第2章 2.4.3 向量内积的坐标表示（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块上册同步教案（高教版2021）

2．4.3　向量内积的坐标表示 课程标准 素养解读 1.了解向量坐标的内积运算． 2．掌握利用向量的内积解决长度、夹角、垂直问题. 1.通过向量内积运算，主要提升数学运算核心素养． 2．通过内积求模长、夹角、垂直的坐标表示，主要培养逻辑推理核心素养. 已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则|a|，|b|分别用坐标怎样表示？ [知识点一]　向量内积的坐标表示　 设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝　x1x2＋y1y2　，即两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和． [知识点二]　向量内积的坐标表示的相关结论　 设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 1．|a|＝＝； 2．cos〈a，b〉＝＝　　. 3．a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是(　　) A．23　 B．7　　 C．－23　　 D．－7 解析：D　[a·b＝(－3)×5＋4×2＝－7.] 2．若a＝(－2,3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝(　　) A．－4 B．4 C．3 D．－3 解析：B　[由题意得－2×6＋3m＝0，所以m＝4.] 3．若a＝(4，－3)，b＝(2,4)，则a·b＝　________　. 解析：a·b＝4×2＋(－3)×4 ＝8－12＝－4. 答案：－4 平面向量内积的坐标运算 　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　) A．10　　 B．－10　　　 C．3　　　 D．－3 (2)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝(　　) A．－12 B．－6 C．6 D．12 [思路点拨]　依据内积的坐标运算公式直接求解． 解：(1)a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. (2)2a－b＝(5,2－k)，a·(2a－b)＝10＋2－k＝0，∴k＝12. 答案：(1)B　(2)D 平面向量内积坐标运算的两条途径 进行向量的内积坐标运算的前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行内积运算；二是先利用内积的运算律将原式展开，再依据已知计算． [变式训练] 1．求下列各组向量的内积 (1)a＝(4，－3)，b＝(－1,3)； (2)a＝(3，－1)，b＝(1，－5)； (3)a＝(1,2)，b＝(2，－4)． 解：(1)a·b＝4×(－1)＋(－3)×3＝－13. (2)a·b＝3×1＋(－1)×(－5)＝8. (3)a·b＝1×2＋2×(－4)＝－6. 利用坐标运算解决向量模长问题 　(1)已知向量a＝(－2，－1)，b＝(2，－4)．求|a|－|b|，|a－b|； (2)已知A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)．求|2|＋||，|2＋|. [思路点拨]　(1)利用公式|a|＝求解． (2)利用公式||＝求解． 解：(1)|a|＝＝， |b|＝＝2， 所以|a|－|b|＝－2＝－；因为a－b＝(－4，3)，所以|a－b|＝＝5. (2)因为A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，所以||＝＝.||＝ ＝，所以|2|＋||＝2||＋||＝2＋；因为＝(－1,1)，＝(1,5)，则2＋＝2(－1,1)＋(1,5)＝(－1,7)．所以|2＋|＝＝＝5. 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算 若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是|a|＝. [变式训练] 2．已知a＝(4，－3)，b＝(1,2)，求|a|，|a＋b|，|a－2b|. 解：|a|＝＝5； ∵a＋b＝(4，－3)＋(1,2)＝(5，－1)， ∴|a＋b|＝＝； ∵a－2b＝(4，－3)－2(1,2)＝(2，－7) ∴|a－2b|＝＝. 利用平面向量的坐标解决夹角问题 　已知向量a＝(1，－3)，b＝(2，－6)求a·b，|a|，|b|，cos〈a，b〉，〈a，b〉． [思路点拨]　利用公式逐一求解． 解：a·b＝1×2＋(－3)×(－6)＝20. |a|＝＝. |b|＝＝2. cos〈a，b〉＝＝＝1，〈a，b〉＝0°. 因为两个非零向量a，b的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cos θ＝来判断，可将θ分五种情况：cos θ＝1，θ＝0°；cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ<0，且cos θ≠－1，θ为钝角；cos θ>0，且cos θ≠1，θ为锐角． [变式训练] 3．已知向量a＝(3,4)，b＝(－2,1)，求a·b、|a|、|b|、cos〈a，b〉． 解：a·b＝3×(－2)＋4×1＝－2.|a|＝＝＝＝5.同理，|b|＝＝.cos〈a，b〉＝＝＝－. 向量垂直的坐标表示 　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，求k的值． [思路点拨]　本题需要利用垂直条件a·b＝0⇔a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. [解]　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0.即(k－3)×10＋(2k＋2)×(－4)＝0，得k＝19. 两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)垂直的充要条件为x1x2＋y1y2＝0，注意构造方程． [变式训练] 4．判断下列各组向量是否垂直： (1)a＝(2，－3)，b＝(－6，－4)；(2)a＝(0，－1)，b＝(－1,2)． 解：(1)a·b＝2×(－6)＋(－3)×(－4)＝0，所以a⊥b. (2)a·b＝0×(－1)＋(－1)×2＝－2≠0，所以a与b不垂直． 1．已知向量a＝(2，－3)，b＝(－1,5)，则a·b＝(　　) A．13　　 B．7　　　 C．－17　　　D．17 解析：C　[a·b＝2×(－1)＋(－3)×5＝－17.] 2．已知a＝(x,4)，b＝(4，－1)，a⊥b，则x＝(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 解析：C　[由题意得4x＋4×(－1)＝0.故x＝1.] 3．若a＝(7，－2)，b＝(4,2)，则|a－b|＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：A　[由题意得a－b＝(7－4，－2－2)＝(3，－4)，所以|a－b|＝＝5.] 4．已知向量a＝(12，－5)，向量b＝(4,3)，则cos〈a，b〉＝　________　. 解析：|a|＝＝13. |b|＝＝5. a·b＝12×4＋(－5)×3＝33，∴cos〈a，b〉＝＝＝. 答案： [基础过关] 1．已知a＝(4，－6)，b＝(1，－3)，则a·b＝(　　) A．－22　　 B．22　　　 C．14　　　D．－18 解析：B　[a·b＝4×1＋(－6)×(－3)＝22.] 2．设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则向量(a＋2b)·c＝(　　) A．(－15,12) B．0 C．－3 D．－11 解析：C　[依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，所以(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2) ＝－5×3＋6×2＝－3.] 3．已知平面内三点，A(2,2)，B(1,3)，C(7，x)满足⊥，则x的值为(　　) A．3 B．6 C．7 D．9 解析：C　[＝(1，－1)，＝(5，x－2)因为⊥，所以有5＋(－1)×(x－2)＝0，解得x＝7.] 4．已知a＝(3，－2)，b＝(－2，－3)，则a与b关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．相等 D．不确定 解析：A　[因为3×(－2)＋(－2)×(－3)＝0，所以a⊥b.] 5．已知a＝(2,2)，b＝(3,2)，则|a＋2b|＝(　　) A．10 B．2 C. D．12 解析：A　[a＋2b＝(2,2)＋(6,4)＝(8,6)，|a＋2b|＝＝10.] 6．已知a＝(1,0)，b＝，则〈a，b〉＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 解析：C　[由题意得cos〈a，b〉＝ ＝＝，所以〈a，b〉＝60°.] 7．若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，则：向量a的模长为　________　； 解析：∵a＝＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)， ∴|a|＝＝5. 答案：5 8．若a＝(，1)，b＝(，－1)，则〈a，b〉＝　________　. 解析：因为cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝60°. 答案：60° 9．已知点A(0,1)，B(1，－2)，向量＝(4，－1)，则||＝　________　. 解析：设C(x，y)，因为点A(0,1)，向量＝(4，－1)，所以＝(x，y－1)＝(4，－1)，所以解得x＝4，y＝0，所以C(4,0)，所以＝(3,2)，||＝＝. 答案： [能力提升] 10．已知向量a＝(－2，－1)，则|a|为(　　) A．5 B． C. D．4 解析：B　[|a|＝＝.] 11．已知a＝(2，－1)，b＝(x，－5)，且a⊥(a－b)，则x值为(　　) A．－5 B．0 C．32 D．5 解析：B　[a－b＝(2－x,4)，则有2(2－x)－4＝0，解得x＝0.] 12．若a＝(2,1)，b＝(1，－1)，则〈a，b〉是(　　) A．锐角 B．直角 C．钝角 D．平角 解析：A　[因为a·b＝2×1＋1×(－1)＝1>0，所以cos〈a，b〉>0.又2×(－1)－1＝－3≠0，所以a，b不共线，从而〈a，b〉是锐角．] 13．若向量a＝(2sin θ，2cos θ)，则|a|＝　________　. 解析：由题意可得|a|＝＝2. 答案：2 14．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝　________　. 解析：由⇒⇒∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)．∴|a＋b|＝. 答案： 15．已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，当k为何值时： (1)ka－b与a＋2b垂直． (2)ka－b与a＋b的夹角为120°. 解：因为a＝(1,1)，b＝(0，－2)， 所以ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)，a＋2b＝(1,1)＋(0，－4)＝(1，－3)． a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)． (1)因为ka－b与a＋2b垂直，所以k－3k－6＝0， 所以k＝－3. 即当k＝－3时，ka－b与a＋2b垂直． (2)因为|ka－b|＝，|a＋b|＝＝，(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2， 而ka－b与a＋b的夹角为120°.所以cos 120°＝， 即－＝， 化简整理，得k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±. 即当k＝－1±时，ka－b与a＋b的夹角为120°. 学科网（北京）股份有限公司 $$2．4.3　向量内积的坐标表示 第2章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课时 素养提升 04 数学·拓展模块（GJ上） 第2章 平面向量 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第2章 平面向量 数学·拓展模块（GJ上） 课程标准 素养解读 1.了解向量坐标的内积运算． 2．掌握利用向量的内积解决长度、夹角、垂直问题. 1.通过向量内积运算，主要提升数学运算核心素养． 2．通过内积求模长、夹角、垂直的坐标表示，主要培养逻辑推理核心素养. 已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则|a|，|b|分别用坐标怎样表示？ [知识点一]　向量内积的坐标表示　 设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝　x1x2＋y1y2　，即两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和． [知识点二]　向量内积的坐标表示的相关结论　 设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 1．|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))； 2．cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝　eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))　. 3．a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是(　　) A．23　 B．7　　 C．－23　　 D．－7 解析：D　[a·b＝(－3)×5＋4×2＝－7.] 2．若a＝(－2,3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝(　　) A．－4 B．4 C．3 D．－3 解析：B　[由题意得－2×6＋3m＝0，所以m＝4.] 3．若a＝(4，－3)，b＝(2,4)，则a·b＝　________　. 解析：a·b＝4×2＋(－3)×4 ＝8－12＝－4. 答案：－4 平面向量内积的坐标运算 　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　) A．10　　 B．－10　　　 C．3　　　 D．－3 (2)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝(　　) A．－12 B．－6 C．6 D．12 [思路点拨]　依据内积的坐标运算公式直接求解． 解：(1)a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. (2)2a－b＝(5,2－k)，a·(2a－b)＝10＋2－k＝0，∴k＝12. 答案：(1)B　(2)D 平面向量内积坐标运算的两条途径 进行向量的内积坐标运算的前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行内积运算；二是先利用内积的运算律将原式展开，再依据已知计算． [变式训练] 1．求下列各组向量的内积 (1)a＝(4，－3)，b＝(－1,3)； (2)a＝(3，－1)，b＝(1，－5)； (3)a＝(1,2)，b＝(2，－4)． 解：(1)a·b＝4×(－1)＋(－3)×3＝－13. (2)a·b＝3×1＋(－1)×(－5)＝8. (3)a·b＝1×2＋2×(－4)＝－6. 利用坐标运算解决向量模长问题 　(1)已知向量a＝(－2，－1)，b＝(2，－4)．求|a|－|b|，|a－b|； (2)已知A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)．求|2eq \o(AB,\s\up16(→))|＋|eq \o(AC,\s\up16(→))|，|2eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))|. [思路点拨]　(1)利用公式|a|＝eq \r(x2＋y2)求解． (2)利用公式|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)求解． 解：(1)|a|＝eq \r(－22＋－12)＝eq \r(5)， |b|＝eq \r(22＋－42)＝2eq \r(5)， 所以|a|－|b|＝eq \r(5)－2eq \r(5)＝－eq \r(5)；因为a－b＝(－4，3)，所以|a－b|＝eq \r(－42＋32)＝5. (2)因为A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，所以|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝eq \r(0－12＋1－02)＝eq \r(2).|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝eq \r(2－12＋5－02) ＝eq \r(26)，所以|2eq \o(AB,\s\up16(→))|＋|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝2|eq \o(AB,\s\up16(→))|＋|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝2eq \r(2)＋eq \r(26)；因为eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－1,1)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝(1,5)，则2eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))＝2(－1,1)＋(1,5)＝(－1,7)．所以|2eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))|＝eq \r(－12＋72)＝eq \r(50)＝5eq \r(2). 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算 若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是|a|＝eq \r(x2＋y2). [变式训练] 2．已知a＝(4，－3)，b＝(1,2)，求|a|，|a＋b|，|a－2b|. 解：|a|＝eq \r(42＋－32)＝5； ∵a＋b＝(4，－3)＋(1,2)＝(5，－1)， ∴|a＋b|＝eq \r(52＋－12)＝eq \r(26)； ∵a－2b＝(4，－3)－2(1,2)＝(2，－7) ∴|a－2b|＝eq \r(22＋－72)＝eq \r(53). 利用平面向量的坐标解决夹角问题 　已知向量a＝(1，－3)，b＝(2，－6)求a·b，|a|，|b|，cos〈a，b〉，〈a，b〉． [思路点拨]　利用公式逐一求解． 解：a·b＝1×2＋(－3)×(－6)＝20. |a|＝eq \r(12＋－32)＝eq \r(10). |b|＝eq \r(22＋－62)＝2eq \r(10). cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(20,\r(10)×2\r(10))＝1，〈a，b〉＝0°. 因为两个非零向量a，b的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)来判断，可将θ分五种情况：cos θ＝1，θ＝0°；cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ<0，且cos θ≠－1，θ为钝角；cos θ>0，且cos θ≠1，θ为锐角． [变式训练] 3．已知向量a＝(3,4)，b＝(－2,1)，求a·b、|a|、|b|、cos〈a，b〉． 解：a·b＝3×(－2)＋4×1＝－2.|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))＝eq \r(32＋42)＝5.同理，|b|＝eq \r(－22＋12)＝eq \r(5).cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－2,5×\r(5))＝－eq \f(2\r(5),25). 向量垂直的坐标表示 　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，求k的值． [思路点拨]　本题需要利用垂直条件a·b＝0⇔a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. [解]　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0.即(k－3)×10＋(2k＋2)×(－4)＝0，得k＝19. 两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)垂直的充要条件为x1x2＋y1y2＝0，注意构造方程． [变式训练] 4．判断下列各组向量是否垂直： (1)a＝(2，－3)，b＝(－6，－4)；(2)a＝(0，－1)，b＝(－1,2)． 解：(1)a·b＝2×(－6)＋(－3)×(－4)＝0，所以a⊥b. (2)a·b＝0×(－1)＋(－1)×2＝－2≠0，所以a与b不垂直． 1．已知向量a＝(2，－3)，b＝(－1,5)，则a·b＝(　　) A．13　　 B．7　　　 C．－17　　　 D．17 解析：C　[a·b＝2×(－1)＋(－3)×5＝－17.] 2．已知a＝(x,4)，b＝(4，－1)，a⊥b，则x＝(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 解析：C　[由题意得4x＋4×(－1)＝0.故x＝1.] 3．若a＝(7，－2)，b＝(4,2)，则|a－b|＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：A　[由题意得a－b＝(7－4，－2－2)＝(3，－4)，所以|a－b|＝eq \r(32＋－42)＝5.] 4．已知向量a＝(12，－5)，向量b＝(4,3)，则cos〈a，b〉＝　________　. 解析：|a|＝eq \r(122＋－52)＝13. |b|＝eq \r(42＋32)＝5. a·b＝12×4＋(－5)×3＝33，∴cos〈a，b〉＝eq \f(a ·b,|a|·|b|)＝eq \f(33,13×5)＝eq \f(33,65). 答案：eq \f(33,65) $$色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 》 分层训结 课后·素养提升 高效提能 [基础过关] 1.已知a=(4,-6,b=(1,-3),则ab=() A.-22 B.22 C.14 D.-18 解析：B[ab=4×1+(-6)×(-3)=22] 2.设向量a=(1,-2),向量b=(-3,4),向量c=(3,2),则向量(a十2b)c=() A.(-1512) B.0 C.-3 D.-11 解析：C[依题意可知，a十2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5.6,所以(a+2b)c=(-5.6 (32) =-5×3+6×2=-3] 3.已知平面内三点，A(2,2),B1,3),C(7,x)满足⊥，则x的值为(） A.3 B.6 C.7 D.9 解析：C=0,-1),→=(6，x-2)国为1，所以有5+(-1)×-2)=0，解 ◆ 得x=7] 4.已知a=(3,-2),b=(一2，-3)，则a与b关系是(） A.垂直 B.平行 C,相等 D.不确定 解析：A[图为3×(-2)十(-2)×(-3)=0，所以a⊥b] 5.已知a=(2,2),b=(3,2),则1a+2b=() A.10 B.25 C.5 D,12 解析：A[a+2b=(2,2)+(6.4)=(8,6,1a+2b=82+62=10] 6.已知a=(1.0),b=rc)0aws4 alcol(1,r(3),则(a,b)=() A.30 B.450 C.60° D.120° 解析：C[由题意得cos〈a,b〉=a-ballb =3)1×2=12,所以(a,b〉=60°] 7.若向量a的始点为A(一2,4)，终点为B(2,1),则：向量a的模长为 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 解析：a==(2.1)-(-2,4=(4,-3), .la=42+0-3口2=5. 答案：5 8.若a=(3,1),b=(3,一1)，则(a,b)= 解析：因为cos〈a,b〉=abab=3-1r(3+1)×r(3+1)=12,所以(a,b〉=60° 答案：60° 9.已知点A0,1),B1,-2,向量=(4，-1)，则= 解析：设CK,功，国为点A0,),向量=4，-D。所以=化，y-1)=4,-1少， 所以x=4,y-1=-1,)解得x=4,y=0,所以C(4,0),所以=(3,2)，|=9十4=13 答案：13 [能力提升] 10.已知向量a=(-2,-1),则a为() A.5 B.5 C.3 D.4 解析：B[1a=0-2口2+0-1口2=5.] 11.己知a=(2,-1),b=(x,-5),且a⊥(a一b),则x值为() A.-5 B.0 C.32 D.5 解析：B[a一b=(2-x4),则有2(2-x)-4=0,解得x=0] 12.若a=(2,1),b=(1,-1),则(a,b〉是() A.锐角 B.直角 C.钝角 D.平角 解析：A[因为ab=2×1+1×(-1)=1>0,所以cos〈a,b〉>0.又2×(-1)-1=-3≠0， 所以a,b不共线，从而〈a,b〉是锐角.] 13.若向量a=(2sin0,2cos),则a= 解析：由题意可得1al=02sin0口2+02cos002=2 答案：2 14.设x,y∈R,向量a=(x1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则a+b= 解析：由a1c,bc)→2x-4=0,2y+4=0)=x=2,y=-2)∴.a=(2,1),b=(1,-2), ·独家授权侵权必究◆ 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 a+b=(3,-1)..a+bl=10 答案：10 15.已知a=(1,1),b=(0,一2)，当k为何值时： (1)ka-b与a十2b垂直. (2)a-b与a十b的夹角为120°， 解：因为a=(11),b=(0,-2), 所以ka-b=1,1)-(0,-2)=k,k+2),a+2b=(1,1)+(0,-4)=(1,-3). a+b=(1.1)+(0,-2)=(1,-1). (1)因为a一b与a+2b垂直，所以k-3k-6=0, 所以k=一3. 即当k=-3时，ka一b与a十2b垂直， (2)因为ka-b=k2+口k+2口2，a+b=12+口-1口2=2，(ka-b)(a+b)=(k,k+2) (1,-1)=k-k-2=-2, 而ka一b与a+b的夹角为120°所以cos120°=▣ka-b口·口a十b☐ka一ba+b, 即-12=-2rk2+口k+2口2)r(2), 化简整理，得2+2k-2=0,解得k=一1±3 即当k=一1±3时，a-b与a十b的夹角为120° ·独家授权侵权必究·