22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质（导学案）数学人教版九年级上册

本文围绕二次函数$y=ax^{2}$的图象和性质展开，承接函数相关知识背景，为后续深入学习二次函数奠基。通过自主学习、合作探究等环节，培养学生抽象能力、运算能力等数学核心素养，引导学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界。 该设计创新采用导学案形式，以问题驱动学生自主探索。从学生层面看，提升其思维能力；从教师角度，提供清晰授课路径；课堂效果上，强化互动，有效突破图象画法及性质理解等教学难点。

　　　　22.1.2 二次函数的图象和性质（导学案）（原卷版） 1.教学目标 1.会用描点法画二次函数的图象，理解抛物线的有关概念。 2.掌握二次函数的性质，能确定二次函数的表达式。 3.通过画出简单的二次函数探索出二次函数的性质及图象特征，使学生经历探索二次函数图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。 重点：二次函数的图象的画法及性质；能确定二次函数的解析式。 难点：用描点法画二次函数的图象，探索其性质；能依据二次函数的有关性质解决问题。 第一环节 自主学习 温故知新： ①描点法画函数图象的一般步骤如下： 第一步 ; 第二步 ； 第三步 。 ②一次函数和二次函数自变量取值范围是什么？ 一次函数和二次函数自变量取值范围 。 【学法指导】 自研课本P29－32页内容 1 . 二次函数的图象 （1）用描点法画二次函数的图象，怎样列表？列表，以表中的实数对为坐标，画出二次函数的图象，观察函数图象的形状。 （2）看看画出来的图形的大致形状，我们把这样的图象叫什么？ 2 .二次函数的性质 观察二次函数的图象你能得到哪些性质？ （1）抛物线是轴对称性图形吗？如果是，对称轴是什么？说明理由？ （2）抛物线的顶点是什么吗？最低点是什么？ （3）抛物线的增减性如何？ 3 .二次函数的图象和性质 思考 （1）函数,,的图象与函数的图象相比，有什么共同点和不同点？ (2)当时，二次函数的图象有什么特点? 4 .二次函数的图象和性质 探究:(1)在同一直角坐标系中,画出函数，，，的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点. (2)当时，二次函数的图象有什么特点? 归纳总结 二次函数的图象和性质: 【自研自探】 例1.在同一直角坐标系中，画出函数，的图象。 例2.指出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点坐标,顶是抛物线的最高点还是最低点?函数的增减性如何?并比较两抛物线的开口大小。 (1) (2) 例3．已知二次函数的图象经过点，求该函数的解析式及对称轴，当时,随的增大而增大还是减小。 第二环节 合作探究 1. 讨论交流用描点法画二次函数的图象，观察画出来的图形的大致形状，我们把这样的图象叫什么？ 2.讨论交流抛物线是轴对称性图形吗？如果是，对称轴是什么？说明理由？顶点是什么吗？最低点是什么？抛物线的增减性如何？ 3.讨论交流函数,,的图象与函数(图中的虚线图形）的图象相比，有什么共同点和不同点？当时，二次函数的图象有什么特点? 4.讨论交流在同一直角坐标系中,画出函数，，，的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？当时，二次函数的图象有什么特点? 5.讨论交流二次函数的图象和性质。 6.合作探究提升：1．已知是二次函数，且当时,随的增大而增大． （1）求k的值； （2）直接写出顶点坐标和对称轴． 1.（课本练习）说出下列抛物线的开口方向,对称轴和顶点. 2.已知：如图，直线与抛物线交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积． 1．（2024上·河南濮阳·九年级校考阶段练习）已知二次函数，解答下列问题： (1)根据已知的图象部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）． (2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由． (3)求当时对应的函数图象上的点的坐标． 2.(2025上·江西宜春·九年级宜春联考）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ （1） 抛物线的对称轴是 ，顶点是 .当时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线 的 点;当时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的 点，对于抛物线，越大，抛物线的开口 。 （2）从二次函数的图象可以看出：如果，当时,随的增大而 ，当时，随的增大而 ；如果，当时,随的增大而 ，当时，随的增大而 。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.2 二次函数的图象和性质（导学案）（解析版） 1.教学目标 1.会用描点法画二次函数的图象，理解抛物线的有关概念。 2.掌握二次函数的性质，能确定二次函数的表达式。 3.通过画出简单的二次函数探索出二次函数的性质及图象特征，使学生经历探索二次函数图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。 重点：二次函数的图象的画法及性质；能确定二次函数的解析式。 难点：用描点法画二次函数的图象，探索其性质；能依据二次函数的有关性质解决问题。 第一环节 自主学习 温故知新： ①描点法画函数图象的一般步骤如下： 第一步列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值); 第二步 描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应 的各点)； 第三步 连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑的曲线连接起来）。 ②一次函数和二次函数自变量取值范围是什么？ 一次函数和二次函数自变量取值范围都是一切实数。 【学法指导】 自研课本P29－32页内容 1 . 二次函数的图象 （1）用描点法画二次函数的图象，怎样列表？列表，以表中的实数对为坐标，画出二次函数的图象，观察函数图象的形状。 （2）看看画出来的图形的大致形状，我们把这样的图象叫什么？ 答案：（1）由解析式可以看出可以取任意实数，不妨以0为中心，均匀选取一些便于计算的的值。 列表如下： 在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点，用平滑的曲线连接，描点连线如下： （2）可以看出，二次函数的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线。 归纳总结：实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下。一般地，二次函数的图象叫做抛物线。 2 .二次函数的性质 观察二次函数的图象你能得到哪些性质？ （1）抛物线是轴对称性图形吗？如果是，对称轴是什么？说明理由？ （2）抛物线的顶点是什么吗？最低点是什么？ （3）抛物线的增减性如何？ 答案：（1）抛物线是轴对称图形，对称轴是轴。理由：因为在抛物线上任取一点(m，m²),因为它关于轴的对称点（-m，m²)也在抛物线上，所以抛物线关于轴对称。 （2）轴是抛物线的对称轴，抛物线与它的对称轴的交点（0，0）叫做抛物线的顶点，它是抛物线的最低点。 归纳：每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点。 （3）从二次函数的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升，也就是说，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大。 3 .二次函数的图象和性质 思考 （1）函数,,的图象与函数的图象相比，有什么共同点和不同点？ (2)当时，二次函数的图象有什么特点? 答案：（1）共同点是开口向上，对称轴是轴，顶点是原点；不同点是开口大小不同，的系数越大，抛物线的开口越小。 (2)一般地，当时，抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，α越大，抛物线的开口越小。 4 .二次函数的图象和性质 探究:(1)在同一直角坐标系中,画出函数，，，的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点. 共同点是开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点；不同点是开口大小不同，的系数越小，抛物线的开口越小。 (2)当时，二次函数的图象有什么特点? 类比的情形分组讨论这些抛物线有什么共同点和不同点 归纳总结 二次函数的图象和性质: 一般地，抛物线的对称轴是轴，顶点是原点。当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，对于抛物线，越大，抛物线的 开口越小(如果，a越大，即越大，抛物线的开口越小;如果，a越小，即越大，抛物线的开口越小。在和两种情况下，都有越大，抛物线的开口越小。) 从二次函数的图象可以看出：如果，当时,随的增大而减小，当时，随的增大而增大；如果，当时,随的增大而增大，当时，随的增大而增小. 【自研自探】 例1.在同一直角坐标系中，画出函数，的图象。 【分析】先列出、的对应值表，描点，连线得出函数图象。 【详解】解：分别列表，再画出它们的图象(如图). 例2.指出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点坐标,顶是抛物线的最高点还是最低点?函数的增减性如何?并比较两抛物线的开口大小。 (1) (2) 【分析】根据当时，抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，α越大，抛物线的开口越小进行判断。 【详解】解：抛物线和的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点;抛物线的开口比抛物线小。 例3．已知二次函数的图象经过点，求该函数的解析式及对称轴，当时,随的增大而增大还是减小。 【分析】把已知点的坐标代入中求出a，从而得到抛物线解析式，然后利用二次函数的性质得到对称轴和增减性． 【详解】解：把代入，得， 解得， 所以抛物线解析式为，，对称轴为y轴，当时,随的增大而增大。 第二环节 合作探究 1. 讨论交流用描点法画二次函数的图象，观察画出来的图形的大致形状，我们把这样的图象叫什么？ 2.讨论交流抛物线是轴对称性图形吗？如果是，对称轴是什么？说明理由？顶点是什么吗？最低点是什么？抛物线的增减性如何？ 3.讨论交流函数,,的图象与函数(图中的虚线图形）的图象相比，有什么共同点和不同点？当时，二次函数的图象有什么特点? 4.讨论交流在同一直角坐标系中,画出函数，，，的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？当时，二次函数的图象有什么特点? 5.讨论交流二次函数的图象和性质。 6.合作探究提升：1．已知是二次函数，且当时,随的增大而增大． （1）求k的值； （2）直接写出顶点坐标和对称轴． 【分析】（1）根据二次函数的次数是2，可得方程，根据二次函数的性质，可得，可得答案； （2）根据二次函数的解析式，可得顶点坐标，对称轴． 【详解】解：（1）由是二次函数，且当时,随的增大而增大，得 ， 解得； （2）由（1）得二次函数的解析式为， 的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴. 1.（课本练习）说出下列抛物线的开口方向,对称轴和顶点. 2.已知：如图，直线与抛物线交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积． 参考答案： 1.（1)开口向上，对称轴是轴，顶点是原点； （2）开口向下，对称轴是轴，顶点是原点； （3）开口向上，对称轴是轴，顶点是原点; （4)开口向下，对称轴是轴，顶点是原点。 2.由题意得 解得或 因此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)． ∵直线与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.两交点与原点所围成的三角形面积. 在△BOC中，OC边上的高就是B点的横坐标值的绝对值1；在△ACO中，OC边上的高就是A点的横坐标值的绝对值4. 因此. 1．（2024上·河南濮阳·九年级校考阶段练习）已知二次函数，解答下列问题： (1)根据已知的图象部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）． (2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由． (3)求当时对应的函数图象上的点的坐标． 【详解】（1）如图所示， （2）当时， ， ∴点不在这个函数图象上； （3）当时， ， ∴， ∴时，对应的函数图象上的点的坐标为：和． 2.(2025上·江西宜春·九年级宜春联考）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，， 解得：； （2）解：∵函数图象的开口向下， ， ， ∴当时，该函数图象的开口向下； （3）解：∵当时，抛物线有最低点，函数有最小值， ， ∵或1， ∴当时，该函数有最小值． （1）抛物线的对称轴是轴，顶点是原点.当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，对于抛物线，越大，抛物线的开口越小。 （2）从二次函数的图象可以看出：如果，当时,随的增大而减小，当时，随的增大而增大；如果，当时,随的增大而增大，当时，随的增大而增小。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$