2025年八年级数学秋季开学摸底考(上海专用，沪教版2024)

2025年秋季八年级开学摸底考试模拟卷 数学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：一元一次不等式、相交线与平行线、三角形、等腰三角形、实数、二次根式、一元二次方程 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．在，，，，，，这个数中，无理数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．2，2，3 D．10，5，5 4．反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（   ） A． B． C． D． 5．如图，是直线上一点，平分，，，李军同学添加了一个条件后，仍不能判定，他添加的条件可能是（ ） A． B． C． D． 6．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 8．（22-23八年级上·上海·开学考试）已知在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，那么∠A= 度． 9．计算的结果是 ． 10．若，则 ． 11．某小区车库门口需要用到曲臂直杆道闸，模型如图所示．如果，，，那么 °． 12．如图，已知，，，那么 ． 13．在实数范围内因式分解： ． 14．不等式的解集是 15．如图，点为的外心，若，，则的大小为 ． 16．如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为 （用、表示）． 17．如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为 ． 18．定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”．如图，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，则等于 ． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题4分）解方程： 20．（本题4分）计算： 21．（本题6分）（24-25七年级下·上海嘉定·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 22．（本题5分）（24-25七年级下·上海·期中）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明 解：，，（已知）， ，（________）， （________） （________） （已知）， ________________（等量代换）． （________________）． 23．（本题9分）（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知是等边三角形，，点P从点A出发，沿射线以的速度运动，过点P作交射线于点E，同时点Q从点C出发沿的延长线以的速度运动，连接、，设点P的运动时间为． (1)当点P在边上，且不与点、重合时，求证：； (2)直接写出的长（用含t的代数式表示）； (3)在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数．（请写出所有的可能性） 24．（本题9分）（24-25七年级下·上海·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． 25．（本题9分）（22-23八年级上·上海·开学考试）（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．过D作EFBC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE＋CF的理由． （2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EFBC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？ 26．（本题12分）（22-23八年级上·上海·开学考试）（1）观察理解：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，由此可得：∠AEC＝∠CDB＝90°，所以∠CAE＋∠ACE＝90°，又因为∠ACB＝90°，所以∠BCD＋∠ACE＝90°，所以∠CAE＝∠BCD，又因为AC＝BC，所以△AEC≌△CDB（    ）；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝　　； （3）类比探究：如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至，连接，求的面积． （4）拓展提升：如图4，等边△EBC中，EC＝BC＝3cm，点O在BC上，且OC＝2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．设点P运动的时间为t秒． ①当t＝　　秒时，； ②当t＝　　秒时，OF⊥BC； ③当t＝　　秒时，点F恰好落在射线EB上． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季八年级开学摸底考试模拟卷 数学•全解全析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：一元一次不等式、相交线与平行线、三角形、等腰三角形、实数、二次根式、一元二次方程 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．是代数式，不含不等号，不符合定义，故A不符合题意； B．是等式，不是不等式，排除，故B不符合题意； C．含有一个未知数x，次数为1，且两边为整式，符合一元一次不等式定义，故C符合题意； D．中不是整式，不符合条件，故D不符合题意． 故选：C． 2．在，，，，，，这个数中，无理数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】解：，，， ，，是有理数，是无理数，无理数的个数是1个， 故选：A． 3．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．2，2，3 D．10，5，5 【答案】C 【详解】解：A中，三条线段不能构成三角形，故不符合题意； B中，三条线段不能构成三角形，故不符合题意； C中，三条线段能构成三角形，故符合题意； D中，三条线段不能构成三角形，故不符合题意； 故选：C． 4．反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设． 故选：B． 5．如图，是直线上一点，平分，，，李军同学添加了一个条件后，仍不能判定，他添加的条件可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、平分，， ，故不符合题意； B、， 不能判断，故B符合题意， C、， 平分 ，故C不符合题意； D、， ，故D不符合题意； 故选：B． 6．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由于和是等边三角形， 可知，，， ∴，， ∴， ∴，， 可判断A正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，可判断B错误； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故结论C正确； ∵可判断D正确． 故选： B． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知：当两边同时除以时，不等式方向发生了改变，所以； 故答案为：． 8．（22-23八年级上·上海·开学考试）已知在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，那么∠A= 度． 【答案】40 【详解】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4， ∴设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=4x， 根据三角形内角和为180°，可得 2x+3x+4x=180°， 解得x=20， 则∠A=2x=40°， 故答案为：40． 9．计算的结果是 ． 【答案】3 【详解】解：， 故答案为：3 10．若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 则， 故答案为：． 11．某小区车库门口需要用到曲臂直杆道闸，模型如图所示．如果，，，那么 °． 【答案】127 过点B作，如图，根据平行线的性质和垂直的定义可得，进而可得，证明即可得解． 【详解】解：过点B作，如图， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：127． 12．如图，已知，，，那么 ． 【答案】/75度 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为： 13．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【详解】解：当时， 令， ∴， ∴， 解得或， ∴， 故答案为：． 14．不等式的解集是 【答案】 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得； 故答案为：． 15．如图，点为的外心，若，，则的大小为 ． 【答案】 利用线段垂直平分线的性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，，，然后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答． 【详解】∵点为的外心，，， ∴点P为三边垂直平分线的交点， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：． 16．如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为 （用、表示）． 【答案】 【详解】解：∵的垂直平分线交边于点，交边于点 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 故答案为： 17．如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为 ． 【答案】4 【详解】解：如图所示，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，如图所示： ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点E与点N重合时，最小，即最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 又∵， ∴（平行线间间距相等）， ∴的最小值为4， 故答案为：4. 18．定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”．如图，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，则等于 ． 【答案】/36度 根据邻补角的性质得到，根据平行线的性质得到，推出得到，根据角平分线的定义得到求得，再根据“优美三角形”的定义求解即可． 【详解】解：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ， 是“优美三角形”， ， ，即， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题4分）解方程： 【详解】解：， 因式分解得， ∴或， ∴，． 20．（本题4分）计算： 【详解】解：原式 ． 21．（本题6分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 该解集在数轴上表示为： 22．（本题5分）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明 解：，，（已知）， ，（________）， （________） （________） （已知）， ________________（等量代换）． （________________）． 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 23．（本题9分）如图，已知是等边三角形，，点P从点A出发，沿射线以的速度运动，过点P作交射线于点E，同时点Q从点C出发沿的延长线以的速度运动，连接、，设点P的运动时间为． (1)当点P在边上，且不与点、重合时，求证：； (2)直接写出的长（用含t的代数式表示）； (3)在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数．（请写出所有的可能性） 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， 根据点的运动过程可知，， ∴， 在和中， ， ∴ （2）解：根据题意可知，点从点到点所需时间为， 当时，， 当时，， 答：当时，的长为；当时，的长为． （3）解：当时，如图，有5个等腰三角形：、、、、， 当时，如图，有4个等腰三角形：、、、， 答：当时，等腰三角形有5个；当时，等腰三角形有4个． 24．（本题9分）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． 【详解】（1）解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为； 解方程得， ， 方程①是不等式组的“关联方程”； 解方程得， ， 方程②是不等式组的“关联方程”； 解方程得， 方程③不是不等式组的“关联方程”； 故答案为：①②； （2）解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为； 解方程得， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， ， 解得． 25．（本题9分）（22-23八年级上·上海·开学考试）（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．过D作EFBC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE＋CF的理由． （2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EFBC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？ 【详解】（1）∵在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠EBD＝∠DBC，∠DCB＝∠FCD． 又∵EFBC交AB于E，交AC于F， ∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB ∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD， ∴BE＝ED，CF＝FD， ∴EF＝ED+DF＝BE+CF． 即：EF＝BE+CF． （2）不成立．EF＝BE﹣CF．理由如下： ∵BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线， ∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCG， ∵EFBC交AB于E，交AC于F， ∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCG， ∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD， ∴BE＝DE，DF＝CF， ∴EF＝ED﹣DF＝BE﹣CF． 26．（本题12分）（22-23八年级上·上海·开学考试）（1）观察理解：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，由此可得：∠AEC＝∠CDB＝90°，所以∠CAE＋∠ACE＝90°，又因为∠ACB＝90°，所以∠BCD＋∠ACE＝90°，所以∠CAE＝∠BCD，又因为AC＝BC，所以△AEC≌△CDB（    ）；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝　　； （3）类比探究：如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至，连接，求的面积． （4）拓展提升：如图4，等边△EBC中，EC＝BC＝3cm，点O在BC上，且OC＝2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．设点P运动的时间为t秒． ①当t＝　　秒时，； ②当t＝　　秒时，OF⊥BC； ③当t＝　　秒时，点F恰好落在射线EB上． 【详解】解：（1）在△AEC和△CDB中， ∵， ∴△AEC≌△CDB（AAS）， 故答案为：AAS； （2）∵AE＝AB，∠EAB＝90°，BC＝CD，∠BCD＝90°， 由（1）得：△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD， ∴AG＝EF＝6，AF＝BG＝3，CG＝DH＝4，CH＝BG＝3， ∴S＝S梯形EFHD﹣2S△AEF﹣2S△CHD＝（4+6）×16﹣2×﹣2×＝80﹣18﹣12＝50， 故答案为：50； （3）如图3，过作于E， 由旋转得：， ∵， ∴， ∴， ∴＝8； （4）由题意得：EP＝t，则PC＝3﹣t， ①如图4，∵， ∴∠POF+∠OPC＝180°， ∵∠POF＝120°， ∴∠OPC＝60°， ∵△BEC是等边三角形， ∴∠E＝60°， ∴∠E＝∠OPC， ∴， ∴∠OPC=∠E=60°，∠COP=∠CBE=60°， ∴∠OPC=∠COP， ∴CO=PC，即2＝3﹣t，解得∶t＝1， 即当t＝1秒时，； ②如图5，∵OF⊥BC， ∴∠FOC＝90°， ∵∠FOP＝120°， ∴∠COP＝30°， ∴OC＝2PC， 2＝2（3﹣t），t＝2， 即当t＝2秒时，OF⊥BC； ③如图6，∵∠FOP＝120°， ∴∠FOB+∠COP＝60°， ∵∠BCE＝60°， ∴∠COP+∠OPC＝60°， ∴∠FOB＝∠OPC， ∵OF＝OP，∠OBF＝∠OCP＝120°， ∴△PCO≌△OBF， ∴PC＝OB＝1＝t﹣3， t＝4， 即当t＝4秒时，点F恰好落在射线EB上． 故答案为：①1；②2；③4． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年秋季八年级开学摸底考试模拟卷 数学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：一元一次不等式、相交线与平行线、三角形、等腰三角形、实数、二次根式、一元二次方程 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．在，，，，，，这个数中，无理数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．2，2，3 D．10，5，5 4．反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（   ） A． B． C． D． 5．如图，是直线上一点，平分，，，李军同学添加了一个条件后，仍不能判定，他添加的条件可能是（ ） A． B． C． D． 6．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 8．（22-23八年级上·上海·开学考试）已知在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，那么∠A= 度． 9．计算的结果是 ． 10．若，则 ． 11．某小区车库门口需要用到曲臂直杆道闸，模型如图所示．如果，，，那么 °． 12．如图，已知，，，那么 ． 13．在实数范围内因式分解： ． 14．不等式的解集是 15．如图，点为的外心，若，，则的大小为 ． 16．如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为 （用、表示）． 17．如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为 ． 18．定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”．如图，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，则等于 ． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题4分）解方程： 20．（本题4分）计算： 21．（本题6分）（24-25七年级下·上海嘉定·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 22．（本题5分）（24-25七年级下·上海·期中）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明 解：，，（已知）， ，（________）， （________） （________） （已知）， ________________（等量代换）． （________________）． 23．（本题9分）（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知是等边三角形，，点P从点A出发，沿射线以的速度运动，过点P作交射线于点E，同时点Q从点C出发沿的延长线以的速度运动，连接、，设点P的运动时间为． (1)当点P在边上，且不与点、重合时，求证：； (2)直接写出的长（用含t的代数式表示）； (3)在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数．（请写出所有的可能性） 24．（本题9分）（24-25七年级下·上海·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． 25．（本题9分）（22-23八年级上·上海·开学考试）（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．过D作EFBC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE＋CF的理由． （2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EFBC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？ 26．（本题12分）（22-23八年级上·上海·开学考试）（1）观察理解：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，由此可得：∠AEC＝∠CDB＝90°，所以∠CAE＋∠ACE＝90°，又因为∠ACB＝90°，所以∠BCD＋∠ACE＝90°，所以∠CAE＝∠BCD，又因为AC＝BC，所以△AEC≌△CDB（    ）；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝　　； （3）类比探究：如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至，连接，求的面积． （4）拓展提升：如图4，等边△EBC中，EC＝BC＝3cm，点O在BC上，且OC＝2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．设点P运动的时间为t秒． ①当t＝　　秒时，； ②当t＝　　秒时，OF⊥BC； ③当t＝　　秒时，点F恰好落在射线EB上． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季八年级开学摸底考试模拟卷 数学·答案及评分参考 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 C A C B B B 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7. 8. 40． 9. 3 10. 11. 127 12. 13. 14. 15. 16. 17. 4 18. 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题4分） 【详解】解：， 因式分解得，（2分） ∴或， （3分） ∴，． （4分） 20．（本题4分）计算： 【详解】解：原式（2分） （3分） ． （4分） 21．（本题6分） 【详解】解： 解不等式①，得，（2分） 解不等式②，得，（2分） ∴不等式组的解集为，（5分） 该解集在数轴上表示为： （6分） 22．（本题5分） 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义），（1分） ∴（同位角相等，两直线平行），（2分） ∴（两直线平行，同位角相等），（3分） ∵（已知）， ∴（等量代换），（4分） ∴（内错角相等，两直线平行）．（5分） 23．（本题9分） 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， 根据点的运动过程可知，， ∴， 在和中， ， ∴（3分） （2）解：根据题意可知，点从点到点所需时间为， 当时，， 当时，， 答：当时，的长为；当时，的长为．（6分） （3）解：当时，如图，有5个等腰三角形：、、、、， 当时，如图，有4个等腰三角形：、、、， 答：当时，等腰三角形有5个；当时，等腰三角形有4个．（9分） 24．（本题9分） 【详解】（1）解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为； 解方程得， ， 方程①是不等式组的“关联方程”； 解方程得， ， 方程②是不等式组的“关联方程”； 解方程得， 方程③不是不等式组的“关联方程”； 故答案为：①②；（5分） （2）解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为； 解方程得， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， ， 解得．（9分） 25．（本题9分） 【详解】（1）∵在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠EBD＝∠DBC，∠DCB＝∠FCD． 又∵EFBC交AB于E，交AC于F， ∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB ∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD， ∴BE＝ED，CF＝FD， ∴EF＝ED+DF＝BE+CF． 即：EF＝BE+CF．（5分） （2）不成立．EF＝BE﹣CF．理由如下： ∵BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线， ∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCG， ∵EFBC交AB于E，交AC于F， ∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCG， ∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD， ∴BE＝DE，DF＝CF， ∴EF＝ED﹣DF＝BE﹣CF．（9分） 26．（本题12分） 【详解】解：（1）在△AEC和△CDB中， ∵， ∴△AEC≌△CDB（AAS）， 故答案为：AAS；（3分） （2）∵AE＝AB，∠EAB＝90°，BC＝CD，∠BCD＝90°， 由（1）得：△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD， ∴AG＝EF＝6，AF＝BG＝3，CG＝DH＝4，CH＝BG＝3， ∴S＝S梯形EFHD﹣2S△AEF﹣2S△CHD＝（4+6）×16﹣2×﹣2×＝80﹣18﹣12＝50， 故答案为：50；（6分） （3）如图3，过作于E， 由旋转得：， ∵， ∴， ∴， ∴＝8；（9分） （4）由题意得：EP＝t，则PC＝3﹣t， ①如图4，∵， ∴∠POF+∠OPC＝180°， ∵∠POF＝120°， ∴∠OPC＝60°， ∵△BEC是等边三角形， ∴∠E＝60°， ∴∠E＝∠OPC， ∴， ∴∠OPC=∠E=60°，∠COP=∠CBE=60°， ∴∠OPC=∠COP， ∴CO=PC，即2＝3﹣t，解得∶t＝1， 即当t＝1秒时，； ②如图5，∵OF⊥BC， ∴∠FOC＝90°， ∵∠FOP＝120°， ∴∠COP＝30°， ∴OC＝2PC， 2＝2（3﹣t），t＝2， 即当t＝2秒时，OF⊥BC； ③如图6，∵∠FOP＝120°， ∴∠FOB+∠COP＝60°， ∵∠BCE＝60°， ∴∠COP+∠OPC＝60°， ∴∠FOB＝∠OPC， ∵OF＝OP，∠OBF＝∠OCP＝120°， ∴△PCO≌△OBF， ∴PC＝OB＝1＝t﹣3， t＝4， 即当t＝4秒时，点F恰好落在射线EB上． 故答案为：①1；②2；③4．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季八年级开学摸底考试模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题2分，共24分） 7. _______________ 8. ________________ 9. ________________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. _______________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 17. ________________ 18. ________________ 三、解答题（共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（4分） 三、解答题（共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（4分） 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（5分） 23．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$