) ∴所求椭圆的方程为eq \f(y2,9)＋x2＝1. 法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，∵点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\r(3)))和点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)，1))都在椭圆上， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)))2＋n·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)))2＝1，,m·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)))2＋n·12＝1，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2m,3)＋3n＝1，,\f(8m,9)＋n＝1.))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(1,9).))∴所求椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,9)＝1. (1)用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤 (2)巧设椭圆方程 若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)． [变式训练] 3．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26； (2)求焦点在坐标轴上，且经过两点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\r(2)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))的椭圆的标准方程． 解：(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．因为2a＝26,2c＝10，所以a＝13，c＝5.所以b2＝a2－c2＝144.所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,169)＋eq \f(x2,144)＝1. (2)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．分别将两点的坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\r(2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))代入椭圆的一般方程，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1. 1．到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点M的轨迹是(　　) A．椭圆 B．线段 C．圆 D．以上都不对 解析：B　[∵|MF1|＋|MF2|＝4＝|F1F2|，∴点M的轨迹是以F1，F2为端点的线段．] 2．椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,20)＝1的焦距为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：D　[∵20>4，∴a2＝20，b2＝4，c2＝a2－b2＝16，∴焦点在y轴上，且c＝4，∴焦距为2c＝8.] 3．已知椭圆的标准方程为eq \f(y2,10)＋x2＝1，则椭圆的焦点坐标为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\r(10)，0)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\r(10))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±3)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±3，0)) 解析：C　[∵10>1，∴a2＝10，b2＝1，c2＝a2－b2＝9，∴c＝3，且焦点在y轴上，∴焦点坐标为0，±3.] 4．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2eq \r(15)，则此椭圆的标准方程为　________　. 解析：由已知2a＝8,2c＝2eq \r(15)，所以a＝4，c＝eq \r(15)，所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,16)＋x2＝1. 答案：eq \f(y2,16)＋x2＝1 $$ 3．1　椭圆 3．1.1　椭圆的标准方程 课程标准 素养解读 1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程． 2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程． 3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题. 1.通过椭圆标准方程的学习，培养学生的数学运算素养． 2．借助轨迹方程的学习，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养. 中国国家大剧院是首都北京的地标性建筑之一，它位于人民大会堂的西侧．观察下图，国家大剧院及其倒影的轮廓线是什么图形？有什么特点？ [知识点一]　椭圆的定义　 一般地，把平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的　焦点　，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距． 1.椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 2．椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？ 提示：1.点的轨迹是线段F1F2. 2．当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． [知识点二]　椭圆的标准方程　 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c 的关系 b2＝a2－c2 1．下列方程中，表示椭圆的是(　　) A.＋＝1 B．x2＋y2＝8 C.＋＝1 D．(x＋2)2＋y2＝3 解析：C　[椭圆方程的特点是x2和y2的系数不相等．] 2．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 解析：C　[由题意知c＝8,2a＝20，∴a＝10，∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.] 3．椭圆＋＝1的焦点坐标是(　　) A．(0,4)和(0，－4) B．(4,0)和(－4,0) C.和 D.和 解析：B　[a2＝25，b2＝9，c2＝25－9＝16，焦点在x轴上．] 　椭圆定义的应用 　如图所示，已知过椭圆＋＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点． 求△AF1B的周长； [思路点拨]　因为A，B在椭圆上，所以由椭圆的定义可知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，故|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a，为常数． [解]　由题意知A，B在椭圆＋＝1上，故有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，|AF2|＋|BF2|＝|AB|.所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝20. (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. (2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解． [变式训练] 1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：D　[根据椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为2a－2＝2×5－2＝8.] 　椭圆标准方程的应用 　判断下列椭圆的焦点在哪一条坐标轴上，并求焦点坐标和焦距． (1)＋＝1 (2)2x2＋y2＝8 [思路点拨]　(1)根据a2＝16，b2＝9判断焦点位置，根据c2＝a2－b2求焦点坐标和焦距 (2)先化为标准方程，再求解． [解]　(1)由题意∵16>9，∴a2＝16，b2＝9，c2＝a2－b2＝16－9＝7，∴c＝，∴焦点在x轴上，焦点坐标为F1，F2，焦距|F1F2|＝2. (2)把2x2＋y2＝8化为标准方程为＋＝1，∵8>4，∴a2＝8，b2＝4，c2＝a2－b2＝8－4＝4，∴c＝2.∴椭圆的焦点在y轴上，焦点坐标为F1(0，－2)，F2(0,2)，焦距|F1F2|＝4. 要判断椭圆的焦点在哪个坐标轴上，可将椭圆方程化为标准方程．然后，观察标准方程中含x项与含y项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪个坐标轴上． [变式训练] 2．指出下列椭圆中，a，b，c的值，并说出焦点所在的坐标轴． (1)＋＝1；(2)＋＝1. 解：(1)因为25>16，所以椭圆的焦点在x轴上，并且a2＝25，b2＝16，则c2＝a2－b2＝25－16＝9，可求出a＝5，b＝4，c＝3. (2)因为100>64，所以椭圆的焦点在y轴上，并且a2＝100，b2＝64，则c2＝a2－b2＝100－64＝36，可求出a＝10，b＝8，c＝6. 　求椭圆的标准方程 　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点和点. [思路点拨]　对于(1)、(2)可直接用待定系数法设出方程求解，但要注意焦点位置．对于(3)由于题中条件不能确定椭圆焦点在哪个坐标轴上，所以应分类讨论求解，为了避免讨论，还可以设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)然后代入已知点求出A、B. [解]　(1)∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝52－42＝9.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．∵椭圆经过点(0,2)和(1,0)， ∴，⇒，故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. (3)法一：①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．∵点和点在椭圆上，∴∴而a>b>0，∴a2＝1，b2＝9不合题意，即焦点在x轴上的椭圆的方程不存在． ②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．∵点和点在椭圆上， ∴∴ ∴所求椭圆的方程为＋x2＝1. 法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，∵点和点都在椭圆上， ∴ 即∴∴所求椭圆的标准方程为x2＋＝1. (1)用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤 (2)巧设椭圆方程 若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)． [变式训练] 3．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26； (2)求焦点在坐标轴上，且经过两点和的椭圆的标准方程． 解：(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为2a＝26,2c＝10，所以a＝13，c＝5.所以b2＝a2－c2＝144.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．分别将两点的坐标，代入椭圆的一般方程，得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 1．到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点M的轨迹是(　　) A．椭圆 B．线段 C．圆 D．以上都不对 解析：B　[∵|MF1|＋|MF2|＝4＝|F1F2|，∴点M的轨迹是以F1，F2为端点的线段．] 2．椭圆＋＝1的焦距为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：D　[∵20>4，∴a2＝20，b2＝4，c2＝a2－b2＝16，∴焦点在y轴上，且c＝4，∴焦距为2c＝8.] 3．已知椭圆的标准方程为＋x2＝1，则椭圆的焦点坐标为(　　) A. B． C. D． 解析：C　[∵10>1，∴a2＝10，b2＝1，c2＝a2－b2＝9，∴c＝3，且焦点在y轴上，∴焦点坐标为0，±3.] 4．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为　________　. 解析：由已知2a＝8,2c＝2，所以a＝4，c＝，所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋x2＝1. 答案：＋x2＝1 　　　　　　　　　　　 [基础过关] 1．平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足|MF1|＋|MF2|为常数”是“M的轨迹是椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[当|MF1|＋|MF2|>|F1F2|时，M的轨迹才是椭圆．] 2．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m的值为(　　) A．9 B．4 C．3 D．2 解析：C　[由题意可知25－m2＝16，解得m＝3(舍去负值)．] 3．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为(　　) A．(0，＋∞) B．(0,2) C．(1，＋∞) D．(0,1) 解析：D　[方程可化为＋＝1，因为表示焦点在y轴上的椭圆，则>2，所以0<k<1.] 4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 解析：D　[由题意可得解得故椭圆的方程为＋＝1.] 5．椭圆的两个焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，椭圆的弦AB过F1，且△ABF2的周长为20，那么该椭圆的标准方程是(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 解析：A　[△ABF2的周长＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a＝20，解得a＝5，由焦点坐标F1(－4,0)，F2(4,0)可知c＝4，可得b2＝a2－c2＝25－16＝9，所以椭圆的标准方程为＋＝1.] 6．椭圆9x2＋y2＝36的a＝　________　. 解析：[椭圆方程化成标准方程为＋＝1，所以a＝6，b＝2.] 答案：6 7．椭圆＋＝1上一点M到椭圆的一个焦点的距离是1，则点M到另一个焦点的距离是　________　. 解析：[由椭圆的方程可知a2＝16，解得a＝4，|MF1|＋|MF2|＝2a，即1＋|MF2|＝2×4，解得|MF2|＝7.] 答案：7 8．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，求椭圆C的标准方程　________　. 解析：[依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知其左焦点为F′(－2,0)，从而有解得，又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆的方程为＋＝1.] 答案：＋＝1 9．判断下列各椭圆的焦点位置，并说明焦点坐标、焦距． (1)＋＝1； (2)x2＋4y2＝1； (3)x2＋＝1. 解：(1)焦点在y轴上，焦点坐标为(0,1)，(0，－1)，焦距为2. (2)焦点在x轴上，焦点坐标为，，焦距为. (3)焦点在y轴上，焦点坐标为，，焦距为2. [能力提升] 10．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F2的直线与椭圆相交于M，N两点，则△MNF1的周长是(　　) A．16 B．10 C．8 D．6 解析：A　[△MNF1的周长＝|MF2|＋|MF1|＋|NF2|＋|NF1|＝2a＋2a＝4a.由题意可知，a2＝16，解得a＝4，所以△MNF1的周长为4a＝4×4＝16.] 11．“1<m<3”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[当方程＋＝1表示椭圆时，必有所以1<m<3且m≠2；但当1<m<3时，该方程不一定表示椭圆，例如当m＝2时，方程变为x2＋y2＝1，它表示一个圆．] 12．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B．＋y2＝1 C.＋＝1 D．＋x2＝1 解析：A　[由已知，c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴椭圆的方程为＋＝1.] 13．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝　________　. 解析：由椭圆的定义知|F2A|＋|F1A|＋|F2B|＋|F1B|＝4a＝20，所以|F1A|＋|F1B|＝|AB|＝20－12＝8. 答案：8 14．若方程＋＝1表示椭圆，则实数m满足的条件是　________　. 解析：由方程＋＝1表示椭圆，得 答案： 15．根据下列条件求出椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，焦距为8，b＝3； (2)两个焦点坐标分别为和，并且椭圆经过点. (3)求过点(3，－2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆方程． 解：(1)由题意知，c＝4，b＝3，∴a2＝b2＋c2＝25，又焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由题意知，椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由焦点坐标可得c＝，所以a2＝b2＋5，则椭圆的方程可变形为＋＝1，将点代入方程得＋＝1，化简得9b4－31b2－20＝0，解得b2＝4或b2＝－(舍去)，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (3)由椭圆＋＝1得，焦点在x轴上，c＝，所求椭圆方程可设为＋＝1(a>b>0)，其中c＝，所以a2－b2＝5.又因为椭圆过点(3，－2)，所以＋＝1，联立方程得解得故所求椭圆方程为＋＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足|MF1|＋|MF2|为常数”是“M的轨迹是椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[当|MF1|＋|MF2|>|F1F2|时，M的轨迹才是椭圆．] 2．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m的值为(　　) A．9 B．4 C．3 D．2 解析：C　[由题意可知25－m2＝16，解得m＝3(舍去负值)．] 3．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为(　　) A．(0，＋∞) B．(0,2) C．(1，＋∞) D．(0,1) 解析：D　[方程可化为＋＝1，因为表示焦点在y轴上的椭圆，则>2，所以0<k<1.] 4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 解析：D　[由题意可得解得故椭圆的方程为＋＝1.] 5．椭圆的两个焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，椭圆的弦AB过F1，且△ABF2的周长为20，那么该椭圆的标准方程是(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 解析：A　[△ABF2的周长＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a＝20，解得a＝5，由焦点坐标F1(－4,0)，F2(4,0)可知c＝4，可得b2＝a2－c2＝25－16＝9，所以椭圆的标准方程为＋＝1.] 6．椭圆9x2＋y2＝36的a＝　________　. 解析：[椭圆方程化成标准方程为＋＝1，所以a＝6，b＝2.] 答案：6 7．椭圆＋＝1上一点M到椭圆的一个焦点的距离是1，则点M到另一个焦点的距离是　________　. 解析：[由椭圆的方程可知a2＝16，解得a＝4，|MF1|＋|MF2|＝2a，即1＋|MF2|＝2×4，解得|MF2|＝7.] 答案：7 8．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，求椭圆C的标准方程　________　. 解析：[依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知其左焦点为F′(－2,0)，从而有解得，又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆的方程为＋＝1.] 答案：＋＝1 9．判断下列各椭圆的焦点位置，并说明焦点坐标、焦距． (1)＋＝1； (2)x2＋4y2＝1； (3)x2＋＝1. 解：(1)焦点在y轴上，焦点坐标为(0,1)，(0，－1)，焦距为2. (2)焦点在x轴上，焦点坐标为，，焦距为. (3)焦点在y轴上，焦点坐标为，，焦距为2. [能力提升] 10．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F2的直线与椭圆相交于M，N两点，则△MNF1的周长是(　　) A．16 B．10 C．8 D．6 解析：A　[△MNF1的周长＝|MF2|＋|MF1|＋|NF2|＋|NF1|＝2a＋2a＝4a.由题意可知，a2＝16，解得a＝4，所以△MNF1的周长为4a＝4×4＝16.] 11．“1<m<3”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[当方程＋＝1表示椭圆时，必有所以1<m<3且m≠2；但当1<m<3时，该方程不一定表示椭圆，例如当m＝2时，方程变为x2＋y2＝1，它表示一个圆．] 12．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B．＋y2＝1 C.＋＝1 D．＋x2＝1 解析：A　[由已知，c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴椭圆的方程为＋＝1.] 13．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝　________　. 解析：由椭圆的定义知|F2A|＋|F1A|＋|F2B|＋|F1B|＝4a＝20，所以|F1A|＋|F1B|＝|AB|＝20－12＝8. 答案：8 14．若方程＋＝1表示椭圆，则实数m满足的条件是　________　. 解析：由方程＋＝1表示椭圆，得 答案： 15．根据下列条件求出椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，焦距为8，b＝3； (2)两个焦点坐标分别为和，并且椭圆经过点. (3)求过点(3，－2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆方程． 解：(1)由题意知，c＝4，b＝3，∴a2＝b2＋c2＝25，又焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由题意知，椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由焦点坐标可得c＝，所以a2＝b2＋5，则椭圆的方程可变形为＋＝1，将点代入方程得＋＝1，化简得9b4－31b2－20＝0，解得b2＝4或b2＝－(舍去)，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (3)由椭圆＋＝1得，焦点在x轴上，c＝，所求椭圆方程可设为＋＝1(a>b>0)，其中c＝，所以a2－b2＝5.又因为椭圆过点(3，－2)，所以＋＝1，联立方程得解得故所求椭圆方程为＋＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$