专题4 平行线中与角有关的计算-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（华东师大版2024）

30 专题四　平行线中与角有关的计算 平行线是初中数学的重要基础知识,运用平行线的性质与判定能解决求角问题以及判断两 条直线是否平行等问题.如果题中有平行线存在,那么总有相等的角存在;如果题中没有直接告 知有平行线存在,那么可以通过说明两直线平行或者构造平行线得到相等的角. 类型一 平行线的性质与判定 1. (长沙中考)如图,在△ABC 中,∠BAC= 60°,∠B=50°,AD∥BC,则∠1的度数为 ( ) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 第1题 第2题 2. (达州中考)当光线从空气射入水中时,光线 的传播方向发生了改变,这就是光的折射现 象.如图,若∠1=80°,∠2=40°,则∠3的度 数为 ( ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 70° 3. (徐州中考)如图,在△ABC 中,若DE∥BC, FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG=115°,则 ∠C= . 第3题 第4题 4. 如图,∠ABD=∠EFD,∠FEC 与∠ECD 互补,当∠FEC=150°,∠ABC=46°时, ∠BCE 的度数为 . 答案讲解 5. 如图,在四边形ABCD 中,AD∥ BC,∠B=80°. (1) 求∠BAD 的度数; (2) 若 AE 平分∠BAD,交 BC 于点E, ∠C=50°,试说明:AE∥DC. 第5题 答案讲解 6. 如图,直线l1∥l2,∠α=∠β,∠1= 40°,求∠2的度数. 第6题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级 拍 照 批 改 31 类型二 过一个拐点作平行线 7. (泰安中考)如图,直线l∥m,等边三角形 ABC 的两个顶点B、C 分别落在直线l、m 上.若∠ABE=21°,则∠ACD 的度数为 ( ) A. 45° B. 39° C. 29° D. 21° 第7题 第8题 8. (潍坊中考)一种路灯的示意图如图所示,其 底部支架AB 与吊线FG 平行.若灯杆CD 与底部支架AB 所成锐角α=15°,顶部支架 EF 与灯杆CD 所成锐角β=45°,则EF 与 FG 所成锐角的度数为 ( ) A. 60° B. 55° C. 50° D. 45° 9. ★ 新考法 过程性学习 【阅读理解】两条平 行线间的拐点问题经常可以通过作一条直 线的平行线来解决.例如:如图①,MN∥ PQ,点C、B 分别在直线MN、PQ 上,点A 在直线MN、PQ 之间.试说明:∠CAB= ∠MCA+∠PBA. 解:如图①,过点A 作AD∥MN. ∵ MN∥PQ,AD∥MN, ∴ AD∥MN∥PQ. ∴ ∠MCA=∠DAC,∠PBA=∠DAB. ∴ ∠CAB=∠DAC+∠DAB=∠MCA+ ∠PBA. 【类比应用】已知直线AB∥CD,P 为平面内 一点,连结PA、PD. (1) 如图②,若∠A=50°,∠D=150°,求 ∠APD 的度数; (2) 如图③,设∠PAB=α,∠CDP=β,直接 写出α、β、∠P 之间的数量关系: ; (3) 如图④,AP⊥PD,AN 与DP 交于点 O,DN 平分∠PDC,若∠PAN+12∠PAB= ∠P,运用(2)中的结论,求∠N 的度数. 第9题 类型三 过多个拐点作平行线 答案讲解 10. ★如 图,AB∥CD,∠MBN = 3 2∠ABM ,∠MDN=32∠CDM. 试说明:2∠N+5∠M=720°. 第10题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 32 11. 如图,AB∥DF,DE 和AC 分别平分∠FDC 和∠BAE.若∠DEA=46°,∠ACD=56°, 求∠FDC 的度数. 第11题 答案讲解 12. 已知直线AB∥CD,点E 在直线 AB 上,点F 在直线CD 上,G 是 平面内一点. (1) 如图①,点G 在直线AB、CD 之间.若 ∠BEG=30°,∠EGF=75°,求∠DFG 的 度数. (2) 如图②,点G 在直线AB、CD 之间.若 FN 平分∠CFG,延长GE 交FN 于点M, EM 平分∠AEN,当∠N+12∠FGE=54° 时,求∠AEN 的度数. (3) 如图③,点G 在直线AB 上方,若FK 平分∠CFG,EL 平分∠AEG,直线KF 与 直线LE 相交于点H,试猜想∠EGF 与 ∠EHF 之间的数量关系,并说明理由. 第12题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级 10 1 2AC ,CN=BN=12BC.∴MN=MC-CN= 1 2AC- 1 2BC= 1 2 (AC-BC)=12bcm. 第10题 11.(1)∵∠AOB 是平角,∴∠AOB=180°.∵OM、ON 分别是∠AOC、∠BOD 的平分线,∴ ∠AOC=2∠AOM, ∠BOD=2∠BON.∴ ∠COD =180°- (∠AOC + ∠BOD)=180°-2(∠AOM+∠BON)=180°-2(180°- ∠MON)=2∠MON-180°=2×140°-180°=100°. (2)∵ OM、ON 分 别 是∠AOC、∠BOD 的 平 分 线, ∴∠MOC = 12 ∠AOC ,∠DON = 12 ∠BOD. ∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=12∠AOC+ ∠COD+ 12∠BOD= 1 2 (180°-∠COD)+∠COD= 90°+12∠COD=90°+ 1 2α. 12.(1)AC+MD=AB-MC-BD=20-2×1-2×2= 14(cm).(2)设BM=xcm,运动时间为ts.由题意,得 x-2t=2(n-t).∴x=2n.∴BM=2ncm.∴AB= AM+BM=3ncm.(3)如图①,当点N 在线段BM 上时, 设MN=ycm.由题意,得y+2n-y=n+y,解得y= n.∴MN=ncm.∵AB=3ncm,∴ABMN=3. 如图②,当 点N 在线段AB 的延长线上时,设MN=zcm.由题意, 得z+z-2n=n+z,解得z=3n.∴ MN=3ncm. ∵ AB=3ncm,∴ABMN=1. 综上所述,AB MN 的值为3或1. 第12题 线段动态问题的解决方法 解决线段上的动点问题时,需要明确点的运动方 向和速度,考虑点的运动会带来哪些线段长度的变化 或对应位置的变化;对于一些图形位置不固定的问题, 要将所有情况都一一列举出来,并利用线段的和差倍 分关系进行计算. 13.(1)由题意,易得∠DBC=60°,∠ABC=45°.∴ ∠DBA= ∠DBC-∠ABC=60°-45°=15°.(2)设∠ABE=x°,则 ∠ABD=60°-x°,∠CBE=45°-x°.∵BM、BN 分别平 分∠ABD、∠CBE,∴ ∠ABM=12∠ABD= 1 2 (60°- x°),∠EBN=12∠EBC= 1 2 (45°-x°).∴ ∠MBN= ∠ABM+∠ABE+∠EBN = 12 (60°-x°)+x°+ 1 2 (45°-x°)=52.5°.(3)设∠ABE=y°,则∠ABD= 60°+y°,∠CBE=45°+y°.∵ BM、BN 分 别 平 分 ∠ABD、∠CBE,∴∠ABM=12∠ABD= 1 2 (60°+y°), ∠EBN = 12 ∠CBE = 1 2 (45°+y°).∴ ∠MBN = ∠ABM-∠ABE+∠EBN = 12 (60°+y°)-y°+ 1 2 (45°+y°)=52.5°,即∠MBN 的大小不会发生变化. 专题四　平行线中与角有关的计算 1.C 2.B 3.55° 4.16° 5.(1)∵AD∥BC,∴ ∠B+∠BAD=180°.∵ ∠B= 80°,∴ ∠BAD =100°.(2)∵ AE 平 分 ∠BAD, ∴∠DAE=50°.∵AD∥BC,∴ ∠AEB=∠DAE= 50°.∵∠C=50°,∴∠AEB=∠C.∴AE∥DC. 6.如图,延长 AE 交l2 于点B.∵l1∥l2,∠1=40°, ∴∠3=∠1=40°.∵ ∠α=∠β,∴AB∥CD.∴ ∠2+ ∠3=180°.∴∠2=180°-∠3=140°. 第6题 7.B 8.A 解析:如图,过点E 作EH∥AB.∵AB∥FG,EH∥ AB,∴AB∥EH∥FG.∴ ∠BEH=α=15°,∠FEH+ ∠EFG=180°.∵β=45°,∴ ∠FEH=180°-45°-15°= 120°.∴ ∠EFG=180°-∠FEH =180°-120°=60°. ∴EF 与FG 所成锐角的度数为60°. 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 9.(1)如图,过点P 作PE∥AB.∵AB∥CD,PE∥AB, ∴AB∥PE∥CD.∴ ∠APE=∠A=50°,∠DPE+ ∠D=180°.∴ ∠DPE=180°-150°=30°.∴ ∠APD= ∠APE+∠DPE=50°+30°=80°.(2)α+β-∠P= 180°.(3)∵ AP⊥PD,∴ ∠P=90°.∵ ∠PAN + 1 2∠PAB = ∠P ,∴ ∠PAN + 12 ∠PAB =90°. ∵∠POA+∠PAN=180°-∠P=90°,∴ ∠POA= 1 2 ∠PAB.∵ ∠POA = ∠NOD ,∴ ∠NOD = 1 2∠PAB.∵DN 平分∠PDC,∴ ∠ODN=12∠PDC. ∴∠N=180°-∠NOD-∠ODN=180°-12 (∠PAB+ ∠PDC).由(2),得∠PDC+∠PAB-∠P=180°, ∴∠PDC+∠PAB=180°+∠P.∴ ∠N =180°- 1 2 (∠PAB+∠PDC)=180°-12 (180°+∠P)=180°- 1 2× (180°+90°)=45°. 第9题 利用拐点作辅助线研究角之间的数量关系 当两条平行线之间存在拐点时,通常过拐点作平 行线,构造出同位角、内错角、同旁内角,为运用平行线 的性质创造条件.本题先利用拐点添加辅助线,再计算 角的度数. 10.过点 M 向右作 ME∥AB,过点 N 向左作 NF∥ AB.∵AB∥CD,∴ME∥AB∥CD∥NF.∴ ∠BME= ∠ABM,∠DME=∠CDM,∠BNF+∠ABN=180°, ∠DNF + ∠CDN =180°.∴ ∠BMD = ∠BME + ∠DME = ∠ABM + ∠CDM,∠BNF + ∠ABN + ∠DNF + ∠CDN =360°,即 ∠BND + ∠ABN + ∠CDN=360°.∵ ∠MBN = 32 ∠ABM ,∠MDN = 3 2∠CDM ,∴ ∠ABN=52 ∠ABM ,∠CDN=52 ∠CDM. ∴∠BND+52∠ABM+ 5 2∠CDM=360°.∴∠BND+ 5 2 (∠ABM+∠CDM )=360°.∴ ∠BND+ 52 ∠BMD= 360°.∴2∠BND+5∠BMD=720°. “凹凸形”的平行线问题的求解方法 如图①,解答“内凹形”的平行线问题时有以下结 论:若∠B+∠D=∠BPD,则AB∥CD;若AB∥CD, 则∠B+∠D=∠BPD.其方法是过点P 向左作PE∥ AB 或作PE∥CD,利用“内错角相等,两直线平行”或 “两直线平行,内错角相等”来解答.如图②,解答“外凸 形”的平行线问题时有以下结论:若∠B+∠BED+ ∠D=360°,则 AB∥CD;若 AB∥CD,则 ∠B+ ∠BED+∠D=360°.其方法是过点E 向左作EF∥AB 或作EF∥CD,利用“同旁内角互补,两直线平行”或“两 直线平行,同旁内角互补”来解答. 11.过点C 向右作CN∥AB,过点E 向右作EM∥AB. ∵AB∥DF,∴ AB∥CN∥EM∥DF.∴ ∠BAC= ∠NCA,∠NCD=∠FDC,∠FDE=∠DEM,∠MEA= ∠BAE.∴ ∠DEA = ∠DEM + ∠MEA = ∠FDE+ ∠BAE=46°,∠ACD=∠NCA+∠NCD=∠BAC+ ∠FDC=56°.∴ ∠FDE+∠BAE+∠BAC+∠FDC= ∠DEA+∠ACD=102°.∵DE 和AC 分别平分∠FDC 和∠BAE,∴ ∠FDC=2∠FDE=2∠EDC,∠BAE= 2∠BAC=2∠EAC.∴ ∠FDE+∠BAE+∠BAC+ ∠FDC=3(∠FDE+∠BAC).∴ ∠BAC+∠FDE= 34°.又∵ ∠BAC+∠FDC=∠BAC+2∠FDE=56°, ∴∠FDE=22°.∴∠FDC=2∠FDE=44°. 12.(1)如图①,过点G 作GR∥AB.∵AB∥CD,∴AB∥ CD∥GR.∴∠BEG=∠EGR,∠DFG=∠FGR.∴∠BEG+ ∠DFG = ∠EGF.∵ ∠BEG =30°,∠EGF =75°, ∴∠DFG=45°.(2)∵ FN 平 分 ∠CFG,EM 平 分 ∠AEN,∴ 可 设 ∠CFN = ∠GFN =β,∠AEM = ∠NEM=α.如图②,过点G 作GP∥CD,过点N 作NQ∥ AB.又∵AB∥CD,∴NQ∥AB∥CD∥GP.∴ ∠QNF= ∠CFN=β,∠QNE=∠AEN=2α,∠PGE=∠AEM= α,∠PGF=∠DFG=180°-2β.∴∠FNE=∠QNF- ∠QNE=β-2α,∠FGE=∠PGE+∠PGF=α+180°- 2β.又∵ ∠FNE+ 1 2∠FGE=54° ,∴β-2α+ 1 2 (α+ 180°-2β)=54°,解得α=24°.∴ ∠AEN=2α=48°. (3)∠EGF=2∠EHF.理由:∵FK 平分∠CFG,EL 平 分∠AEG,∴ 可 设 ∠CFK = ∠GFK =n,∠AEL= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 ∠LEG=m.如图③,过点H 作HI∥CD,过点G 作GJ∥ AB.∵AB∥CD,∴GJ∥AB∥CD∥HI.∴ ∠JGE= ∠AEG=2m,∠JGF=∠CFG=2n,∠IHK=∠CFK= n,∠IHL=∠AEL=m.∴ ∠EGF=∠JGE-∠JGF= 2m-2n=2(m-n),∠EHF=∠IHL-∠IHK=m-n. ∴∠EGF=2∠EHF. 第12题 专题五　“含参”方程（组） 和不等式（组） 1.C 2.0 3.0 4.C 5.B 6.1 7.把 x=2, y=1 代 入 2x+ (m-1)y=2, nx+y=1, 得 4+m-1=2 , 2n+1=1, 解得 m=-1, n=0. ∴(m+n)2024=1. 8.记 2x+3y=k①, x+2y=-1②. 由①-②,得x+y=k+1.∵关于 x、y的二元一次方程组 2x+3y=k, x+2y=-1 的解互为相反数, ∴x+y=0,即k+1=0,解得k=-1. 9.∵ 关于 x、y 的方程组 2x+5y=-6, ax-by=-4 与方程组 x-4y=23, bx+ay=8 的 解 是 对 称 解,∴ 得 出 方 程 组 2x+5y=-6, y-4x=23, 解得 x=- 11 2 , y=1, 即第一个方程组的解是 x=-112 , y=1, 第 二 个 方 程 组 的 解 是 x=1, y=- 11 2. 把 x=-112 , y=1 代入ax-by=-4,得-112a-b=-4①.把 x=1, y=- 11 2 代入bx+ay=8,得b-112a=8②.由①②,得 a=-411 , b=6. ∴a=-411,b=6,第一个方程组的解为 x=-112 , y=1, 第二个方程组的解为 x=1, y=- 11 2. 10.将 x=-3, y=-1 代入4x-by=-2,得-12+b=-2,解 得b=10;将 x=5, y=4 代入ax+5y=15,得5a+20=15,解 得a=-1.∴a2025+ -b10 2024 =(-1)2025+(-1)2024= -1+1=0. 11.B 12.4或-4 13.C 14.m≠-1 15.D 16.A 17.C 18.a≥2 19.由x-m>0,得x>m;由x-m<1,得x<m+1. ∴不等式组的解集为m<x<m+1.∵ 不等式组的每一 个解都不在2≤x<5的范围内,∴m+1≤2或m≥5,即 m≤1或m≥5. 20.C 21.7≤a<9或-3≤a<-1 22.m≤32 利用方程(组)解的不等关系求参数的取值范围 由方程(组)解的不等关系列出不等式,求出方程 (组)中参数的取值范围,关键点有两个:一是要会解除 未知数以外还含有其他参数的方程(组),二是要会根 据解的不等关系列出不等式. 23.记 2x-y=4m-5①, x+4y=-7m+2②. ① + ②,得 3x+3y= -3m-3,∴x+y=-m-1.∵x+y>-3,∴ -m- 1>-3.∴m<2.∵m 是非负整数,∴m=1或m=0. 24.记 x+3y=3-2k①, 3x+y=1+k②. ①+②,得4x+4y=4-k, ∴x+y=1- k 4.∵ 关于x、y 的方程组 x+3y=3-2k, 3x+y=1+k 的解满足x+y>0,∴1- k 4>0 ,解得k<4.解不等式组 x-2(x-1)≤3, 2k+x 3 ≥x , 得 x≥-1,x≤k. ∵ 关于 x 的不等式组 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈