专题8 与轴对称、平移及旋转相关的问题-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（华东师大版2024）

42 专题八　与轴对称、平移及旋转相关的问题 轴对称、平移与旋转是图形的三种基本变换,它们的共同特征是只改变图形的位置,不改 变图形的形状和大小.解答相关问题时,要抓住“不变”的特点,为题目“创造”一些已知条件 进行求解. 类型一 与轴对称相关的问题 第1题 1. 如图,△ABC 与△ADC 关于 AC 所在直线对称,∠BCD= 70°,∠B=80°,则∠DAC 的度 数为 ( ) A. 55° B. 65° C. 75° D. 85° 2. 观察下列作图痕迹,所作线段CD 为△ABC 的中线的是 ( ) A B C D 3. 如图,在△ABC 中,将四边形EBCF 沿EF 翻折,使点B、C 分别落在点B'、C'处,点E 和点E'关于AC 对称,连结AE'、FE'.若 ∠BAC=50°,∠1=65°,则∠3的度数为 . 第3题 4. 如图①,在长方形纸片ABCD 中,点E、F、G 分别在边AD、AB、CD 上.将△AEF 沿EF 翻折,点A 落在点A'处;将△DEG 沿EG 翻 折,点D 落在点D'处. (1) 若 ∠AEF =40°,∠DEG =35°,求 ∠A'ED'的度数; (2) 若∠A'ED'=α,求∠FEG 的度数(用含 α的式子表示); (3) 如图②,若∠A'ED'=α,求∠FEG 的度 数(用含α的式子表示). 第4题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级 拍 照 批 改 43 类型二 与平移相关的问题 5. (连云港中考)如图所示的正方形中有一个 由若干个长方形组成的对称图案,该正方形 的边长是80cm,则图中涂色部分的周长是 ( ) 第5题 A. 440cm B. 320cm C. 280cm D. 160cm 答案讲解 6. 如 图,在△ABC 中,BC=8,将 △ABC 以每秒2个单位长度的速 度沿BC 所在的直线向右平移得到 △DEF,平移的时间为ts.当AD=2CE 时,t的值为 . 第6题 7. 如图,在△ABD 中,AC 是∠DAB 的平分 线,平移△ABC,使点C 与点D 重合,点B 的对应点是E,点A 的对应点是F. (1) 在图中画出平移后的△DEF; (2) 画出点A 到线段BD 的垂线段AM; (3) 如果∠DAB=70°,EF 与AD 相交于 点H,那么∠FDA= °,∠DHF= °. 第7题 答案讲解 8. 将一副三角尺按如图①所示的方式 摆放,点O、E、F 在直线l上,点B 恰好落在边DE 上,∠1=∠D= 30°,∠A=45°,∠AOB=∠DEF=90°. (1) 求∠ABE 的度数. (2) 如图②,将△DEF 沿直线l向左平移, 使得DE、DF 分别交AB 于点G、H,试说 明:∠DGH=∠DHG. (3) 连结AE,在△DEF 沿直线l平移的过 程中,是否存在∠1=2∠AEF? 若存在,请 在图③中画出△DEF,并说明点E 的位置; 若不存在,请说明理由. 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 44 类型三 与旋转相关的问题 9. 如图,将 Rt△ABC(其中∠BAC=55°, ∠C=90°)绕点 A 按顺时针方向旋转到 △AB1C1的位置,使得点C、A、B1 在同一 条直线上,那么旋转角等于 ( ) 第9题 A. 55° B. 70° C. 125° D. 145° 10. 如图①所示为某巨型摩天轮示意图,摩天 轮上以等间隔的方式设置36个车厢,车厢 依顺时针方向分别编号为1号到36号,且 摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转,旋 转一圈花费30分钟.如果图②表示21号车 厢运行到最高点的情形,经过x 分钟后, 12号车厢会运行到最高点,那么x的值为 ( ) 第10题 A. 17.5B. 20 C. 22.5 D. 25 11. 有两个直角三角形纸板,一个含45°角,另 一个含30°角,按如图①所示的方式叠放. 先将含30°角的纸板固定不动,再将含45° 角的纸板绕顶点A 按顺时针方向旋转,使 BC∥DE,如图②,则旋转角∠BAD 的度数 为 . 第11题 答案讲解 12. 如图①所示为由△ABC 和△BED 拼成的图案,且∠ACB=∠EBD= 90°,∠A=30°,∠ABC=60°,∠E= ∠EDB=45°. (1) ∠EBC 的度数为 . (2) △BED 不动,将△ABC 绕点B 按逆时 针方向旋转α(0°<α<90°),且∠ABE= 2∠DBC. ① 如图②,当0°<α<60°时,求∠ABD 的 度数; ② 如图③,当60°≤α<90°时,求∠ABD 的 度数. 第12题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级 15 180°,∴ ∠MEF+90°+∠O+∠MDO=180°,即45°+ 90°+∠O=180°.∴∠O=45°. 第6题 7.75° 8.2α 9.(1)∠A+∠B=∠C+∠D. (2)540. 解析:如图,连结CF.∵易得∠6+∠7=∠8+ ∠9,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+ ∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9=540°. (3)2∠P=∠D+∠B.理由:∵ 易得∠1+∠D=∠P+ ∠3,∠4+∠B=∠2+∠P,∴ ∠1+∠D+∠4+∠B= ∠P+ ∠3+ ∠2+ ∠P.∵ ∠1= ∠2,∠3= ∠4, ∴2∠P=∠D+∠B. 第9题 专题八 　 与轴对称、平移及旋转 相关的问题 1.B 2.B 3.85° 解析:由题意,得∠BEF=∠B'EF=∠1+ ∠AEF,∠EFC=∠EFC'=∠2+∠AFE,∠FAE'= ∠FAE=50°.∴180°-∠AEF=∠1+∠AEF,180°- ∠AFE= ∠2+ ∠AFE.∵ ∠1=65°,∴ ∠AEF = 57.5°.∴ ∠AFE=180°-∠FAE-∠AEF=72.5°. ∴∠2=180°-2∠AFE=35°.∵ ∠3=∠2+∠FAE', ∴∠3=35°+50°=85°. 4.(1)由翻折,得∠AEF=∠A'EF=40°,∠DEG= ∠D'EG=35°.∴ ∠AEA'+ ∠DED'+ ∠A'ED'= 2∠A'EF+2∠D'EG+∠A'ED'=180°.∴ ∠A'ED'= 180°-2×40°-2×35°=30°.(2)由翻折,得∠AEF= ∠A'EF,∠DEG=∠D'EG.∴易得2∠A'EF+2∠D'EG+ ∠A'ED'=180°,即2(∠A'EF+∠D'EG)=180°-α. ∴∠A'EF+∠D'EG= 12 (180°-α).∴ ∠FEG= ∠A'EF+∠D'EG+∠A'ED'=12 (180°-α)+α=90°+ 1 2α. (3)由 翻 折,得 ∠AEF = ∠A'EF,∠DEG = ∠D'EG.∴ 易得2∠A'EF+2∠D'EG-∠A'ED'= 180°,即2(∠A'EF+∠D'EG)=180°+α.∴ ∠A'EF+ ∠D'EG=12 (180°+α).∴ ∠FEG=∠A'EF+∠D'EG- ∠A'ED'=12 (180°+α)-α=90°-12α. 5.A 6.83 或8 解析:由题意,得AD=BE=CF.分两种情况 讨论:① 当点E 在点B、C 之间时,∵AD=BE=2CE, ∴BC=BE+CE=BE+12BE=8.∴BE= 16 3.∴t= 16 3÷2= 8 3.② 当点E 移至点C 的右侧时,∵AD=CF, AD=2CE,CF=CE+EF,∴CE=EF.由平移,得BC= EF.∴CE=EF=BC=8.∴CF=2×8=16.∴t=16÷ 2=8.综上所述,当AD=2CE 时,t的值为83 或8. 7.(1)如图,△DEF 即为所求.(2)如图,线段AM 即为 所求.(3)35;110. 第7题 8.(1)∵ ∠1+∠AOB+∠BOE=180°,∠1=30°, ∠AOB=90°,∴ ∠BOE=180°-∠1-∠AOB=60°. ∵ ∠DEF=90°,∴ ∠BEO=180°- ∠DEF=90°. ∴∠OBE=180°-∠BOE-∠BEO=30°.∴ ∠ABE= ∠OBE+∠ABO=30°+45°=75°.(2)如图①,设OA 和 EG 相交于点M.∵∠EMO+∠DEF+∠1=180°,∠1= 30°,∠DEF=90°,∴ ∠EMO=180°-∠DEF-∠1= 60°.∴ ∠AMG=∠EMO=60°.∵ ∠AGM +∠A+ ∠AMG=180°,∠A=45°,∴ ∠AGM=180°-∠A- ∠AMG=75°.∴ ∠DGH=∠AGM=75°.∵ ∠D=30°, ∴∠DHG=180°-∠D-∠DGH=180°-30°-75°= 75°.∴∠DGH=∠DHG.(3)存在.如图②,△DEF 即为 所求.此时点E、A、B 在同一条直线上. 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 16 9.C 10.C 11.30° 12.(1)150°.(2)① 由 题 意,得 ∠ABE=90°-α, ∠DBC=60°-α.∵ ∠ABE=2∠DBC,∴90°-α= 2(60°-α),解得α=30°,即∠ABD 的度数是30°.② 由题 意,得∠ABE=90°-α,∠DBC=α-60°.∵ ∠ABE= 2∠DBC,∴90°-α=2(α-60°),解得α=70°,即∠ABD 的度数是70°. 整合提优自主检测 一、 1.A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.B 7.A 8.A 解析:如图,延长FG,交CH 于点I.∵AB∥CD, ∴ ∠BFD = ∠D,∠AFI= ∠FIH.∵ FD∥EH, ∴∠EHC=∠D.∵FE 平分∠AFG,∠AFG=2∠D, ∴∠FIH=2∠AFE=2∠D=2∠EHC.∵ FG⊥EH, ∴ ∠IGH=90°.∴ ∠EHC+∠FIH=90°.∴3∠EHC= 90°.∴∠EHC=30°.∴ ∠D=30°.∴2∠D+∠EHC= 2×30°+30°=90°.故①错误,②正确.∵FE 平分∠AFG, ∴ ∠AFI=30°×2=60°.∵ ∠BFD = ∠D =30°, ∴∠GFD=180°-∠AFI-∠BFD=90°.∴ ∠GFH+ ∠HFD=90°.∴ ∠HFD 的度数未必为30°,∠GFH 的 度数未必为45°,只要和为90°即可.∴ ③④不一定正 确.综上所述,一定正确的有1个. 第8题 二、 9.3 10.121 11.35° 12.118° 13.10或11或12 14.①②③ 解析:∵ ∠EFG=30°,∴ ∠EFN=180°- 30°=150°.故①正确.∵ ∠G=∠MPN=∠MPG=90°, ∴GE∥MP.故②正确.如图,过点 F 作FH∥AB. ∵AB∥CD,∴FH∥AB∥CD.∴ ∠HFN=∠MNP= 45°.∴ ∠EFH = ∠EFN - ∠HFN =150°-45°= 105°.∵FH∥AB,∴ ∠BEF=180°-105°=75°.故④错 误.∵ ∠GEF=60°,∠BEF=75°,∴ ∠AEG=180°- 60°-75°=45°.∴ ∠AEG=∠PMN=45°.故③正确.综 上所述,正确的是①②③. 第14题 三、 15.(1)原式=-9÷4×43×6+ (-8)=-9×14× 4 3×6+ (-8)=-18+(-8)=-26.(2)原不等式组的 解集为3≤x<8.解集在数轴上表示如图所示. 第15题 16.(1)原式=x2+mx-12y+3-3x+2y-1+nx 2= (n+1)x2+(m-3)x+32y+2.∵ 多项式的值与字母x 的取值无关,∴n+1=0,m-3=0,解得 m=3,n= -1.(2)原式=3m2+mn+n2-3m2+3mn+3n2= 4mn+4n2.当m=3,n=-1时,原式=-12+4=-8. 17.(1)两直线平行,内错角相等;如果两条直线都与第三 条直线平行,那么这两条直线也互相平行;∠BEF; ∠CEF.(2)过点 E 向左作EF∥AB.∵ AB∥CD, ∴AB∥CD∥EF.∴ ∠B + ∠BEF =180°,∠C + ∠CEF=180°.∴ ∠B+ ∠BEF+ ∠C+ ∠CEF= 360°.∴ ∠B+∠C+∠BEC=360°.∴ ∠B+∠C= 360°-∠BEC.(3)∠B+∠D+∠F-∠E=180°. 18.(1)如图①,射线AD 即为所求(画法不唯一).(2)如 图①,点E 即为所求(画法不唯一).(3)如图②,点F、射 线AF、点G 即为所求.(4)如图②,线段 MN 即为所求 (画法不唯一). 第18题 19.(1)设批发西红柿x千克,西兰花y千克.由题意,得 x+y=300, 3.6x+8y=1520, 解得 x=200 , y=100. ∴ 该经营户该天批发 西红柿200千克,西兰花100千克,则这两种蔬菜当天全 部售完一共能赚200×(5.4-3.6)+100×(14-8)= 960(元).(2)设批发西红柿a 千克.由题意,得(5.4- 3.6)a+(14-8)×1520-3.6a8 ≥1050 ,解得a≤100. ∴该经营户最多能批发西红柿100千克. 20.(1)-12;-6;9.(2)线段MN 的长度不发生变化.理 由:由题意,得AB=-6-(-12)=6,BC=9-(-6)= 15.设点P 的运动时间为x秒.分情况讨论:①当点P 在 点A、B 之间时,PA=x,PB=6-x.∵M 为PA 的中点, ∴PM=AM=x2.∵N 为PB 的中点,∴PN=BN= 6-x 2 .∴MN=PM+PN= x 2+ 6-x 2 =3.② 当点P 在 点B 的右侧时,PA=x,PB=x-6.∵M 为PA 的中点, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈