专题5 “含参”方程(组)和不等式(组)-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（华东师大版2024）

12 ∠LEG=m.如图③,过点H 作HI∥CD,过点G 作GJ∥ AB.∵AB∥CD,∴GJ∥AB∥CD∥HI.∴ ∠JGE= ∠AEG=2m,∠JGF=∠CFG=2n,∠IHK=∠CFK= n,∠IHL=∠AEL=m.∴ ∠EGF=∠JGE-∠JGF= 2m-2n=2(m-n),∠EHF=∠IHL-∠IHK=m-n. ∴∠EGF=2∠EHF. 第12题 专题五　“含参”方程（组） 和不等式（组） 1.C 2.0 3.0 4.C 5.B 6.1 7.把 x=2, y=1 代 入 2x+ (m-1)y=2, nx+y=1, 得 4+m-1=2 , 2n+1=1, 解得 m=-1, n=0. ∴(m+n)2024=1. 8.记 2x+3y=k①, x+2y=-1②. 由①-②,得x+y=k+1.∵关于 x、y的二元一次方程组 2x+3y=k, x+2y=-1 的解互为相反数, ∴x+y=0,即k+1=0,解得k=-1. 9.∵ 关于 x、y 的方程组 2x+5y=-6, ax-by=-4 与方程组 x-4y=23, bx+ay=8 的 解 是 对 称 解,∴ 得 出 方 程 组 2x+5y=-6, y-4x=23, 解得 x=- 11 2 , y=1, 即第一个方程组的解是 x=-112 , y=1, 第 二 个 方 程 组 的 解 是 x=1, y=- 11 2. 把 x=-112 , y=1 代入ax-by=-4,得-112a-b=-4①.把 x=1, y=- 11 2 代入bx+ay=8,得b-112a=8②.由①②,得 a=-411 , b=6. ∴a=-411,b=6,第一个方程组的解为 x=-112 , y=1, 第二个方程组的解为 x=1, y=- 11 2. 10.将 x=-3, y=-1 代入4x-by=-2,得-12+b=-2,解 得b=10;将 x=5, y=4 代入ax+5y=15,得5a+20=15,解 得a=-1.∴a2025+ -b10 2024 =(-1)2025+(-1)2024= -1+1=0. 11.B 12.4或-4 13.C 14.m≠-1 15.D 16.A 17.C 18.a≥2 19.由x-m>0,得x>m;由x-m<1,得x<m+1. ∴不等式组的解集为m<x<m+1.∵ 不等式组的每一 个解都不在2≤x<5的范围内,∴m+1≤2或m≥5,即 m≤1或m≥5. 20.C 21.7≤a<9或-3≤a<-1 22.m≤32 利用方程(组)解的不等关系求参数的取值范围 由方程(组)解的不等关系列出不等式,求出方程 (组)中参数的取值范围,关键点有两个:一是要会解除 未知数以外还含有其他参数的方程(组),二是要会根 据解的不等关系列出不等式. 23.记 2x-y=4m-5①, x+4y=-7m+2②. ① + ②,得 3x+3y= -3m-3,∴x+y=-m-1.∵x+y>-3,∴ -m- 1>-3.∴m<2.∵m 是非负整数,∴m=1或m=0. 24.记 x+3y=3-2k①, 3x+y=1+k②. ①+②,得4x+4y=4-k, ∴x+y=1- k 4.∵ 关于x、y 的方程组 x+3y=3-2k, 3x+y=1+k 的解满足x+y>0,∴1- k 4>0 ,解得k<4.解不等式组 x-2(x-1)≤3, 2k+x 3 ≥x , 得 x≥-1,x≤k. ∵ 关于 x 的不等式组 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 x-2(x-1)≤3, 2k+x 3 ≥x 有解,∴k≥-1.综上所述,-1≤k< 4.∴符合条件的整数k的值为-1、0、1、2、3. 专题六　方程（组）与不等式在 实际生活中的应用 1.B 2.A 3.C 4. 5×8+3x+13y=100 , x+y+8=100 5.2.5 6.设该文具店中这种大笔记本每本的价格是x 元,则小 笔记本每本的价格是(x-3)元.根据题意,得4x+6(x- 3)=62,解得x=8.经检验,符合题意.∴ 该文具店中这 种大笔记本每本的价格是8元. 7.设天头长为xcm,则由题意,得地头长为23xcm ,边的 宽为1 10x+ 2 3x =16x(cm).∴ 装裱后的长为23x+ x+100= 53x+100 cm,装裱后的宽为16x+16x+ 27= 13x+27 cm.由题意,得53x+100= 13x+ 27 ×4,解得x=24.∴ 16x=4.∴ 边的宽为4cm,天头 长为24cm. 8.(1)设足球和跳绳的单价分别为x元、y元.由题意,得 12x+10y=1400, 10x+12y=1240, 解得 x=100 , y=20. ∴ 足球和跳绳的单价 分别为100元、20元.(2)由题意,得80a+15b=1800 (a>15).∵ 1800÷80=22(个)……40(元),∴ 可购进足 球的数量最多为22个.∴15<a≤22.当a=16时,b= 104 3 (不合题意,舍去);当a=17时,b=883 (不合题意,舍 去);当a=18时,b=24;当a=19时,b=563 (不合题意, 舍去);当a=20时,b=403 (不合题意,舍去);当a=21 时,b=8;当a=22时,b=83 (不合题意,舍去).∴有两种 方案,方案一:购进足球18个,跳绳24根;方案二:购进足 球21个,跳绳8根.(3)方案一的利润为(100-80)×18+ (20-15)×24=480(元),方案二的利润为(100-80)× 21+(20-15)×8=460(元).∵480>460,∴为了获利最 多,应选择方案一,即购进足球18个,跳绳24根. 利用枚举法求二元一次方程的整数解 二元一次方程的解有无数组,但在限定条件下往 往可以求出其整数解.求二元一次方程的整数解,在问 题不是特别复杂的情况下,可以采用枚举法,即将其中 的一个未知数可以取的整数一一列举出来,求出对应 的另一个未知数的值,并找出符合题意的整数解.本题 就是在已知a的取值范围的条件下,列举出所有符合 条件的整数值,通过计算求出b的值,最后选取a、b均 是整数的解. 9.A 10.B 11.8.8 12.设可购买这种型号的水基灭火器x个,则购买这种型 号的干粉灭火器(50-x)个.根据题意,得540x+ 380(50-x)≤21000,解得x≤12.5.∵x为整数,∴x的 最大值为12.∴ 最多可购买这种型号的水基灭火器 12个. 13.(1)设 该 班 胜 x 场,负 y 场.根 据 题 意,得 x+y=15, 3x+y=39, 解得 x=12 , y=3. 答:该班胜12场,负3场. (2)设该班在这场比赛中投中了m 个3分球,则投中了 (27-m)个2分球.根据题意,得3m+2(27-m)≥58,解 得m≥4.∴m 的最小值为4.∴ 该班在这场比赛中至少 投中了4个3分球. 14.(1)根据题意,得 a-b=2, 3b-2a=6, 解得 a=12 , b=10. (2)设购 买A型污水处理设备x台,B型污水处理设备(10-x)台, 则12x+10(10-x)≤105,解得x≤2.5.∵x 取非负整 数,∴x可取的值为0、1、2.∴ 有三种购买方案:① 购买 A型污水处理设备0台,B型污水处理设备10台;②购买 A型污水处理设备1台,B型污水处理设备9台;③ 购买 A型污水处理设备2台,B型污水处理设备8台.(3)由题 意,得240x+200(10-x)≥2040,解得x≥1.又∵x≤ 2.5,x取非负整数,∴x可取的值为1、2.当x=1时,购 买资金为12×1+10×9=102(万元);当x=2时,购买资 金为12×2+10×8=104(万元).∵ 102<104,∴ 为了节 约资金,应购买A型污水处理设备1台,B型污水处理设 备9台. 专题七　与多边形相关的问题 1.100° 2.(1)五 (2)132° 3.(1)∵多边形的外角和为360°,∴y=360.∵n边形的 内角和为(n-2)×180°,∴x=(n-2)×180=180n- 360.∵x=2y,∴180n-360=2×360,解得n=6. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 33 专题五　“含参”方程（组）和不等式（组） “含参”方程(组)与不等式(组)是学习中的难点也是重点.解这类问题要注意以下三点: (1) 紧紧围绕方程(组)与不等式(组)的有关概念,从定义出发寻求解决问题的方法;(2) 要辩证 看待问题中的参数与未知数,根据解题的需要,灵活变更主元;(3) 涉及不等式的问题,要充分利 用数轴,从数形结合的角度思考与解决问题. 类型一 “含参”方程（组） (一) 根据一次方程(组)的定义求参数 1. 若(k-2)x+1=0是关于x 的一元一次方 程,则k的值不可能是 ( ) A. -1 B. 0 C. 2 D. -2 2. 若xm-2-yn+4=21是关于x、y的二元一次 方程,则m+n的值为 . 3. 若 3xa-1+8y=2, 4x+bz=y 是关于x、y 的二元一次 方程组,则ab= . (二) 根据一次方程(组)解的定义求参数 4. 整体思想 若x=1是关于x的方程-2mx+ n-1=0的解,则2 024+n-2m 的值为 ( ) A. 2 023 B. 2 024 C. 2 025 D. 2 026 5. (眉山中考)已知关于x、y 的二元一次方程 组 3x-y=4m+1, x+y=2m-5 的解满足x-y=4,则 m 的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 若关于x、y的二元一次方程组 x+y=3, 2x-ay=5 的解是 x=b, y=1, 则ab 的值为 . 7. 已知 x=2, y=1 是关于x、y 的二元一次方程组 2x+(m-1)y=2, nx+y=1 的 解,求 (m +n)2 024 的值. 8. 已 知 关 于 x、y 的 二 元 一 次 方 程 组 2x+3y=k, x+2y=-1 的解互为相反数,求k的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 34 答案讲解 9. 新考法 新定义题 若关于x、y的 二元一次方程组 a1x+b1y=c1, a2x+b2y=c2 与 a3x+b3y=c3, a4x+b4y=c4 的解分别是 x=x0 , y=y0 与 x=y0, y=x0, 则称这两个二元一次方程组的解是 对 称 解.现 已 知 关 于 x、y 的 方 程 组 2x+5y=-6, ax-by=-4 与 x-4y=23 , bx+ay=8 的解是对称 解,试求a、b的值及每一个方程组的解. (三) 根据一次方程组的错解求参数 答案讲解 10. 甲、乙两人共同解关于x、y 的方 程组 ax+5y=15①, 4x-by=-2②, 甲看错了 方程 ① 中 的 a,得 到 方 程 组 的 解 为 x=-3, y=-1, 乙看错了方程②中的b,得到方程 组的解为 x=5, y=4. 试计算a2 025+ -b10 2 024 的值. (四) 根据一次方程组解的情况求参数 11. 若 关 于 x、y 的 二 元 一 次 方 程 组 ax+2y=1, 3x+y=3 有唯一解,则下列结论正确 的是 ( ) A. a≠0 B. a≠6 C. a=0 D. a为任意数 12. 已知m 为整数,关于x、y的二元一次方程 组 4x-3y=6, 6x+my=26 有正整数解,则m 的值为 . 类型二 “含参”不等式（组） (一) 根据一次不等式的定义求参数 13. 已知4x2k+3+11+k2>4是关于x 的一元 一次不等式,则k的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. -1 D. -2 14. 已知关于x的不等式2m-mx2 > 1 2x-1 是 一元一次不等式,则 m 的取值范围是 . (二) 根据一次不等式(组)的解集求参数 15. 若关于x 的一元一次不等式m-2x3 ≤-2 的解集为x≥5,则m 的值为 ( ) A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 16. 若关于x的不等式组 x-2>2a, 3x+2>4x-1 的解 集为-2<x<3,则a的取值情况是( ) A. a=-2 B. a=12 C. a≥-2 D. a≤-1 答案讲解 17. 若 关 于 x 的 不 等 式 组 x-a≥1, 2+x 2 > 2x-1 3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 的解 集 如 图 所 示 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级 35 (原点没标出,数轴的单位长度为1),则a 的值为 ( ) 第17题 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 18. 已知关于x的不等式组 x-a≥0, 5-2x>1 无解,则 a的取值范围是 . 19. 已知关于x 的不等式组 x-m>0, x-m<1 有解, 且它的每一个解都不在2≤x<5的范围 内,求m 的取值范围. (三) 根据一次不等式(组)的整数解求参数 20. 若x=3是关于x 的不等式2x-m>4的 一个整数解,而x=2不是其整数解,则m 的取值范围是 ( ) A. 0<m<2 B. 0≤m≤2 C. 0≤m<2 D. 0<m≤2 答案讲解 21. 已 知 关 于 x 的 不 等 式 组 5x-a>3(x-1), 2x-1≤7 的所有整数解 的和为7,则a的取值范围是 . 类型三 一次方程（组）与一次不等式（组） 结合求参数 22. ★若关于x的方程2x-m=4x-3+m 的 解为非负数,则m 的取值范围是 . 23. 已 知 关 于 x、y 的 二 元 一 次 方 程 组 2x-y=4m-5, x+4y=-7m+2 的解满足x+y>-3, 其中m 是非负整数,求m 的值. 答案讲解 24. 关于x、y的方程组 x+3y=3-2k, 3x+y=1+k 的解满足x+y>0,且关于x的不 等式组 x-2(x-1)≤3, 2k+x 3 ≥x 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 有解,求符合条件 的整数k的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优