第18章 平行四边形2-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（华东师大版）

3 制在1 4≤x≤4 的范围内. 第20题 第18章　平行四边形1 一、 1. B 2. D 3. C 4. B 5. B 6. D 7. C 8. B 解析:连结AC、BO,交于点D.当直线y=2x+ 1向下平移经过点D 时,该直线可将▱OABC 的面积平 分.设此时该直线与x轴交于点E.∵ 四边形OABC 是平 行四边形,∴ BD=OD.∵ B(6,2),O(0,0),∴ 易得 D(3,1).设直线DE 的函数表达式为y=kx+b.∵ 直线 DE 平行于y=2x+1,∴ k=2.又∵ 直线DE 过点D(3, 1),∴ 易得直线DE 的函数表达式为y=2x-5.∴ 直线 y=2x+1要向下平移6个单位.∴ 时间为6÷3=2(秒). 二、 9. 答案不唯一,如 AB∥CD 10. 26° 11. 9 12. 5 13. 3 14. 2.4或3.6 解析:设点P 运动了t秒,则CQ= 2tcm,AP=3tcm,BQ=(18-2t)cm,PD=(12- 3t)cm.① 当BQ=AP 时,且AD∥BC,则四边形APQB 是平行四边形,即18-2t=3t,解得t=3.6;② 当CQ= PD 时,且AD∥BC,则四边形CQPD 是平行四边形,即 2t=12-3t,解得t=2.4,综上所述,当PQ 在四边形 ABCD 内部截出一个平行四边形时,点P 运动了2.4秒或 3.6秒. 三、 15. ∵ AB=CD,AB∥CD,∴ 四边形ABCD 是平行 四边形.∴ AD∥BC. 16. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AB∥CD,AB= CD.∵ E、F 分别是边AB、CD 的中点,∴ AE=BE= CF=DF.∴ 四边形AECF 是平行四边形.∴ AF=CE. 17. ∵ BE⊥AC,DF⊥AC,∴ ∠AEB=∠CFD=90°. ∵ ∠ABD=∠BDC,∴ AB∥CD.∴ ∠BAE=∠DCF.在 △ABE 和 △CDF 中, ∠BAE=∠DCF, ∠AEB=∠CFD, BE=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE ≌ △CDF.∴ AB=CD.∴ 四边形ABCD 是平行四边形. 18. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AB=CD, AD=BC.∵ BD=BD,∴ △ABD≌△CDB.(2) 如图所 示.(3) ∵ EF 垂直平分BD,∠DBE=25°,∴ EB= ED.∴ ∠BDE=∠DBE=25°.∵ ∠AEB 是△BED 的 外角,∴ ∠AEB=∠DBE+∠BDE=25°+25°=50°. 第18题 19. (1) 甲、乙、丙.(2) 答案不唯一,如甲方案,连结 AC.∵ 四边形ABCD 是平行四边形,O 为BD 的中点, ∴ OB=OD,OA=OC,点O 在AC 上.∵ E、F 分别为 DO、BO的中点,∴ OE=DE=12OD ,OF=BF=12OB. ∴ OE=OF.∴ 四边形AECF 为平行四边形. 灵活选择平行四边形的判定方法 证明平行四边形时需根据题目条件进行选择,若 条件中只涉及边,则考虑用定义或两组对边分别相等 或一组对边平行且相等进行判定;若涉及对角线,则考 虑用对角线互相平分进行判定. 第18章　平行四边形2 一、 1. B 2. A 3. C 4. B 5. B 6. B 7. C 8. C 9. A 二、 10. 3 11. 60° 12. 65° 13. 18 14. 6 5 或2 解析:∵ BD⊥AC,∴ AD= AB2-BD2= 102-82=6(cm).∵ AB=AC,∴ ∠ABC=∠C,即 ∠PBQ = ∠C.∵ PQ ∥AC,∴ ∠PQB = ∠C. ∴ ∠PBQ=∠PQB.∴ PB=PQ.分两种情况:① 如图 ①,当点M 在点D 的上方时,连结QD.由题意,得PQ= BP=tcm,AM=4tcm,AD=6cm.∴ MD=AD- AM=(6-4t)cm.∵ PQ∥AC,∴ PQ∥MD.∴ 当PQ= MD 时,四边形PQDM 是平行四边形.∴ t=6-4t,解得 t=65.② 如图②,当点 M 在点D 的下方时,连结PD、 QM.根据题意,得PQ=BP=tcm,AM=4tcm,AD= 6cm.∴ MD=AM-AD=(4t-6)cm.∵ PQ∥AC, ∴ PQ∥MD.∴ 当PQ=DM 时,四边形PQMD 是平行 四边形.∴ t=4t-6,解得t=2.综上所述,当t=65 或 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 t=2时,以P、Q、D、M 为顶点的四边形是平行四边形. 第14题 三、 15. (1) ∵ AF=CD,∴ AF+CF=CD+CF,即 AC = DF.在 △ABC 和 △DEF 中, AB=DE, BC=EF, AC=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△DEF.∴ ∠ACB=∠DFE.(2) 如图,四边 形BFEC 是平行四边形.理由:由(1)可知,∠ACB= ∠DFE.∴ BC∥EF.又∵ BC=EF,∴ 四边形BFEC 是 平行四边形. 第15题 16. (1) 如图,DE 即为所求作.(2) DBC;BF;内错角相 等,两直线平行;两组对边分别平行的四边形是平行四 边形. 第16题 17. (1) ∵ ∠ADB=90°,∴ OA= AD2+OD2 = 122+52=13.∵ AC=26,∴ OC=AC-OA=13. ∴ OA=OC.∵ OD=OB,∴ 四边形ABCD 是平行四边 形.(2) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,BD=OB+ OD=10,∴ 四边形ABCD 的面积=AD×BD=12× 10=120. 18. (1) ∵ DE∥AC,DF∥AB,∴ 四边形AEDF 是平行 四边形,∠FDC=∠B.∴ DE=AF.又∵ AB=AC, ∴ ∠B=∠C.∴ ∠FDC=∠C.∴ DF=FC.∴ DE+ DF=AF+FC=AC.(2) 图②:DE-DF=AC;图③: DF-DE=AC.(3) ∵ AC>DE,∴ 点D 不在边BC 的 延长线上,分两种情况讨论:① 当点D 在边BC 上时, DF=AC-DE=10-7=3;② 当点D 在边BC 的反向延 长线上时,DF=AC+DE=10+7=17. 第19章　矩形、菱形与正方形1 一、 1. C 2. D 3. D 4. C 5. C 6. C 7. C 8. B 解析:连结PM.在矩形纸片ABCD 中,AB=8, BC=11,∴ CD=AB=8,∠A=∠B=∠C=∠D= 90°.∵ CM=3,∴ BM=11-3=8.根据折叠,可知 PC'=CD=8,∠C'=∠C=90°,C'M=CM=3.∴ ∠B= ∠C'=90°,BM=PC'=8.∵ PM=PM,∴ Rt△PBM≌ Rt△MC'P.∴ BP=C'M=3.∵ ∠PHB=∠MHC', ∠B=∠C',∴ △PBH≌△MC'H.∴ BH=C'H.设 BH=C'H=x,则HM=8-x.∵ HM2=C'H2+C'M2, ∴ (8-x)2=x2+32,解得x=5516.∴ BH=5516. 二、 9. 答案不唯一,如AB=AD 10. 6 11. 5 12. 50 13. 7 解析:过点G 作GM⊥CD 于点M.∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ ∠B=∠BCD=∠D=90°,BC= CD=AD.∵ GM ⊥CD,∴ 四边形 GBCM 是矩形. ∴ GM=BC=CD,CM =BG=1,∠GMH =90°= ∠D.∵ GH⊥CE,∴ ∠CFH=90°.∴ ∠DCE=90°- ∠FHM = ∠MGH. 在 △GMH 和 △CDE 中, ∠MGH=∠DCE, GM=CD, ∠GMH=∠D, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △GMH ≌ △CDE.∴ HM = ED.∵ CH=5,∴ HM=CH-CM=5-1=4.∴ ED= HM=4.∵ E 是AD 的中点,∴ AB=AD=2ED=8. ∴ AG=AB-BG=8-1=7. 三、 14. ∵ 四 边 形 ABCD 是 菱 形,∴ DA =DC. ∴ ∠DAC=∠DCA.∵ ∠ADF=∠CDE,∴ ∠ADF- ∠EDF= ∠CDE - ∠EDF,即 ∠ADE = ∠CDF.在 △DAE 和△DCF 中, ∠DAE=∠DCF, DA=DC, ∠ADE=∠CDF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DAE≌ △DCF.∴ AE=CF. 15. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AB=CD, ∠B=∠D,AB∥CD.∴ ∠BAC=∠ACD.∵ AE 平分 ∠BAC,CF平分∠ACD,∴ ∠BAE=∠CAE=12∠BAC , ∠DCF=∠ACF= 12 ∠ACD.∴ ∠BAE=∠DCF.在 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 第18章　平行四边形2 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共27分) 1. 如图,在▱ABCD 中,∠A=130°,则∠1的 度数是 ( ) A. 40° B. 50° C. 60° D. 65° 第1题 第2题 2. 如图,在四边形ABCD 中,AB=CD.添加下 列一个条件后能判定四边形ABCD 为平行 四边形的是 ( ) A. AB∥CD B. AD∥BC C. AB=BC D. AB=AC 3. 下列关于平行四边形性质的叙述中,错误 的是 ( ) A. 平行四边形的对边相等 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 平行四边形的对角线相等 D. 平行四边形的对角相等 4. 如图,在▱ABCD 中,对角线AC、BD 相交 于点O,过点O 的直线EF 交AB 于点E,交 CD 于点F,且BE=13AB. 若S▱ABCD=16, 则涂色部分的面积是 ( ) A. 4 3 B. 8 3 C. 2 D. 3 第4题 第5题 5. (乐山中考)如图,在▱ABCD 中,过点D 作 DE⊥AB,垂足为E,过点B 作BF⊥AC,垂 足为F.若AB=6,AC=8,DE=4,则BF 的长为 ( ) A. 4 B. 3 C. 5 2 D. 2 6. 如图,在四边形ABCD 中,点E、F 分别在边 AD、BC 上,线段EF 与对角线AC 交于点O 且互相平分.若AD=BC=10,AB=6,则四 边形ABCD 的周长是 ( ) A. 26 B. 32 C. 34 D. 36 第6题 第7题 7. 下面是八年级(1)班某学习小组讨论的问题: 如图,在四边形ABCD 中,点E、F 分别在 边BC、AD 上,添加哪些条件,能使四边 形AECF 是 平 行 四 边 形? 条 件 如 下: ① BE=DF;② ∠B=∠D;③ ∠BAE= ∠DCF;④ 四边形ABCD 是平行四边形.下 列添加的条件中,符合题目要求的是 ( ) A. ④ B. ①② C. ①④ D. ①②③ 答案讲解 8. 如图,在▱ABCD 中,以点B 为圆 心,适当长度为半径作弧,分别交 AB、BC 于点F、G,再分别以点F、 G 为圆心,大于12FG 长为半径作弧,两弧交 于点 H,作射线BH 交AD 于点E,连结 CE.若 CE⊥DE,AE=10,DE=6,则 ▱ABCD 的面积为 ( ) 第8题 A. 60 B. 64 C. 128 D. 132 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 拍 照 批 改 12 9. 如图,▱AOCD 的顶点O 在原点处,点C 在 x轴的正半轴上,按以下步骤作图:① 以点 O 为圆心、适当长为半径画弧,交OA 于 点M,交OC 于点N;② 分别以点M、N 为 圆心,大于1 2MN 的长为半径画弧,两弧在 ∠AOC 内相交于点E;③ 画射线OE,交 AD 于点F(3,4).点A 的坐标为 ( ) 第9题 A. -76 ,4 B. (-2,4) C. -45 ,3 D. -67,4 二、 填空题(每题4分,共20分) 10. 如图,如果AO=OC,BD=6cm,那么当 OB= cm时,四边形ABCD 是平 行四边形. 第10题 第11题 11. 如图,E 是▱ABCD 的边BC 上的一点,且 AB=BE,连结AE,并延长AE 与DC的延 长线交于点F,∠F=60°,则∠D 的度数是 . 12. 如图所示为用平行四边形纸条沿对边AB、 CD 上的点E、F 所在的直线折成的V字 形图案.已知∠2=50°,则∠1的度数是 . 第12题 13. 如图,将Rt△ABC 沿射线BC 方向平移 6cm,得到 Rt△A'B'C'.已知∠ACB= 90°,BC=3cm,AC=4cm,则涂色部分的 面积为 cm2. 第13题 第14题 答案讲解 14. 分类讨论思想 如 图,在△ABC 中,AB=AC=10cm,BD⊥AC 于点D,且BD=8cm.点 M 从 点A 出发,沿AC 方向匀速运动,速度为 4cm/s;同时点P 从点B 出发,沿BA 方向 匀速运动,速度为1cm/s.过点P 的直线 PQ∥AC,交BC 于点Q,连结PM.设运动 时间为ts(0<t<2.5),则当t= 时,以P、Q、D、M 为顶点的四边形是平行 四边形. 三、 解答题(共53分) 15. (12分)(河池中考)如图,点A、F、C、D 在 同一 条 直 线 上,AB =DE,AF =CD, BC=EF. (1) 求证:∠ACB=∠DFE; (2) 连结BF、CE,判断四边形BFEC 的形 状,并说明理由. 第15题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)八年级 13 16. (13分)(永州中考)如图,BD 是▱ABCD 的对角线,BF 平分∠DBC,交CD 于点F. (1) 请用尺规作∠ADB 的平分线DE,交 AB于点E.(要求保留作图痕迹,不写作法) (2) 根据图形猜想四边形DEBF 是平行四 边形. 请将下面的证明过程补充完整. 证明:∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC. ∴ ∠ADB=∠ .(两直线平行,内 错角相等) 又∵ DE 平分∠ADB,BF 平分∠DBC, ∴ ∠EDB=12∠ADB ,∠DBF=12∠DBC. ∴ ∠EDB=∠DBF. ∴ DE∥ .( ) (填推理的依据) 又∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ BE∥DF. ∴ 四边形DEBF 是平行四边形.( )(填推理的依据) 第16题 17. (13分)如图,在四边形ABCD 中,∠ADB= 90°,AD=12,OD=OB=5,AC=26. (1) 求证:四边形ABCD 是平行四边形; (2) 求四边形ABCD 的面积. 第17题 答案讲解 18. (15分)在△ABC 中,AB=AC, 点D 在边BC 所在的直线上,过 点D 作DE∥AC 交直线AB 于 点E,作DF∥AB 交直线AC 于点F. (1) 如图①,当点D 在边BC 上时,求证: DE+DF=AC. (2) 如图②,点D 在边BC 的延长线上;如 图③,点D 在边BC 的反向延长线上.请分 别写出图②、图③中DE、DF 与AC 之间的 等量关系式.(不需要证明) (3) 若AC=10,DE=7,则 DF 的长为 多少? 第18题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶