第1章 1.1 充分条件和必要条件（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册同步教案（高教版2021）

1．1　充分条件和必要条件 第1章 充要条件 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课时 素养提升 04 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 下一页 上一页 返回导航 第1章 充要条件 数学·拓展模块（GJ上） 课程标准 素养解读 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 通过对充分条件、必要条件、充要条件的学习和理解，体会充分条件、必要条件、充要条件在数学表达、论证等方面的作用，重点提升逻辑推理与数学抽象素养. 某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示． 问题　(1)A开关闭合时B灯一定亮吗？ (2)B灯亮时A开关一定闭合吗？ 提示　(1)一定亮． (2)不一定，还可能是C开关闭合． [知识点一]　命题　 1．定义：能够判断真假的陈述句叫作命题．判断为真的命题称为　真命题　，判断为假的命题称为　假命题　. 2．命题的条件和结论 对于“如果p，那么q”的命题，我们称p为命题的条件，简称　条件　；称q为命题的结论，简称　结论　. 3．逆命题 将命题“如果p，如么q”中的条件p和结论q互换，变成“如果q，那么p”，称这个命题为原命题的逆命题． [知识点二]　充分条件和必要条件　 1．充分条件 一般地，若命题“如果p，那么q”是真命题，即由p可以推出q，则称p是q的充分条件，记作　p⇒q　. 若命题“如果p，那么q”是假命题，即由p不能推出q，则称p不是q的充分条件，记作　p eq \o(⇒,/) q　. 2．必要条件 一般地，若命题“如果p，那么q”的逆命题“如果q，那么p”是真题，则称p是q的必要条件，记作p⇐q. 若命题“如果p，那么q”的逆命题“如果q，那么p”是假命题，则称p不是q的必要条件，记作　p eq \o(⇐,/) q　. 你能将性质定理“菱形的对角线互相垂直”写成“若p，则q”的形式，并用必要条件的语言表述吗？ 提示　“菱形的对角线互相垂直”可表述为“若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直”，所以“对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件． 1．“x＝2”是“x2－2x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[x＝2能推出x2－2x＝0，而x2－2x＝0不能推出x＝2，因为还可能x＝0，所以是充分不必要条件．] 2．“x＋4＝0”是“x2－16＝0”的(　　) A．既充分又必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[x＋4＝0⇒x2－16＝0，但由x2－16＝0不能推出x＋4＝0，所以是充分不必要条件．] 3．“△ABC是等腰三角形”是“△ABC是等腰直角三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[△ABC是等腰三角形不能推出△ABC是等腰直角三角形，而△ABC是等腰直角三角形能推出△ABC是等腰三角形，所以是必要不充分条件．] 充分条件的判断 　判断下列各题中，p是否是q的充分条件； (1)p：a∈Q，q：a∈R； (2)p：a<b，q：eq \f(a,b)<1； (3)p：x>1，q：x2>1； (4)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3； (5)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC. [思路点拨]　根据充分条件的定义判断． [解]　(1)由于QR，所以此命题是真命题，p⇒q，所以p是q的充分条件． (2)由于a<b，当b<0时，eq \f(a,b)>1；当b>0时，eq \f(a,b)<1，所以此命题是假命题，peq \o(⇒,/)q，所以p不是q的充分条件． (3)由x>1可以推出x2>1.因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)设A＝{a|(a－2)(a－3)＝0}，B＝{3}，则BA.所以此命题是假命题，peq \o(⇒,/)q，所以p不是q的充分条件． (5)由三角形中大角对大边可知，若∠A>∠B，则BC>AC.所以此命题是真命题，p⇒q，所以p是q的充分条件． 充分条件的判断方法 第一步：确定谁是条件，谁是结论； 第二步：尝试由条件推结论； 第三步：若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则条件就不是结论的充分条件． [变式训练] 1．判断下列各题中，p是否是q的充分条件： (1)p：x2＝y2，q：x＝y； (2)p：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，q：b2－4ac≥0； (3)p：整数a能被4整除；q：整数a的个位数字为偶数； (4)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 解： (1)若x2＝y2，则x＝y或x＝－y，因此peq \o(⇒,/)q，所以p不是q的充分条件． (2)若一元二次方程有实数根，则根的判别式大于等于0，即b2－4ac≥0，所以p⇒q，所以p是q的充分条件。 (3)若整数a能被4整除，则a是偶数， 所以a的个位数字为偶数， 所以p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． 必要条件的判断 　判断下列命题中的条件p是否为结论q的必要条件． (1)如果x＋y为偶数，那么x、y都是偶数； (2)如果α＝eq \f(π,6)，那么sin α＝eq \f(1,2)； (3)如果a＝b，那么|a|＝|b|. [思路点拨]　确定命题的条件和结论，分析命题的逆命题的真假． [解]　(1)因为“如果x＋y为偶数，那么x、y都是偶数”的逆命题“如果x、y都是偶数，那么x＋y为偶数”是真命题，所以“x＋y为偶数”是“x、y都是偶数”的必要条件． (2)因为“如果α＝eq \f(π,6)，那么sin α＝eq \f(1,2)”的逆命题“如果sin α＝eq \f(1,2)，那么α＝eq \f(π,6)”是假命题，所以“α＝eq \f(π,6)”不是“sin α＝eq \f(1,2)”的必要条件． (3)因为“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题，所以“a＝b”不是“|a|＝|b|”的必要条件． 必要条件的判断方法 第一步：确定谁是条件，谁是结论； 第二步：尝试由结论推条件，即看逆命题是否成立； 第三步：若结论能推出条件，则条件为结论的必要条件，否则条件就不是结论的必要条件． [变式训练] 2．判断下列各题中，q是否是p的必要条件： (1)p：|x|＝|y|，q：x＝y； (2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形； (3)p：x＝1，q：x－1＝eq \r(x－1)； (4)p：－2≤x≤5，q：－1≤x≤5； (5)p：a是自然数，q：a是正整数； (6)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形． 解：(1)若|x|＝|y|，则x＝y或x＝－y，因此peq \o(⇒,/)q，所以q不是p的必要条件． (2)直角三角形不一定是等腰三角形．因此peq \o(⇒,/)q，所以q不是p的必要条件． (3)当x＝1时，x－1＝eq \r(x－1)＝0， 所以p⇒q，所以q是p的必要条件． (4)设A＝[－2,5]，B＝[－1,5]，则BA， 所以peq \o(⇒,/)q，所以q不是p的必要条件． (5)0是自然数，但是0不是正整数，所以peq \o(⇒,/)q，所以q不是p的必要条件． (6)三角形是等边三角形能推出三角形是等腰三角形，所以q是p的必要条件． 1．下列是命题的是(　　) A．二次函数图像真好看！ B．get out(出去)! C．我是高中生 D．我是来学习的吗？ 解析：C　[根据命题的概念可知，A、B为感叹句，故不是命题；C是可以判断真假的陈述句，是命题；D为疑问句，故不是命题．] 2．“a>b”是“a>|b|”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既充分也必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[由a>|b|⇒a>b，而由a>b不能推出a>|b|.∴a>b”是“a>|b|”的必要条件但不是充分条件．] 3．“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[由x，y均为奇数，可以推出x＋y为偶数；但x＋y为偶数，如x＝2，y＝4，推不出x，y均为奇数，故“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的充分条件但不是必要条件．] 4．已知a，b都是实数，那么“|a|>|b|”是“eq \r(a)>eq \r(b)”的　________　条件(填“充分”或“必要”)． 解析：eq \r(a)>eq \r(b)可得a>b≥0可以推出|a|>|b|，但|a|>|b|不可以推出eq \r(a)>eq \r(b). 答案：必要 $$ [基础过关] 1．已知p：x2－x<0，那么命题p的一个充分条件是(　　) A．0<x<2　　　 B．－1<x<1 C.<x< D．<x<2 解析：C　[x2－x<0，得0<x<1，运用集合的知识易知，只有C中由<x<可以推出0<x<1，其余均不可．] 2．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既充分也必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[x≥2且y≥2可以推出x2＋y2≥4，但x＝1且y＝3满足x2＋y2≥4，但不满足x≥2且y≥2.] 3．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 解析：A　[当a＝1时，|a|＝1成立， 但|a|＝1时，a＝±1，∴a＝1不一定成立． ∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件，但不是必要条件．] 4．设x∈R，则“x>”是“2x2＋x－1>0”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[当x>时，2x2＋x－1>2×2＋－1>0；而当2x2＋x－1>0时，如x＝－3时，不满足x>.] 5．“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既不充分，也不必要条件 D．既充分，也必要条件 解析：C　[∵－2<x<1x>1或x<－1，且x>1或x<－1－2<x<1，∴“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的既不充分也不必要条件．] 6．“lg x>lg y”是“>”的　________　条件．(填“充分”或“必要”) 解析：由lg x>lg y⇒x>y>0⇒>.而>有可能出现x>0，y＝0的情况，故>lg x>lg y. 答案：充分 7．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的　________　条件(填“充分”或“必要”)． 解析：若“四边形ABCD为菱形”，则“对角线AC⊥BD”成立；而若“对角线AC⊥BD”成立，则“四边形ABCD不一定为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件． 答案：充分 8．对于实数x、y，满足p：x＋y≠3，q：x≠2且y≠1，则p是q的　________　条件． 解析：x＋y≠3，可以是x≠1.5，y≠1.5，而x≠2且y≠1，则x＋y≠3. 答案：必要不充分 9．分别判断下列各组中，p是否为q的充分条件或必要条件，并说明理由． (1)p：x2＝2x，q：x＝0； (2)p：θ＝π，q：tan θ＝0； (3)p：a是整数，q：a是自然数． 解：(1)由于q：x＝0⇒p：x2＝2x，p：x2＝2xq：x＝0，所以p是q的必要条件． (2)由于p：θ＝π⇒q：tan θ＝0，q：tan θ＝0p：θ＝π，所以p是q的充分条件． (3)由于p：a是整数q：a是自然数，q：a是自然数⇒p：a是整数， 所以p是q的必要条件． [能力提升] 10．设命题p：x>3，命题q：x>5，则条件p是结论q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[大于3不一定大于5，大于5一定大于3.] 11．设命题p：x>5，命题q：x>6，则条件p是结论q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[x>5不能推出x>6，而x>6能推出x>5，所以x>5是x>6的必要不充分条件．] 12．已知集合A＝(－1,3)，B＝(－1，m＋1)，若x∈B成立的一个充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是(　　) A．[2，＋∞)　　　　 B．(－∞，2) C．(2，＋∞) D．(－2,2) 解析：A　[因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A，所以A⊆B，所以3≤m＋1，即m≥2.] 13．设x∈R，则“0<x<5”是“|x－1|<1”的　________　条件(填“充分”或“必要”)；“|x－1|<1”是“0<x<5”的　________　条件(填“充分”或“必要”)． 解析：由|x－1|<1，解得0<x<2，因为(0,2)(0,5)，故“0<x<5”是“|x－1|<1”的必要条件，“|x－1|<1”是“0<x<5”的充分条件． 答案：必要　充分 14．下列不等式： ①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1. 其中，可以为x2<1的一个充分条件的所有序号为　________　. 解析：由于x2<1即－1<x<1，故①显然不能使－1<x<1一定成立，②③④满足题意． 答案：②③④ 15．下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：a＋b＝0；q：a2＋b2＝0； (2)p：四边形是正方形，q：四边形的四条边相等； (3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝. 解：(1)∵a＋b＝0a2＋b2＝0， a2＋b2＝0⇒a＋b＝0. ∴p是q的必要条件，但不是充分条件． (2)∵四边形是正方形⇒四边形的四条边相等，四边形的四条边相等四边形是正方形，∴p是q的充分条件，但不是必要条件． (3)∵x＝1或x＝2⇒x－1＝， x－1＝⇒x＝1或x＝2， ∴p是q的既充分又必要条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．1　充分条件和必要条件 课程标准 素养解读 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 通过对充分条件、必要条件、充要条件的学习和理解，体会充分条件、必要条件、充要条件在数学表达、论证等方面的作用，重点提升逻辑推理与数学抽象素养. 某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示． 问题　(1)A开关闭合时B灯一定亮吗？ (2)B灯亮时A开关一定闭合吗？ 提示　(1)一定亮． (2)不一定，还可能是C开关闭合． [知识点一]　命题　 1．定义：能够判断真假的陈述句叫作命题．判断为真的命题称为　真命题　，判断为假的命题称为　假命题　. 2．命题的条件和结论 对于“如果p，那么q”的命题，我们称p为命题的条件，简称　条件　；称q为命题的结论，简称　结论　. 3．逆命题 将命题“如果p，如么q”中的条件p和结论q互换，变成“如果q，那么p”，称这个命题为原命题的逆命题． [知识点二]　充分条件和必要条件　 1．充分条件 一般地，若命题“如果p，那么q”是真命题，即由p可以推出q，则称p是q的充分条件，记作　p⇒q　. 若命题“如果p，那么q”是假命题，即由p不能推出q，则称p不是q的充分条件，记作　pq　. 2．必要条件 一般地，若命题“如果p，那么q”的逆命题“如果q，那么p”是真题，则称p是q的必要条件，记作p⇐q. 若命题“如果p，那么q”的逆命题“如果q，那么p”是假命题，则称p不是q的必要条件，记作　pq　. 你能将性质定理“菱形的对角线互相垂直”写成“若p，则q”的形式，并用必要条件的语言表述吗？ 提示　“菱形的对角线互相垂直”可表述为“若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直”，所以“对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件． 1．“x＝2”是“x2－2x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[x＝2能推出x2－2x＝0，而x2－2x＝0不能推出x＝2，因为还可能x＝0，所以是充分不必要条件．] 2．“x＋4＝0”是“x2－16＝0”的(　　) A．既充分又必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[x＋4＝0⇒x2－16＝0，但由x2－16＝0不能推出x＋4＝0，所以是充分不必要条件．] 3．“△ABC是等腰三角形”是“△ABC是等腰直角三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[△ABC是等腰三角形不能推出△ABC是等腰直角三角形，而△ABC是等腰直角三角形能推出△ABC是等腰三角形，所以是必要不充分条件．] 充分条件的判断 　判断下列各题中，p是否是q的充分条件； (1)p：a∈Q，q：a∈R； (2)p：a<b，q：<1； (3)p：x>1，q：x2>1； (4)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3； (5)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC. [思路点拨]　根据充分条件的定义判断． [解]　(1)由于QR，所以此命题是真命题，p⇒q，所以p是q的充分条件． (2)由于a<b，当b<0时，>1；当b>0时，<1，所以此命题是假命题，pq，所以p不是q的充分条件． (3)由x>1可以推出x2>1.因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)设A＝{a|(a－2)(a－3)＝0}，B＝{3}，则BA.所以此命题是假命题，pq，所以p不是q的充分条件． (5)由三角形中大角对大边可知，若∠A>∠B，则BC>AC.所以此命题是真命题，p⇒q，所以p是q的充分条件． 充分条件的判断方法 第一步：确定谁是条件，谁是结论； 第二步：尝试由条件推结论； 第三步：若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则条件就不是结论的充分条件． [变式训练] 1．判断下列各题中，p是否是q的充分条件： (1)p：x2＝y2，q：x＝y； (2)p：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，q：b2－4ac≥0； (3)p：整数a能被4整除；q：整数a的个位数字为偶数； (4)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 解： (1)若x2＝y2，则x＝y或x＝－y，因此pq，所以p不是q的充分条件． (2)若一元二次方程有实数根，则根的判别式大于等于0，即b2－4ac≥0，所以p⇒q，所以p是q的充分条件。 (3)若整数a能被4整除，则a是偶数， 所以a的个位数字为偶数， 所以p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． 必要条件的判断 　判断下列命题中的条件p是否为结论q的必要条件． (1)如果x＋y为偶数，那么x、y都是偶数； (2)如果α＝，那么sin α＝； (3)如果a＝b，那么|a|＝|b|. [思路点拨]　确定命题的条件和结论，分析命题的逆命题的真假． [解]　(1)因为“如果x＋y为偶数，那么x、y都是偶数”的逆命题“如果x、y都是偶数，那么x＋y为偶数”是真命题，所以“x＋y为偶数”是“x、y都是偶数”的必要条件． (2)因为“如果α＝，那么sin α＝”的逆命题“如果sin α＝，那么α＝”是假命题，所以“α＝”不是“sin α＝”的必要条件． (3)因为“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题，所以“a＝b”不是“|a|＝|b|”的必要条件． 必要条件的判断方法 第一步：确定谁是条件，谁是结论； 第二步：尝试由结论推条件，即看逆命题是否成立； 第三步：若结论能推出条件，则条件为结论的必要条件，否则条件就不是结论的必要条件． [变式训练] 2．判断下列各题中，q是否是p的必要条件： (1)p：|x|＝|y|，q：x＝y； (2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形； (3)p：x＝1，q：x－1＝； (4)p：－2≤x≤5，q：－1≤x≤5； (5)p：a是自然数，q：a是正整数； (6)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形． 解：(1)若|x|＝|y|，则x＝y或x＝－y，因此pq，所以q不是p的必要条件． (2)直角三角形不一定是等腰三角形．因此pq，所以q不是p的必要条件． (3)当x＝1时，x－1＝＝0， 所以p⇒q，所以q是p的必要条件． (4)设A＝[－2,5]，B＝[－1,5]，则BA， 所以pq，所以q不是p的必要条件． (5)0是自然数，但是0不是正整数，所以pq，所以q不是p的必要条件． (6)三角形是等边三角形能推出三角形是等腰三角形，所以q是p的必要条件． 1．下列是命题的是(　　) A．二次函数图像真好看！ B．get out(出去)! C．我是高中生 D．我是来学习的吗？ 解析：C　[根据命题的概念可知，A、B为感叹句，故不是命题；C是可以判断真假的陈述句，是命题；D为疑问句，故不是命题．] 2．“a>b”是“a>|b|”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既充分也必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[由a>|b|⇒a>b，而由a>b不能推出a>|b|.∴a>b”是“a>|b|”的必要条件但不是充分条件．] 3．“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[由x，y均为奇数，可以推出x＋y为偶数；但x＋y为偶数，如x＝2，y＝4，推不出x，y均为奇数，故“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的充分条件但不是必要条件．] 4．已知a，b都是实数，那么“|a|>|b|”是“>”的　________　条件(填“充分”或“必要”)． 解析：>可得a>b≥0可以推出|a|>|b|，但|a|>|b|不可以推出>. 答案：必要 [基础过关] 1．已知p：x2－x<0，那么命题p的一个充分条件是(　　) A．0<x<2　　　 B．－1<x<1 C.<x< D．<x<2 解析：C　[x2－x<0，得0<x<1，运用集合的知识易知，只有C中由<x<可以推出0<x<1，其余均不可．] 2．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既充分也必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[x≥2且y≥2可以推出x2＋y2≥4，但x＝1且y＝3满足x2＋y2≥4，但不满足x≥2且y≥2.] 3．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 解析：A　[当a＝1时，|a|＝1成立， 但|a|＝1时，a＝±1，∴a＝1不一定成立． ∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件，但不是必要条件．] 4．设x∈R，则“x>”是“2x2＋x－1>0”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[当x>时，2x2＋x－1>2×2＋－1>0；而当2x2＋x－1>0时，如x＝－3时，不满足x>.] 5．“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既不充分，也不必要条件 D．既充分，也必要条件 解析：C　[∵－2<x<1x>1或x<－1，且x>1或x<－1－2<x<1，∴“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的既不充分也不必要条件．] 6．“lg x>lg y”是“>”的　________　条件．(填“充分”或“必要”) 解析：由lg x>lg y⇒x>y>0⇒>.而>有可能出现x>0，y＝0的情况，故>lg x>lg y. 答案：充分 7．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的　________　条件(填“充分”或“必要”)． 解析：若“四边形ABCD为菱形”，则“对角线AC⊥BD”成立；而若“对角线AC⊥BD”成立，则“四边形ABCD不一定为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件． 答案：充分 8．对于实数x、y，满足p：x＋y≠3，q：x≠2且y≠1，则p是q的　________　条件． 解析：x＋y≠3，可以是x≠1.5，y≠1.5，而x≠2且y≠1，则x＋y≠3. 答案：必要不充分 9．分别判断下列各组中，p是否为q的充分条件或必要条件，并说明理由． (1)p：x2＝2x，q：x＝0； (2)p：θ＝π，q：tan θ＝0； (3)p：a是整数，q：a是自然数． 解：(1)由于q：x＝0⇒p：x2＝2x，p：x2＝2xq：x＝0，所以p是q的必要条件． (2)由于p：θ＝π⇒q：tan θ＝0，q：tan θ＝0p：θ＝π，所以p是q的充分条件． (3)由于p：a是整数q：a是自然数，q：a是自然数⇒p：a是整数， 所以p是q的必要条件． [能力提升] 10．设命题p：x>3，命题q：x>5，则条件p是结论q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[大于3不一定大于5，大于5一定大于3.] 11．设命题p：x>5，命题q：x>6，则条件p是结论q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[x>5不能推出x>6，而x>6能推出x>5，所以x>5是x>6的必要不充分条件．] 12．已知集合A＝(－1,3)，B＝(－1，m＋1)，若x∈B成立的一个充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是(　　) A．[2，＋∞)　　　　 B．(－∞，2) C．(2，＋∞) D．(－2,2) 解析：A　[因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A，所以A⊆B，所以3≤m＋1，即m≥2.] 13．设x∈R，则“0<x<5”是“|x－1|<1”的　________　条件(填“充分”或“必要”)；“|x－1|<1”是“0<x<5”的　________　条件(填“充分”或“必要”)． 解析：由|x－1|<1，解得0<x<2，因为(0,2)(0,5)，故“0<x<5”是“|x－1|<1”的必要条件，“|x－1|<1”是“0<x<5”的充分条件． 答案：必要　充分 14．下列不等式： ①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1. 其中，可以为x2<1的一个充分条件的所有序号为　________　. 解析：由于x2<1即－1<x<1，故①显然不能使－1<x<1一定成立，②③④满足题意． 答案：②③④ 15．下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：a＋b＝0；q：a2＋b2＝0； (2)p：四边形是正方形，q：四边形的四条边相等； (3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝. 解：(1)∵a＋b＝0a2＋b2＝0， a2＋b2＝0⇒a＋b＝0. ∴p是q的必要条件，但不是充分条件． (2)∵四边形是正方形⇒四边形的四条边相等，四边形的四条边相等四边形是正方形，∴p是q的充分条件，但不是必要条件． (3)∵x＝1或x＝2⇒x－1＝， x－1＝⇒x＝1或x＝2， ∴p是q的既充分又必要条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$