1-4基本不等式考点训练-2026届高三数学一轮复习

《2026届高考一轮复习 数学考点训练》1-4 基本不等式 目录 题组1 基础练习 举一反三 1 一、单项选择题 1 二、多项选择题 2 三、填空题 4 题组2 考点突破 思维拓展 4 一、单项选择题 4 二、多项选择题 6 三、填空题 7 题组1 基础练习 举一反三 一、单项选择题 1．若，则的最小值是(    ) A． B． C．4 D．2 【答案】C【解】因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是.故选：C 2．下列不等式正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为，所以，仅当a为±1时等号成立，故C正确； 对于D，因为，所以，仅当a为±1时等号成立，故错误.故选：C 3．已知．则“且”是“”的(    ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【解】当且时，，所以，当且仅当，即时取等号， 所以由且可以得出， 显然，当，有成立，但得不出且， 所以“且”是“”的充分而不必要条件，故选：A. 4．已知函数，则当时，有(    ) A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】B【解】由题意当时，，等号成立当且仅当.故选：B. 5．当时，的最小值为(    ) A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B【解】由，得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9．故选：B 6．已知则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【解】因为，所以， 所以， 当且仅当且时，即时，等号成立，所以的最小值为；故选：D. 7．若正实数，满足．则的最小值为(   ) A．12 B．25 C．27 D．36 【答案】C【解】因为，所以．因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以，的最小值为27．故选：C 8．若正实数满足，则的(    ) A．最大值为9 B．最小值为9 C．最大值为8 D．最小值为8 【答案】B【解】因为正实数满足，所以， 当且仅当，即取等号，所以的最小值为9，无最大值；故选：B 二、多项选择题 9．已知a>0，b>0，且2a＋b＝2，则下列说法正确的是(　　) A．a2＋b2的最小值为 B．ab的最大值为 C．4a2＋b2的最小值为4 D.的最小值为 【答案】BD【解】由题意得，a>0，b＝2－2a>0，从而0<a<1， 所以a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝5a2－8a＋4＝5＋.当a＝时，a2＋b2有最小值，故A错误； 因为2＝2a＋b≥2，所以ab≤，当且仅当a＝，b＝1时等号成立，故B正确； 4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝4－4ab≥4－4×＝2，当且仅当a＝，b＝1时等号成立，故C错误； ＋＝(2a＋b)＝， 当且仅当，即a＝2－，b＝2－2时等号成立，故D正确．故选BD 10．(2025届宁夏宁朔中学高三上开学考试T11)已知，且，则( ) A. 的最小值是 B. 最小值为 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】BC【分析】利用基本不等式即可得到A；二元换一元，代入 ，利用二次函数求出最值，得出B选项；利用即可得到C选项；利用“1”的常数代换法得出D. 【解】对于A，∵，且，∴，即时，等号成立， 即的最大值是，故A不正确； 对于B，∵，∴，，所以，故B正确； 对于C，∵，且，∴，即 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，∵，即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误．故选：BC． 11.(2024·山西·一模)设，，，则下列结论正确的是(    ) A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为9 D．的最小值为 【答案】ABC【解】对于A，因为，，， 则，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，因为，故，当且仅当时取等号，即的最小值，故B正确； 对于C，，当且仅当且，即，时取等号， 所以的最小值为9，故C正确； 对于D，，故，当且仅当时取等号， 即的最大值，故D错误．故选：ABC. 三、填空题 12.已知，则当 时，取最小值为 ． 【答案】5；14【解】因为，所以，则， 当且仅当，即时取等号，所以当时，取最小值为.故答案为：；. 13．非负实数x，y满足，则的最小值为 ． 【答案】0【解】当时，；当x，时，由得， 所以(当且仅当,即 时，等号成立)． 所以的最小值为0；故答案为：. 14.若，则的最小值为 ． 【答案】【解】，， 当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为；故答案为：. 题组2 考点突破 思维拓展 一、单项选择题 1．若且，若的最大值为，则正常数(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【解】，当且仅当时，等号成立， 则，故.故选：B. 2．若正数满足，则的最大值为(    ) A．6 B．9 C． D． 【答案】C【解】因为，所以， 当且仅当时取等号．故选：C． 3．若正实数a，b满足(a＋1)(2b＋1)＝4，则a＋2b＋1的最小值为(　　) A．2 B．3 C. D．4 【答案】B【解】因为a，b为正实数，所以 a＋2b＋1＝a＋1＋2b＋1－1≥2－1＝2－1＝3， 当且仅当a＋1＝2b＋1，即a＝1，b＝时等号成立． 4．已知，则m，n不可能满足的关系是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【解】，即. 对于 A， 成立. 对于 B， ，成立. 对于 C， ，即.故C错误； 对于 D， 成立；故选：C. 5.已知，，，则的最小值为(    ) A．2 B．1 C． D． 【答案】B【解】因为，可得，且，，可知， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为1.故选：B. 6．若正数满足，则的最小值是(    ) A． B． C． D．2 【答案】A【解】由可得，， 当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意. 所以的最小值为.故选：A. 7.已知，且，则的最小值为(    ) A．1 B．2 C． D． 【答案】C【解】由得， 故， 当且仅当时，等号成立.故选：C 8.(2025四川仁寿一模)已知，则的最大值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】由题意知，然后根据基本不等式即可求解. 【解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为.故选：A. 二、多项选择题 9.下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若且，则 D． 【答案】ACD【分析】由已知条件，利用基本不等式验证各选项的结论是否正确. 【解】时有，则，当且仅当，即时等号成立，A正确； ，等号成立的条件是， 即，显然不能成立，故的等号取不到，B错误； 若且，则，当且仅当，即或时等号成立，C正确； ，当且仅当，即时等号成立，D正确；故选：ACD 10.(2025届宁夏宁朔中学高三上开学考试T11)已知，且，则( ) A. 的最小值是 B. 最小值为 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】BC【分析】利用基本不等式即可得到A；二元换一元，代入 ，利用二次函数求出最值，得出B选项；利用即可得到C选项；利用“1”的常数代换法得出D. 【解】对于A，∵，且，∴，即时，等号成立， 即的最大值是，故A不正确； 对于B，∵，∴，，所以，故B正确； 对于C，∵，且，∴，即 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，∵，即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误．故选：BC． 11.(2025届陕西省咸阳市旬邑县中高三8月阶段考试T10)已知正实数满足，且恒成立，则的取值可以是( ) A. 3 B. C. D. 1 【答案】CD【分析】先得到最大值，然后利用基本不等式求得的最大值，得到，最后利用，得到，选出符合题意的选项即可. 【解】由题可知，恒成立，故最大值，而，由基本不等式， 知，当且仅当时等号成立，故最大值为，所以 由题得，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立， 所以，即；故CD符合题意；故选：CD 三、填空题 12．(2025四川什邡一模)在中，分别是角的对边，且，则角的取值范围为 ． 【答案】【分析】由余弦定理、基本不等式得出的范围即可得解. 【解】， 当且仅当，即为等边三角形时，，又所以．故答案为：. 13.(2025届湖南省衡阳县一中高三上开学考试T13)设函数，若，且，则的最小值为___________. 【答案】【分析】由可得，则，化简后由基本不等式可得结果. 【解】由题意可知：的定义域为， 令，解得；令，解得； 则当时，，故，所以； 当时，，故，所以； 故，即. 当时，则， 当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为.故答案为： 14.(2025·四川·一模)双曲线，焦距为，左、右焦点分别为，动点在双曲线右支上，过作两条渐近线垂线分别交于两点．若最小值为，则的最小值为 ． 【答案】【分析】，结合平面几何知识求其最小值，列方程求，由此可得双曲线方程及其渐近线方程，设，表示。结合基本不等式求其最小值. 【解】因为动点在双曲线右支上，所以， 所以， 不妨设点在渐近线上，过点作，则， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时等号成立， 因为的坐标为，故， 所以的最小值为，由已知， 因为双曲线的焦距为，所以，又， 所以(舍去)，或， 所以双曲线的方程为，其渐近线方程为和 设点的坐标为，则，， 故，， 所以， 当且仅当，时等号成立;所以的最小值为.故答案为：.    第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 4 页 《2026 届高考一轮复习 数学考点训练》1-4 基本不等式 目录 题组 1 基础练习 举一反三 .................................................................... 1 一、单项选择题 .......................................................................... 1 二、多项选择题 .......................................................................... 2 三、填空题 .............................................................................. 2 题组 2 考点突破 思维拓展 .................................................................... 3 一、单项选择题 .......................................................................... 3 二、多项选择题 .......................................................................... 3 三、填空题 .............................................................................. 4 题组 1 基础练习 举一反三 一、单项选择题 1．若 0x  ，则 22y x x   的最小值是( ) A． 2 2 B． 2 C．4 D．2 2．下列不等式正确的是( ) A． 1 2a a  ≥ B． 1( ) ( ) 2a a      C． 2 2 1 2a a   D． 2 2 1( ) ( ) 2a a      3．已知 , Ra b ．则“ 0a  且 0b  ”是“ 2 a b b a   ”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数   23f x x x    ，则当 0x  时，  f x 有( ) A．最大值3 2 2 B．最小值3 2 2 C．最大值3 2 2 D．最小值3 2 2 5．当 0 1x  时， 1 41x x  的最小值为( ) A．8 B．9 C．10 D．12 6．已知 m+ n = 2(� > 0, � > 0),则1 � + 4 � 的最小值为( ) A．5 2 B．5 C．9 D．9 2 7．若正实数 x ， y 满足 3 1x y  ．则12 1x y 的最小值为( ) A．12 B．25 C．27 D．36 第 2 页 共 4 页 8．若正实数 ,a b满足 4 1a b  ，则 1 1a b 的( ) A．最大值为 9 B．最小值为 9 C．最大值为 8 D．最小值为 8 二、多项选择题 9．已知 a>0，b>0，且 2a＋b＝2，则下列说法正确的是( ) A．a2＋b2的最小值为5 4 B．ab 的最大值为1 2 C．4a2＋b2的最小值为 4 D.1 � + 1 � 的最小值为 3 2 + 2 10．(2025 届宁夏宁朔中学高三上开学考试 T11)已知 0, 0a b  ，且 1a b  ，则( ) A. ab的最小值是14 B. 2 22a b 最小值为23 C. a b 的最大值是 2 D. 1 2a a b  的最小值是1 2 11.(2024·山西·一模)设 0a  ， 0b  ， 1a b  ，则下列结论正确的是( ) A．ab的最大值为 1 4 B． 2 2a b 的最小值为 1 2 C． 4 1 a b  的最小值为 9 D． a b 的最小值为 3 三、填空题 12.已知  82 3 3 y x x x     ，则当 x  时， y取最小值为 ． 13．非负实数 x，y 满足 2 6 0xy x y   ，则 2x y 的最小值为 ． 14.若 0 , 0a b  ，则 2 1 a ba b   的最小值为 ． 第 3 页 共 4 页 题组 2 考点突破 思维拓展 一、单项选择题 1．若 0, 0a b  且 1a mb  ，若 ab的最大值为 1 8 ，则正常数m  ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．若正数 ,x y满足 2 2 3x y  ，则 xy的最大值为( ) A．6 B．9 C． 9 4 D． 3 2 3．若正实数 a，b 满足(a＋1)(2b＋1)＝4，则 a＋2b＋1 的最小值为( ) A．2 B．3 C.10 3 D．4 4．已知1 � + 1 � = 1(� > 0, � > 0)，则 m，n 不可能．．．满足的关系是( ) A． 4m n  B． 4mn  C． 2 2 8m n  D． 2 2( 1) ( 1) 2m n    5.已知 0a  ， 0b  ，2 3 0a b   ，则 1 1 2 1a b   的最小值为( ) A．2 B．1 C． 3 2 D． 3 4 6．若正数 ,x y满足 2 2 2 0x xy   ，则 x y 的最小值是( ) A． 6 B． 6 2 C． 2 2 D．2 7.已知 0a  ，且 210 1ab a  ，则 a b 的最小值为( ) A．1 B．2 C． 35 D． 2 11 11 8.(2025 四川仁寿一模)已知�2 + �2 = �2�2 �� ≠ 0 ，则 1 − 16�2 − 9�2的最大值为( ) A．−48 B．−49 C．−42 D．−35 二、多项选择题 9.下列命题中正确的是（ ） A．若 0x  ，则 x + 1 x ≤− 2 B． � 2+3 �2+2 ≥ 2 C．若 xR且 0x  ，则 � + 1 � ≥ 2 D．�2 + 1 �2+1 ≥ 1 第 4 页 共 4 页 10.(2025 届宁夏宁朔中学高三上开学考试 T11)已知 0, 0a b  ，且 1a b  ，则( ) A. ab的最小值是14 B. 2 22a b 最小值为23 C. a b 的最大值是 2 D. 1 2a a b  的最小值是1 2 11.(2025 届陕西省咸阳市旬邑县中高三 8 月阶段考试 T10)已知正实数 ,a b满足 2a b  ，且 0ab m  恒 成立，则 2 24 9 4 m m 的取值可以是( ) A. 3 B. 5 C. 3 2 D. 1 三、填空题 12．(2025 四川什邡一模)在△ ���中，�, �, �分别是角�, �, �的对边，且 2a c b  ，则角�的取值范围为 ． 13.(2025届湖南省衡阳县一中高三上开学考试 T13)设函数 ( ) ( ) ln( )f x x a x b   ，若 ( ) 0f x  ，且 0ab  ， 则 1 b ab a  的最小值为___________. 14.(2025·四川·一模)双曲线�： � 2 �2 − � 2 �2 = 1 � > � > 0 ，焦距为 2 2，左、右焦点分别为�1，�2，动点�在双 曲线右支上，过�作两条渐近线垂线分别交于�，�两点．若 �� + ��1 最小值为 3，则 �� + �� 的最小 值为 ． 《2026届高考一轮复习 数学考点训练》1-4 基本不等式 目录 题组1 基础练习 举一反三 1 一、单项选择题 1 二、多项选择题 2 三、填空题 2 题组2 考点突破 思维拓展 3 一、单项选择题 3 二、多项选择题 3 三、填空题 4 题组1 基础练习 举一反三 一、单项选择题 1．若，则的最小值是(    ) A． B． C．4 D．2 2．下列不等式正确的是(    ) A． B． C． D． 3．已知．则“且”是“”的(    ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数，则当时，有(    ) A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 5．当时，的最小值为(    ) A．8 B．9 C．10 D．12 6．已知则的最小值为(    ) A． B． C． D． 7．若正实数，满足．则的最小值为(   ) A．12 B．25 C．27 D．36 8．若正实数满足，则的(    ) A．最大值为9 B．最小值为9 C．最大值为8 D．最小值为8 二、多项选择题 9．已知a>0，b>0，且2a＋b＝2，则下列说法正确的是(　　) A．a2＋b2的最小值为 B．ab的最大值为 C．4a2＋b2的最小值为4 D.的最小值为 10．(2025届宁夏宁朔中学高三上开学考试T11)已知，且，则( ) A. 的最小值是 B. 最小值为 C. 的最大值是 D. 的最小值是 11.(2024·山西·一模)设，，，则下列结论正确的是(    ) A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为9 D．的最小值为 三、填空题 12.已知，则当 时，取最小值为 ． 13．非负实数x，y满足，则的最小值为 ． 14.若，则的最小值为 ． 题组2 考点突破 思维拓展 一、单项选择题 1．若且，若的最大值为，则正常数(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．若正数满足，则的最大值为(    ) A．6 B．9 C． D． 3．若正实数a，b满足(a＋1)(2b＋1)＝4，则a＋2b＋1的最小值为(　　) A．2 B．3 C. D．4 4．已知，则m，n不可能满足的关系是(    ) A． B． C． D． 5.已知，，，则的最小值为(    ) A．2 B．1 C． D． 6．若正数满足，则的最小值是(    ) A． B． C． D．2 7.已知，且，则的最小值为(    ) A．1 B．2 C． D． 8.(2025四川仁寿一模)已知，则的最大值为(    ) A． B． C． D． 二、多项选择题 9.下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若且，则 D． 10.(2025届宁夏宁朔中学高三上开学考试T11)已知，且，则( ) A. 的最小值是 B. 最小值为 C. 的最大值是 D. 的最小值是 11.(2025届陕西省咸阳市旬邑县中高三8月阶段考试T10)已知正实数满足，且恒成立，则的取值可以是( ) A. 3 B. C. D. 1 三、填空题 12．(2025四川什邡一模)在中，分别是角的对边，且，则角的取值范围为 ． 13.(2025届湖南省衡阳县一中高三上开学考试T13)设函数，若，且，则的最小值为___________. 14.(2025·四川·一模)双曲线，焦距为，左、右焦点分别为，动点在双曲线右支上，过作两条渐近线垂线分别交于两点．若最小值为，则的最小值为 ． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 8 页 《2026 届高考一轮复习 数学考点训练》1-4 基本不等式 目录 题组 1 基础练习 举一反三 .................................................................... 1 一、单项选择题 .......................................................................... 1 二、多项选择题 .......................................................................... 2 三、填空题 .............................................................................. 3 题组 2 考点突破 思维拓展 .................................................................... 4 一、单项选择题 .......................................................................... 4 二、多项选择题 .......................................................................... 6 三、填空题 .............................................................................. 7 题组 1 基础练习 举一反三 一、单项选择题 1．若 0x  ，则 22y x x   的最小值是( ) A． 2 2 B． 2 C．4 D．2 【答案】C【解】因为 0x  ，所以 2 22 2 42y x x x x     ，当且仅当 22x x  ，即 1x  时取等号， 所以 22y x x   的最小值是4 .故选：C 2．下列不等式正确的是( ) A． 1 2a a  ≥ B． 1( ) ( ) 2a a      C． 2 2 1 2a a   D． 2 2 1( ) ( ) 2a a      【答案】C【解】对于 A，当 a<0时， 1 0a a   ，故 A 错误； 对于 B，当 a<0时，   1 0a a         ，故 B 错误； 对于 C，因为 2 0a  ，所以 2 2 1 2a a   ，仅当 a为±1 时等号成立，故 C 正确； 对于 D，因为 2 0a  ，所以 2 2 2 2 1 1( ) ( ) 2a a a a       ，仅当 a为±1 时等号成立，故错误.故选：C 3．已知 , Ra b ．则“ 0a  且 0b  ”是“ 2 a b b a   ”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【解】当 0a  且 0b  时， 0, 0a bb a  ，所以 2 2 a b a b b a b a     ，当且仅当 a b b a  ，即 a b 时取等号， 所以由 0a  且 0b  可以得出 2a b b a   ， 显然，当 2a b   ，有 2a b b a   成立，但得不出 0a  且 0b  ， 所以“ 0a  且 0b  ”是“ 2a b b a   ”的充分而不必要条件，故选：A. 4．已知函数   23f x x x    ，则当 0x  时，  f x 有( ) 第 2 页 共 8 页 A．最大值3 2 2 B．最小值3 2 2 C．最大值3 2 2 D．最小值3 2 2 【答案】B【解】由题意当 0x  时，     23 3 2 2f x x x              ，等号成立当且仅当 2x   .故选：B. 5．当 0 1x  时， 1 41x x  的最小值为( ) A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B【解】由0 1x  ，得1 0x  ， 所以  1 4 1 4 1 41 5 51 1 1 x xx x x x x x x x                   1 42 9 1 x x x x     ， 当且仅当 1 4 1 x x x x    ，即 1 3 x  时等号成立，所以 1 41x x   的最小值为 9．故选：B 6．已知 m+ n = 2(� > 0, � > 0),则1 � + 4 � 的最小值为( ) A．5 2 B．5 C．9 D．9 2 【答案】D【解】因为 m+ n = 2，所以�2 + � 2 = 1， 所以1 � + 4 � = ( 1 � + 4 � )(� 2 + � 2 ) = 1 2 + � 2� + 2� � + 2 ≥ 5 2 + 2 � 2� × 2� � = 5 2 + 2 = 9 2 ， 当且仅当 � 2� = 2� � 且 m+ n = 2时，即 m = 2 3 , n = 3时，等号成立，所以1 � + 4 � 的最小值为 9 2 ；故选：D. 7．若正实数 x， y满足 3 1x y  ．则12 1x y 的最小值为( ) A．12 B．25 C．27 D．36 【答案】C【解】因为 3 1x y  ，所以   12 1 12 1 363 15 y xx y x y x y x y             ．因为 , 0x y  ，所以 36 362 12y x y xx y x y    ， 当且仅当 36y x x y  ，即 2 3 x  ， 1 9 y  时，等号成立，所以， 12 1 x y  的最小值为 27．故选：C 8．若正实数 ,a b满足 4 1a b  ，则 1 1a b 的( ) A．最大值为 9 B．最小值为 9 C．最大值为 8 D．最小值为 8 【答案】B【解】因为正实数 ,a b满足 4 1a b  ，所以  1 1 1 1 4 5 5 2 94 4a aa ba b a b b b a b a b                 ， 当且仅当 4b a a b  ，即 12 3 a b  取等号，所以 1 1 a b  的最小值为 9，无最大值；故选：B 二、多项选择题 9．已知 a>0，b>0，且 2a＋b＝2，则下列说法正确的是( ) A．a2＋b2的最小值为5 4 B．ab的最大值为1 2 C．4a2＋b2的最小值为 4 D.1 � + 1 � 的最小值为 3 2 + 2 【答案】BD【解】由题意得，a>0，b＝2－2a>0，从而 0<a<1， 所以 a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝5a2－8a＋4＝5(� − 4 5 )2＋4 5 .当 a＝4 5 时，a2＋b2 有最小值4 5 ，故 A 错误； 因为 2＝2a＋b≥2 2ab，所以 ab≤1 2 ，当且仅当 a＝1 2 ，b＝1 时等号成立，故 B 正确； 4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝4－4ab≥4－4×1 2 ＝2，当且仅当 a＝1 2 ，b＝1 时等号成立，故 C 错误； 1 a ＋ 1 b ＝ 1 2 (2a＋b)1 � + 1 � ＝ 1 2 (3 + � � + 2� � ) ≥ 1 2 (3 + 2 � � ∙ 2� � ) = 3+2 2 3 = 3 2 + 2， 第 3 页 共 8 页 当且仅当 � � = 2� � ，即 a＝2－ 2，b＝2 2－2 时等号成立，故 D 正确．故选 BD 10．(2025 届宁夏宁朔中学高三上开学考试 T11)已知 0, 0a b  ，且 1a b  ，则( ) A. ab的最小值是14 B. 2 22a b 最小值为23 C. a b 的最大值是 2 D. 1 2a a b  的最小值是1 2 【答案】BC【分析】利用基本不等式即可得到 A；二元换一元， 1b a  代入 2 22a b ，利用二次函数求 出最值，得出 B 选项；利用   2 4 2 a b a b   即可得到 C 选项；利用“1”的常数代换法得出 D. 【解】对于 A，∵ 0, 0a b  ，且 1a b  ，∴ 2 1 2 4 a bab       ，即 1 2 a b  时，等号成立， 即 ab的最大值是 1 4 ，故 A 不正确； 对于 B，∵ 1a b  ，∴ 1b a  ，   2 22 2 2 1 22 2 1 3 3 3 a b a a a           ，所以 2 2 22 3 a b  ，故 B 正确； 对于 C，∵ 0, 0a b  ，且 1a b  ，∴   2 1 4 2 2 a b a b    ，即 2a b  当且仅当 1 2 a b  时，等号成立，故 C 正确； 对于 D，∵ 1 2 2 21 1 2 2a a b a b a a b a b a b          ，即 2 1, 2 2a b    时，等号成立， 所以 1 2a a b  的最小值是1 2 2 ，故 D 错误．故选：BC． 11.(2024·山西·一模)设 0a  ， 0b  ， 1a b  ，则下列结论正确的是( ) A．ab的最大值为 1 4 B． 2 2a b 的最小值为 1 2 C． 4 1 a b  的最小值为 9 D． a b 的最小值为 3 【答案】ABC【解】对于 A，因为 0a  ， 0b  ， 1a b  ， 则 2 1( ) 2 4 a bab   ，当且仅当 1 2 a b  时取等号，故 A 正确； 对于 B，因为 2 2 2( ) 2 2 a b a b   ，故 2 2 1 2 a b  ，当且仅当 1 2 a b  时取等号，即 2 2a b 的最小值 1 2 ，故 B 正确； 对于 C， 4 1 4 1 4 4( )( ) 5 5 2 9b a b aa b a b a b a b a b            ，当且仅当 4b a a b  且 1a b  ，即 1 3 b  ， 2 3 a  时取等号， 所以 4 1 a b  的最小值为 9，故 C 正确； 对于 D， 2 1( ) 1 2 1 2 2 2 a b ab       ，故 2a b  ，当且仅当 1 2 a b  时取等号， 即 a b 的最大值 2 ，故 D 错误．故选：ABC. 三、填空题 12.已知  82 3 3 y x x x     ，则当 x  时， y取最小值为 ． 第 4 页 共 8 页 【答案】5；14【解】因为 3x  ，所以 3 0x   ，则    8 8 82 2 3 6 2 2 3 6 14 3 3 3 y x x x x x x               ， 当且仅当   82 3 3x x   ，即 5x  时取等号，所以当 5x  时， y取最小值为14 .故答案为：5；14 . 13．非负实数 x，y满足 2 6 0xy x y   ，则 2x y 的最小值为 ． 【答案】0【解】当 0x y  时， 2 0x y  ；当 x， 0y  时，由 2 6 0xy x y   得 3 1 12x y  ， 所以   3 1 62 2 4 4 2 3 2 2 y xx y x y x y x y               (当且仅当 6 2 y x x y  ,即 3 3 3 1 2 x y         时，等号成立)． 所以 2x y 的最小值为 0；故答案为： 0 . 14.若 0 , 0a b  ，则 2 1 a ba b   的最小值为 ． 【答案】 2 2 【解】 0 , 0a b  ， 2 2 1 1 2 22 2 2 2a ab b a b a b b b b b            ， 当且仅当 2 1 a a b  且 2 b b  ，即 2a b  时等号成立，所以 2 1 a ba b   的最小值为 2 2 ；故答案为： 2 2 . 题组 2 考点突破 思维拓展 一、单项选择题 1．若 0, 0a b  且 1a mb  ，若 ab的最大值为 1 8 ，则正常数m  ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【解】 2 1 2 4 a mbamb       ，当且仅当 1 2 a mb  时，等号成立， 则 1 1 8 4 m  ，故 2m  .故选：B. 2．若正数 ,x y满足 2 2 3x y  ，则 xy的最大值为( ) A．6 B．9 C． 9 4 D． 3 2 【答案】C【解】因为 2 2 3 2 2x y xy   ，所以 3 98 12, , 2 4 xy xy xy   ， 当且仅当 33, 4 x y  时取等号．故选：C． 3．若正实数 a，b满足(a＋1)(2b＋1)＝4，则 a＋2b＋1 的最小值为( ) A．2 B．3 C.10 3 D．4 第 5 页 共 8 页 【答案】B【解】因为 a，b为正实数，所以 a＋2b＋1＝a＋1＋2b＋1－1≥2 a＋12b＋1－1＝2 4－1＝3， 当且仅当 a＋1＝2b＋1，即 a＝1，b＝1 2 时等号成立． 4．已知1 � + 1 � = 1(� > 0, � > 0)，则 m，n不可能．．．满足的关系是( ) A． 4m n  B． 4mn  C． 2 2 8m n  D． 2 2( 1) ( 1) 2m n    【答案】C【解】1 � + 1 � = 1，即   , 0, 0m n mn m n m n     . 对于 A， 2 , 4 2 m nm n mn m n           成立. 对于 B， 2 , 4mn m n mn mn     ，成立. 对于 C，  2 2 2 2 24, 16 ( ) 2 2m n m n m n mn m n          ，即 2 2 8m n  .故 C 错误； 对于 D， 2 2 2( 1) ( 1) ( ) 2 2m n m n       成立；故选：C. 5.已知 0a  ， 0b  ，2 3 0a b   ，则 1 1 2 1a b   的最小值为( ) A．2 B．1 C． 3 2 D． 3 4 【答案】B【解】因为 2 3 0a b   ，可得 2 1 1 4 4 a b   ，且 0a  ， 0b  ，可知 2 1 0a   ， 则     1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 12 1 2 1 4 4 2 1 2 4 2 1 4 2 4 2 1 4 a b b a b a a b a b a b a b                       ， 当且仅当   2 1 4 2 1 4 b a a b    ，即 1 , 2 2 a b  时，等号成立，所以 1 1 2 1a b   的最小值为 1.故选：B. 6．若正数 ,x y满足 2 2 2 0x xy   ，则 x y 的最小值是( ) A． 6 B． 6 2 C． 2 2 D．2 【答案】A【解】由 2 2 2 0x xy   可得 1 2 xy x   ， 1 3 1 3 12 6 2 2 2 x x xx y x x x x           ， 当且仅当 3 1 2 x x  ，即 6 3 x  时，等号成立，此时 2 6 0 3 y   符合题意. 所以 x y 的最小值为 6 .故选：A. 7.已知 0a  ，且 210 1ab a  ，则 a b 的最小值为( ) A．1 B．2 C． 3 5 D． 2 11 11 【答案】C【解】由 210 1ab a  得 21 10 ab a   ， 故 21 9 1 9 1 32 10 10 10 10 10 5 a a aa b a a a a          ， 第 6 页 共 8 页 当且仅当 1 4, 3 15 a b  时，等号成立.故选：C 8.(2025 四川仁寿一模)已知�2 + �2 = �2�2 �� ≠ 0 ，则 1 − 16�2 − 9�2的最大值为( ) A．−48 B．−49 C．−42 D．−35 【答案】A【分析】由题意知 1 �2 + 1 �2 = 1，然后根据基本不等式即可求解. 【解】因为�2 + �2 = �2�2 �� ≠ 0 ，所以 1 �2 + 1 �2 = 1， 所以 16�2 + 9�2 = 1 �2 + 1 �2 16�2 + 9�2 = 25 + 9� 2 �2 + 16� 2 �2 ≥ 25 + 2 9� 2 �2 × 16� 2 �2 = 49， 当且仅当 9�2 �2 = 16� 2 �2 ，即�2 = 7 4 , �2 = 7 3 时，等号成立， 所以 1 − 16�2 − 9�2的最大值为 1 − 49 =− 48.故选：A. 二、多项选择题 9.下列命题中正确的是（ ） A．若 0x  ，则 x + 1 x ≤− 2 B． � 2+3 �2+2 ≥ 2 C．若 xR且 0x  ，则 � + 1 � ≥ 2 D．�2 + 1 �2+1 ≥ 1 【答案】ACD【分析】由已知条件，利用基本不等式验证各选项的结论是否正确. 【解】 0x  时有 0x  ，则 1 1 12 2x x xx x x                ，当且仅当 1x x    ，即 = 1x  时等号成立，A 正确； 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x                ，等号成立的条件是 2 2 12 2 x x    ， 即 2 2 1x   ，显然不能成立，故 2 2 3 2 2    x x 的等号取不到，B 错误； 若 xR且 0x  ，则 1 1 12 2x x x x x x       ，当且仅当 1x x  ，即 = 1x  或 1x  时等号成立，C 正确；  2 2 22 2 21 1 11 1 2 1 1 11 1 1x x xx x x            ，当且仅当 2 2 11 1 x x    ，即 0x  时等号成立，D 正确；故选：ACD 10.(2025 届宁夏宁朔中学高三上开学考试 T11)已知 0, 0a b  ，且 1a b  ，则( ) A. ab的最小值是14 B. 2 22a b 最小值为23 C. a b 的最大值是 2 D. 1 2a a b  的最小值是1 2 【答案】BC【分析】利用基本不等式即可得到 A；二元换一元， 1b a  代入 2 22a b ，利用二次函数求 出最值，得出 B 选项；利用   2 4 2 a b a b   即可得到 C 选项；利用“1”的常数代换法得出 D. 【解】对于 A，∵ 0, 0a b  ，且 1a b  ，∴ 2 1 2 4 a bab       ，即 1 2 a b  时，等号成立， 即 ab的最大值是 14 ，故 A 不正确； 对于 B，∵ 1a b  ，∴ 1b a  ，   2 22 2 2 1 22 2 1 3 3 3 a b a a a           ，所以 2 2 22 3 a b  ，故 B 正确； 对于 C，∵ 0, 0a b  ，且 1a b  ，∴   2 1 4 2 2 a b a b    ，即 2a b  第 7 页 共 8 页 当且仅当 1 2 a b  时，等号成立，故 C 正确； 对于 D，∵ 1 2 2 21 1 2 2a a b a b a a b a b a b          ，即 2 1, 2 2a b    时，等号成立， 所以 1 2a a b  的最小值是1 2 2 ，故 D 错误．故选：BC． 11.(2025 届陕西省咸阳市旬邑县中高三 8 月阶段考试 T10)已知正实数 ,a b满足 2a b  ，且 0ab m  恒 成立，则 2 24 9 4 m m 的取值可以是( ) A. 3 B. 5 C. 3 2 D. 1 【答案】CD【分析】先得到m ab 最大值，然后利用基本不等式求得 ab的最大值，得到 1m  ，最后 利用 1m  ，得到 2240 29 4 m m    ，选出符合题意的选项即可. 【解】由题可知，m ab 恒成立，故m ab 最大值，而 2a b  ，由基本不等式 2a b ab  ， 知 1ab  ，当且仅当 1a b  时等号成立，故 ab最大值为1，所以 1m  由题得 2 24 24 99 4 4 m m m m    ，由基本不等式可知 9 94 2 4 12m m m m     ，当且仅当 3 2 m  时等号成立， 所以 240 29 4m m    ，即 2 240 2 9 4 m m    ；故 CD 符合题意；故选：CD 三、填空题 12．(2025 四川什邡一模)在△ ���中，�, �, �分别是角�, �, �的对边，且 2a c b  ，则角�的取值范围为 ． 【答案】(0, π 3 【分析】由余弦定理、基本不等式得出����的范围即可得解. 【解】 2 2 2 2 2 2 2 23 3 2 6 2 12cos 2 2 8 8 2 a ca c a c b a c ac ac acB ac ac ac ac               ， 当且仅当� = � = �，即△ ���为等边三角形时，cos� = 1 2 ，又∵ 0 < � < �,所以 0 < B ≤ π 3．故答案为：(0, π 3 . 13.(2025届湖南省衡阳县一中高三上开学考试 T13)设函数 ( ) ( ) ln( )f x x a x b   ，若 ( ) 0f x  ，且 0ab  ， 则 1 b ab a  的最小值为___________. 【答案】 2 2 2 【分析】由 ( ) 0f x  可得 1a b  ，则 21 ( )b a b b ab a ab a     ，化简后由基本不等式可得结果. 【解】由题意可知： ( )f x 的定义域为 ( , )b  ， 令 0x a  ，解得 x a ；令 ln( ) 0x b  ，解得 1x b  ； 则当 ( ,1 )x b b   时， ln( ) 0x b  ，故 0x a  ，所以1 0b a   ； 当 (1 , )x b   时， ln( ) 0x b  ，故 0x a  ，所以1 0b a   ； 故1 0b a   ，即 1a b  . 当 0ab  时，则 2 2 21 ( ) 2 2 2 2 2 2b a b b a ab b b a b ab a ab a ab a b a              ， 第 8 页 共 8 页 当且仅当 2 2a   ， 2 1b   时，等号成立，所以 1 b ab a  的最小值为 2 2 2 .故答案为： 2 2 2 14.(2025·四川·一模)双曲线�： � 2 �2 − � 2 �2 = 1 � > � > 0 ，焦距为 2 2，左、右焦点分别为�1，�2，动点�在双 曲线右支上，过�作两条渐近线垂线分别交于�，�两点．若 �� + ��1 最小值为 3，则 �� + �� 的最小 值为 ． 【答案】 7 2 25 【分析】 �� + ��1 = �� + ��2 + 2�，结合平面几何知识求其最小值，列方程求�, �，由 此可得双曲线方程及其渐近线方程，设� �, � ，表示 �� + �� 。结合基本不等式求其最小值. 【解】因为动点�在双曲线右支上，所以 ��1 − 2� = ��2 ， 所以 �� + ��1 = �� + ��2 + 2�， 不妨设点�在渐近线 0bx ay  上，过点 2F 作�2� ⊥ ��，则 �� + ��2 + 2� ≥ �2� + 2�， 当且仅当点�为线段�2�与双曲线的交点时等号成立， 因为 2F 的坐标为 �, 0 ，故 �2� = �� �2+�2 = �， 所以 �� + ��1 的最小值为 2b a ，由已知 2 3b a  ， 因为双曲线 �2 �2 − � 2 �2 = 1的焦距为 2 2，所以 2 2 2a b  ，又� > � > 0， 所以� = � = 1(舍去)，或� = 7 5 , � = 1 5 ， 所以双曲线�的方程为25 49 �2 − 25�2 = 1，其渐近线方程为� + 7� = 0和� − 7� = 0 设点�的坐标为 �, � ，则�2 − 49�2 = 49 25 ，� ≥ 7 5 ， 故 �− 7� ⋅ � + 7� = 49 25 ， �− 7� > 0, � + 7� > 0， 所以 �� + �� = �−7� 5 2 + �+7� 5 2 ≥ 2 �−7� 5 2 · �+7� 5 2 = 2 � 2−49�2 50 = 1 5 2 × 2 49 25 = 7 2 25 ， 当且仅当� = 7 5 ，� = 0时等号成立;所以 �� + �� 的最小值为7 2 25 .故答案为：7 2 25 .