专题3 与线段、角有关的计算-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（华东师大版2024）

27 专题三　与线段、角有关的计算 有关线段、角的计算的题目往往渗透了一些数学思想,如方程思想、分类讨论思想、整体思想 等,借助数学思想并结合几何图形可以进行线段、角之间的转化.特别是一些动态问题,动点会带 来线段的相对位置、长度的变化,角的运动会带来角的相对位置和大小的变化,解决这类问题要 明确运动的方向、速度,用已知的量表示变化的量,从而解决问题. 类型一 方程思想 1. 如果一个角的余角比它的补角的1 3 还少20°, 那么这个角的度数是 . 2. 如图,C、D 是线段AB 上的两点,CD= 1cm,M 是AD 的中点,N 是BC 的中点,且 MN=3.5cm,则AB= cm. 第2题 3. 如图,点A、O、B 在一条直线上,∠AOC= 3∠COD,OE 平分∠BOD. (1) 若∠COD=10°,求∠BOE 的度数; (2) 若∠COE=75°,求∠COD 的度数. 第3题 4. ★如图,C、B 是线段AD 上的两点,且AC∶ CB∶BD=3∶1∶4,E、F 分别是AB、CD 的中点.已知EF=14,求AB、CD 的长. 第4题 类型二 分类讨论思想 答案讲解 5. 如图,线段AB 表示一根对折的绳 子,且AP=23BP. 现从点P 处将 绳子剪断后展开,绳子变成三段.若三段中 最长的一段为30cm,则原来绳长为 ( ) 第5题 A. 55cm B. 75cm C. 55cm或75cm D. 50cm或75cm 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 28 6. 已知∠AOB=20°,∠AOC=4∠AOB,OD 平分∠AOB,OM 平分∠AOC,则∠MOD 的度数为 . 7. 已知线段AB=10cm,直线AB 上有一点C, 且BC=2cm,D 是线段AB 的中点,则线段 DC 的长为 . 8. 已知∠BOC 在∠AOB 的外部,OE 平分 ∠AOB,OF 平分∠BOC,OD 平分∠AOC, ∠AOE=30°,∠BOD=20°,求∠COF 的 度数. 类型三 整体思想 9. 如图,C、D 是线段AB 上的两点,已知AB= 10cm,CD=3cm,则以A、C、D、B 为端点 的所有线段的长度之和为 cm. 第9题 10. 如图,点C 在线段AB 上,AC=10cm, BC=8cm,M、N 分别为AC、BC 的中点. (1) 求线段MN 的长. (2) 若C 为线段AB 上一点,满足AC+ BC=acm,M、N 分别为AC、BC 的中点, 请你猜想MN 的长度,并说明理由. (3) 若点C 在线段AB 的延长线上,且满足 AC-BC=bcm,M、N 分别为AC、BC 的 中点,试猜想 MN 的长度.请你先画出图 形,再写出猜想,并说明理由. 第10题 11. 如图,∠AOB 是平角,OM、ON 分别是 ∠AOC、∠BOD 的平分线. (1) 当∠MON =140°时,求∠COD 的 度数; (2) 当∠COD=α时,求∠MON 的度数. 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级 29 类型四 动态问题 12. ★如图,M 是线段AB 上一点,点C 在线段 AM 上,点D 在线段BM 上.点C、D 分别 从点M、B 出发,分别以1cm/s、2cm/s的 速度沿BA 向左运动. (1) 若AB=20cm,当点C、D 运动了2s 时,求AC+MD 的长度; (2) 若当点C、D 运动时,总有MD=2AC, 设AM=ncm,求AB 的长; (3) 在(2)的条件下,N 是直线AB 上一点, 且MN+BN=AN,求ABMN 的值. 第12题 答案讲解 13. 将Rt△ABC和Rt△DBE按如图① 所示的方式摆放,其中直角顶点C、 E 重合,∠BAC=45°,∠D=30°. (1) 求∠DBA 的度数; (2) 将Rt△DBE 绕点B 按逆时针方向旋 转到如图②所示的位置,且BM、BN 分别 平分∠ABD、∠CBE,求∠MBN 的度数; (3) 若将Rt△BDE 继续绕点B 按逆时针 方向旋转到如图③所示的位置,其他条件 不变,则∠MBN 的大小是否会发生变化? 第13题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 8 6+8+…+2026=1027182. 9.(1)1b 1 a- 1 a+b .(2) 11×4+ 14×7+ 17×10+…+ 1 2024×2027= 1 3× 1- 1 4+ 1 4- 1 7+ 1 7- 1 10+ … + 1 2024- 1 2027 =13× 1- 12027 =20266081. 专题二　整式的化简求值 1.(1)原式=5m2-(3m-3m-3+4m2)=5m2-(-3+ 4m2)=5m2+3-4m2=m2+3.当m=-3时,原式= (-3)2+3=12.(2)原式=32m- 5 2m+1+12-3m= -4m+13.∵m 的倒数等于它本身,∴m=±1.当m= 1时,原式=-4×1+13=-4+13=9;当m=-1时,原 式=-4×(-1)+13=4+13=17.(3)原式=5xy- 4x2-2y-5xy-2x2=(5xy-5xy)-(4x2+2x2)- 2y=-6x2-2y.当x=3,y=-2时,原式=-6×32- 2×(-2)=-50.(4)原式=5x2y-x2y-3xy2-6x2y- 2+4xy2=-2x2y+xy2-2.∵x是最大的负整数,y是 2的相反数,∴x=-1,y=-2.当x=-1,y=-2时,原 式=4-4-2=-2.(5)原式=3x2y-2xy2+2xy- 3x2y-xy+3xy2=xy2+xy.解方程组 2x+3y=5, 3x-6y=11, 得 x=3, y=- 1 3. 当x=3,y=-13时,原式=3× -13 2+ 3× -13 =-23. 2.∵|x|=2y,y= 1 2 ,且xy<0,∴x=-1.原式= 8x2y-4xy2-4xy2-6x2y=2x2y-8xy2.当x=-1, y= 1 2 时,原式=2×(-1)2×12-8× (-1)× 12 2 = 1+2=3. 3.原式=5ab2-(6a2b-3ab2-6a2b)=8ab2.∵3x2y5 与-2x1-ay3b-1 是同类项,∴1-a=2,3b-1=5,解得 a=-1,b=2.∴原式=8×(-1)×22=-32. 4.(1)∵A=2x2+3xy+2y,B=x2-xy+y,∴A- 2B=2x2+3xy+2y-2(x2-xy+y)=2x2+3xy+ 2y-2x2+2xy-2y=5xy.(2)∵|x+1|+(y-3)2=0, ∴x+1=0,y-3=0.∴x=-1,y=3.∴A-2B=5× (-1)×3=-15. 5.∵a※b=a+b,a#b=a-b,∴a2b※3ab+5a2b# 4ab=a2b+3ab+5a2b-4ab=6a2b-ab.当a=-1,b= 3时,原式=6×(-1)2×3-(-1)×3=18+3=21. 6.(1)原式=(2k-2)x2+4y2+1.∵该多项式化简后不 含x2项,∴2k-2=0,解得k=1.(2)2k3-[3k3-(5k- 5)+k]=-k3+4k-5.当k=1时,原式=-1+4- 5=-2. 7.D 8.A 9.-2 10.2 11.∵a-5b=3,5b-3c=-5,3c-d=10,∴原式=a- 3c+5b-d-5b+3c=(a-5b)+(5b-3c)+(3c-d)= 3-5+10=8. 12.(1)当a=3,b=2时,这个多项式可化简为x2+4y- 7.当x=y=1时,这个多项式的值为1+4-7=-2. (2)存在.该多项式可化简为(a-2)x2+(b+2)y-7.由 题意,得a-2=0,b+2=0,解得a=2,b=-2.∴存在数 a、b,即当a=2,b=-2时,不管x、y取何值,该多项式的 值始终是常数-7. 13.(1)∵7a3+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3- 6a3b-1=(7+3-10)a3+(3-3)a2b+(6-6)a3b- 1=-1,∴ 该多项式的值为常数,与a 和b 的取值无 关.∴ 小阳的说法正确.(2)2x2+ax-5y+b- 2bx2-32x- 5 2y-3 =2x2+ax-5y+b-2bx2+3x+ 5y+6=(2-2b)x2+(a+3)x+(b+6).∵无论x、y取何 值,多项式2x2+ax-5y+b-2bx2-32x- 5 2y-3 的 值都不变,∴2-2b=0,a+3=0.∴a=-3,b=1. 有关整式化简求值说理型问题的常见结论 对多项式进行化简后,若代入求值时,代入的某字 母的值是多余的,则说明化简后不含该字母;若某字母 不论取任何值,代入后的结果都不变,则说明化简后不 含该字母. 专题三　与线段、角有关的计算 1.75° 2.8 3.(1)∵∠COD=10°,∠AOC=3∠COD,∴ ∠AOC= 3×10°=30°.∴ ∠AOD = ∠AOC+ ∠COD =40°. ∴∠BOD=180°-∠AOD=140°.∵OE 平分∠BOD, ∴∠BOE=12∠BOD=70°. (2)∵ ∠AOC=3∠COD, ∴ 设∠COD=x,则∠AOC=3x.∵ ∠COE=75°, ∴∠EOD=∠COE-∠COD=75°-x.∵OE 平分 ∠BOD,∴ ∠BOD=2∠EOD=150°-2x.∵ ∠BOD+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 ∠AOC+∠COD=180°,∴150°-2x+3x+x=180°,解 得x=15°.∴∠COD=15°. 4.设CB=x,则AC=3x,BD=4x.∴AB=AC+CB= 4x,CD=CB+BD=5x.∵E、F 分别是AB、CD 的中点, ∴BE=12AB=2x ,CF=12CD= 5 2x.∵EF=14 , ∴BE+CF-CB=14,即2x+52x-x=14 ,解得x= 4.∴AB=4x=16,CD=5x=20. 解关系复杂的线段或角的计算题的方法 解关系复杂的线段或角的计算题时,往往通过设 未知数(如本题中出现比,可以设每份为x),并根据已 知条件,用未知数表示其他量,然后根据题目中的等量 关系列方程求解. 5.D 解析:∵AP=23BP ,∴ 设AP=2xcm,BP= 3xcm.分情况讨论:① 若A 为对折点,则剪断后的三段 绳长分别为4xcm,3xcm,3xcm.∴原来绳长为10xcm.由 题意,得4x=30,解得x=7.5.∴原来绳长为10×7.5= 75(cm).②若B 为对折点,则剪断后的三段绳长分别为 6xcm,2xcm,2xcm.∴原来绳长为10xcm.由题意,得 6x=30,解得x=5.∴原来绳长为10×5=50(cm).综上 所述,原来绳长为50cm或75cm. 6.30°或50° 解析:∵ ∠AOB=20°,∠AOC=4∠AOB, ∴∠AOC=80°.∵OD 平分∠AOB,OM 平分∠AOC, ∴ ∠AOD = ∠BOD = 12∠AOB =10° ,∠AOM = ∠COM=12∠AOC=40°. 分两种情况讨论:① 如图①, 当∠AOB 在∠AOC 的 内 部 时,∠MOD=∠AOM - ∠AOD=40°-10°=30°;② 如图②,当∠AOB 在∠AOC 的外部时,∠MOD=∠AOM +∠AOD=40°+10°= 50°.综上所述,∠MOD 的度数为30°或50°. 第6题 7.3cm或7cm 解析:∵AB=10cm,D 是线段AB 的中 点,∴BD=12AB=5cm. 分情况讨论:如图①,当点C 在 线段AB 上时,∵BC=2cm,∴DC=BD-BC=3cm.如 图②,当点C 在线段AB 的延长线上时,∵BC=2cm, ∴DC=BD+BC=7cm.综上所述,DC 的长为3cm或 7cm. 第7题 8.分两种情况讨论:① 如图①,∵OE 平分∠AOB, ∠AOE=30°,∴ ∠AOB=2∠AOE=60°.∵ ∠BOD= 20°,∴ ∠AOD=∠AOB+∠BOD=80°.∵OD 平分 ∠AOC,∴∠COD=∠AOD=80°.∵OF 平分∠BOC, ∴∠COF=12∠BOC= 1 2 (∠COD+∠BOD)=50°. ②如 图 ②,∵ OE 平 分 ∠AOB,∠AOE = 30°, ∴∠AOB = 2∠AOE = 60°.∵ ∠BOD = 20°, ∴∠AOD=∠AOB-∠BOD=40°.∵OD 平分∠AOC, ∴ ∠COD = ∠AOD =40°.∵ OF 平 分 ∠BOC, ∴∠COF=12∠BOC= 1 2 (∠COD-∠BOD)=10°.综 上所述,∠COF 的度数为50°或10°. 第8题 9.33 10.(1)∵M、N 分别为AC、BC 的中点,AC=10cm, BC=8cm,∴CM=12AC=5cm ,CN=12BC=4cm. ∴MN=CM+CN=9cm.(2)MN=12acm. 理由: ∵M、N 分别为AC、BC 的中点,∴CM=12AC ,CN= 1 2BC.∴ MN =CM +CN = 1 2AC + 1 2BC = 1 2 (AC+BC)=12acm. (3)如图所示.MN=12bcm. 理 由:∵M、N 分别为AC、BC 的中点,∴AM=MC= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 10 1 2AC ,CN=BN=12BC.∴MN=MC-CN= 1 2AC- 1 2BC= 1 2 (AC-BC)=12bcm. 第10题 11.(1)∵∠AOB 是平角,∴∠AOB=180°.∵OM、ON 分别是∠AOC、∠BOD 的平分线,∴ ∠AOC=2∠AOM, ∠BOD=2∠BON.∴ ∠COD =180°- (∠AOC + ∠BOD)=180°-2(∠AOM+∠BON)=180°-2(180°- ∠MON)=2∠MON-180°=2×140°-180°=100°. (2)∵ OM、ON 分 别 是∠AOC、∠BOD 的 平 分 线, ∴∠MOC = 12 ∠AOC ,∠DON = 12 ∠BOD. ∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=12∠AOC+ ∠COD+ 12∠BOD= 1 2 (180°-∠COD)+∠COD= 90°+12∠COD=90°+ 1 2α. 12.(1)AC+MD=AB-MC-BD=20-2×1-2×2= 14(cm).(2)设BM=xcm,运动时间为ts.由题意,得 x-2t=2(n-t).∴x=2n.∴BM=2ncm.∴AB= AM+BM=3ncm.(3)如图①,当点N 在线段BM 上时, 设MN=ycm.由题意,得y+2n-y=n+y,解得y= n.∴MN=ncm.∵AB=3ncm,∴ABMN=3. 如图②,当 点N 在线段AB 的延长线上时,设MN=zcm.由题意, 得z+z-2n=n+z,解得z=3n.∴ MN=3ncm. ∵ AB=3ncm,∴ABMN=1. 综上所述,AB MN 的值为3或1. 第12题 线段动态问题的解决方法 解决线段上的动点问题时,需要明确点的运动方 向和速度,考虑点的运动会带来哪些线段长度的变化 或对应位置的变化;对于一些图形位置不固定的问题, 要将所有情况都一一列举出来,并利用线段的和差倍 分关系进行计算. 13.(1)由题意,易得∠DBC=60°,∠ABC=45°.∴ ∠DBA= ∠DBC-∠ABC=60°-45°=15°.(2)设∠ABE=x°,则 ∠ABD=60°-x°,∠CBE=45°-x°.∵BM、BN 分别平 分∠ABD、∠CBE,∴ ∠ABM=12∠ABD= 1 2 (60°- x°),∠EBN=12∠EBC= 1 2 (45°-x°).∴ ∠MBN= ∠ABM+∠ABE+∠EBN = 12 (60°-x°)+x°+ 1 2 (45°-x°)=52.5°.(3)设∠ABE=y°,则∠ABD= 60°+y°,∠CBE=45°+y°.∵ BM、BN 分 别 平 分 ∠ABD、∠CBE,∴∠ABM=12∠ABD= 1 2 (60°+y°), ∠EBN = 12 ∠CBE = 1 2 (45°+y°).∴ ∠MBN = ∠ABM-∠ABE+∠EBN = 12 (60°+y°)-y°+ 1 2 (45°+y°)=52.5°,即∠MBN 的大小不会发生变化. 专题四　平行线中与角有关的计算 1.C 2.B 3.55° 4.16° 5.(1)∵AD∥BC,∴ ∠B+∠BAD=180°.∵ ∠B= 80°,∴ ∠BAD =100°.(2)∵ AE 平 分 ∠BAD, ∴∠DAE=50°.∵AD∥BC,∴ ∠AEB=∠DAE= 50°.∵∠C=50°,∴∠AEB=∠C.∴AE∥DC. 6.如图,延长 AE 交l2 于点B.∵l1∥l2,∠1=40°, ∴∠3=∠1=40°.∵ ∠α=∠β,∴AB∥CD.∴ ∠2+ ∠3=180°.∴∠2=180°-∠3=140°. 第6题 7.B 8.A 解析:如图,过点E 作EH∥AB.∵AB∥FG,EH∥ AB,∴AB∥EH∥FG.∴ ∠BEH=α=15°,∠FEH+ ∠EFG=180°.∵β=45°,∴ ∠FEH=180°-45°-15°= 120°.∴ ∠EFG=180°-∠FEH =180°-120°=60°. ∴EF 与FG 所成锐角的度数为60°. 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈