专题1 有理数的运算技巧-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（华东师大版2024）

21 专题一　有理数的运算技巧 有理数的运算是“数与代数”领域的重要内容之一,是后续学习实数的运算、整式的运算等章 节知识的基础.在进行有理数的运算时,若能根据算式中数的结构特征,正确运用有理数的运算 法则和运算律,采用适当的运算技巧,则能化繁为简,提高运算速度和正确率. 类型一 巧用加法运算律 1. 计算: (1) (-17)+(+26)+(-43)+(+14); (2) -323 - -234 - -123 -(+1.75). 2. 阅读材料: 对于 -556 + -923 +1734+ -312 , 可以按如下方法计算: 原式= 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 (-5)+ -56 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 + 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 (-9)+ -23 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 + 17+34 + (-3)+ -12 􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 = [(-5)+ (-9)+17+(-3)]+ 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 -56 + -23 +34+ -12 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 =0+ -114 =-114. 上述这种方法叫做拆项法. 仿照上面的方法,计算: (1) -114+ -2 1 3 +756+ -412 ; (2) -2 02523 +2 02434+ -2 02356 + 2 02212. 类型二 巧用乘法运算律 3. 计算: (1) (-144)×(-0.125)× -172 ×80; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 22 (2) -24×116-1 1 2+2 1 4-1 1 12 ; (3) 691516× (-8). 答案讲解 4. ★计算:-142 ÷ 12-13+57-83 . 答案讲解 5. ★计算: (1) 25× 12 2 -(-25)×15+ 25×34 ; (2) 338×8 1 3-3 1 8 ÷1124×827. 类型三 各加数（或因数）同时化简，减少 运算步骤 6. 计算: (1) (-1)2÷12+ (7-3)×34-1 ; (2) -14÷(-5)2× -53 +|0.8-1|; (3) 0.25×(-2)3-4÷ -23 2 +1 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 ; (4) 214- - 1 2 2􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 ÷ -32 + -35 × -123 ; (5) -32× -13 2 + 34- 1 6+ 3 8 ×(-24). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级 23 类型四 错位相减 答案讲解 7. 阅读材料: 求1+2+22+23+24+…+2200 的值. 解:设S=1+2+22+23+24+…+2200. 等式两边同时乘以2,得2S=2+22+23+ 24+25+…+2201. ∴ 2S-S=2201-1. ∴ S=2201-1,即1+2+22+23+24+…+ 2200=2201-1. 请你仿照此方法,完成下面的计算:1+3+ 32+33+34+…+32 025. 类型五 倒序相加 8. “数学王子”高斯从小就善于观察和思考.在 他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+ 2+3+…+98+99+100=5 050.今天我们 可以将高斯的做法归纳如下: 令S=1+2+3+…+98+99+100①, 即S=100+99+98+…+3+2+1②. ①+②,得2S=(1+100)×100. ∴ S=5 050. 请仿照以上做法,计算:2+4+6+8+…+ 2 026. 类型六 裂项相消 答案讲解 9. 观察下列式子: 1 1×3= 1 2×1- 1 3 ; 1 2×5= 1 3× 1 2- 1 5 ; 1 2×7= 1 5× 1 2- 1 7 ; … (1) 根据观察,可以得到 1 a(a+b) (a>0,b> 0)= ; (2) 计算:1 1×4+ 1 4×7+ 1 7×10+ …+ 1 2 024×2 027. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 7 ①当0°<α≤45°时,α+β=90°,α+γ=45°,∴β-γ= 45°.②当45°<α≤90°时,α+β=90°,α-γ=45°,∴β+ γ=45°.③ 当90°<α<180°时,α-β=90°,α-γ=45°, ∴γ-β=45°.综上所述,当0°<α≤45°时,∠BAE- ∠CAD=45°;当45°<α≤90°时,∠BAE+∠CAD=45°; 当90°<α<180°时,∠CAD-∠BAE=45°. (3)t的值为3或9或21或27或30. 解析:分情况讨 论:①当AD∥BC 时,α=15°,∴ t=3.②当DE∥AB 时, α=45°,∴ t=9.③当DE∥BC时,α=105°,∴ t=21.④当 DE∥AC时,α=135°,∴ t=27.⑤当AE∥BC时,α=150°, ∴ t=30.综上所述,t的值为3或9或21或27或30. 2 整合提优 专题一　有理数的运算技巧 1.(1)原式=[(-17)+(-43)]+(26+14)=(-60)+ 40=-20.(2)原式=-323+2 3 4+1 2 3-1 3 4= -323+1 2 3 + 234-134 =-2+1=-1. 2.(1)原式= (-1)+ -14 + (-2)+ -13 + 7+56 + (-4)+ -12 =[(-1)+(-2)+7+ (-4)]+ -14 + -13 +56+ -12 =0+ -14 =- 14.(2)原式= (-2025)+ -23 + 2024+34 + (-2023)+ -56 + 2022+12 = [(-2025)+2024+ (-2023)+2022]+ -23 +34+ -56 +12 = (-2)+ -14 = -214. 3.(1)原式=- 144×0.125×172×80 =- 144×172 × (0.125×80)=-2×10=-20.(2)原式=(-24)× 116+ (-24)× -112 +(-24)×214+(-24)× -1112 =-28+36-54+26= -20.(3)原式= 70-116 ×(-8)=70×(-8)-116×(-8)=-560+ 1 2=-559 1 2. 4. 12- 1 3+ 5 7- 8 3 ÷ -142 = 12-13+57- 8 3 ×(-42)=12×(-42)-13×(-42)+57× (-42)-83× (-42)=-21+14-30+112=75.∴原式=175. 利用转化思想进行简便运算 除法没有分配律,若将被除数和除数交换位置,将 除法转化为乘法,则可用乘法分配律进行简便计算,此 时结果与原式的结果互为倒数. 5.(1)原式=25× 14 +25× 1 5 +25× 3 4 =25× 1 4+ 1 5+ 3 4 =25×65=30.(2)原式=278×827× 24 25× 25 3- 25 8 =2425×253-2425×258=8-3=5. 灵活运用乘法运算律简化运算 有理数的乘法运算律包括乘法交换律、乘法结合 律、乘法分配律,运用前两个运算律,可以任意交换因 数的位置,将任意两个因数结合相乘,进一步地,若存 在分子、分母,则任意一个分子与任意一个分母可进行 约分;运用乘法分配律,可改变运算顺序,简化运算,注 意乘法分配律可正用,可逆用,可正逆综合运用. 6.(1)原式=1×2+4×34-1=2+3-1=4. (2)原 式=-1×125× - 5 3 +0.2=115+15=415.(3)原式= 1 4× (-8)- 4×94+1 =-2-10=-12.(4)原式= 214- 1 4 ÷ -32 + -35 × -53 = 2× -23 +1=-43+1=-13.(5)原式=-9×19+ 3 4× (-24)-16× (-24)+38× (-24)=-1-18+4- 9=-24. 7.设S=1+3+32+33+34+…+32025.等式两边同时乘 以3,得3S=3+32+33+34+35+…+32026.∴3S-S= 32026-1,即2S=32026-1.∴S=3 2026-1 2 ,即1+3+32+ 33+34+…+32025=3 2026-1 2 . 8.令S=2+4+6+8+…+2026①,即S=2026+ 2020+2018+…+2②.①+②,得2S=(2+2026)× 1013.∴S= (2+2026)×1013 2 =1027182.∴2+4+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 6+8+…+2026=1027182. 9.(1)1b 1 a- 1 a+b .(2) 11×4+ 14×7+ 17×10+…+ 1 2024×2027= 1 3× 1- 1 4+ 1 4- 1 7+ 1 7- 1 10+ … + 1 2024- 1 2027 =13× 1- 12027 =20266081. 专题二　整式的化简求值 1.(1)原式=5m2-(3m-3m-3+4m2)=5m2-(-3+ 4m2)=5m2+3-4m2=m2+3.当m=-3时,原式= (-3)2+3=12.(2)原式=32m- 5 2m+1+12-3m= -4m+13.∵m 的倒数等于它本身,∴m=±1.当m= 1时,原式=-4×1+13=-4+13=9;当m=-1时,原 式=-4×(-1)+13=4+13=17.(3)原式=5xy- 4x2-2y-5xy-2x2=(5xy-5xy)-(4x2+2x2)- 2y=-6x2-2y.当x=3,y=-2时,原式=-6×32- 2×(-2)=-50.(4)原式=5x2y-x2y-3xy2-6x2y- 2+4xy2=-2x2y+xy2-2.∵x是最大的负整数,y是 2的相反数,∴x=-1,y=-2.当x=-1,y=-2时,原 式=4-4-2=-2.(5)原式=3x2y-2xy2+2xy- 3x2y-xy+3xy2=xy2+xy.解方程组 2x+3y=5, 3x-6y=11, 得 x=3, y=- 1 3. 当x=3,y=-13时,原式=3× -13 2+ 3× -13 =-23. 2.∵|x|=2y,y= 1 2 ,且xy<0,∴x=-1.原式= 8x2y-4xy2-4xy2-6x2y=2x2y-8xy2.当x=-1, y= 1 2 时,原式=2×(-1)2×12-8× (-1)× 12 2 = 1+2=3. 3.原式=5ab2-(6a2b-3ab2-6a2b)=8ab2.∵3x2y5 与-2x1-ay3b-1 是同类项,∴1-a=2,3b-1=5,解得 a=-1,b=2.∴原式=8×(-1)×22=-32. 4.(1)∵A=2x2+3xy+2y,B=x2-xy+y,∴A- 2B=2x2+3xy+2y-2(x2-xy+y)=2x2+3xy+ 2y-2x2+2xy-2y=5xy.(2)∵|x+1|+(y-3)2=0, ∴x+1=0,y-3=0.∴x=-1,y=3.∴A-2B=5× (-1)×3=-15. 5.∵a※b=a+b,a#b=a-b,∴a2b※3ab+5a2b# 4ab=a2b+3ab+5a2b-4ab=6a2b-ab.当a=-1,b= 3时,原式=6×(-1)2×3-(-1)×3=18+3=21. 6.(1)原式=(2k-2)x2+4y2+1.∵该多项式化简后不 含x2项,∴2k-2=0,解得k=1.(2)2k3-[3k3-(5k- 5)+k]=-k3+4k-5.当k=1时,原式=-1+4- 5=-2. 7.D 8.A 9.-2 10.2 11.∵a-5b=3,5b-3c=-5,3c-d=10,∴原式=a- 3c+5b-d-5b+3c=(a-5b)+(5b-3c)+(3c-d)= 3-5+10=8. 12.(1)当a=3,b=2时,这个多项式可化简为x2+4y- 7.当x=y=1时,这个多项式的值为1+4-7=-2. (2)存在.该多项式可化简为(a-2)x2+(b+2)y-7.由 题意,得a-2=0,b+2=0,解得a=2,b=-2.∴存在数 a、b,即当a=2,b=-2时,不管x、y取何值,该多项式的 值始终是常数-7. 13.(1)∵7a3+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3- 6a3b-1=(7+3-10)a3+(3-3)a2b+(6-6)a3b- 1=-1,∴ 该多项式的值为常数,与a 和b 的取值无 关.∴ 小阳的说法正确.(2)2x2+ax-5y+b- 2bx2-32x- 5 2y-3 =2x2+ax-5y+b-2bx2+3x+ 5y+6=(2-2b)x2+(a+3)x+(b+6).∵无论x、y取何 值,多项式2x2+ax-5y+b-2bx2-32x- 5 2y-3 的 值都不变,∴2-2b=0,a+3=0.∴a=-3,b=1. 有关整式化简求值说理型问题的常见结论 对多项式进行化简后,若代入求值时,代入的某字 母的值是多余的,则说明化简后不含该字母;若某字母 不论取任何值,代入后的结果都不变,则说明化简后不 含该字母. 专题三　与线段、角有关的计算 1.75° 2.8 3.(1)∵∠COD=10°,∠AOC=3∠COD,∴ ∠AOC= 3×10°=30°.∴ ∠AOD = ∠AOC+ ∠COD =40°. ∴∠BOD=180°-∠AOD=140°.∵OE 平分∠BOD, ∴∠BOE=12∠BOD=70°. (2)∵ ∠AOC=3∠COD, ∴ 设∠COD=x,则∠AOC=3x.∵ ∠COE=75°, ∴∠EOD=∠COE-∠COD=75°-x.∵OE 平分 ∠BOD,∴ ∠BOD=2∠EOD=150°-2x.∵ ∠BOD+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈