2025年八年级数学秋季开学摸底考（北师大版2024）

2025年秋季八年级开学摸底考试模拟卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D A C C B D D D B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11． 12 13． 12 14． 15． 55 16． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（9分）（1）解： ；…………………………………… 3分 （2）解： ；……………………………………6 分 （3）解： ， 当时，原式．…………………………………… 9分 18．（6分）解：如图，即为所求作的三角形． ……………………………………6 分 19．（8分）（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴；…………………………………… 4分 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴．…………………………………… 8分 20．（8分）（1）．…………………………………… 2分 （2）：．……………………………………4 分 （3）解：由图象可得，邮局离琳琳家距离为，琳琳走的时间为：， ， 答：琳琳从邮局走回家的速度是．…………………………………… 8分 21．（8分）（1）解：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和， ；；； ，整理得；…………………………………… 4分 （2）解：∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，，如图1所示： ∴，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴，即的值为25．……………………………………8 分 22．（9分）（1）；…………………………………… 3分 （2）如图：在上找一点，使得，连接，……………………………………4 分 所以． 因为，， 所以，…………………………………… 6分 在和中， ， 所以， 所以，…………………………………… 8分 又因为， 所以．…………………………………… 9分 23．（12分）（1）证明：， ． ， ， ；…………………………………… 2分 （2）解：如图： 过点B作， ， ， ． ∵， ；……………………………………6 分 （3）解：过点作， 则， ， 由（2）知， 则， ．…………………………………… 8分 ①如图，当点在内部时，； …………………………………… 9分 ②如图，当点在外部时，． …………………………………… 11分 综上，的度数为或．…………………………………… 12分 24．（12分）解：问题初探：∵， ∴；；；……………………………………3 分 归纳猜想：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴；……………………………………5 分 初步应用：∵，，， ∴，……………………………………8 分 ∵， ∴ ．…………………………………… 12分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2025年秋季八年级开学摸底考试模拟卷 答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 3 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空 题（每小题3分，共18分） 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． ____________________ 16 ． ____________________ 三 、解答题（共72分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 17．（ 9 分） ) ( 18．（ 6 分） 19．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（8分） 21．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22． （ 9 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23． （ 12 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （ 1 2 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年秋季八年级开学摸底考试模拟卷（全国通用） 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：七年级下册+八年级上册第1章（北师大版）。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 2025年秋季八年级开学摸底考试模拟卷（全国通用） 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：七年级下册+八年级上册第1章（北师大版）。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，中边上的高是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 4．一个不透明的布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，3个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是（ ） A． B． C． D． 5．如图，一棵大树被风吹断后，树尖落在距树脚8米远，大树折断处离地面6米，则大树高（    ） A．6米 B．10米 C．16米 D．18米 6．如图，相交于点为的平分线，为垂足，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．今年假期，小星一家驾车前往西柏坡旅游，在行驶过程中，汽车离西柏坡景点的路程与所用时间之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．小星家离西柏坡景点的路程为 B．小星从家出发第1小时的平均速度为 C．小星从家出发2小时离景点的路程为 D．小星从家到西柏坡景点的时间共用了 8．如图，平分，在上取一点，过作，垂足为，点是射线上一动点，连接，若，则的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 9．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 10．如图，直线，点在直线上，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．计算：（﹣3）﹣1+（﹣4）0＝ ． 12．如图，已知在直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为，则以斜边为边长的正方形的面积是 ． 13．一个不透明口袋中装有8个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有 个黑球． 14．声音在空气中传播的速度y（单位：）与气温x（单位：）的关系如下表： 气温 0 5 10 15 20 声速 331 334 337 340 343 照此规律可以发现，当气温为 时，声速达到． 15．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在，处，若，则 ． 16．如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（9分）计算： (1) (2) (3) 先化简，再求值：，其中 18．（6分）如图，的三个顶点分别位于正方形网格线的交点上，我们把称为格点三角形，请你分别在图①，图②，图③的正方形网格中作一个格点三角形与成轴对称（所作图形不能重复），并画出对称轴． 19．（8分）如图，已知：，，． (1)求证： (2)若，求的长． 20．（8分）已知琳琳家、超市、邮局在同一直线上，琳琳从家出发，跑步去超市买了土特产品，又步行去邮局把物品寄出，然后走回家．琳琳离家的距离与时间之间的关系如图所示． 请根据图象解决下列问题： (1)琳琳家离超市的距离为______； (2)琳琳邮寄物品用了______； (3)求琳琳从邮局走回家的速度是多少？ 21．（8分）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题： (1)如图是著名的“赵爽弦图”， 由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理； (2)若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值． 22．（9分）【模型构建】 （1）如图①，在中，，点在线段的延长线上，连接，则在和中，边的对角和之间的数量关系为__________； 【模型应用】 （2）如图②，在和中，为锐角，，，，试说明：． 23．（12分）如图1，为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．求证：． (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 24．（12分）【定义理解】对于两个正数a，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；_____ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：_____ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，求图中阴影部分的面积． 试题 第3页（共10页） 试题 第4页（共10页） 试题 第1页（共10页） 试题 第2页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 2025年秋季八年级开学摸底考试模拟卷（全国通用） 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：七年级下册+八年级上册第 1 章（北师大版）。 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3分，共 30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合 题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（ ） A． 2 2 43 4a a a  B．  22 4 23 6a b a b  C．  2 21 1a a   D．  24 3 2 22 2a b c abc a b     3．如图， ADC△ 中DC边上的高是（ ） A．线段 AB B．线段 AD C．线段 AC D．线段 BC 4．一个不透明的布袋里装有 5个只有颜色不同的球，其中 2个红球，3个白球，从 布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是（ ） A． 12 B． 2 3 C． 2 5 D． 3 5 5．如图，一棵大树被风吹断后，树尖落在距树脚 8米远，大树折断处离地面 6米， 则大树高（ ） A．6米 B．10米 C．16米 D．18米 6．如图， ,AB CD相交于点 ,O OE为 DOB 的平分线， , ,FO DO GO EO O  为垂 足， 38AOC  ，则 FOG 的度数是（ ） A．160 B．161 C．162 D．151 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 7．今年假期，小星一家驾车前往西柏坡旅游，在行驶过程中，汽车离西柏坡 景点的路程  kmy 与所用时间  hx 之间的函数关系的图象如图所示，下列说 法正确的是（ ） A．小星家离西柏坡景点的路程为50km B．小星从家出发第 1小时的平均速度为 25km h C．小星从家出发 2小时离景点的路程为125km D．小星从家到西柏坡景点的时间共用了3h 8．如图，OC平分 AOB ，在OC上取一点 P，过 P作 PD OB ，垂足为D，点M 是射线OA上一动点， 连接 PM ，若 7 cmPD  ，则 PM 的长度不可能是（ ） A．9cm B．8 cm C．7 cm D．6 cm 9．如图，从边长为 a的大正方形中剪掉一个边长为 b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的 长方形，根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（ ） A． 2 2 2( ) 2a b a ab b    B．   2a a b a ab   C． 2 2 2( ) 2a b a ab b    D．    2 2a b a b a b    10．如图，直线 AB CD EF∥ ∥ ，点O在直线 EF 上，下列结论正确的是（ ） A． 90       B． 180       C． 90       D． 180       二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）请把答案直接填写在横线上 3 / 6 学科网（北京）股份有限公司 11．计算：（﹣3）﹣1+（﹣4）0＝ ． 12．如图，已知在直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为 2 21cm 9cm， ，则以斜边为边长的正方形的面积是 ． 13．一个不透明口袋中装有 8个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同， 在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法： 从口袋中随机摸出 1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在 0.6， 根据上述数据，可估计口袋中大约有 个黑球． 14．声音在空气中传播的速度 y（单位：m/s）与气温 x（单位： C ）的关系如下表： 气温 / Cx  0 5 10 15 20 声速 / (m/s)y 331 334 337 340 343 照此规律可以发现，当气温为 时，声速达到346m/s． 15．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在 1B ， 1C 处，若 1 70AEB  ，则 BEF  ． 16．如图，在 ABO 中， 22AOB  ， ABO 沿BO翻折到 A BO△ 的位置，然后将 A BO△ 沿OA翻折到 OA B △ 的位置，且 A B OA ∥ ，则 A   三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（9分）计算： (1)     2 0 2 13.14 3 2            (2)      3 22 3 22 3a b ab a b    (3) 先化简，再求值：       2 24 1 2 3 2 3 4 2x x x x x x       ，其中 2 .3x  4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 18．（6分）如图， ABCV 的三个顶点分别位于正方形网格线的交点上，我们把 ABCV 称为格点三角形，请 你分别在图①，图②，图③的正方形网格中作一个格点三角形与 ABCV 成轴对称（所作图形不能重复），并 画出对称轴． 19．（8分）如图，已知： D B   ， AD BC∥ ， AE CF ． (1)求证： ADF CBE△ ≌△ (2)若 20, 17AC CE  ，求 EF的长． 20．（8分）已知琳琳家、超市、邮局在同一直线上，琳琳从家出发，跑步去超市买了土特产品，又步行去 邮局把物品寄出，然后走回家．琳琳离家的距离  kmy 与时间  minx 之间的关系如图所示． 请根据图象解决下列问题： (1)琳琳家离超市的距离为______ km； (2)琳琳邮寄物品用了______min； (3)求琳琳从邮局走回家的速度是多少？ 21．（8分）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面 积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题： (1)如图是著名的“赵爽弦图”， 由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理 2 2 2c a b  ； (2)若大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，求  2a b 的值  a b ． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 22．（9分）【模型构建】 （1）如图①，在 ABCV 中， AB AC ，点 N在线段 BC的延长线上，连接 AN，则在 ABN 和 ACN△ 中， 边 AN的对角 ABN 和 ACN 之间的数量关系为__________； 【模型应用】 （2）如图②，在 ABCV 和 DEF 中， B 为锐角， C F  ， 180B E   ，AC DF ，试说明：AB DE ． 23．（12分）如图 1，M 为射线 BA上一点， ABC   ， AMN      ．根据以上条件解答下列问题： (1)若 120  ， 45  ， 75CBD  ．求证： BD MN∥ ． (2)如图 2，点 E在 BC上，过点 E作 PQ MN∥ ．求 BEQ 的度数．（用含 和 的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点 E作射线 EF BC ，若 105  ， 45  ，直接写出 FEP 的度数． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 24．（12分）【定义理解】对于两个正数 a，  1b a  ，定义一种新的运算，记作  ,a b ，即：如果 ca b ， 那么  ,a b c  例如：  33 27 3,27 3   ， 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：  2,4 _____；  2,16  _____；  2,64 _____ 【归纳猜想】 先观察  2,4 ，  2,16 与的结果之间的关系．再观察的三个数 4，16，64之间的关系．试着归纳：    , ,a m a n   _____ 【初步应用】 如图，大正方形 ABCD的边长为 m，小正方形CGFE的边长为 n，若      , , ,a m a n a p    ，  2, 4m n   ，  2, 5p  求图中阴影部分的面积． 试题 第 1页（共 10页） 试题 第 2页（共 10页） 学科网（北京）股份有限公司 … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 ： __ __ __ __ __ __ _班 级 ： __ __ __ __ __ __ __ _考 号 ： __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 2025 年秋季八年级开学摸底考试模拟卷（全国通用） 数 学 （考试时间：90 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：七年级下册+八年级上册第 1 章（北师大版）。 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 2025 年秋季八年级开学摸底考试模拟卷（全国通用） 数 学 （考试时间：90 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：七年级下册+八年级上册第 1 章（北师大版）。 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（ ） A． 2 2 43 4a a a  B．  22 4 23 6a b a b  C．  2 21 1a a   D．  24 3 2 22 2a b c abc a b     3．如图， ADC△ 中DC边上的高是（ ） A．线段 AB B．线段 AD C．线段 AC D．线段 BC 4．一个不透明的布袋里装有 5 个只有颜色不同的球，其中 2 个红球，3 个白球， 从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是（ ） A． 12 B． 2 3 C． 2 5 D． 3 5 5．如图，一棵大树被风吹断后，树尖落在距树脚 8 米远，大树折断处离地面 6 米， 则大树高（ ） A．6 米 B．10 米 C．16 米 D．18 米 6．如图， ,AB CD相交于点 ,O OE为 DOB 的平分线， , ,FO DO GO EO O  为垂 足， 38AOC  ，则 FOG 的度数是（ ） A．160 B．161 C．162 D．151 7．今年假期，小星一家驾车前往西柏坡旅游，在行驶过程中，汽车离西柏坡 景点的路程  kmy 与所用时间  hx 之间的函数关系的图象如图所示，下列说 法正确的是（ ） A．小星家离西柏坡景点的路程为50km B．小星从家出发第 1 小时的平均速度为 25km h C．小星从家出发 2 小时离景点的路程为125km D．小星从家到西柏坡景点的时间共用了3h 8．如图，OC平分 AOB ，在OC上取一点 P，过 P作PD OB ，垂足为D，点M 是射线OA上一动点， 连接 PM ，若 7 cmPD  ，则 PM 的长度不可能是（ ） A．9cm B．8 cm C．7 cm D． 6 cm 试题 第 3页（共 10页） 试题 第 4页（共 10页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 9．如图，从边长为 a的大正方形中剪掉一个边长为 b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的 长方形，根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（ ） A． 2 2 2( ) 2a b a ab b    B．   2a a b a ab   C． 2 2 2( ) 2a b a ab b    D．    2 2a b a b a b    10．如图，直线 AB CD EF∥ ∥ ，点O在直线 EF上，下列结论正确的是（ ） A． 90       B． 180       C． 90       D． 180       二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3分，共 18 分）请把答案直接填写在横线上 11．计算：（﹣3）﹣1+（﹣4）0＝ ． 12．如图，已知在直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为 2 21cm 9cm， ，则以斜边为边长的正方形的面积是 ． 13．一个不透明口袋中装有 8 个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同， 在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法： 从口袋中随机摸出 1 个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在 0.6， 根据上述数据，可估计口袋中大约有 个黑球． 14．声音在空气中传播的速度 y（单位：m/s）与气温 x（单位： C ）的关系如下表： 气温 / Cx  0 5 10 15 20 声速 / (m/s)y 331 334 337 340 343 照此规律可以发现，当气温为 时，声速达到346m/s． 15．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在 1B ， 1C 处，若 1 70AEB  ，则 BEF  ． 16．如图，在 ABO 中， 22AOB  ， ABO 沿 BO翻折到 A BO△ 的位置， 然后将 A BO△ 沿OA翻折到 OA B △ 的位置，且 A B OA ∥ ，则 A   三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（9 分）计算： (1)     2 0 2 13.14 3 2            (2)      3 22 3 22 3a b ab a b    (3) 先化简，再求值：       2 24 1 2 3 2 3 4 2x x x x x x       ，其中 2 .3x  18．（6 分）如图， ABCV 的三个顶点分别位于正方形网格线的交点上，我们把 ABCV 称为格点三角形，请 你分别在图①，图②，图③的正方形网格中作一个格点三角形与 ABCV 成轴对称（所作图形不能重复）， 并画出对称轴． 19．（8 分）如图，已知： D B   ， AD BC∥ ， AE CF ． (1)求证： ADF CBE△ ≌△ (2)若 20, 17AC CE  ，求 EF的长． 试题 第 5页（共 10页） 试题 第 6页（共 10页） 学科网（北京）股份有限公司 … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 ： __ __ __ __ __ __ _班 级 ： __ __ __ __ __ __ __ _考 号 ： __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 20．（8 分）已知琳琳家、超市、邮局在同一直线上，琳琳从家出发，跑步去超市买了土特产品，又步行去 邮局把物品寄出，然后走回家．琳琳离家的距离  kmy 与时间  minx 之间的关系如图所示． 请根据图象解决下列问题： (1)琳琳家离超市的距离为______ km； (2)琳琳邮寄物品用了______min； (3)求琳琳从邮局走回家的速度是多少？ 21．（8 分）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面 积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题： (1)如图是著名的“赵爽弦图”， 由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理 2 2 2c a b  ； (2)若大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，求  2a b 的值  a b ． 22．（9 分）【模型构建】 （1）如图①，在 ABCV 中， AB AC ，点 N在线段BC的延长线上，连接 AN，则在 ABN 和 ACN△ 中， 边 AN的对角 ABN 和 ACN 之间的数量关系为__________； 【模型应用】 （2）如图②，在 ABCV 和 DEF 中， B 为锐角， C F  ， 180B E   ，AC DF ，试说明：AB DE ． 23．（12 分）如图 1，M 为射线 BA上一点， ABC   ， AMN      ．根据以上条件解答下列问 题： (1)若 120  ， 45  ， 75CBD  ．求证： BD MN∥ ． (2)如图 2，点 E在 BC上，过点 E作 PQ MN∥ ．求 BEQ 的度数．（用含 和  的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点 E作射线EF BC ，若 105  ， 45  ，直接写出 FEP 的度数． 24．（12 分）【定义理解】对于两个正数 a，  1b a  ，定义一种新的运算，记作  ,a b ，即：如果 ca b ， 那么  ,a b c  例如：  33 27 3,27 3   ， 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：  2,4 _____；  2,16  _____；  2,64 _____ 【归纳猜想】 先观察  2,4 ，  2,16 与的结果之间的关系．再观察的三个数 4，16，64 之间的关系．试着归纳：    , ,a m a n   _____ 【初步应用】 如图，大正方形 ABCD的边长为m，小正方形CGFE的边长为 n，若      , , ,a m a n a p    ，  2, 4m n   ，  2, 5p  求图中阴影部分的面积． 2025年秋季八年级开学摸底考试模拟卷（全国通用） 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：七年级下册+八年级上册第1章（北师大版）。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，中边上的高是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 4．一个不透明的布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，3个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是（ ） A． B． C． D． 5．如图，一棵大树被风吹断后，树尖落在距树脚8米远，大树折断处离地面6米，则大树高（    ） A．6米 B．10米 C．16米 D．18米 6．如图，相交于点为的平分线，为垂足，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．今年假期，小星一家驾车前往西柏坡旅游，在行驶过程中，汽车离西柏坡景点的路程与所用时间之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．小星家离西柏坡景点的路程为 B．小星从家出发第1小时的平均速度为 C．小星从家出发2小时离景点的路程为 D．小星从家到西柏坡景点的时间共用了 8．如图，平分，在上取一点，过作，垂足为，点是射线上一动点，连接，若，则的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 9．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 10．如图，直线，点在直线上，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．计算：（﹣3）﹣1+（﹣4）0＝ ． 12．如图，已知在直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为，则以斜边为边长的正方形的面积是 ． 13．一个不透明口袋中装有8个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有 个黑球． 14．声音在空气中传播的速度y（单位：）与气温x（单位：）的关系如下表： 气温 0 5 10 15 20 声速 331 334 337 340 343 照此规律可以发现，当气温为 时，声速达到． 15．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在，处，若，则 ． 16．如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（9分）计算： (1) (2) (3) 先化简，再求值：，其中 18．（6分）如图，的三个顶点分别位于正方形网格线的交点上，我们把称为格点三角形，请你分别在图①，图②，图③的正方形网格中作一个格点三角形与成轴对称（所作图形不能重复），并画出对称轴． 19．（8分）如图，已知：，，． (1)求证： (2)若，求的长． 20．（8分）已知琳琳家、超市、邮局在同一直线上，琳琳从家出发，跑步去超市买了土特产品，又步行去邮局把物品寄出，然后走回家．琳琳离家的距离与时间之间的关系如图所示． 请根据图象解决下列问题： (1)琳琳家离超市的距离为______； (2)琳琳邮寄物品用了______； (3)求琳琳从邮局走回家的速度是多少？ 21．（8分）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题： (1)如图是著名的“赵爽弦图”， 由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理； (2)若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值． 22．（9分）【模型构建】 （1）如图①，在中，，点在线段的延长线上，连接，则在和中，边的对角和之间的数量关系为__________； 【模型应用】 （2）如图②，在和中，为锐角，，，，试说明：． 23．（12分）如图1，为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．求证：． (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 24．（12分）【定义理解】对于两个正数a，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；_____ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：_____ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，求图中阴影部分的面积． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季八年级开学摸底考试模拟卷（全国通用） 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：七年级下册+八年级上册第1章（北师大版）。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．据此即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，单项式除以单项式法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，单项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3．如图，中边上的高是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】根据三角形高线的定义（从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线,顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线）进行判断． 【详解】解：中边上的高是线段． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的高，正确理解三角形的高线的定义是解决问题关键． 4．一个不透明的布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，3个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用红球的个数除以球的总数即为摸出红球的概率． 【详解】解：∵2个红球、3个白球，一共是5个， ∴从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是． 故选：C． 【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝． 5．如图，一棵大树被风吹断后，树尖落在距树脚8米远，大树折断处离地面6米，则大树高（    ） A．6米 B．10米 C．16米 D．18米 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求得长即可． 【详解】解： 如图，根据题意，得米，米，， 则， ∴米， ∴大树高（米）， 故选：C． 6．如图，相交于点为的平分线，为垂足，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及对顶角相等、角平分线定义、垂直定义等知识，结合对顶角相等、角平分线定义及垂直定义，数形结合，表示出所求角度即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 为的平分线， ， ， ， 故选：B． 7．今年假期，小星一家驾车前往西柏坡旅游，在行驶过程中，汽车离西柏坡景点的路程与所用时间之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．小星家离西柏坡景点的路程为 B．小星从家出发第1小时的平均速度为 C．小星从家出发2小时离景点的路程为 D．小星从家到西柏坡景点的时间共用了 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，根据图象和题意逐项分析即可． 【详解】由题意得， 小星家离西柏坡景点的路程为，A选项错误； 小星从家出发第1小时的平均速度为，B选项错误； 小星从家出发2小时离景点的路程为，C选项错误； ，小星从家到西柏坡景点的时间共用了，D选项正确； 故选：D． 8．如图，平分，在上取一点，过作，垂足为，点是射线上一动点，连接，若，则的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质、垂线段最短，根据角平分线的性质作出图形转化线段是解决问题的关键．过点作，如图所示，由角平分线的性质可得，根据点与直线上各点的距离中垂线段最短可得，从而得到答案． 【详解】解：过点作，如图所示： 平分，点是射线上一点，于点，， 由角平分线性质可得， 点是射线上一动点， 由点与直线上各点的距离中垂线段最短可得， 综合四个选项可知，的长度不可能是， 故选：D． 9．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义．由大正方形的面积小正方形的面积矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：大正方形的面积小正方形的面积， 矩形的面积， 故． 故选：D． 10．如图，直线，点在直线上，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，，进而利用角的关系解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，故B正确． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．计算：（﹣3）﹣1+（﹣4）0＝ ． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂和零次幂求解即可 【详解】解：原式＝+1＝， 故答案为： 【点睛】本题考查了负整数指数幂和零次幂，正确的计算是解题的关键． 12．如图，已知在直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为，则以斜边为边长的正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，考查了正方形面积的计算，本题中直角是解题的关键．根据正方形面积得出，，根据勾股定理得出即可得出答案． 【详解】解：由题意知，，，且， ∴． ∴以斜边为边长的正方形的面积是． 故答案为：． 13．一个不透明口袋中装有8个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有 个黑球． 【答案】12 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据摸到黑球的频率稳定在0.6，得到摸到黑球的概率为0.6，设黑球有个，根据黑球的数量等于总量乘以概率，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵摸到黑球的频率稳定在0.6， ∴摸到黑球的概率为0.6， 设黑球有个，则：， 解得：； 故答案为：12． 14．声音在空气中传播的速度y（单位：）与气温x（单位：）的关系如下表： 气温 0 5 10 15 20 声速 331 334 337 340 343 照此规律可以发现，当气温为 时，声速达到． 【答案】 【分析】本题考查了利用表格表示变量之间的关系．观察图表数据，气温每升高，声速增加，然后结合当气温为，音速增加，从而可得答案． 【详解】解：∵气温每升高，音速增加， 当气温为，音速增加， ∴当声音在空气中的传播速度为，气温是， 故答案为：． 15．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在，处，若，则 ．    【答案】55 【分析】本题考查了角的计算以及翻折变换，注意翻折前后不变的边和角，是解此题的关键．根据折叠的性质可得出，再根据，即可得出的度数． 【详解】解：∵把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在，处， ∴， ∵，， ∴ ， 故答案为：55． 16．如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则 【答案】 【分析】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质．先根据翻折性质得出，再得到角的等量关系，求解． 【详解】解：沿翻折到的位置， ． 将沿翻折到的位置， ， ． ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（9分）．计算： (1) (2) (3)先化简，再求值：，其中 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂，积的乘方和单项式的乘除法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减法即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算单项式除以单项式即可得到答案； （3）先根据乘法公式和多项式除以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 当时，原式． 18．（6分）如图，的三个顶点分别位于正方形网格线的交点上，我们把称为格点三角形，请你分别在图①，图②，图③的正方形网格中作一个格点三角形与成轴对称（所作图形不能重复），并画出对称轴． 【答案】见解析（画出三个即可） 【分析】本题主要考查的是画轴对称图形，属于基础题型．首先画出对称轴，然后根据轴对称图形的性质画出图形即可． 【详解】解：如图，即为所求作的三角形． 19．（8分）如图，已知：，，． (1)求证： (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先由平行线的性质得到，再证明，据此可利用证明； （2）由全等三角形的性质可得，再求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 20．（8分）已知琳琳家、超市、邮局在同一直线上，琳琳从家出发，跑步去超市买了土特产品，又步行去邮局把物品寄出，然后走回家．琳琳离家的距离与时间之间的关系如图所示． 请根据图象解决下列问题： (1)琳琳家离超市的距离为______； (2)琳琳邮寄物品用了______； (3)求琳琳从邮局走回家的速度是多少？ 【答案】(1)2.5 (2)10 (3) 【分析】本题考查用图象表示变量间的关系，从图象中准确获取信息是解答的关键． （1）直接从图象中获取答案即可； （2）直接从图象中获取答案即可； （3）直接从图象结合路程、时间、速度关系计算可得答案． 【详解】（1）解：由所给图象可知，超市离琳琳家． 故答案为：． （2）解：由题意，， 琳琳在邮局停留了，即琳琳邮寄物品用了． 故答案为：． （3）解：由图象可得，邮局离琳琳家距离为，琳琳走的时间为：，， 答：琳琳从邮局走回家的速度是． 21．（8分）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题： (1)如图是著名的“赵爽弦图”， 由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理； (2)若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为25． 【分析】（1）大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证； （2）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和， ；；； ，整理得； （2）解：∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，，如图1所示： ∴，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴，即的值为25． 【点睛】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键． 22．（9分）【模型构建】 （1）如图①，在中，，点在线段的延长线上，连接，则在和中，边的对角和之间的数量关系为__________； 【模型应用】 （2）如图②，在和中，为锐角，，，，试说明：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等角的补角相等，熟练掌握等腰三角形的性质，添加合适的辅助线是解答的关键． （1）根据等腰三角形的性质和平角定义求解即可； （2）在上找一点，使得，连接，则根据等腰三角形的性质得到，根据等角的补角相等证得，然后证明得到，进而可证得结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴； （2）如图：在上找一点，使得，连接， 所以． 因为，， 所以， 在和中， ， 所以， 所以， 又因为， 所以． 23．（12分）如图1，为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．求证：． (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查平行线的判定以及性质，几何图中角度的计算问题． （1）根据角的和差关系得出，再根据同位角相等两直线平行即可证明． （2）如图，根据角的和差关系得出，根据平行线的性质得出，代入计算即可． （3）过点作，则，，由平行线的性质得出，由垂直的定义得出，然后分两种情况根据角度的和差关系计算即可． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：如图： 过点B作， ， ， ． ∵， ； （3）解：过点作， 则， ， 由（2）知， 则， ． ①如图，当点在内部时，； ②如图，当点在外部时，． 综上，的度数为或． 24．（12分）【定义理解】对于两个正数a，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；_____ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：_____ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】问题初探：2；4；6；归纳猜想：；初步应用：96 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，新定义，完全平方公在几何图形中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）根据（1）的运算结果，归纳得； （3）根据（2）所求可得，再根据列式求解即可． 【详解】解：问题初探：∵， ∴；；； 归纳猜想：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴； 初步应用：∵，，， ∴， ∵， ∴ ． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$