22.1.1二次函数（教学设计）数学人教版九年级上册

本文聚焦二次函数概念展开，承接一次函数学习背景，为后续函数研究奠基。通过创设情境、探究实例等环节，培养学生抽象能力、推理能力与模型观念等核心素养，让学生经历从实际问题抽象出函数概念的过程。 该设计创新点在于紧密联系生活实例，采用问题驱动教法。从学生层面看，能提升其对概念的理解与应用能力；从教师层面看，提供了清晰授课思路；从课堂效果看，有效突破会用二次函数描述变量关系这一教学难点。

22.1.1二次函数（教学设计） 1.教学内容 本课时是人教版九年级上册教材第二十二章二次函数,22.1二次函数的图象和性质，22.1.1二次函数，内容为二次函数的概念。 2.内容解析 本节课是人教版义务教育九年级数学上册第22章《二次函数》第一节第一课时的内容。属于“数与代数”领域中的函数。本节在引言的基础上，将二次函数的概念通过具体问题引入，正方体的表面积的问题比较简单。在问题1中，关键是使学生弄清以下两点:每个队比赛(n-1)场;比赛的场次数是n(n-1)的一半。在问题2中，先求一年后的产量，然后求再经过一年的产量，即两年后的产量。学生已经具备有关一元二次方程一般形式的知识，并且学过了一次函数的意义，因此，可以对二次函数的意义有进一步的理解。要求学生知道二次函数解析式中字母的意义，并且能根据给出的函数解析式判断一个函数是不是二次函数。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：正确理解二次函数的概念，会判断用解析式表示出来的两个变量之间的关系是否为二次函数关系。 1.教学目标 (1)理解二次函数的概念,会判断用解析式表示出来的两个变量之间的关系是否为二次函数关系。 (2）经历从具体问题中抽象出函数解析式的过程，发展观察、抽象、类比、归纳的能力，感受二次函数是描述现实世界变量关系的重要模型。 （3）类比一次函数的研究方法，获得一般地认识和研究函数的基本方法，为进一步学习、研究函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 2.目标解析 （1）通过本节课的学习使学生理解二次函数的概念。学生已经学习了一次函数与反比例函数，对于函数的学习已有很好的基础和经验。通过二次函数概念的学习要会判断用解析式表示出来的两个变量之间的关系是否为二次函数关系。 （2）二次函数是初中阶段所学的函数知识的重点内容之一，是对函数及其应用知识学习的深化和提高，二次函数的学习为学生进一步学习函数，进而体会函数的思想奠定基础，积累经验，同时后二次函数的应用做好铺垫，起着承上启下的作用。 （3）类比一次函数的研究方法，研究二次函数，获得一般地认识和研究函数的基本方法，为进一步学习、研究函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 “二次函数”这一章是在学习一次函数、反比例函数的基础上，具体研究的第三个函数模型，通过之前的学习，学生已经学过变量、因变量、函数等概念，具备了一定的函数方面的基础知识、基本技能，会利用方程解决一些实际问题。是应用研究函数性质的一般方法去研究函数的第三次实践，对学生而言，即学习了新的函数模型，又增强了对函数研究方法的掌握，为后续研究其他函数积累宝贵经验。二次函数的学习过程充满着观察、分析、抽象、概括等方法，蕴含着从特殊到一般，数形结合、函数的思想。因此学习二次函数是学生认识函数的又一次飞跃。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：会用二次函数描述两个变量之间的关系. 创设情景，引入新课 问题 函数是描述现实世界中变化规律的数学模型，用一次函数可以表示某些问题中变量之间的关系,我们再来看另一些问题中变量之间的关系,如果改变正方体的棱长x，那么正方体的表面积y会随之改变，y与x之间有什么关系?从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h随小球运动时间t的变化而变化，h与t之间有什么关系? 再看章前图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线.在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度y与它距离喷头的水平距离之间有什么关系? 回答上述问题就要用x到二次函数。像学习一次函数一样，本章我们首先讨论什么样的函数是二次函数，然后讨论二次函数的图象和性质，并由此加深对一元二次方程的认识，最后运用二次函数分析和解决某些实际问题。通过上述过程，我们对函数在反映现实世界的运动变化中的作用会有进一步的体会。 这个函数与我们学过的一次函数不同，什么是二次函数?二次函数图象是什么？有什么性质?它与一元二次方程有什么关系？它在实际问题中有什么应用？这就是本章要学习的主要内容。本节课学习21.1.1二次函数。 (设计意图：提出问题激发学生学习的兴趣,让学习了解本章要解决的问题) 探究点1 引言中正方体的表面积的问题 我们看引言中正方体的表面积的问题。正方体的六个面是全等的正方形（图22.1-1)， 追问：（1）设正方体的棱长为，表面积为y，对于的每一个值，y的对应值如何?y与х的对应关系如何? （2）y是х的函数，它们的函数关系是什么？这个函数有什么特征？ 答案：（1）设正方体的棱长为，表面积为y,对于的每一个值，y都有唯一的一个值与其对应;y是х的函数。 （2）y是х的函数，它们的具体关系可以表示①。特征：函数关系式自变量的最高次数是2，且是整式。 (设计意图：本节在引言的基础上，通过观察初步认识二次函数的基本特征) 探究点2 单循环问题 问题1 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系? 追问：（1）n个球队每个队要与其他（n一1)）个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数如何用n表示？ （2）对于n的每一个值，m的对应值如何?m与n的对应关系如何?这个函数有什么特征？ 答案：（1） (2)对于n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数,,即② 特征：函数关系式自变量的最高次数是2，且是整式。 探究点3 增长率问题 问题2 某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的的值而确定，y与之间的关系应怎样表示? 追问：（1）这种产品一年后的产量是多少?再经过一年后的产量是多少? (2)y与之间的关系应怎样表示?这个函数有什么特征？ 答案：(1)这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是t;”再经过一年后的产量是t。 (2)y与之间的关系是,即③.特征：函数关系式自变量的最高次数是2，且是整式。 探究点4 二次函数概念 思考:函数①②③有什么共同特征? (活动方法:学生观察并用自己语言归纳上述问题中三个关系式有哪些共同之处。) 归纳总结:在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的，一般地，形如(a,b, c是常数,)的函数，叫做二次函数。其中，是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 (设计意图：.通过三个实际问题，得出二次函数的具体例子，再引导学生观察三个具体方程，发现它们在形式上的共同点，给出二次函数的概念及其表示。这个过程体现了概念学习的一般进程:分析典型丰富的具体例证，抽取不同事例的共同特征、舍弃非本质特征，概括得到概念) 典例分析 例1．若是关于的二次函数，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D． 【分析】明确二次函数的定义是解题的关键，尤其需要注意的是二次项的系数应不等于零，忽略关于二次项系数取值范围的限制，容易导致错选D． 【详解】根据二次函数的定义：形如（是常数，且）的函数叫做二次函数．据此可列出关于参数的方程与不等式，求解即可．令，解得或，又，故当时，这个函数是关于的二次函数，故选C． 例2.扇形面积公式是 （1）当是常量时，是的什么函数？自变量是什么？自变量取值范围是什么？ （1）当是常量时，是的什么函数？自变量是什么？自变量的取值范围是什么？ 【分析】主要考查一次函数、二次函数的概念，根据一次函数、二次函数定义，同时确定自变量是什么，自变量的取值范围要考虑解析式有意义，还要考虑实际意义。 【详解】（1）当是常量时，扇形面积公式可看作，其中是常数，是的正比例函数；自变量是；自变量取值范围是. （1）当是常量时，扇形面积公式可看作，其中是常数，是的二次函数；自变量是；自变量取值范围是. (设计意图：巩固对一次、二次函数概念和实际意义的认识) 1.（1）如果函数是关于的二次函数,求的值. (2)如果函数是关于的二次函数,求的值的范围;如果是一次函数求的值. 【分析】主要考查二次函数的定义，根据二次函数的定义,解析式形如的函数：①当时,是关于的二次函数；②当时,是关于的一次函数；③当时,是常数. 【详解】解：（1）如果函数是关于的二次函数,则满足: 解方程(1),得, 由(2),得, 故. (2) 当函数是关于的二次函数时,则满足:,即 故的值的范围是的实数; 当函数是关于的一次函数时,则满足:，且.即, 故的值. (设计意图：拓展对二次函数的认识) 1.（课本练习）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与底面半径r之间的关系式。 2.（课本练习）如图，矩形绿地的长、宽各增加m、写出扩充后的绿地的面积与的关系式。 参考答案： 1. 2.. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．（2024上·广东江门·九年级校考期中）下列函数中，不是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数． 【详解】解：A、是二次函数，故不符合题意； B、中分母含有自变量，不是二次函数，故符合题意； C、是二次函数，故不符合题意； D、是二次函数，故不符合题意； 故选：B． 2．（2025上·六安舒城·九年级校考阶段测试）若函数是二次函数． (1)求k的值． (2)当时，求y的值． 【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于k所满足的式子，求解即可； （2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：依题意有， 解得：， ∴k的值为3； （2）把代入函数解析式中得：， 当时，， ∴y的值为． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） (1)形如(a,b, c是常数,)的函数，叫做二次函数。其中，是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 （2）经历“实际问题→数学建模→概念生成”的过程，培养抽象能力；通过辨析实例提升了对概念关键特征（、整式）的理解；是自变量要考虑实际意义。 （3）感受方程在解决现实问题中的价值，增强应用意识；在合作探究中体会数学的严谨性与逻辑性。 （设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：习题22.1 第1、2题。 探究性作业：1.某山西特产专卖店销售某种核桃，原来平均每天可销售200千克，每千克可盈利8元，为减少库存，经市场调查，如果这种核桃每千克降价1元，则每天可多售出20千克． (1)设每千克核桃降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数解析式； (2)若要销售这种核桃平均每天盈利1440元，则每千克应降价多少元？ 【详解】（1）解：根据题意，可得 化简，得 （2）当时 即， 解得，(舍去)． 要销售这种核桃平均每天盈利1440元，则每千克应降价2元． 主板书 21.1.1二次函数 探究点1 引言中正方体的表面积的问题　 探究点2 单循环问题 探究点3 增长率问题 探究点4 二次函数概念 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$