专题7 与多边形相关的问题-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（华东师大版2024）

39 专题七　与多边形相关的问题 解答与多边形相关的问题时,要运用好内角与外角的关系,多边形的内角和与外角和以及平 行、垂直、角平分线等条件进行转化求解,同时要熟悉一些常见的模型,并掌握相应的结论,提高 解决问题的效率. 类型一 与多边形的内外角相关的计算 1. (十堰中考)将一副透明三角尺按如图所示的 方式放置,点A 在DE 上,点F 在BC 上.若 ∠EAB=35°,则∠DFC的度数为 . 第1题 第2题 2. (1) (济宁中考)已知一个多边形的内角和为 540°,则这个多边形是 边形. (2) 足球的表面是由12块正五边形的黑皮 和20块正六边形的白皮组成的.如图,将足 球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展 开放平,则∠AOB 的度数为 . 答案讲解 3. 已知边数为n的多边形的一个外角 的度数是m°,内角和是x°,外角和 是y°. (1) 当x=2y时,求n的值; (2) 若x+y+m=2 380,求m 的值. 类型二 与三角形的高、角平分线相关的 计算 4. 【问题呈现】 小明在学习中遇到这样一个问题:如图①, 在△ABC 中,∠C>∠B,AE 平分∠BAC, AD⊥BC 于点D,猜想∠EAD 与∠B、∠C 之间的数量关系. (1) 小明阅读题目后,没有发现数量关系与 解题思路,于是尝试代入∠B、∠C 的值求 ∠EAD 的值,得到下面几组对应值: ∠B 10° 30° 30° 20° 20° ∠C 70° 70° 60° 60° 80° ∠EAD 30° a° 15° 20° 30° 上表中a= ,于是得到∠EAD 与 ∠B、∠C 之间的数量关系为 . 【变式应用】 (2) 小明继续研究,在图②中,∠B=35°, ∠C=75°,其他条件不变,若把“AD⊥BC 于 点D”改为“F 是线段AE 上一点,FD⊥BC 于点D”,求∠DFE 的度数,并直接写出 ∠DFE 与∠B、∠C 之间的数量关系. 第4题 【思维发散】 (3) 小明突发奇想,交换B、C 两个字母的位 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 40 置,在图③中,若把(2)中的“F 是线段AE 上 一点”改为“F 是EA 的延长线上一点”,其余 条件不变.当∠ABC=88°,∠C=24°时,∠F 的度数为 °. 第4题③ 类型三 与多边形的角平分线相关的探究 答案讲解 5. (1) 如图①,在△ABC 中,∠A= 64°,BP、CP 分 别 是 ∠ABC、 ∠ACB 的平分线,则∠P 的度数为 . (2) 如图②,在四边形 ABCD 中,∠A= 100°,∠D=140°,∠ABC 和∠DCB 的平分 线交于点E,则∠BEC 的度数为 . 第5题 (3) 如图③,在△ABC 中,∠A=70°,BP、 CP 分别是∠DBC、∠ECB 的平分线,则 ∠P 的度数为 . (4) 如图④,在△ABC 中,BP 是∠ABC 的 平分线,CP 是∠ACD 的平分线.请探究 ∠P 与∠A 之间的数量关系,并说明理由. (5) 如图⑤,在四边形 ABCD 中,BP 是 ∠ABC 的平分线,CP 是∠DCE 的平分线, 请探究∠P 与∠A、∠D 之间的数量关系, 并说明理由. 第5题 答案讲解 6. 已知在四边形 ABCD 中,∠B= ∠C=90°,E 为边AB 上一点,F 为 边BC 上一点(不与点B、C 重合), 连结EF、DF,且EF⊥DF. (1) 如图①,如果∠DFC=∠A,试说明: AD⊥DF. (2) 如图②,∠BEF 和∠CDF 的平分线相 交于点O,当点F 在边BC 上运动时,∠O 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级 41 的度数是否发生变化? 若不发生变化,求出 ∠O 的度数;若发生变化,求出其变化范围. 第6题 类型四 与多个角的度数和相关的计算 7. 如图,∠A=65°,∠D=140°,则∠1+∠2= . 第7题 第8题 8. 如图,∠CGE=α,则∠A+∠B+∠C+∠D+ ∠E+∠F 的度数为 . 9. (1) 如图①,我们称之为“8”字形,请直接写 出∠A、∠B、∠C、∠D 之间的数量关系; (2) 如图②,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+ ∠6+∠7= °; (3) 如图③,若∠1=∠2,∠3=∠4,猜想 ∠B、∠P、∠D 之间的数量关系,并说明 理由. 第9题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 13 x-2(x-1)≤3, 2k+x 3 ≥x 有解,∴k≥-1.综上所述,-1≤k< 4.∴符合条件的整数k的值为-1、0、1、2、3. 专题六　方程（组）与不等式在 实际生活中的应用 1.B 2.A 3.C 4. 5×8+3x+13y=100 , x+y+8=100 5.2.5 6.设该文具店中这种大笔记本每本的价格是x 元,则小 笔记本每本的价格是(x-3)元.根据题意,得4x+6(x- 3)=62,解得x=8.经检验,符合题意.∴ 该文具店中这 种大笔记本每本的价格是8元. 7.设天头长为xcm,则由题意,得地头长为23xcm ,边的 宽为1 10x+ 2 3x =16x(cm).∴ 装裱后的长为23x+ x+100= 53x+100 cm,装裱后的宽为16x+16x+ 27= 13x+27 cm.由题意,得53x+100= 13x+ 27 ×4,解得x=24.∴ 16x=4.∴ 边的宽为4cm,天头 长为24cm. 8.(1)设足球和跳绳的单价分别为x元、y元.由题意,得 12x+10y=1400, 10x+12y=1240, 解得 x=100 , y=20. ∴ 足球和跳绳的单价 分别为100元、20元.(2)由题意,得80a+15b=1800 (a>15).∵ 1800÷80=22(个)……40(元),∴ 可购进足 球的数量最多为22个.∴15<a≤22.当a=16时,b= 104 3 (不合题意,舍去);当a=17时,b=883 (不合题意,舍 去);当a=18时,b=24;当a=19时,b=563 (不合题意, 舍去);当a=20时,b=403 (不合题意,舍去);当a=21 时,b=8;当a=22时,b=83 (不合题意,舍去).∴有两种 方案,方案一:购进足球18个,跳绳24根;方案二:购进足 球21个,跳绳8根.(3)方案一的利润为(100-80)×18+ (20-15)×24=480(元),方案二的利润为(100-80)× 21+(20-15)×8=460(元).∵480>460,∴为了获利最 多,应选择方案一,即购进足球18个,跳绳24根. 利用枚举法求二元一次方程的整数解 二元一次方程的解有无数组,但在限定条件下往 往可以求出其整数解.求二元一次方程的整数解,在问 题不是特别复杂的情况下,可以采用枚举法,即将其中 的一个未知数可以取的整数一一列举出来,求出对应 的另一个未知数的值,并找出符合题意的整数解.本题 就是在已知a的取值范围的条件下,列举出所有符合 条件的整数值,通过计算求出b的值,最后选取a、b均 是整数的解. 9.A 10.B 11.8.8 12.设可购买这种型号的水基灭火器x个,则购买这种型 号的干粉灭火器(50-x)个.根据题意,得540x+ 380(50-x)≤21000,解得x≤12.5.∵x为整数,∴x的 最大值为12.∴ 最多可购买这种型号的水基灭火器 12个. 13.(1)设 该 班 胜 x 场,负 y 场.根 据 题 意,得 x+y=15, 3x+y=39, 解得 x=12 , y=3. 答:该班胜12场,负3场. (2)设该班在这场比赛中投中了m 个3分球,则投中了 (27-m)个2分球.根据题意,得3m+2(27-m)≥58,解 得m≥4.∴m 的最小值为4.∴ 该班在这场比赛中至少 投中了4个3分球. 14.(1)根据题意,得 a-b=2, 3b-2a=6, 解得 a=12 , b=10. (2)设购 买A型污水处理设备x台,B型污水处理设备(10-x)台, 则12x+10(10-x)≤105,解得x≤2.5.∵x 取非负整 数,∴x可取的值为0、1、2.∴ 有三种购买方案:① 购买 A型污水处理设备0台,B型污水处理设备10台;②购买 A型污水处理设备1台,B型污水处理设备9台;③ 购买 A型污水处理设备2台,B型污水处理设备8台.(3)由题 意,得240x+200(10-x)≥2040,解得x≥1.又∵x≤ 2.5,x取非负整数,∴x可取的值为1、2.当x=1时,购 买资金为12×1+10×9=102(万元);当x=2时,购买资 金为12×2+10×8=104(万元).∵ 102<104,∴ 为了节 约资金,应购买A型污水处理设备1台,B型污水处理设 备9台. 专题七　与多边形相关的问题 1.100° 2.(1)五 (2)132° 3.(1)∵多边形的外角和为360°,∴y=360.∵n边形的 内角和为(n-2)×180°,∴x=(n-2)×180=180n- 360.∵x=2y,∴180n-360=2×360,解得n=6. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 14 (2)∵x+y+m=2380,∴180n-360+360+m= 2380,即180n+m=2380.∵n边形的一个外角的度数 是m°,∴m<180.∵n为正整数,且2380÷180=13…… 40,∴易得n为2380÷180的商,m 为2380÷180的余 数,即m 的值为40. 4.(1)20;∠EAD=12 (∠C-∠B).(2)如图①,过点A 作AG⊥BC 于点G.∵FD⊥BC,AG⊥BC,∴FD∥ AG.∴ ∠DFE=∠EAG.∵ ∠B=35°,∠C=75°, ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°,∠BAG=90°- ∠B=55°.∵AE 平分∠BAC,∴ ∠BAE=∠CAE= 1 2∠BAC=35°.∴ ∠EAG=∠BAG-∠BAE=20°. ∴∠DFE=20°.∴∠DFE=12 (∠C-∠B). (3)32. 解析:如图②,过点A 作AG⊥BC 于点G. ∵FD⊥BC,AG⊥BC,∴AG∥FD.∴ ∠EAG=∠F.由 (2)同理,可得∠EAG=12 (∠ABC-∠C),∴ ∠F= 1 2 (∠ABC-∠C).∵ ∠ABC=88°,∠C=24°,∴ ∠F= 1 2 (∠ABC-∠C)=32°. 第4题 5.(1)122°. 解析:∵ ∠A=64°,∠A+∠ABC+ ∠ACB=180°,∴ ∠ABC+∠ACB=116°.∵BP、CP 分 别平分∠ABC、∠ACB,∴∠PBC=12∠ABC ,∠PCB= 1 2∠ACB.∴∠PBC+∠PCB= 1 2 (∠ABC+∠ACB)= 1 2×116°=58°.∵ ∠P+ ∠PBC+ ∠PCB=180° , ∴∠P=180°-58°=122°. (2)120°. 解析:∵∠A=100°,∠D=140°,∴∠ABC+ ∠BCD=360°-(∠A+∠D)=120°.∵BE 平分∠ABC, CE 平 分 ∠BCD,∴ ∠EBC= 12 ∠ABC ,∠ECB = 1 2∠BCD.∴ ∠EBC + ∠ECB = 1 2 (∠ABC + ∠BCD)=60°.∴∠BEC=180°-60°=120°. (3)55°. 解析:∵ ∠A=70°,∠A+∠ABC+∠ACB= 180°,∴ ∠ABC+∠ACB=110°.∵BP、CP 分别平分 ∠DBC、∠ECB,∴ ∠PBC = 12∠DBC ,∠PCB = 1 2∠ECB.∴ ∠PBC+∠PCB= 1 2 (∠DBC+∠ECB). ∵ ∠DBC=180°-∠ABC,∠ECB=180°-∠ACB, ∴ ∠PBC + ∠PCB = 12 (180°- ∠ABC +180°- ∠ACB)=180°-12 (∠ABC+∠ACB)=180°-12× 110°=125°.∴ ∠P=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°- 125°=55°. (4)∠A=2∠P.理由:∵BP 是∠ABC 的平分线,CP 是 ∠ACD 的平分线,∴ ∠PBC= 12∠ABC ,∠PCD= 1 2∠ACD.∵ ∠ACD 是 △ABC 的 外 角,∠PCD 是 △BPC的外角,∴ ∠ACD=∠ABC+∠A,∠PCD= ∠PBC+∠P.∴ 12∠ACD= 1 2∠ABC+ 1 2∠A ,即 ∠PCD=12∠ABC+ 1 2∠A.∴ 1 2∠ABC+ 1 2∠A= ∠PBC+∠P.∴ ∠A=2∠P.(5)∠P=12 (∠A+ ∠D)-90°.理 由:∵ ∠BCD=360°-∠A-∠D- ∠ABC,∴ ∠DCE =180°- (360°- ∠A - ∠D - ∠ABC)=∠A+∠D+∠ABC-180°.∵ ∠PCE 是 △BPC 的外角,∴ ∠PCE=∠P+∠PBC.∵BP 是 ∠ABC的平分线,CP 是∠DCE 的平分线,∴ ∠PBC= 1 2∠ABC ,∠PCE= 12 ∠DCE.∴ ∠P+ ∠PBC= 1 2∠DCE = 1 2 (∠A + ∠D + ∠ABC -180°)= 1 2 (∠A+∠D)+12∠ABC-90°.∴ ∠P= 1 2 (∠A+ ∠D)-90°. 6.(1)∵ EF⊥DF,∴ ∠DFE=90°.∴ ∠BFE+ ∠DFC=90°.∵ ∠B=90°,∴ ∠BEF+∠BFE=90°. ∴ ∠BEF=∠DFC.∵ ∠DFC=∠A,∴ ∠BEF= ∠A.∴EF∥AD.∵EF⊥DF,∴AD⊥DF.(2)∠O 的 度数不发生变化.如图,延长DF 交OE 于点M.∵EF⊥ DF,∴ ∠EFM =90°.由 (1),得 ∠BEF = ∠DFC. ∵∠C=90°,∴ ∠DFC+∠FDC=90°,即∠BEF+ ∠FDC=90°.∵ EO 平 分∠BEF,DO 平 分∠CDF, ∴∠MEF=12∠BEF ,∠MDO=12∠FDC.∴∠MEF+ ∠MDO = 12 (∠BEF+∠FDC)= 12 ×90°=45°. ∵∠DMO=∠MEF+90°,∠DMO+∠O+∠MDO= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 15 180°,∴ ∠MEF+90°+∠O+∠MDO=180°,即45°+ 90°+∠O=180°.∴∠O=45°. 第6题 7.75° 8.2α 9.(1)∠A+∠B=∠C+∠D. (2)540. 解析:如图,连结CF.∵易得∠6+∠7=∠8+ ∠9,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+ ∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9=540°. (3)2∠P=∠D+∠B.理由:∵ 易得∠1+∠D=∠P+ ∠3,∠4+∠B=∠2+∠P,∴ ∠1+∠D+∠4+∠B= ∠P+ ∠3+ ∠2+ ∠P.∵ ∠1= ∠2,∠3= ∠4, ∴2∠P=∠D+∠B. 第9题 专题八 　 与轴对称、平移及旋转 相关的问题 1.B 2.B 3.85° 解析:由题意,得∠BEF=∠B'EF=∠1+ ∠AEF,∠EFC=∠EFC'=∠2+∠AFE,∠FAE'= ∠FAE=50°.∴180°-∠AEF=∠1+∠AEF,180°- ∠AFE= ∠2+ ∠AFE.∵ ∠1=65°,∴ ∠AEF = 57.5°.∴ ∠AFE=180°-∠FAE-∠AEF=72.5°. ∴∠2=180°-2∠AFE=35°.∵ ∠3=∠2+∠FAE', ∴∠3=35°+50°=85°. 4.(1)由翻折,得∠AEF=∠A'EF=40°,∠DEG= ∠D'EG=35°.∴ ∠AEA'+ ∠DED'+ ∠A'ED'= 2∠A'EF+2∠D'EG+∠A'ED'=180°.∴ ∠A'ED'= 180°-2×40°-2×35°=30°.(2)由翻折,得∠AEF= ∠A'EF,∠DEG=∠D'EG.∴易得2∠A'EF+2∠D'EG+ ∠A'ED'=180°,即2(∠A'EF+∠D'EG)=180°-α. ∴∠A'EF+∠D'EG= 12 (180°-α).∴ ∠FEG= ∠A'EF+∠D'EG+∠A'ED'=12 (180°-α)+α=90°+ 1 2α. (3)由 翻 折,得 ∠AEF = ∠A'EF,∠DEG = ∠D'EG.∴ 易得2∠A'EF+2∠D'EG-∠A'ED'= 180°,即2(∠A'EF+∠D'EG)=180°+α.∴ ∠A'EF+ ∠D'EG=12 (180°+α).∴ ∠FEG=∠A'EF+∠D'EG- ∠A'ED'=12 (180°+α)-α=90°-12α. 5.A 6.83 或8 解析:由题意,得AD=BE=CF.分两种情况 讨论:① 当点E 在点B、C 之间时,∵AD=BE=2CE, ∴BC=BE+CE=BE+12BE=8.∴BE= 16 3.∴t= 16 3÷2= 8 3.② 当点E 移至点C 的右侧时,∵AD=CF, AD=2CE,CF=CE+EF,∴CE=EF.由平移,得BC= EF.∴CE=EF=BC=8.∴CF=2×8=16.∴t=16÷ 2=8.综上所述,当AD=2CE 时,t的值为83 或8. 7.(1)如图,△DEF 即为所求.(2)如图,线段AM 即为 所求.(3)35;110. 第7题 8.(1)∵ ∠1+∠AOB+∠BOE=180°,∠1=30°, ∠AOB=90°,∴ ∠BOE=180°-∠1-∠AOB=60°. ∵ ∠DEF=90°,∴ ∠BEO=180°- ∠DEF=90°. ∴∠OBE=180°-∠BOE-∠BEO=30°.∴ ∠ABE= ∠OBE+∠ABO=30°+45°=75°.(2)如图①,设OA 和 EG 相交于点M.∵∠EMO+∠DEF+∠1=180°,∠1= 30°,∠DEF=90°,∴ ∠EMO=180°-∠DEF-∠1= 60°.∴ ∠AMG=∠EMO=60°.∵ ∠AGM +∠A+ ∠AMG=180°,∠A=45°,∴ ∠AGM=180°-∠A- ∠AMG=75°.∴ ∠DGH=∠AGM=75°.∵ ∠D=30°, ∴∠DHG=180°-∠D-∠DGH=180°-30°-75°= 75°.∴∠DGH=∠DHG.(3)存在.如图②,△DEF 即为 所求.此时点E、A、B 在同一条直线上. 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈