专题33 空间平面、直线的位置关系（讲义） - 河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第33个专题空间平面、直线的位置关系。本专题涵盖平面的基本性质、空间直线之间的位置关系、异面直线所成角、平行公理及等角定理等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题33 空间平面、直线的位置关系（讲义） 1. 平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 2.空间点、直线之间的位置关系 直线与直线 平行 关系 图形语言 符号语言 a∥b 相交 关系 图形语言 符号语言 a∩b＝A 独有 关系 图形语言 符号语言 a，b是异面直线 3．空间两条直线的位置关系 (1)相交直线——同一平面内，有且只有一个公共点． (2)平行直线——同一平面内，没有公共点． (3)异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点． 4.异面直线所成角、平行公理及等角定理 (1)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角． ②范围：. (2)平行公理 平行于同一条直线的两条直线平行. (3)等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 1．（2023年河北对口）已知矩形ABCD与正方形CDEF成直二面角，，G为DC的中点，则CE与AG所成角为_______. 2．（2022年河北对口）下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 若直线a垂直于平面α，则a垂直于α内任何一条直线 C. 若平面α内有三个点到平面β的距离相等，则α∥β D. 若两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线 3. （2020年河北对口高考）在长方体中，底面边长，，高，则对角线与棱所成角的正切值为______． 4. （2019年河北对口高考）在正方体中，棱与所成的角为（ ） A. B. C. D. 5．(2019年河北对口) 在正方体中，与为异面直线的棱共有__________条. 6．（2022的吉林）下列说法中正确的是（    ） A．不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线 B．空间内任意三个点可以确定一个平面 C．过平面外一点可以做无数条直线与这个平面垂直 D．平行于同一平面的两条直线一定平行 7．（2025年四川）如图所示，在正方体中，E为的中点，F为的中点． 给出下列四个命题： ①直线与直线异面； ②直线与直线相交； ③直线与直线垂直； ④直线与平面平行． 其中所有真命题的编号是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 8．（2020年内蒙古）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么下列结论不正确的是（    ）    A． B．与异面 C．与异面 D．与所成的角为 9．（2023年安徽）如图，在正方体中，下列直线中与BD所成角为60°的是（    ） A． B． C． D． 知识点1 平面基本性质、直线与直线位置关系 1．下列命题正确的是（   ） A．可以无限延展的面是平面 B．有一组平行线的面一定是平面 C．两条直线确定一个平面 D．有一组对边平行的四边形一定是平面图形 2．一条直线和直线外的三点所能确定的平面个数是（    ） A．1或3 B．1或4 C．1，3或4 D．1，2或4 3．有下列四个命题： ①如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面； ③若，，，则； ④空间中相交于同一点的三条直线在同一平面内． 其中，正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若直线上有两个点都在平面内，则与的位置关系为（   ） A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．无法确定 5．如果三条直线相交于一点，那么这三条直线确定的平面个数为  （    ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 6．设是长方体的一条棱，则长方体中与平行的棱有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 7．下列结论中正确的是（    ） ①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交； ④空间中有四条直线a，b，c，d，如果，且，那么． A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 8．，，，分别是空间四边形四条边的中点，则与的位置关系是（   ） A．不相交 B．平行 C．相交 D．重合 9．已知空间三条直线，，，若与异面，且与异面，则（    ） A．与异面 B．与相交 C．与平行 D．与异面、相交、平行均有可能 10．是空间三条直线，与c相交，则b与c位置关系是（   ） A．相交 B．共面 C．异面或相交 D．相交、平行、异面都有可能 知识点2 异面直线所成的角 1．在正方体中，异面直线与所成的角的大小为（   ） A． B． C． D． 2．在正方体中，与所成的角为（   ） A． B． C． D． 3．在下列的正方体中，M，N分别是棱和的中点，则异面直线和所成的角为（    ）    A． B． C． D． 4．正方体的棱长为2，下列结论正确的是（   ） A．异面直线与所成角为 B．与平面所成角为 C．与的夹角是 D．与平面所成的角为 5．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，G是的中点，设P是上的一点，且，则与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 6．已知在正四面体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．正方体中，P、Q分别为棱、的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在长方体的棱中，与棱AB垂直的棱有（ ） A．2条 B．4条 C．6条 D．8条 9．如图，在长方体中，E为的中点，，则异面直线和所成的角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 10．如图，若正四棱柱底面边长为2，高为4，则异面直线与所成角的正弦值是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第33个专题空间平面、直线的位置关系。本专题涵盖平面的基本性质、空间直线之间的位置关系、异面直线所成角、平行公理及等角定理等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题33 空间平面、直线的位置关系（讲义） 1. 平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 2.空间点、直线之间的位置关系 直线与直线 平行 关系 图形语言 符号语言 a∥b 相交 关系 图形语言 符号语言 a∩b＝A 独有 关系 图形语言 符号语言 a，b是异面直线 3．空间两条直线的位置关系 (1)相交直线——同一平面内，有且只有一个公共点． (2)平行直线——同一平面内，没有公共点． (3)异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点． 4.异面直线所成角、平行公理及等角定理 (1)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角． ②范围：. (2)平行公理 平行于同一条直线的两条直线平行. (3)等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 1．（2023年河北对口）已知矩形ABCD与正方形CDEF成直二面角，，G为DC的中点，则CE与AG所成角为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先由平行直线找到异面直线所成的角，再由边的关系求解即可. 【详解】取AB中点记H，连接CH，DH，EH， 因为G，H分别为CD，AB中点， 因为为矩形，所以，， 所以为平行四边形，所以， 所以直线CE与AG所成角， 因为ABCD是矩形，为正方形，， 所以，， 因为矩形ABCD与正方形CDEF成直二面角， 所以可知面ABCD，面ABCD， 所以， 所以为直角，即， 因为在三角形EHC中有，， 所以三角形EHC为直角三角形， 所以在直角三角形EHC中有，， 所以， 所以直线CE与AG所成角为. 故答案为：. 2．（2022年河北对口）下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 若直线a垂直于平面α，则a垂直于α内任何一条直线 C. 若平面α内有三个点到平面β的距离相等，则α∥β D. 若两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线 【答案】B 【解析】 【分析】根据点、线、面特殊关系的性质定理解答. 【详解】A、不共线的三点确定一个平面，故A错误； B、根据线面垂直的性质定理：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线，则B说法正确； C、若一个平面内不共线的三个点到另一平面的距离相等，则两平面平行，故C说法错误； D、若两条直线a，b没有公共点，两直线可能是异面直线，也可能是平行线，故D说法错误. 故选:B. 3. （2020年河北对口高考）在长方体中，底面边长，，高，则对角线与棱所成角的正切值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先由线线平行，将异面直线转化为相交直线，再由边的关系求解正切值即可. 【详解】连接， 因为在长方体中，， 所以为对角线与棱所成的角， 又因为在长方体中，面， 因为面，所以， 因为，，所以， 所以在直角三角形中，. 故答案为：. 4. （2019年河北对口高考）在正方体中，棱与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定异面直线所成的角，再利用正方体的特点即可得得解. 【详解】 如图所示，连接，. 因为，所以为与所成的角. 又因为在正方体中，. 所以为等边三角形. 所以. 故选：. 5．(2019年河北对口) 在正方体中，与为异面直线的棱共有__________条. 【答案】4 【解析】 【分析】根据异面直线的定义可判断. 【详解】 如图，与为异面直线的棱有：，共4条. 故答案为：4. 6．（2022的吉林）下列说法中正确的是（    ） A．不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线 B．空间内任意三个点可以确定一个平面 C．过平面外一点可以做无数条直线与这个平面垂直 D．平行于同一平面的两条直线一定平行 【答案】A 【分析】根据平面的基本性质、异面直线、线面垂直的性质、线面平行的性质判断即可. 【详解】A选项，不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线，故正确. B选项，在空间内任意三点在同一条直线上时，则不能确定一个平面，故错误. C选项，过平面外一点只有一条直线与这个平面垂直，故错误. D选项，平行于同一平面的两条直线可以为平行于该平面的另一个平面的两条相交直线 或异面直线，不一定平行.故错误. 故选：A. 7．（2025年四川）如图所示，在正方体中，E为的中点，F为的中点． 给出下列四个命题： ①直线与直线异面； ②直线与直线相交； ③直线与直线垂直； ④直线与平面平行． 其中所有真命题的编号是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】D 【分析】根据异面直线的判断方法，线面垂直性质，面面平行性质逐项判断即可. 【详解】如图，连接， 因为E为的中点，F为的中点，所以， 且正方体中，， 所以，可以构成一个平面， 所以直线与直线共面，①是假命题； 因为平面，平面， 且平面平面， 所以直线与直线异面，②是假命题； 因为正方体中，平面，且平面， 所以，③是真命题； 因为正方体中平面平面，且平面， 所以平面，④是真命题. 故选：D. 8．（2020年内蒙古）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么下列结论不正确的是（    ）    A． B．与异面 C．与异面 D．与所成的角为 【答案】C 【分析】根据空间中直线与直线的位置关系即可求解. 【详解】    如图所示，将展开图还原成正方体. 选项A，由于此几何体为正方体，所以，∴四边形是平行四边形，∴，故正确. 选项B，与不同在任意一个平面内，所以它们是异面直线，故正确. 选项C，与两直线相交，∴与可唯一的确定一个平面，所以它们是共面直线，故错误. 选项D，根据选项A的证明，四边形是平行四边形，∴，连接，则为等边三角形，即与所成的角为，故正确. 故选：C. 9．（2023年安徽）如图，在正方体中，下列直线中与BD所成角为60°的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体的性质，分析异面直线的角度. 【详解】选项A中，，与所成的角等于，故错误. 选项B中， ，与所成的角大小等于与所成的角，，故错误. 选项C中，，与所成的角等于，故错误. 选项D中，，与所成的角等于，为等边三角形，故 ，故正确. 故选：D. 知识点1 平面基本性质、直线与直线位置关系 1．下列命题正确的是（   ） A．可以无限延展的面是平面 B．有一组平行线的面一定是平面 C．两条直线确定一个平面 D．有一组对边平行的四边形一定是平面图形 【答案】D 【分析】根据平面的概念判断选项即可. 【详解】A：可以无限延展的面不一定是平面，曲面也可以无限延展，故A错误. B：有一组平行线的面不一定是平面，如圆柱的侧面有一组平行线，但圆柱的侧面是曲面，故B错误. C：两条相交直线或平行直线可以确定一个平面，两条异面直线不确定一个平面，故C错误. D：四边形的一组对边平行，平行直线确定一个平面，所以四边形上四个点都在这个平面上，故这个四边形是平面图形. 故选：D. 2．一条直线和直线外的三点所能确定的平面个数是（    ） A．1或3 B．1或4 C．1，3或4 D．1，2或4 【答案】C 【分析】根据平面的基本性质求解. 【详解】如图，（1）当与共面时，可确定一个平面； （2）当与不共面时， ①当中只有两点连线与平行时，这样可确定3个平面； ②当中任意两点连线不与平行时，则 与 分别确定 3 个平面， 且 自身确定 1 个平面，共 4个平面. 故选：C. 3．有下列四个命题： ①如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面； ③若，，，则； ④空间中相交于同一点的三条直线在同一平面内． 其中，正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据三个公共点共线，可判断①，根据异面直线不在任一平面内，可判断②；根据平面相交的公理，可判断③，举出反例，可判断④. 【详解】对于①，若两个平面有三个公共点，这三个公共点共线，两平面相交于该直线，未必重合，故①不正确； 对于②，两条异面直线不能确定一个平面，故②不正确； 对于③，若，，则在两个平面的交线上，又由，则，故③正确； 对于④，如正方体顶点处的三条件交线，交于一点但不共面，故④错误. 故正确命题的个数是1个. 故选：A. 4．若直线上有两个点都在平面内，则与的位置关系为（   ） A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据平面性质的公理1可判断结果. 【详解】若直线上有两个点都在平面内，则直线在平面内，即. 故选：C 5．如果三条直线相交于一点，那么这三条直线确定的平面个数为  （    ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】根据平面性质的公理可判断结果. 【详解】如果这三条直线共面，那么只能确定一个平面，例如：三角形中同一顶点的两边及中线，它们只确定一个平面； 如果这三条直线不共面，那么每两条直线确定一个平面，一共确定三个平面，例如：长方体共顶点的三条棱，每两条棱可确定一个平面，共确定三个平面. 所以可确定的平面个数是1个或3个. 故选：D 6．设是长方体的一条棱，则长方体中与平行的棱有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据长方体的结构特征判断各棱与的位置关系. 【详解】如图，长方体中，显然有． 与均相交，不平行. 与既不相交，也不平行. ∴与平行的棱有，共3条． 故选：C. 7．下列结论中正确的是（    ） ①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交； ④空间中有四条直线a，b，c，d，如果，且，那么． A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 【答案】B 【分析】根据空间中直线的位置关系判断即可. 【详解】①在空间中，若两条直线不相交，则它们可能异面，错误； ②平行于同一条直线的两条直线平行，正确； ③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它可能和另一条异面，错误； ④由平行线的传递性可知，空间中有四条直线a，b，c，d，如果，且，那么，正确. 所以结论中正确的是：②④. 故选：B. 8．，，，分别是空间四边形四条边的中点，则与的位置关系是（   ） A．不相交 B．平行 C．相交 D．重合 【答案】C 【分析】根据题意作出图像，结合中位线的性质得出四边形是平行四边形即可得解. 【详解】 如图所示，连接，，，，，，， 由，，，是空间四边形四边中点， 且，且， 且， 四边形是平行四边形，与是对角线，所以位置关系为相交， 故选：. 9．已知空间三条直线，，，若与异面，且与异面，则（    ） A．与异面 B．与相交 C．与平行 D．与异面、相交、平行均有可能 【答案】D 【分析】借助于长方体，根据直线与直线之间的位置关系可判断结果. 【详解】 在如图所示的长方体中，，与都异面，但是，所以A，B错误； ，与都异面，且，也异面，所以C错误； ，与都异面，且，相交， 综上所述，与异面、相交、平行均有可能，所以D正确. 故选：D 10．是空间三条直线，与c相交，则b与c位置关系是（   ） A．相交 B．共面 C．异面或相交 D．相交、平行、异面都有可能 【答案】C 【分析】根据空间中线线的位置关系即可求解. 【详解】如图所示，在正方体中， ，与相交，与是异面直线； ，与相交，与是相交直线. 由平行线的定理可得，与相交，则b与c不平行. 所以是空间三条直线，与c相交，则b与c位置关系是异面或相交． 故选：C. 知识点2 异面直线所成的角 1．在正方体中，异面直线与所成的角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找出异面直线所成角，结合正方体的性质即可得解. 【详解】 在正方体中，， 所以或其补角为与所成的角， 在正方体中，， 则异面直线与所成的角的大小为. 故选：. 2．在正方体中，与所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据异面直线所成的角，即可求解. 【详解】正方体如下图所示： 所以，， 所以, 所以与所成的角为. 故选：D. 3．在下列的正方体中，M，N分别是棱和的中点，则异面直线和所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，将异面直线和平移，即可求解. 【详解】利用中位线，得，将平移至， 利用，将平移至，如下图所示，   是异面直线和所成的角， . 故选：B. 4．正方体的棱长为2，下列结论正确的是（   ） A．异面直线与所成角为 B．与平面所成角为 C．与的夹角是 D．与平面所成的角为 【答案】D 【分析】根据题意，结合正方体的结构特征，异面直线所成角的概念，直线与平面所成角，线面平行和线面垂直的判定定理和性质定理，即可判断求解. 【详解】 因为正方体中，平面， 又平面，所以， 即异面直线与所成角为，故选项A错误； 连接，因为，即为平行四边形， 则， 又平面，平面， 所以平面，即与平面所成角为，故选项B错误； 因为，所以是等边三角形， 所以，即与的夹角是，故选项C错误； 因为在正方体中，平面， 所以即是直线与平面所成的角， 又，即直线与平面所成的角是，故选项D正确； 故选：D. 5．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，G是的中点，设P是上的一点，且，则与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合线面垂直的判定定理和性质定理，易得，取弧的中点H，连接，则，继而可求得，结合空间中异面直线所成夹角的概念，即可得即是与所成角，继而求解. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 如图，取弧的中点H，连接，则，且， 所以， 故与所成角为. 故选：C. 6．已知在正四面体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正四面体的棱长为，取的中点，连结，，则，是与所成的角，由此能求出直线与所成角的余弦值. 【详解】如图，设正四面体的棱长为，取的中点，连接， 是的中点，，， 是直线与所成的角（或其补角）， 设的中点为，则， 在中，， ， 直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 7．正方体中，P、Q分别为棱、的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，可得，即为所求，再利用正方体的性质即可求解. 【详解】 连接，∵P、Q分别为棱、的中点， ∴，故即为所求， 由正方体的性质可知为等边三角形， 所以，即异面直线与BD所成角的大小为， 故选：C. 8．如图，在长方体的棱中，与棱AB垂直的棱有（ ） A．2条 B．4条 C．6条 D．8条 【答案】D 【分析】根据长方体的特性及垂线的定义即可选定选项． 【详解】在长方体的棱中，与棱AB垂直的棱有 ，，，，，，，，共8条． 故选：D. 9．如图，在长方体中，E为的中点，，则异面直线和所成的角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由直线平行，将异面直线转化为相交直线，再由边的关系即可求解余弦值. 【详解】连接， 因为， 所以为异面直线和所成的角， 因为，所以， 因为E为的中点，， 所以， 所以为正三角形， 所以， 所以. 故选：B. 10．如图，若正四棱柱底面边长为2，高为4，则异面直线与所成角的正弦值是 . 【答案】 【分析】利用正四棱柱的性质及异面直线所成的角的定义即可求解. 【详解】如图所示，连接. 因为，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角. 在中，因为正四棱柱的底面边长为2，高为4， 所以，. 因为在正四棱柱中面，面， 所以，所以， 所以异面直线与所成角正弦值是. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$