第1章 1.2 充要条件（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册同步教案（高教版2021）

1．2　充要条件 课程标准 素养解读 针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较，学生经历梳理知识，提炼定义，感悟思想的学习过程，提升逻辑推理素养与数学抽象素养. 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 姚明大家都认识．他说过很多很经典的话。其中有一句给我留下了很深刻的印象？他说：“努力不一定成功．但放弃一定失败”。话语中有两组关键词：“努力”和“成功”：“放弃”和“失败”．每组中的两个词之间有什么样的逻辑关系？ [知识点一]　充要条件　 一般地，若命题“如果p，那么q”是真命题，其逆命题“如果q，那么p”也是真命题，即p⇒q且p⇐q，则称p是q的充分且必要条件，简称　充要条件　，也称p与q等价，记为　p⇔q　. [知识点二]　四类条件　 1．一般地，如果p⇒q且　qp　，则称p是q的充分不必要条件． 2．如果pq且　q⇒p　，则称p是q的必要不充分条件． 3．如果p⇒q且　q⇒p　，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)，记作p⇔q，此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”． 4．如果pq且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． 若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．这种说法对吗？ 提示　正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确． 1．设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[x3>1，等价于x>1，即“x>1”是“x3>1”的充要条件．] 2．“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[“x2＋y2＝0”可化为“x＝0且y＝0”．] 3．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[若x＝1，则x2－2x＋1＝0；若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1.] 充要条件的判断 　判断下列命题中的条件是否为结论的充要条件． (1)如果x＝2，那么x2＝4； (2)如果a>b，那么2a>2b. [思路点拨]　判断原命题和逆命题的真假． 解：(1)“如果x＝2，那么x2＝4”是真命题，其逆命题“如果x2＝4，那么x＝2”是假命题，因此“x＝2”不是“x2＝4”的充要条件； (2)因为“如果a>b，那么2a>2b”是真命题，其逆命题“如果2a>2b，那么a>b”也是真命题，所以“a>b”是“2a>2b”的充要条件． 判断p与q的逻辑关系时，不但要通过原命题的真假判断p是不是q的充分条件，还要通过其逆命题的真假判断p是不是q的必要条件． [变式训练] 1．判断下列命题中的条件是否为结论的充要条件． (1)如果x2－3x＋2＝0，那么x＝1； (2)如果x是有理数，那么x是实数； (3)如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么直线与圆相切； (4)如果α>β，那么sin α>sin β. 解：(1)命题“如果x2－3x＋2＝0，那么x＝1”是假命题，其逆命题“如果x＝1，那么x2－3x＋2＝0”是真命题，所以“x2－3x＋2＝0”不是“x＝1”的充要条件． (2)命题“如果x是有理数，那么x是实数”是真命题，其逆命题“如果x是实数，那么x是有理数”是假命题，因此“x是有理数”不是“x是实数”的充要条件． (3)“如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么直线与圆相切”是真命题，其逆命题“如果直线与圆相切，那么圆心到直线的距离等于圆的半径”也是真命题，因此“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件． (4)“如果α>β，那么“sin α>sin β”是假命题，其逆命题“如果sin α>sin β，那么α>β”也是假命题，所以“α>β”不是“sin α>sin β”的充要条件． 充分、必要、充要条件的判断 　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)． (1)p：数a能被6整除；q：数a能被3整除； (2)p：x>1，q：x2>1； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：|ab|＝ab，q：ab>0. [思路点拨]　依据条件和结论的推出关系逐一判断． 解：(1)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (2)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (3)∵p不能推出q，q⇒p， ∴p是q的必要不充分条件． (4)∵ab＝0时，|ab|＝ab， ∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”， 即p不能推出q. 而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p. ∴p是q的必要不充分条件． 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． [变式训练] 2．指出下列各题中p是q的什么条件(在‘充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”既不充分也不必要条件”中选一个作答)． (1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：x＝2或－2，q：分式的值为0； (3)p：a>b，q：a＋c>b＋c. 解：(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件． (2)x＝2或－2分式的值为0，但分式的值为0⇒x＝－2，故p是q的必要不充分条件； (3)a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故p是q的充要条件． 1．(x－3)(x＋1)＝0的充要条件是(　　) A．x＝3 B．x＝－1 C．x＝－1或x＝3 D．x＝－1且x＝3 解析：C　[两数相乘等于0是“或”不是“且”．] 2．ab>0的充要条件是(　　) A．a<0且b<0 B．a>0且b>0或a<0且b<0 C．a>0或b>0 D．a>0且b>0 解析：B　[两数相乘，同号为正．] 3．“x＝2”是“|x|＝2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要务件 解析：A　[x＝2能推出|x|＝2，而|x|＝2不能推出x＝2，还可能是x＝－2，所以是充分不必要条件．] 4．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的　________　条件． 解析：p：(2x－1)x＝0，q：x＝0，则p：x＝0或x＝，故p是q的必要不充分条件． 答案：必要不充分 [基础过关] 1.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[设a，b，c分别是△ABC的三条边．且a≤b≤c，则a2＋b2＝c2⇔△ABC为直角三角形．] 2．“四边形ABCD为梯形”是“四边形ABCD为正方形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：D　[梯形不能推出正方形；正方形也不能推出梯形，所以是既不充分也不必要条件．] 3．已知p：－2<x<2，q：－1<x<2，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[∵{x|－1<x<2}{x|－2<x<2}，∴p是q的必要不充分条件．] 4．“1<x<2”是“x≤2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x≤2}，则AB，∴“1<x<2”是“x≤2”的充分不必要条件．] 5．设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[当x>1且y>1时，x＋y>2，所以充分性成立；令x＝－1，y＝4，则x＋y>2，但x<1，所以必要性不成立，所以p是q的充分不必要条件．] 6．直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直的充要条件是　________　. 解析：由两直线垂直的充要条件得1×1＋1×(－a)＝0，得a＝1. 答案：a＝1 7．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像过原点的充要条件是　________　. 解析：函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像过原点，则有c＝0，反过来c＝0，函数图像一定过原点． 答案：c＝0 8．关于x的方程m2x2－(m＋1)x＋2＝0的实数根的和为2的充要条件是　________　. 解析：当m＝0时，原方程即x＝2，满足条件；当m≠0时，＝2，m＝1或m＝－，但Δ＝(m＋1)2－8m2≥0，m＝1及m＝－均使Δ<0，故m＝0. 答案：m＝0 9．求x2－5x－6≤0的充要条件． 解：x2－5x－6≤0⇔－1≤x≤6. 故“x2－5x－6≤0”的充要条件为“－1≤x≤6”． [能力提升] 10．“x＝3”是“x2＝9”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 解析：A　[x＝3时，x2＝9；但x＝－3时，仍有x2＝9，据此即可作出判断．] 11. 设a，b为正实数，则“a>b>1”是log2a>log2b>0的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 解析：A　[当a>b>1时，有log2a>log2b>0；反之也成立，选A.] 12．对于任意实数a，b，c给出下列命题： ①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件； ②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件； ③“a>b”是“a2>b2”的充分条件； ④“a<5”是“a<3”的必要条件； 其中真命题的个数是(　　) A．1　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 解析：B　[①③不正确，②④是真命题．] 13．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的　________　条件． 解析：设p：(2x－1)x＝0，q：x＝0，则p：x＝0或x＝，故p是q的必要不充分条件． 答案：必要不充分 14．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的　________　条件． 解析：因为a>0，b>0，所以a＋b>0.ab>0，充分性成立；因为ab>0.所以a与b同号， 又a＋b>0，所以a>0且b>0，必要性成立． 故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件． 答案：充要 15．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么： (1)s是q的什么条件？ (2)r是q的什么条件？ (3)p是q的什么条件？ 解：(1)∵q是r的必要条件，∴r⇒q. ∵s是r的充分条件，∴s⇒r， ∴s⇒r⇒q，又∵q是s的充分条件，∴q⇒s. ∴s是q的充要条件． (2)由r⇒q，q⇒s⇒r，知r是q的充要条件． (3)∵p是r的必要条件，∴r⇒p， ∴q⇒r⇒p.又pq， ∴p是q的必要不充分条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$1．2　充要条件 第1章 充要条件 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课时 素养提升 04 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 课程标准 素养解读 针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较，学生经历梳理知识，提炼定义，感悟思想的学习过程，提升逻辑推理素养与数学抽象素养. 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 姚明大家都认识．他说过很多很经典的话。其中有一句给我留下了很深刻的印象？他说：“努力不一定成功．但放弃一定失败”。话语中有两组关键词：“努力”和“成功”：“放弃”和“失败”．每组中的两个词之间有什么样的逻辑关系？ [知识点一]　充要条件　 一般地，若命题“如果p，那么q”是真命题，其逆命题“如果q，那么p”也是真命题，即p⇒q且p⇐q，则称p是q的充分且必要条件，简称　充要条件　，也称p与q等价，记为　p⇔q　. [知识点二]　四类条件　 1．一般地，如果p⇒q且　qeq \o(⇒,/)p　，则称p是q的充分不必要条件． 2．如果peq \o(⇒,/)q且　q⇒p　，则称p是q的必要不充分条件． 3．如果p⇒q且　q⇒p　，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)，记作p⇔q，此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”． 4．如果peq \o(⇒,/)q且qeq \o(⇒,/)p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．这种说法对吗？ 提示　正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确． 1．设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[x3>1，等价于x>1，即“x>1”是“x3>1”的充要条件．] 2．“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[“x2＋y2＝0”可化为“x＝0且y＝0”．] 3．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[若x＝1，则x2－2x＋1＝0；若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1.] 充要条件的判断 　判断下列命题中的条件是否为结论的充要条件． (1)如果x＝2，那么x2＝4； (2)如果a>b，那么2a>2b. [思路点拨]　判断原命题和逆命题的真假． 解：(1)“如果x＝2，那么x2＝4”是真命题，其逆命题“如果x2＝4，那么x＝2”是假命题，因此“x＝2”不是“x2＝4”的充要条件； (2)因为“如果a>b，那么2a>2b”是真命题，其逆命题“如果2a>2b，那么a>b”也是真命题，所以“a>b”是“2a>2b”的充要条件． 判断p与q的逻辑关系时，不但要通过原命题的真假判断p是不是q的充分条件，还要通过其逆命题的真假判断p是不是q的必要条件． [变式训练] 1．判断下列命题中的条件是否为结论的充要条件． (1)如果x2－3x＋2＝0，那么x＝1； (2)如果x是有理数，那么x是实数； (3)如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么直线与圆相切； (4)如果α>β，那么sin α>sin β. 解：(1)命题“如果x2－3x＋2＝0，那么x＝1”是假命题，其逆命题“如果x＝1，那么x2－3x＋2＝0”是真命题，所以“x2－3x＋2＝0”不是“x＝1”的充要条件． (2)命题“如果x是有理数，那么x是实数”是真命题，其逆命题“如果x是实数，那么x是有理数”是假命题，因此“x是有理数”不是“x是实数”的充要条件． (3)“如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么直线与圆相切”是真命题，其逆命题“如果直线与圆相切，那么圆心到直线的距离等于圆的半径”也是真命题，因此“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件． (4)“如果α>β，那么“sin α>sin β”是假命题，其逆命题“如果sin α>sin β，那么α>β”也是假命题，所以“α>β”不是“sin α>sin β”的充要条件． 充分、必要、充要条件的判断 　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)． (1)p：数a能被6整除；q：数a能被3整除； (2)p：x>1，q：x2>1； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：|ab|＝ab，q：ab>0. [思路点拨]　依据条件和结论的推出关系逐一判断． 解：(1)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (2)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (3)∵p不能推出q，q⇒p， ∴p是q的必要不充分条件． (4)∵ab＝0时，|ab|＝ab， ∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”， 即p不能推出q. 而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p. ∴p是q的必要不充分条件． 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． [变式训练] 2．指出下列各题中p是q的什么条件(在‘充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”既不充分也不必要条件”中选一个作答)． (1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：x＝2或－2，q：分式eq \f(x2－4,x－2)的值为0； (3)p：a>b，q：a＋c>b＋c. 解：(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0eq \o(⇒,/)x－3＝0，故p是q的充分不必要条件． (2)x＝2或－2eq \o(⇒,/)分式eq \f(x2－4,x－2)的值为0，但分式eq \f(x2－4,x－2)的值为0⇒x＝－2，故p是q的必要不充分条件； (3)a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故p是q的充要条件． 1．(x－3)(x＋1)＝0的充要条件是(　　) A．x＝3 B．x＝－1 C．x＝－1或x＝3 D．x＝－1且x＝3 解析：C　[两数相乘等于0是“或”不是“且”．] 2．ab>0的充要条件是(　　) A．a<0且b<0 B．a>0且b>0或a<0且b<0 C．a>0或b>0 D．a>0且b>0 解析：B　[两数相乘，同号为正．] 3．“x＝2”是“|x|＝2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要务件 解析：A　[x＝2能推出|x|＝2，而|x|＝2不能推出x＝2，还可能是x＝－2，所以是充分不必要条件．] 4．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的　________　条件． 解析：p：(2x－1)x＝0，q：x＝0，则p：x＝0或x＝eq \f(1,2)，故p是q的必要不充分条件． 答案：必要不充分 $$ [基础过关] 1.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[设a，b，c分别是△ABC的三条边．且a≤b≤c，则a2＋b2＝c2⇔△ABC为直角三角形．] 2．“四边形ABCD为梯形”是“四边形ABCD为正方形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：D　[梯形不能推出正方形；正方形也不能推出梯形，所以是既不充分也不必要条件．] 3．已知p：－2<x<2，q：－1<x<2，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[∵{x|－1<x<2}{x|－2<x<2}，∴p是q的必要不充分条件．] 4．“1<x<2”是“x≤2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x≤2}，则AB，∴“1<x<2”是“x≤2”的充分不必要条件．] 5．设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[当x>1且y>1时，x＋y>2，所以充分性成立；令x＝－1，y＝4，则x＋y>2，但x<1，所以必要性不成立，所以p是q的充分不必要条件．] 6．直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直的充要条件是　________　. 解析：由两直线垂直的充要条件得1×1＋1×(－a)＝0，得a＝1. 答案：a＝1 7．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像过原点的充要条件是　________　. 解析：函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像过原点，则有c＝0，反过来c＝0，函数图像一定过原点． 答案：c＝0 8．关于x的方程m2x2－(m＋1)x＋2＝0的实数根的和为2的充要条件是　________　. 解析：当m＝0时，原方程即x＝2，满足条件；当m≠0时，＝2，m＝1或m＝－，但Δ＝(m＋1)2－8m2≥0，m＝1及m＝－均使Δ<0，故m＝0. 答案：m＝0 9．求x2－5x－6≤0的充要条件． 解：x2－5x－6≤0⇔－1≤x≤6. 故“x2－5x－6≤0”的充要条件为“－1≤x≤6”． [能力提升] 10．“x＝3”是“x2＝9”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 解析：A　[x＝3时，x2＝9；但x＝－3时，仍有x2＝9，据此即可作出判断．] 11. 设a，b为正实数，则“a>b>1”是log2a>log2b>0的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 解析：A　[当a>b>1时，有log2a>log2b>0；反之也成立，选A.] 12．对于任意实数a，b，c给出下列命题： ①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件； ②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件； ③“a>b”是“a2>b2”的充分条件； ④“a<5”是“a<3”的必要条件； 其中真命题的个数是(　　) A．1　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 解析：B　[①③不正确，②④是真命题．] 13．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的　________　条件． 解析：设p：(2x－1)x＝0，q：x＝0，则p：x＝0或x＝，故p是q的必要不充分条件． 答案：必要不充分 14．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的　________　条件． 解析：因为a>0，b>0，所以a＋b>0.ab>0，充分性成立；因为ab>0.所以a与b同号， 又a＋b>0，所以a>0且b>0，必要性成立． 故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件． 答案：充要 15．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么： (1)s是q的什么条件？ (2)r是q的什么条件？ (3)p是q的什么条件？ 解：(1)∵q是r的必要条件，∴r⇒q. ∵s是r的充分条件，∴s⇒r， ∴s⇒r⇒q，又∵q是s的充分条件，∴q⇒s. ∴s是q的充要条件． (2)由r⇒q，q⇒s⇒r，知r是q的充要条件． (3)∵p是r的必要条件，∴r⇒p， ∴q⇒r⇒p.又pq， ∴p是q的必要不充分条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$