18.4　整数指数幂 教学设计 2025—2026学年人教版数学八年级上册

18.4　整数指数幂 第1课时　整数指数幂 课标摘录 了解整数指数幂的意义和基本性质. 教学目标 1.理解负整数指数幂的概念,掌握整数指数幂的运算性质,会进行简单的整数指数幂的运算. 2.经历探索负整数指数幂的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展代数推理能力和有条理的表达能力. 教学重难点 重点:掌握幂的性质(指数为全体整数),并会用于计算. 难点:含负整数指数幂的运算,尤其是混合运算. 教学策略 本节课采用类比正整数指数幂的运算性质来学习整数指数幂的运算性质,将以前所学的有关知识进行了扩充.教师要重点挖掘学生的潜在能力,让学生在课堂上通过观察、验证、探究等活动,加深对新知识的理解. 复习导入 同学们,现在我们回顾一下正整数指数幂的运算性质. 【师生活动】学生回顾正整数指数幂的运算性质并进行默写,教师课件展示. 以上公式中的指数m,n均为正整数或0,那么指数m,n能为负整数吗?当m,n为负整数时,幂的性质还成立吗?这就是本节课我们将要研究的问题. 新知初探 任务一　探究负整数指数幂的意义 活动:1676年,牛顿提出了一个设想:“因为数学家将aa,aaa,aaaa,…写成a2,a3,a4,…,所以我将,,,…写成a-1,a-2,a-3,….” 思考:你认为牛顿的这个设想合理吗?也就是说,如果am中的m可以是负整数,那么负整数指数幂am表示什么? 问题:计算:a3÷a5. (1)根据分式的约分,当a≠0时,如何计算a3÷a5? a3÷a5===. (2)如果把正整数指数幂的运算性质am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整数,m>n)中的条件m>n去掉,即假设这个性质对于像a3÷a5的情形也能使用,如何计算? a3÷a5=a3-5=a-2. (3)根据(1)(2)的计算结果,你得到了什么结论? a-2=. 归纳总结:为了使同底数幂的运算法则适用范围更广,同时也可以更简便地表示分式. 数学中规定:一般地,当n是正整数时,a-n=(a≠0);这就是说,a-n(a≠0)是an的倒数. 【即时测评】见导学案 任务二　探究整数指数幂的性质 活动:引入负整数指数后,am·an=am+n(m,n是正整数)这条性质能否推广到m,n是任意整数的情形? 观察下列特殊情形: (1)a3·a-5===a-2=a3+(-5),即a3·a-5=a3+(-5); (2)a-3·a-5=·==a-8=a(-3)+(-5),即a-3·a-5=a(-3)+(-5); (3)a0·a-5=1·==a-5=a0+(-5),即a0·a-5=a0+(-5). 归纳总结:am·an=这条性质对于m,n是任意整数的情形仍然适用. 问题:类似地,你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验,看看这些性质在整数范围内是否还适用. ①(am)n=amn(m,n是正整数);②(ab)n=anbn(n是正整数); ③am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整数,m>n);④=(n是正整数). 【师生活动】学生小组讨论后给出答案,教师课件展示例题,最后作总结. 归纳总结:整数指数幂的运算性质: (1)am÷an=am+n(m,n是整数);(2)(am)n=amn(m,n是整数);(3)(ab)n=anbn(n是整数). 例题　计算: (1)a-2÷a5;　(2);　(3)(a-1b2)3;　(4)a-2b2·(a2b-2)-3. 答案:(1)原式=.(2)原式=.(3)原式=.(4)原式=. (解题过程见课件) 【教师提醒】(1)解题时应直接运用这些性质,而不要急于转化为分式形式; (2)整数指数幂的运算性质也可以逆向进行; (3)通常计算的最后结果要写成分式的形式. 【即时测评】见导学案 当堂达标 见导学案 课堂小结 见课件 板书设计 第1课时　整数指数幂 1.负整数指数幂的意义 2.整数指数幂的运算性质 教学反思 整数指数幂是在学生学习了分式的基本性质及乘除法之后的教学,在复习幂的有关运算性质后提出问题“幂的这些运算性质中指数都要求是正整数,如果是负整数又表示什么意义呢?”通过提问让学生寻找规律,猜想出负整数幂的意义,不但调动了学生学习的积极性,也达到了课堂的预期效果. 第2课时　科学记数法 课标摘录 会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示). 教学目标 1.经历探索用10的负整数次幂来表示小于1的正数的过程,完善科学记数法,培养正向、逆向思维能力; 2.用科学记数法的形式渗透数学的简洁之美,通过完善科学记数法,培养对数学完美形式的追求. 教学重难点 重点:用科学记数法表示一些小于1的正数. 难点:科学记数法中10的指数与小数点的关系. 教学策略 从10的整数指数幂导入新课,通过“正整数—0—负整数”的变式实现知识的转化,生成新知识;通过实例进行归纳和训练,逐步深化,完成教学任务. 情境导入 1.什么是科学记数法? 把一个大于10的数表示成a×10n的形式,这种表示数的方法叫作科学记数法. 2.用科学记数法表示: (1)3 000 000 000=　　　　　　　;(2)246 000=　　　　　　　.  思考:我们已经学会了用科学记数法表示一些大于10的正数,你能用科学记数法表示小于1的正数吗? 新知初探 任务　用科学记数法表示小于1的正数 活动:探索:0.1==10-1; 0.01=　　　　　=　　　　　;0.001=　　　　　=　　　　　;  0.000 1=　　　　　=　　　　　;0.000 01=　　　　　=　　　　　.  归纳总结:1==1×10-n. 一般地,小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式,其中1≤a<10,n是正整数. 【设计意图】让学生通过这种亲自参与,感受数学知识之间的密切联系,深化自己的认知,任何一个正数都可以表示成a×10n的形式,构建完整的科学记数法的知识体系. 例1　用科学记数法表示下列各数: (1)0.001 2=　1.2×10-3　;(2)0.000 001 5=　1.5×10-6　;(3)0.000 000 18=　1.8×10-7　;  (4)0.000 000 029=　2.9×10-8　;(5)0.000 000 000 03=　3×10-11　.  思考:观察这些等式,你能发现10的指数与什么有关呢?说出你发现的规律. 【师生活动】学生先独立思考每个问题,再在小组内交流,教师深入小组,并参与小组活动,及时了解学生思维变化情况. 归纳总结:用科学记数法a×10-n表示小于1的正数时,n的取值为小数中第一个不为零的数字前面所有的零的个数. 想一想:对于一个小于1的正小数,如果小数点后至第一个非0数字前有8个0,那么用科学记数法表示这个数时,10的指数是多少?如果有m个0呢? 【设计意图】通过例1巩固用科学记数法表示小于1的正数,并根据例1的结果探究10的指数与原小数中0的个数之间的关系. 例2　用小数表示下列各数: (1)2×10-7;　(2)3.14×10-5;　(3)7.08×10-3;　(4)2.17×10-1. 解:(1)2×10-7=0.000 000 2; (2)3.14×10-5=0.000 031 4; (3)7.08×10-3=0.007 08; (4)2.17×10-1=0.217. 例3　碳纳米管是一种前沿纳米材料,有很多神奇的特性.它是由呈六边形排列的碳原子构成的单层或多层的同轴圆管,其直径一般为2~20 nm.通常一根头发丝的直径约为70 μm,一根头发丝的直径大约是碳纳米管直径的多少倍? 【教师提示】1 μm=10-6 m.1 nm=10-9 m. 解:70 μm=70×10-6 m,2 nm=2×10-9 m,20 nm=20×10-9 m. (70×10-6)÷(2×10-9)=3.5×104. (70×10-6)÷(20×10-9)=3.5×103. 因此,一根头发丝的直径大约是碳纳米管直径的3.5×103~3.5×104倍. 【设计意图】通过例3让学生意识到数学与生活是紧密相关的.运用数学知识解决实际问题是学习数学的重要目标. 【即时测评】见导学案 当堂达标 见导学案 课堂小结 见课件 板书设计 第2课时　科学记数法 1.大于10的正数的科学记数:N=a×10n(其中n是正整数,1≤a<10) 2.小于1的正数的科学记数:N=a×10-n(其中n是正整数,1≤a<10) 教学反思 在知识的联系与比较中,让学生体会类比、转化、归纳等数学思想方法;开展发散性思维、逆向思维,提高学生的思维能力;通过例题、练习、检测,达到熟练解答的程度,有较好的教学效果. 学科网（北京）股份有限公司 $$