函数 专项训练习题-2026届高三数学一轮复习

函数的概念及其表示 题型一　函数的概念 例1　(1)(多选)下列选项中正确的是(　　) A.函数f(x)＝的定义域为[0,＋∞) B.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点 C.函数y＝与函数y＝x－1表示同一个函数 D.对于任何一个函数,如果因变量y的值不同,则自变量x的值一定不同 (2)若函数f(x)的定义域为(1,3),则函数f(2x)的定义域为　　　　　　.  题型二　函数的解析式 例2　(1)已知f(1－sin x)＝cos2x,求f(x)的解析式； (2)已知f＝x4＋求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17,求f(x)的解析式； (4)若对任意实数x,均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2,求f(x)的解析式. 题型三　分段函数 例3　(1)(多选)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(－∞,4] C.若f(x)＝2,则x的值是－ D.f(x)<1的解集为(－1,1) (2)定义max{a,b}＝设函数f(x)＝x＋1,g(x)＝(x＋1)2,记函数F(x)＝max{f(x),g(x)},且函数F(x)在区间[m,n]内的值域为[0,1],则n－m的最大值为(　　) A.1 B. C. D.2 函数的单调性与最值 题型一　确定函数的单调性 例1　(多选)下列说法中,正确的是(　　) A.函数y＝e－x－在(－∞,0)上单调递减 B.若f(x),g(x)都是R上的增函数,则h(x)＝f(x)＋g(x)也是R上的增函数 C.函数y＝2|x＋1|的单调递减区间是(－∞,－1] D.函数f(x)＝的单调递增区间为[1,＋∞) 例2　试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性. 题型二　函数单调性的应用 例3　定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2∈(－∞,0](x1≠x2),有<0,则(　　) A.f(－2)<f(3)<f(4) B.f(－2)>f(3)>f(4) C.f(3)<f(4)<f(－2) D.f(4)<f(－2)<f(3) 例4　函数y＝－1＋x(x≥3)的最小值为　　　　　　.  求函数的值域(最值)的常用方法 典例　(多选)下列函数中，值域正确的是(　　) A.当x∈[0，3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2，6) B.函数y＝的值域为R C.函数y＝2x－的值域为 D.函数y＝的值域为[，＋∞) 例5　(2025·湖州模拟)已知函数f(x)＝ex－e－x,则使f(|x|)<f(－3x2＋4)成立的实数x的取值范围是(　　) A.(－1,0) B.(－1,＋∞) C.(－1,1) D.(1,＋∞) 例6　(2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝在R上单调递增,则a的取值范围是(　　) A.(－∞,0] B.[－1,0] C.[－1,1] D.[0,＋∞) 函数的奇偶性 题型一　函数奇偶性的判断 例1　(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A.f(x)＝tan x B.f(x)＝x2＋x C.f(x)＝ D.f(x)＝ln|1＋x| 例2　(多选)已知f(x)是定义在R上的函数,下列结论正确的有(　　) A.若恒有f(x2)＝－f(－x2),则f(x)是奇函数 B.若恒有2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y),且f(0)≠0,则y＝f(x)为奇函数 C.若恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y),则f(x)为偶函数 D.若恒有f(xy)＝yf(x)＋xf(y),则f(x)是奇函数 例3　已知函数f(x)＝x＋ln(－x)－5(x∈[－2 026,2 026])的最大值为M,最小值为m,则M＋m＝　　　　　　.  题型二　函数的奇偶性的应用 例4　(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x∈(－∞,0]时,f(x)＝x2－ex＋1,则当x∈(0,＋∞)时,f(x)等于(　　) A.x2－ex＋1 B.x2－e－x＋1 C.x2＋e－x＋1 D.－x2＋e－x－1 (2)若函数y＝(2x－m·2－x)x5是R上的偶函数,则实数m＝　　　　　　.  例5　设函数f(x)＝ln(x2＋1)－则满足f(x)>f(2x＋1)的x的取值范围为　　　　　　　　　　.  函数的周期性和对称性 题型一　函数的周期性 例1　(1)若偶函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0,当x∈(0,1)时,f(x)＝＋1,则f等于(　　) A.2 B. C. D. (2)已知f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x－2)是偶函数,当0≤x≤2时,f(x)＝x2－4x,则当6≤x≤8时,f(x)的解析式为(　　) A.f(x)＝－x2－4x B.f(x)＝x2－16x＋60 C.f(x)＝x2－12x＋32 D.f(x)＝－x2＋12x－32 题型二　函数的对称性 例2　(多选)设f(x)是R上的奇函数,且对∀x∈R,都有f(2－x)＝f(x),当x∈[0,1]时,f(x)＝x2,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)在[3,5]上单调递增 B.f(x)的最大值是1,最小值是0 C.直线x＝1是函数f(x)的一条对称轴 D.当3≤x≤4时,f(x)＝－(x－4)2 例3　(多选)下列说法中,正确的是(　　) A.函数f(x)＝的图象关于点(－2,2)中心对称 B.函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数,则函数f(x)的图象关于点(－1,0)中心对称 C.若函数y＝f(x)过定点(0,1),则函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2) D.函数y＝的图象关于点(3,c)中心对称,则b＋c＝2 例4　已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数,则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象(　　) A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称 C.关于直线y＝3对称 D.关于点(3,0)对称 函数性质的综合应用 题型一　函数的奇偶性与单调性 例1　(2025·大连模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,∀x1,x2∈[0,＋∞),且x1≠x2>4(x1＋x2)恒成立,f(2)＝16,则满足f(ln m)≤4(ln m)2的m的取值范围为(　　) A. B. C.[1,e2] D. 题型二　函数的奇偶性与周期性 例2　(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝－ff(0)＝－2,且f 为奇函数,则(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)是一个周期为3的周期函数 D.f(2 025)＝－2 题型三　函数的奇偶性与对称性 例3　(多选)(2025·宁波模拟)已知f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)＋g(1－x)＝a(a≠0),g(1＋x)＝g(1－x),若f(x＋2)为奇函数,则(　　) A.g(x)关于直线x＝1对称 B.g(x)为奇函数 C.f(2)＝0 D.f(x)为偶函数 题型四　函数性质的综合应用 例4　(多选)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x),g(x－3)是偶函数,且f(x)＋g(x－3)＝2,若g(－3)＝1,则(　　) A.f(1)＝ B.f(x)的图象关于点对称 C.f(x)＝f(x＋6) D.f(x)为奇函数 二次函数与幂函数 题型一　幂函数的图象与性质 例1　(1)下列命题中正确的是(　　) A.当m＝0时,函数y＝xm的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点 C.幂函数y＝xm的图象不可能在第四象限内 D.若幂函数y＝xm为奇函数,则y＝xm是定义域内的增函数 (2)如图所示,图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象,已知n取±2,±四个值,则相对应曲线C1,C2,C3,C4的n依次为(　　) A.－2,－2 B.2－2 C.－－2,2 D.2－2,－ 题型二　二次函数的解析式 例2　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1,且f(x)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式. 题型三　二次函数的图象与性质 例3　(多选)函数f(x)＝ax2－2x＋1与g(x)＝xa在同一直角坐标系中的图象不可能为(　　) 一元二次方程根的分布 典例　已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m的取值范围； (2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围. 例4　(2025·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1. (1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减,求a的取值范围； (2)若a>0,设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式. 指数运算与对数运算 题型一　指数运算 例1　(1)(多选)下列各式正确的是(式中字母均是正数)(　　) A. B.＝a C.＝36 D.＝－ (2)(多选)下列运算正确的是(式中字母均是正数)(　　) A.0.2－2－1＝0 B.×＋(π－1)0＝ C.(2·)(－6·)÷(－3·)＝1 D.若则 题型二　对数运算 例2　(1)(多选)下列运算中正确的是(　　) A.＝log75 B. C.x＝ln ex D.＋ln(ln e)＝6 (2)(多选)(2025·焦作模拟)下列等式成立的是(　　) A.＝1 B.＝2 C.lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18＝0 D.(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝2 题型三　指对运算的应用 例3　(1)(2024·重庆模拟)在经济学中,常用Logistic回归模型来分析还款信度评价问题.某银行统计得到如下Logistic模型：P(x)＝其中x是客户年收入(单位：万元),P(x)是按时还款概率的预测值,如果某人年收入是10万元,那么他按时还款概率的预测值大约为(参考数据：ln 1.35≈0.3)(　　) A.0.35 B.0.46 C.0.57 D.0.68 (2)(2024·贵阳模拟)电动汽车逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.1898年Peukert提出铅酸电池的容量C(单位：Ah)、放电时间t(单位：h)和放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝Iλt,其中λ为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数),在电池容量不变的条件下,当放电电流为7.5 A时,放电时间为60 h；当放电电流为25 A时,放电时间为15 h,则该蓄电池的Peukert常数λ约为(参考数据：lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)(　　) A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.15 指数函数 题型一　指数函数的概念与图象 例1　(1)(多选)下列选项正确的是(　　) A.函数f(x)＝(2a2－3a＋2)·ax是指数函数,则a＝ B.指数函数f(x)＝ax(a>0,且a≠1)的值域为(0,＋∞) C.函数y＝ax＋1(a>0,且a≠1)的图象可以由f(x)＝ax的图象向右平移一个单位长度得到 D.函数y＝a2x＋3－1(a>0,且a≠1)恒过定点 (2)(多选)若函数f(x)＝ax＋b(其中a>0且a≠1)的图象过第一、三、四象限,则(　　) A.0<a<1 B.a>1 C.－1<b<0 D.b<－1 题型二　指数函数的性质及应用 例2　(1)已知a＝1.050.6,b＝0.60.8,c＝0.60.4,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a (2)若a＝b＝c＝lo则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>c>b B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 例3　(1)已知p：ax<1(a>1),q：2x＋1－x<2,则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知函数f(x)＝2|x|,则f(2－x)>f(2x＋3)的解集为　　　　　　.  答案　 例4　已知函数f(x)＝2x＋a·2－x是定义在R上的偶函数. (1)求a的值,并证明函数f(x)在[0,＋∞)上单调递增； (2)求函数h(x)＝f(x)＋f(2x),x∈[0,1]的值域. 抽象函数 典例　(多选)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x＋y)＝f(x)＋f(y),当x>0时,f(x)>0,且满足f(2)＝1,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(－2)＝－1 C.不等式f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－5,＋∞) D.f(－2 025)＋f(－2 024)＋…＋f(0)＋…＋f(2 024)＋f(2 025)＝2 024 对数函数 题型一　对数函数的概念与图象 例1　(1)(多选)下列选项正确的是(　　) A.若函数f(x)＝loga－1x＋a2－5a＋6是对数函数,则a＝3或a＝2 B.函数f(x)＝＋ln(3＋x)的定义域为(－3,0)∪(0,＋∞) C.函数f(x)＝loga(4x－3)(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0) D.f(x)＝log2(x2－2x)的单调递增区间是(1,＋∞) (2)(多选)已知函数f(x)＝ln x,g(x)＝lg x,若f(m)＝g(n),则下列结论可能成立的为(　　) A.m＝n B.n<m<1 C.m<1<n D.1<m<n 题型二　对数函数的性质及应用 例2　(1)(2024·延庆模拟)设a＝log32,b＝log96,c＝则(　　) A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.b>a>c (2)(多选)(2025·黑龙江龙东联盟联考)已知2a＝3b＝6,则a,b满足(　　) A.a＝log26 B.a<b C.<1 D.a＋b>4 例3　(1)已知函数f(x)＝log2x－x＋1,则不等式f(x)<0的解集是(　　) A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.(0,1)∪(2,＋∞) (2)(2025·中山模拟)设实数a>0,则“2a>2”是“loga>0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 例4　(1)(多选)(2024·烟台模拟)已知函数f(x)＝lg(x2＋ax－a),下列说法中正确的是(　　) A.若f(x)的定义域为R,则a的取值范围是(－4,0) B.若f(x)的值域为R,则a的取值范围是(－∞,－4]∪[0,＋∞) C.若a＝2,则f(x)的单调递减区间为(－∞,－1) D.若f(x)在(－2,－1)上单调递减,则a的取值范围是 (2)(多选)(2025·岳阳模拟)关于函数f(x)＝log2x＋log2(4－x),下列说法正确的是(　　) A.f(x)的最大值为1 B.f(x)在区间(0,2)上单调递增 C.f(x)的图象关于直线x＝2对称 D.f(x)的图象关于点(2,0)对称 指、对、幂的大小比较 题型一　直接法比较大小 例1　(2024·鄂尔多斯模拟)已知a＝b＝log8c＝则(　　) A.b<a<c B.a<c<b C.b<c<a D.a<b<c 例2　设a＝0.20.5,b＝log53,c＝50.2,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 例3　已知a>b>1,0<c<则下列结论正确的是(　　) A.ac<bc B.abc<bac C.alogbc<blogac D.logac<logbc 题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小 例4　设a＝log62,b＝log123,c＝log405,则(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.a<c<b 例5　(2025·成都模拟)若a＝b＝c＝lo则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 例6　已知a＝log35,b＝log57,c＝则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.a>c>b 函数的图象 题型一　作函数的图象 例1　作出下列各函数的图象： (1)y＝； (2)y＝|x2－4x－5|； (3)y＝－1. 题型二　函数图象的识别 例2　(1)函数f(x)＝cos x图象的大致形状是(　　) (2)已知某函数图象如图所示,则该函数解析式可能为(　　) A.f(x)＝ln|x|－ B.f(x)＝ln|x|＋ C.f(x)＝＋ln|x| D.f(x)＝－ln|x| 题型三　函数图象的应用 例3　(多选)对任意两个实数a,b,定义min{a,b}＝若f(x)＝2－x2,g(x)＝x2,下列关于函数F(x)＝min{f(x),g(x)}的说法正确的是(　　) A.函数F(x)是偶函数 B.方程F(x)＝0有三个解 C.函数F(x)在区间[－1,1]上单调递增 D.函数F(x)有4个单调区间 例4　已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,＋∞)上的图象如图所示,则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　　) A.(－0)∪(2) B.(－∞,－2)∪(2,＋∞) C.(－∞,－2)∪(－0)∪(2) D.(－2,－)∪(0)∪(2,＋∞) 例5　已知函数f(x)＝若实数a,b,c互不相等,且f(a)＝f(b)＝f(c),则a＋b＋c的取值范围是　　　　　　.  函数的零点与方程的解 题型一　函数零点所在区间的判定 例1　(1)已知函数f(x)＝(m－2)xm为幂函数,若函数g(x)＝lg x＋x－m,则g(x)的零点所在区间为(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) (2)在用二分法求方程x2＝3的正实数根的近似值(精确度为0.001)时,若我们选取的初始区间是[1.7,1.8],为达到精确度要求至少需要计算的次数是　　　　　　.  题型二　函数零点个数的判定 例2　(1)函数f(x)＝的零点个数为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 (2)函数f(x)＝sin －|log3x|的零点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 题型三　函数零点的应用 例3　已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x－a,若函数g(x)有2个零点,则实数a的取值范围是(　　) A.[－1,0) B.[1,＋∞) C.(－∞,1] D.[2,＋∞) 例4　已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞,－1),使得f(x0)＝0,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.(－∞,0) D. 函数与方程的综合应用 题型一　由零点分布求值(范围) 例1　(多选)已知函数f(x)＝x2＋(m－3)x＋m的两个零点分别为x1,x2,且x1<x2,则下列结论正确的是(　　) A.当x1>0且x2>0时,0<m<1 B.当x1<1且x2>1时,m<1 C.当－2<x1<0且0<x2<4时,m<－ D.当x1<2且x2>4时,m<－ 例2　已知定义在R上的奇函数满足f(2－x)＋f(x)＝0,当x∈(0,1]时,f(x)＝－log2x,若函数F(x)＝f(x)－sin πx在区间[－1,m]上有10个零点,则m的取值范围是(　　) A.[3.5,4) B.(3.5,4] C.(5,5.5] D.[5,5.5) 题型二　复合函数的零点 例3　(多选)已知函数f(x)＝下列关于函数y＝f(f(x))＋1的零点个数的说法中,正确的是(　　) A.当k>1时,有1个零点 B.当k>1时,有3个零点 C.当k<0时,有9个零点 D.当k＝－4时,有7个零点 例4　(多选)(2025·亳州模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝3[f(x)]2－(m＋3)f(x)＋m有5个不同的零点,则实数m的值可能是(　　) A.－5 B.－6 C.－7 D.－8 函数模型的应用 题型一　用函数图象刻画变化过程 例1　设f(x)＝x2,g(x)＝2x,h(x)＝log2x,当x∈(4,＋∞)时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论正确的是(　　) A.f(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢 B.g(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢 C.g(x)的增长速度最快,f(x)的增长速度最慢 D.f(x)的增长速度最快,g(x)的增长速度最慢 例2　(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示： 根据图中提供的信息,下列关于成人服用该药物的说法中,正确的是(　　) A.首次服用1单位该药物,约10分钟后药物发挥治疗作用 B.每次服用1单位该药物,两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒 C.首次服用1单位该药物,约5.5小时后第二次服用1单位该药物,可使药物持续发挥治疗作用 D.首次服用1单位该药物,3小时后再次服用1单位该药物,不会发生药物中毒 题型二　已知函数模型的实际问题 例3　(1)2024年1月5日,第40届中国·哈尔滨国际冰雪节在哈尔滨冰雪大世界园区开幕,现场流光溢彩,游客如潮,充满热情与活力.该园区为了倡导绿色可循环的理念,配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t(小时)的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量).如果前2个小时消除了20%的污染物,那么前6个小时消除了污染物的(　　) A.51.2% B.48.8% C.52% D.48% (2)在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度y(km/s)和燃料的质量x(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系是y＝4[ln(m＋x)－ln(m)]＋2ln 2,要使火箭的最大速度达到12 km/s,则燃料质量与火箭质量的比值是　　　　　.  题型三　构造函数模型的实际问题 例4　汽车智能辅助驾驶已开始得到应用,其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离,当此距离等于报警距离时就开启报警提醒,等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段(如图所示),分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3,相应的距离分别为d0,d1,d2,d3,当车速为v(单位：m/s),且0≤v≤33.3时,通过大数据统计分析得到如表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化,且0.5≤k≤0.9). 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 t0 t1＝0.8 s t2＝0.2 s t3 距离 d0＝30 m d1 d2 d3＝ m (1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶,报警距离均小于90 m,则汽车的行驶速度应限制在多少以下？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数的概念及其表示 题型一　函数的概念 例1　(1)(多选)下列选项中正确的是(　　) A.函数f(x)＝的定义域为[0,＋∞) B.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点 C.函数y＝与函数y＝x－1表示同一个函数 D.对于任何一个函数,如果因变量y的值不同,则自变量x的值一定不同 答案　ABD 解析　对于A,由题意解得x≥0,A正确； 对于B,由函数的定义知,函数图象至多与y轴有一个交点,B正确； 对于C,函数y＝的定义域为(－∞,－1)∪(－1,＋∞),函数y＝x－1的定义域为R,故这两个函数不是同一个函数,C错误； 对于D,函数中一个x值只能对应一个y值,如果y值不同,则x的值一定不同,D正确. (2)若函数f(x)的定义域为(1,3),则函数f(2x)的定义域为　　　　　　.  答案　 解析　若函数f(x)的定义域为(1,3), 则在f(2x)中2x∈(1,3),解得x∈. 题型二　函数的解析式 例2　(1)已知f(1－sin x)＝cos2x,求f(x)的解析式； (2)已知f＝x4＋求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17,求f(x)的解析式； (4)若对任意实数x,均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2,求f(x)的解析式. 解　(1)(换元法)设1－sin x＝t,t∈[0,2], 则sin x＝1－t, ∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x, ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2,t∈[0,2]. 即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2). (2)(配凑法)f＝x4＋－2, 又x2＋≥2＝2, 当且仅当x2＝即x＝±1时等号成立. 设t＝x2＋则t≥2,∴f(t)＝t2－2(t≥2), ∴f(x)＝x2－2(x≥2). (3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数, 可设f(x)＝ax＋b(a≠0), ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17, 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17, ∴解得 ∴f(x)＝2x＋7(x∈R). (4)(解方程组法)∵f(x)－2f(－x)＝9x＋2, ① ∴f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2, ② 由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6, ∴f(x)＝3x－2(x∈R). 题型三　分段函数 例3　(1)(多选)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(－∞,4] C.若f(x)＝2,则x的值是－ D.f(x)<1的解集为(－1,1) 答案　BC 解析　函数f(x)＝的定义域是[－2,＋∞),故A错误； 当－2≤x<1时,f(x)＝x2,值域为[0,4],当x≥1时,f(x)＝－x＋2,值域为(－∞,1],故f(x)的值域为(－∞,4],故B正确； 当x≥1时,令f(x)＝－x＋2＝2,无解,当－2≤x<1时,令f(x)＝x2＝2,解得x＝－故C正确； 当－2≤x<1时,令f(x)＝x2<1,解得x∈(－1,1),当x≥1时,令f(x)＝－x＋2<1,解得x∈(1,＋∞),故f(x)<1的解集为(－1,1)∪(1,＋∞),故D错误. (2)定义max{a,b}＝设函数f(x)＝x＋1,g(x)＝(x＋1)2,记函数F(x)＝max{f(x),g(x)},且函数F(x)在区间[m,n]内的值域为[0,1],则n－m的最大值为(　　) A.1 B. C. D.2 答案　D 解析　令f(x)≥g(x),即x＋1≥(x＋1)2,解得－1≤x≤0； 令f(x)<g(x),即x＋1<(x＋1)2,解得x<－1或x>0, 所以F(x)＝max{f(x),g(x)}＝ F(x)的图象如图所示, 又F(0)＝F(－2)＝1,F(－1)＝0, 要使函数F(x)在区间[m,n]内的值域为[0,1], 当n＝0时,－2≤m≤－1； 当m＝－2时,－1≤n≤0, 则当n＝0,m＝－2时,n－m取得最大值2. 函数的单调性与最值 题型一　确定函数的单调性 例1　(多选)下列说法中,正确的是(　　) A.函数y＝e－x－在(－∞,0)上单调递减 B.若f(x),g(x)都是R上的增函数,则h(x)＝f(x)＋g(x)也是R上的增函数 C.函数y＝2|x＋1|的单调递减区间是(－∞,－1] D.函数f(x)＝的单调递增区间为[1,＋∞) 答案　ABC 解析　在(－∞,0)上函数y＝e－x与y＝－都单调递减,所以y＝e－x－在(－∞,0)上单调递减,故A正确； 两增函数的和为增函数,故B正确； 作出函数y＝2|x＋1|的图象,如图所示, 由图象可知,函数y＝2|x＋1|的单调递减区间是(－∞,－1],故C正确； 由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得f(x)的单调递增区间为(－∞,1],故D错误. 例2　试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性. 解　方法一　定义法 设－1<x1<x2<1, 因为f(x)＝a·＝a 所以f(x1)－f(x2)＝a－a 由于－1<x1<x2<1, 所以x2－x1>0,x1－1<0,x2－1<0, 故当a>0时,f(x1)－f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时,f(x1)－f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(－1,1)上单调递增. 方法二　导数法 f'(x)＝＝－. 故当a>0时,f'(x)<0,函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时,f'(x)>0,函数f(x)在(－1,1)上单调递增. 题型二　函数单调性的应用 例3　定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2∈(－∞,0](x1≠x2),有<0,则(　　) A.f(－2)<f(3)<f(4) B.f(－2)>f(3)>f(4) C.f(3)<f(4)<f(－2) D.f(4)<f(－2)<f(3) 答案　A 解析　因为对任意的x1,x2∈(－∞,0](x1≠x2),有<0, 所以f(x)在(－∞,0]上单调递减, 又f(x)为偶函数, 所以f(x)在(0,＋∞)上单调递增, 则f(2)<f(3)<f(4), 又f(－2)＝f(2), 所以f(－2)<f(3)<f(4). 例4　函数y＝－1＋x(x≥3)的最小值为　　　　　　.  答案　 解析　设t＝x－1,t≥2, 则y＝－1＋x＝t＋(t≥2), 又函数y＝t＋在[2,＋∞)上单调递增, 所以当t＝2,即x＝3时, 函数有最小值2＋. 求函数的值域(最值)的常用方法 典例　(多选)下列函数中，值域正确的是(　　) A.当x∈[0，3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2，6) B.函数y＝的值域为R C.函数y＝2x－的值域为 D.函数y＝的值域为[，＋∞) 答案　ACD 解析　对于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2，6). 对于B，(分离常数法)y＝＝2＋，显然≠0，∴y≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞). 对于C，(换元法)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝2， 由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为. 对于D，函数的定义域为[1，＋∞)， ∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均单调递增，∴y＝在[1，＋∞)上为增函数， ∴当x＝1时，ymin＝，即函数的值域为[，＋∞). 例5　(2025·湖州模拟)已知函数f(x)＝ex－e－x,则使f(|x|)<f(－3x2＋4)成立的实数x的取值范围是(　　) A.(－1,0) B.(－1,＋∞) C.(－1,1) D.(1,＋∞) 答案　C 解析　函数y＝ex为增函数,函数y＝e－x为减函数, 所以函数f(x)＝ex－e－x为增函数, 所以f(|x|)<f(－3x2＋4)⇔|x|<－3x2＋4, 即3|x|2＋|x|－4<0,(|x|－1)(3|x|＋4)<0,得0≤|x|<1, 解得－1<x<1, 所以实数x的取值范围为(－1,1). 例6　(2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝在R上单调递增,则a的取值范围是(　　) A.(－∞,0] B.[－1,0] C.[－1,1] D.[0,＋∞) 答案　B 解析　因为f(x)在R上单调递增, 且x≥0时,f(x)＝ex＋ln(x＋1)单调递增, 则需满足 解得－1≤a≤0, 即a的取值范围是[－1,0]. 函数的奇偶性 题型一　函数奇偶性的判断 例1　(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A.f(x)＝tan x B.f(x)＝x2＋x C.f(x)＝ D.f(x)＝ln|1＋x| 答案　AC 解析　对于A,函数的定义域为关于原点对称,且f(－x)＝tan(－x)＝－tan x＝－f(x),故函数为奇函数,符合题意； 对于B,函数的定义域为R,关于原点对称,且f(－x)＝x2－x≠±f(x),故函数为非奇非偶函数,不符合题意； 对于C,函数的定义域为R,关于原点对称,且f(－x)＝＝－f(x),故函数为奇函数,符合题意； 对于D,函数的定义域为{x|x≠－1},不关于原点对称,故函数为非奇非偶函数,不符合题意. 例2　(多选)已知f(x)是定义在R上的函数,下列结论正确的有(　　) A.若恒有f(x2)＝－f(－x2),则f(x)是奇函数 B.若恒有2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y),且f(0)≠0,则y＝f(x)为奇函数 C.若恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y),则f(x)为偶函数 D.若恒有f(xy)＝yf(x)＋xf(y),则f(x)是奇函数 答案　AD 解析　对于A,若∀t∈R, 当t>0时,令t＝x2,因为f(x2)＝－f(－x2), 所以f(t)＝－f(－t),即f(－t)＝－f(t)； 当t＝0时,令t＝x2＝0, 因为f(x2)＝－f(－x2), 所以f(0)＝－f(－0),即f(0)＝0； 当t<0时,令t＝－x2, 因为f(x2)＝－f(－x2), 所以f(－t)＝－f(t), 综上,∀t∈R,f(－t)＝－f(t), 所以f(x)是奇函数,故A正确； 对于B,在2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y)中,令x＝y＝0,得2[f(0)]2＝2f(0), 因为f(0)≠0,所以f(0)＝1,显然不符合f(－x)＝－f(x),故B错误； 对于C,令x＝y＝0,则f(0)＋f(0)＝f(0), 所以f(0)＝0, 令y＝－x,则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0, 所以f(－x)＝－f(x), 即f(x)为奇函数,故C错误； 对于D,对任意x,y∈R,总有f(xy)＝yf(x)＋xf(y), 令x＝y＝0得f(0)＝0； 令x＝y＝1得f(1)＝f(1)＋f(1),所以f(1)＝0； 令x＝y＝－1得f(1)＝－f(－1)－f(－1),所以f(－1)＝0； 令y＝－1得f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x),所以f(x)是奇函数,故D正确. 例3　已知函数f(x)＝x＋ln(－x)－5(x∈[－2 026,2 026])的最大值为M,最小值为m,则M＋m＝　　　　　　.  答案　－10 解析　设g(x)＝f(x)＋5＝x＋ln(－x), 则g(x)的定义域为[－2 026,2 026], 则g(x)＋g(－x)＝x＋ln(－x)－x＋ln(＋x)＝ln[(－x)(＋x)]＝ln 1＝0, ∴g(－x)＝－g(x),即g(x)是奇函数, 因此g(x)min＋g(x)max＝0. 又g(x)min＝f(x)min＋5＝m＋5, g(x)max＝f(x)max＋5＝M＋5, ∴g(x)min＋g(x)max＝m＋5＋M＋5＝0, 即M＋m＝－10. 题型二　函数的奇偶性的应用 例4　(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x∈(－∞,0]时,f(x)＝x2－ex＋1,则当x∈(0,＋∞)时,f(x)等于(　　) A.x2－ex＋1 B.x2－e－x＋1 C.x2＋e－x＋1 D.－x2＋e－x－1 答案　B 解析　当x∈(0,＋∞)时,－x∈(－∞,0), 则f(－x)＝(－x)2－e－x＋1＝x2－e－x＋1, 又f(x)为偶函数,故f(－x)＝f(x), 故f(x)＝x2－e－x＋1. (2)若函数y＝(2x－m·2－x)x5是R上的偶函数,则实数m＝　　　　　　.  答案　1 解析　设f(x)＝(2x－m·2－x)x5, 则该函数为R上的偶函数, 则对任意的x∈R,f(－x)＝f(x), 即(2－x－m·2x)·(－x)5＝(2x－m·2－x)·x5, 整理可得2－x＋2x－m(2x＋2－x)＝(1－m)(2x＋2－x)＝0, 所以1－m＝0,解得m＝1. 例5　设函数f(x)＝ln(x2＋1)－则满足f(x)>f(2x＋1)的x的取值范围为　　　　　　　　　　.  答案　∪ 解析　f(x)＝ln(x2＋1)－ 则f(x)的定义域为{x|x≠0}, 又f(x)＝f(－x),故f(x)为偶函数, 当x>0时,f(x)＝ln(x2＋1)－ 又y1＝ln(x2＋1),y2＝－在(0,＋∞)上都单调递增,故f(x)在(0,＋∞)上单调递增,在(－∞,0)上单调递减. 因为f(x)>f(2x＋1),所以 故x的取值范围为∪. 函数的周期性和对称性 题型一　函数的周期性 例1　(1)若偶函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0,当x∈(0,1)时,f(x)＝＋1,则f等于(　　) A.2 B. C. D. 答案　C 解析　由已知可得f(x＋2)＋f(x)＝0⇒f(x＋4)＋f(x＋2)＝0⇒f(x＋4)＝f(x), 即T＝4是函数f(x)的一个周期, 所以f＝f ＝f＋1＝. (2)已知f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x－2)是偶函数,当0≤x≤2时,f(x)＝x2－4x,则当6≤x≤8时,f(x)的解析式为(　　) A.f(x)＝－x2－4x B.f(x)＝x2－16x＋60 C.f(x)＝x2－12x＋32 D.f(x)＝－x2＋12x－32 答案　D 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数,f(x－2)为偶函数, 所以f(－x)＝－f(x),f(－x－2)＝f(x－2),即f(－x)＝f(x－4), 所以f(x－4)＝－f(x), 所以f(x＋4)＝－f(x), 可得f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x), 所以f(x)的一个周期为8, 又当0≤x≤2时,f(x)＝x2－4x, 当6≤x≤8时,则0≤8－x≤2,所以f(8－x)＝(8－x)2－4(8－x)＝x2－12x＋32, 又f(x)是周期为8的奇函数, 则f(x)＝f(x－8)＝－f(8－x)＝－(x2－12x＋32)＝－x2＋12x－32, 故f(x)＝－x2＋12x－32,x∈[6,8]. 题型二　函数的对称性 例2　(多选)设f(x)是R上的奇函数,且对∀x∈R,都有f(2－x)＝f(x),当x∈[0,1]时,f(x)＝x2,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)在[3,5]上单调递增 B.f(x)的最大值是1,最小值是0 C.直线x＝1是函数f(x)的一条对称轴 D.当3≤x≤4时,f(x)＝－(x－4)2 答案　ACD 解析　因为f(x)是R上的奇函数,所以f(－x)＝－f(x),又因为f(2－x)＝f(x),所以f(x)的图象关于直线x＝1对称,故C正确； 因为f(2－x)＝f(x)＝－f(－x),即f(2－x)＋f(－x)＝0,从而f(2＋x)＋f(x)＝0,所以f(4＋x)＋f(2＋x)＝0,所以f(4＋x)＝f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数,又因为当x∈[0,1]时,f(x)＝x2单调递增,所以f(x)在[－1,0]上也单调递增,从而f(x)在[－1,1]上单调递增,又因为f(x)的周期为4,所以f(x)在[3,5]上单调递增,故A正确 因为f(x)在[－1,1]上单调递增,且f(x)的图象关于直线x＝1对称,所以f(x)在[1,3]上单调递减,所以f(x)在[－1,3]上的最大值为f(1)＝1,最小值为f(－1)＝f(3)＝－1,故B错误； 当3≤x≤4时,0≤4－x≤1,所以f(4－x)＝(4－x)2,因为周期为4,所以f(－x)＝f(4－x)＝(4－x)2,又因为f(x)为奇函数,所以f(x)＝－f(－x)＝－(4－x)2＝－(x－4)2,故D正确. 例3　(多选)下列说法中,正确的是(　　) A.函数f(x)＝的图象关于点(－2,2)中心对称 B.函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数,则函数f(x)的图象关于点(－1,0)中心对称 C.若函数y＝f(x)过定点(0,1),则函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2) D.函数y＝的图象关于点(3,c)中心对称,则b＋c＝2 答案　ABC 解析　对于A,f(x)＝＝2－其图象可以由y＝－的图象向左平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,且y＝－的图象关于原点对称,故f(x)＝的图象关于点(－2,2)中心对称,A正确； 对于B,因为f(2x－1)为奇函数,所以f(2x－1)＝－f(－2x－1),所以f(x－1)＝－f(－x－1), 所以f(x)＝－f(－x－2),所以函数f(x)关于点(－1,0)中心对称,B正确； 对于C,函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1的图象,由于y＝f(x)过定点(0,1),故函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2),C正确； 对于D,函数y＝＝1＋的图象关于点(3,c)中心对称, 所以解得 所以b＋c＝4,D不正确. 例4　已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数,则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象(　　) A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称 C.关于直线y＝3对称 D.关于点(3,0)对称 答案　A 解析　设P(x0,y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点,则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0)), 所以点Q(2－x0,y0)在函数y＝f(4－x)的图象上, 而点P(x0,y0)与点Q(2－x0,y0)关于直线x＝1对称, 所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称. 思维升华　(1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x),则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称. (2)函数y＝f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c,则y＝f(x)的图象关于点成中心对称. 函数性质的综合应用 题型一　函数的奇偶性与单调性 例1　(2025·大连模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,∀x1,x2∈[0,＋∞),且x1≠x2>4(x1＋x2)恒成立,f(2)＝16,则满足f(ln m)≤4(ln m)2的m的取值范围为(　　) A. B. C.[1,e2] D. 答案　D 解析　设x1>x2, 由>4(x1＋x2), 得f(x1)－f(x2)>4(x1＋x2)(x1－x2)＝4(), 所以f(x1)－4>f(x2)－4 令g(x)＝f(x)－4x2,x∈[0,＋∞), 则g(x1)>g(x2), 所以函数g(x)在[0,＋∞)上单调递增, 因为f(x)是定义在R上的偶函数, 所以f(－x)＝f(x), 所以对任意的x∈R,g(－x)＝f(－x)－4(－x)2＝f(x)－4x2＝g(x), 所以函数g(x)为R上的偶函数, 且g(2)＝f(2)－4×22＝16－16＝0, 由f(ln m)≤4(ln m)2, 可得f(ln m)－4(ln m)2≤0, 即g(ln m)≤g(2), 即|ln m|≤2,所以－2≤ln m≤2, 解得≤m≤e2, 所以m的取值范围是. 题型二　函数的奇偶性与周期性 例2　(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝－ff(0)＝－2,且f 为奇函数,则(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)是一个周期为3的周期函数 D.f(2 025)＝－2 答案　BCD 解析　函数f(x)的定义域为R,且f(0)＝－2,则f(x)不可能是奇函数,故A错误； 定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝－f变形可得f(x)＝－f 而f为奇函数, 则f＝－f 则f(－x)＝－f则有f(－x)＝f(x), 即函数f(x)为偶函数,故B正确； 已知函数f(x)满足f(x－1)＝－f  即f(x)＝－f 则有f(x＋3)＝－f＝f(x), 即函数f(x)是一个周期为3的周期函数,故C正确； f(x)是偶函数且周期为3, 则f(2 025)＝f(0)＝－2,故D正确. 题型三　函数的奇偶性与对称性 例3　(多选)(2025·宁波模拟)已知f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)＋g(1－x)＝a(a≠0),g(1＋x)＝g(1－x),若f(x＋2)为奇函数,则(　　) A.g(x)关于直线x＝1对称 B.g(x)为奇函数 C.f(2)＝0 D.f(x)为偶函数 答案　ACD 解析　因为g(x)的定义域为R,且g(1＋x)＝g(1－x),所以g(x)关于直线x＝1对称,故A正确； 但不能确定g(x)为奇函数,故B错误； 根据题意,y＝f(x＋2)是定义域为R的奇函数,所以f(x＋2)＝－f(－x＋2),令x＝0,得f(2)＝0,故C正确； 因为f(x)＋g(1－x)＝a,则f(－x)＋g(1＋x)＝a,结合g(1＋x)＝g(1－x),则f(－x)＋g(1－x)＝a,所以f(x)＝f(－x),即f(x)为偶函数,故D正确. 题型四　函数性质的综合应用 例4　(多选)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x),g(x－3)是偶函数,且f(x)＋g(x－3)＝2,若g(－3)＝1,则(　　) A.f(1)＝ B.f(x)的图象关于点对称 C.f(x)＝f(x＋6) D.f(x)为奇函数 答案　ABC 解析　由题意知函数f(x),g(x)的定义域均为R,f(x)＋g(x－3)＝2, 则f(－x)＋g(－x－3)＝2,因为g(x－3)是偶函数, 所以f(－x)＋g(－x－3)＝f(－x)＋g(x－3)＝2＝f(x)＋g(x－3), 所以f(x)＝f(－x),即f(x)为偶函数, 令x＝0,则f(0)＋g(－3)＝2, 又g(－3)＝1,所以f(0)＝1, 所以f(x)不可能是奇函数,故D不正确； 又f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x), 令x＝0,所以f(1)＋f(－1)＝2f(1)＝f(0)＝1, 所以f(1)＝故A正确； 由f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x),得f(x)＋f(x－2)＝f(x－1), 两式相加得－f(x＋1)＝f(x－2), 所以f(x)＝－f(x＋3), 又f(x)＝f(－x),所以f(－x)＝－f(x＋3), 即f(－x)＋f(x＋3)＝0, 所以f(x)的图象关于点对称,故B正确； 由f(x)＝－f(x＋3)得f(x＋3)＝－f(x), 故f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x),故C正确. 二次函数与幂函数 题型一　幂函数的图象与性质 例1　(1)下列命题中正确的是(　　) A.当m＝0时,函数y＝xm的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点 C.幂函数y＝xm的图象不可能在第四象限内 D.若幂函数y＝xm为奇函数,则y＝xm是定义域内的增函数 答案　C 解析　对于A,当m＝0时,函数y＝xm的图象是直线y＝1除去点(0,1),所以A项不正确； 对于B,幂函数的幂指数小于0时,图象不经过点(0,0),所以B项不正确； 对于C,幂函数y＝xm的图象不可能在第四象限内,所以C项正确； 对于D,当m＝－1时,幂函数y＝xm为奇函数,但在定义域内不是增函数,所以D项不正确. (2)如图所示,图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象,已知n取±2,±四个值,则相对应曲线C1,C2,C3,C4的n依次为(　　) A.－2,－2 B.2－2 C.－－2,2 D.2－2,－ 答案　B 解析　根据幂函数y＝xn的性质,在第一象限内的图象： 当n>0时,n越大,y＝xn递增速度越快,所以曲线C1的n＝2,C2的n＝； 当n<0时,|n|越大,曲线越陡峭,所以曲线C3的n＝－C4的n＝－2. 题型二　二次函数的解析式 例2　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1,且f(x)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式. 解　方法一　(利用“一般式”解题) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意得 解得 所以所求二次函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7. 方法二　(利用“顶点式”解题) 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0). 因为f(2)＝f(－1), 所以抛物线的对称轴为x＝ 所以m＝. 又根据题意,函数有最大值8, 所以n＝8, 所以f(x)＝a＋8. 因为f(2)＝－1,所以a＋8＝－1, 解得a＝－4, 所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 方法三　(利用“零点式”解题) 由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2,x2＝－1, 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0), 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8,即＝8. 解得a＝－4. 故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 题型三　二次函数的图象与性质 例3　(多选)函数f(x)＝ax2－2x＋1与g(x)＝xa在同一直角坐标系中的图象不可能为(　　) 答案　BD 解析　因为f(x)＝ax2－2x＋1,g(x)＝xa, 对于A,当a＝－1时,f(x)＝－x2－2x＋1,其图象开口向下,对称轴方程为x＝－1,g(x)＝x－1＝其图象关于原点对称,且在(0,＋∞)上单调递减,故A满足要求； 对于B,当f(x)＝ax2－2x＋1的图象开口向上时,a>0,此时g(x)＝xa在(0,＋∞)上单调递增,故B不满足要求； 对于C,当a＝时,f(x)＝x2－2x＋1,其图象开口向上,对称轴方程为x＝2,g(x)＝其图象在[0,＋∞)上单调递增,且越来越缓,故C满足要求； 对于D,当f(x)＝ax2－2x＋1的图象开口向上时,a>0,此时其对称轴方程为x＝－>0,故D不满足要求. 一元二次方程根的分布 典例　已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m的取值范围； (2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围. 解　(1)依题意知，函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图， 得即 解得－<m<－. 故实数m的取值范围为. (2)依题意知，函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点落在区间(0，1)内，画出示意图， 得 即解得－<m<1－. 故实数m的取值范围为. 例4　(2025·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1. (1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减,求a的取值范围； (2)若a>0,设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式. 解　(1)由题意知a≠0. 当a>0时,f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上,对称轴方程为x＝ 所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足≥2, 又a>0,所以0<a≤； 当a<0时,f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下,对称轴方程为x＝<0, 所以f(x)在区间[1,2]上单调递减恒成立. 综上,a的取值范围是(－∞,0)∪. (2)①当0<≤1,即a≥时, f(x)在区间[1,2]上单调递增, 此时g(a)＝f(1)＝3a－2. ②当1<<2,即<a<时, f(x)在区间上单调递减,在区间 上单调递增,此时g(a)＝f＝2a－－1. ③当≥2,即0<a≤时, f(x)在区间[1,2]上单调递减, 此时g(a)＝f(2)＝6a－3. 综上所述,g(a)＝ 指数运算与对数运算 题型一　指数运算 例1　(1)(多选)下列各式正确的是(式中字母均是正数)(　　) A. B.＝a C.＝36 D.＝－ 答案　ABC 解析　对于A故A正确； 对于B＝|a|＝a,故B正确； 对于C＝62＝36,故C正确； 对于D故D错误. (2)(多选)下列运算正确的是(式中字母均是正数)(　　) A.0.2－2－1＝0 B.×＋(π－1)0＝ C.(2·)(－6·)÷(－3·)＝1 D.若则 答案　BD 解析　对于A－2－1＝0.5＋1－＝1,A错误； 对于B×＋(π－1)0＝×＋1＝＋25×＋1＝＋2＝B正确； 对于C,原式＝(2)(－6)÷(－3)＝[2×(－6)÷(－3)]·＝4ab0＝4a,C错误； 对于D,当时＝x＋2＋x－1＝6,得x＋x－1＝4,由＝x2＋2＋x－2＝16,得x2＋x－2＝14,所以D正确. 题型二　对数运算 例2　(1)(多选)下列运算中正确的是(　　) A.＝log75 B. C.x＝ln ex D.＋ln(ln e)＝6 答案　BCD 解析　对于A＝log57,故A错误； 对于B故B正确； 对于C,x＝ln ex,故C正确； 对于D＋ln(ln e)＝＋ln 1＝6＋0＝6,故D正确. (2)(多选)(2025·焦作模拟)下列等式成立的是(　　) A.＝1 B.＝2 C.lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18＝0 D.(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝2 答案　AC 解析　＝1,A成立； ＝1,B不成立； lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18＝(lg 7＋lg 2)－(2lg 7－2lg 3)＋lg 7－(2lg 3＋lg 2)＝0,C成立； (lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝1,D不成立. 题型三　指对运算的应用 例3　(1)(2024·重庆模拟)在经济学中,常用Logistic回归模型来分析还款信度评价问题.某银行统计得到如下Logistic模型：P(x)＝其中x是客户年收入(单位：万元),P(x)是按时还款概率的预测值,如果某人年收入是10万元,那么他按时还款概率的预测值大约为(参考数据：ln 1.35≈0.3)(　　) A.0.35 B.0.46 C.0.57 D.0.68 答案　C 解析　由题意得ln 1.35≈0.3,所以e0.3≈1.35,所以P(10)＝≈≈0.57. (2)(2024·贵阳模拟)电动汽车逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.1898年Peukert提出铅酸电池的容量C(单位：Ah)、放电时间t(单位：h)和放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝Iλt,其中λ为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数),在电池容量不变的条件下,当放电电流为7.5 A时,放电时间为60 h；当放电电流为25 A时,放电时间为15 h,则该蓄电池的Peukert常数λ约为(参考数据：lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)(　　) A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.15 答案　D 解析　由题意知C＝7.5λ×60＝25λ×15, 所以＝4, 两边取以10为底的对数,得λlg ＝2lg 2, 所以λ＝≈≈1.15. 指数函数 题型一　指数函数的概念与图象 例1　(1)(多选)下列选项正确的是(　　) A.函数f(x)＝(2a2－3a＋2)·ax是指数函数,则a＝ B.指数函数f(x)＝ax(a>0,且a≠1)的值域为(0,＋∞) C.函数y＝ax＋1(a>0,且a≠1)的图象可以由f(x)＝ax的图象向右平移一个单位长度得到 D.函数y＝a2x＋3－1(a>0,且a≠1)恒过定点 答案　ABD 解析　对于A,2a2－3a＋2＝1且a>0,a≠1,则a＝A正确； 对于B,不论0<a<1,还是a>1,值域都为(0,＋∞),B正确； 对于C,f(x)＝ax的图象向左平移一个单位长度得到y＝ax＋1的图象,C错误； 对于D,令2x＋3＝0,则x＝－y＝0,所以函数y＝a2x＋3－1(a>0,且a≠1)恒过定点D正确. (2)(多选)若函数f(x)＝ax＋b(其中a>0且a≠1)的图象过第一、三、四象限,则(　　) A.0<a<1 B.a>1 C.－1<b<0 D.b<－1 答案　BD 解析　函数f(x)＝ax＋b(其中a>0且a≠1)的图象过第一、三、四象限,根据图象的性质可得a>1,a0＋b<0,即a>1,b<－1. 题型二　指数函数的性质及应用 例2　(1)已知a＝1.050.6,b＝0.60.8,c＝0.60.4,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 答案　B 解析　依题意,a＝1.050.6>1.050＝1,b＝0.60.8<0.60.4＝c<0.60＝1,所以a,b,c的大小关系是a>c>b. (2)若a＝b＝c＝lo则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>c>b B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 答案　D 解析　由题意得,0<a＝<＝1, 0<b＝<＝1, c＝lo>lo＝1, ∵<< ∴a<b,∴c>b>a. 例3　(1)已知p：ax<1(a>1),q：2x＋1－x<2,则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　∵ax<1,当a>1时,y＝ax是增函数, ∴p：{x|x<0}. 对于不等式2x＋1<x＋2, 作出函数y＝2x＋1与y＝x＋2的图象,如图所示. 由图象可知,不等式2x＋1<x＋2的解集为{x|－1<x<0}, ∴q：{x|－1<x<0}. 又∵{x|－1<x<0}⊆{x|x<0}, ∴p是q的必要不充分条件. (2)已知函数f(x)＝2|x|,则f(2－x)>f(2x＋3)的解集为　　　　　　.  答案　 解析　由函数f(x)＝2|x|,可得其定义域为R, 且f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x), 所以f(x)＝2|x|为偶函数, 当x∈[0,＋∞)时,f(x)＝2x, 可得f(x)＝2|x|在[0,＋∞)上单调递增, 根据偶函数的性质,不等式f(2－x)>f(2x＋3), 即为f(|2－x|)>f(|2x＋3|), 可得|2－x|>|2x＋3|, 整理得3x2＋16x＋5<0, 解得－5<x<－ 所以f(2－x)>f(2x＋3)的解集为. 例4　已知函数f(x)＝2x＋a·2－x是定义在R上的偶函数. (1)求a的值,并证明函数f(x)在[0,＋∞)上单调递增； (2)求函数h(x)＝f(x)＋f(2x),x∈[0,1]的值域. 解　(1)因为函数f(x)在R上为偶函数, 所以f(x)＝f(－x), 得2x＋a·2－x＝2－x＋a·2x,(1－a)(2x－2－x)＝0恒成立,即a＝1. 所以f(x)＝2x＋2－x, 对任意的0≤x1<x2,f(x1)－f(x2)＝()－()＝( 因为0≤x1<x2<>1－1>0, 所以f(x1)<f(x2),f(x)在区间[0,＋∞)上单调递增. (2)函数h(x)＝f(x)＋f(2x)＝2x＋2－x＋22x＋2－2x＝＋(2x＋2－x)－2. 令t＝2x＋2－x＝2x＋ 因为x∈[0,1],所以2x∈[1,2],所以t∈ 令φ(t)＝t2＋t－2, 故函数φ(t)在上单调递增, 当t＝2时,h(x)min＝φ(2)＝4； 当t＝时,h(x)max＝φ. 则函数h(x)的值域为. 抽象函数 典例　(多选)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x＋y)＝f(x)＋f(y),当x>0时,f(x)>0,且满足f(2)＝1,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(－2)＝－1 C.不等式f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－5,＋∞) D.f(－2 025)＋f(－2 024)＋…＋f(0)＋…＋f(2 024)＋f(2 025)＝2 024 答案　AB 解析　对于A，令x＝y＝0，可得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0， 令y＝－x，得到f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确； 对于B，因为f(x)为奇函数， 所以f(－2)＝－f(2)＝－1，故B正确； 对于C，设x1>x2，x＝x1，y＝－x2， 可得f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)， 所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)， 又因为x1>x2，所以x1－x2>0， 所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在R上单调递增，因为f(－2)＝－1， 所以f(－4)＝f(－2－2)＝2f(－2)＝－2， 由f(2x)－f(x－3)>－2， 可得f(2x)>f(x－3)＋f(－4)， 所以f(2x)>f(x－3－4)＝f(x－7)， 所以2x>x－7，得到x>－7， 所以f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－7，＋∞)， 故C错误； 对于D，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0， 所以f(－2 025)＋f(2 025)＝f(－2 024)＋f(2 024) ＝…＝f(－1)＋f(1)＝0， 又f(0)＝0，故f(－2 025)＋f(－2 024)＋…＋f(0)＋…＋f(2 024)＋f(2 025)＝0，故D错误. 对数函数 题型一　对数函数的概念与图象 例1　(1)(多选)下列选项正确的是(　　) A.若函数f(x)＝loga－1x＋a2－5a＋6是对数函数,则a＝3或a＝2 B.函数f(x)＝＋ln(3＋x)的定义域为(－3,0)∪(0,＋∞) C.函数f(x)＝loga(4x－3)(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0) D.f(x)＝log2(x2－2x)的单调递增区间是(1,＋∞) 答案　BC 解析　对于A 解得a＝3,A错误； 对于B解得x>－3且x≠0,B正确； 对于C,令4x－3＝1,解得x＝1,则f(1)＝loga1＝0,C正确； 对于D,x2－2x>0⇒x∈(－∞,0)∪(2,＋∞),可知当x>2时,y＝x2－2x单调递增,结合复合函数的单调性可知f(x)的单调递增区间为(2,＋∞),D错误. (2)(多选)已知函数f(x)＝ln x,g(x)＝lg x,若f(m)＝g(n),则下列结论可能成立的为(　　) A.m＝n B.n<m<1 C.m<1<n D.1<m<n 答案　ABD 解析　根据题意,在同一直角坐标系中画出f(x)＝ln x与g(x)＝lg x的图象,如图所示, 当x＝1时,此时f(x)＝g(x),即f(m)＝g(n),故m＝n＝1,故A正确； 当0<x<1时,若f(m)＝g(n),则n<m<1,故B正确； 当x>1时,若f(m)＝g(n),则1<m<n,故D正确. 题型二　对数函数的性质及应用 命题点1　比较对数式的大小 例2　(1)(2024·延庆模拟)设a＝log32,b＝log96,c＝则(　　) A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.b>a>c 答案　D 解析　因为b＝log96＝lo＝log3且c＝＝log3 又<2<函数y＝log3x在(0,＋∞)上单调递增, 则log3<log32<log3所以c<a<b. (2)(多选)(2025·黑龙江龙东联盟联考)已知2a＝3b＝6,则a,b满足(　　) A.a＝log26 B.a<b C.<1 D.a＋b>4 答案　AD 解析　A选项,由2a＝6,得a＝log26,故A正确； B选项,由3b＝6,得b＝log36,∵a＝log26>2,b＝log36<2,∴a>b,故B错误； C选项,∵＝log62＋log63＝1,故C错误； D选项,∵a≠b且a>0,b>0,∴由基本不等式得a＋b＝(a＋b)＝2＋>4,故D正确. 例3　(1)已知函数f(x)＝log2x－x＋1,则不等式f(x)<0的解集是(　　) A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.(0,1)∪(2,＋∞) 答案　D 解析　f(x)＝log2x－x＋1的定义域为(0,＋∞), f(1)＝log21－1＋1＝0,f(2)＝log22－2＋1＝0, 由f(x)<0可得log2x<x－1,即y＝x－1的图象在y＝log2x图象的上方, 画出y＝log2x,y＝x－1的图象,如图, 由图可知,不等式f(x)<0的解集是(0,1)∪(2,＋∞). (2)(2025·中山模拟)设实数a>0,则“2a>2”是“loga>0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由2a>2,可得a>1. 由loga>0, 可得loga>loga1, ∴或 解得a>1或0<a<. 因此“2a>2”是“loga>0”的充分不必要条件. 例4　(1)(多选)(2024·烟台模拟)已知函数f(x)＝lg(x2＋ax－a),下列说法中正确的是(　　) A.若f(x)的定义域为R,则a的取值范围是(－4,0) B.若f(x)的值域为R,则a的取值范围是(－∞,－4]∪[0,＋∞) C.若a＝2,则f(x)的单调递减区间为(－∞,－1) D.若f(x)在(－2,－1)上单调递减,则a的取值范围是 答案　ABD 解析　选项A,x2＋ax－a>0对任意x∈R恒成立,即Δ＝a2＋4a<0,解得－4<a<0,A正确； 选项B,x2＋ax－a≤0有解,因此Δ＝a2＋4a≥0,解得a≤－4或a≥0,B正确； 选项C,当a＝2时,f(x)＝lg(x2＋2x－2),由x2＋2x－2＝(x＋1)2－3>0得x<－1－或x>－1＋根据复合函数的单调性得其单调递减区间是(－∞,－1－),C错误； 选项D,f(x)在(－2,－1)上单调递减,则解得a≤D正确. (2)(多选)(2025·岳阳模拟)关于函数f(x)＝log2x＋log2(4－x),下列说法正确的是(　　) A.f(x)的最大值为1 B.f(x)在区间(0,2)上单调递增 C.f(x)的图象关于直线x＝2对称 D.f(x)的图象关于点(2,0)对称 答案　BC 解析　函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(4x－x2)＝log2[－(x－2)2＋4](0<x<4), 当x＝2时,4x－x2取到最大值4, 故此时f(x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2,A错误； f(x)＝log2(4x－x2)(0<x<4)可以看作是由函数y＝log2u,u＝－x2＋4x(0<x<4)复合而成,而y＝log2u是定义域上的增函数,u＝－x2＋4x(0<x<4)在(0,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减,故f(x)在区间(0,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减,B正确； 因为函数f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x),故f(x)的图象关于直线x＝2对称,C正确； 因为f(4－x)＋f(x)＝2f(x)＝0不恒成立,故f(x)的图象不关于点(2,0)对称,D错误. 指、对、幂的大小比较 题型一　直接法比较大小 例1　(2024·鄂尔多斯模拟)已知a＝b＝log8c＝则(　　) A.b<a<c B.a<c<b C.b<c<a D.a<b<c 答案　A 解析　由于y＝0.7x是R上的减函数, 则0<<0.70＝1,所以0<a<1, 由于y＝log8x是(0,＋∞)上的增函数, 则log8<log81＝0,所以b<0, 由于y＝4x是R上的增函数, 则>40＝1,所以c>1, 所以b<a<c. 例2　设a＝0.20.5,b＝log53,c＝50.2,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 答案　A 解析　0<a＝0.20.5＝< 1>b＝log53>log5 c＝50.2>50＝1,所以a<b<c. 例3　已知a>b>1,0<c<则下列结论正确的是(　　) A.ac<bc B.abc<bac C.alogbc<blogac D.logac<logbc 答案　C 解析　取特殊值,令a＝4,b＝2,c＝ 则ac＝bc＝∴ac>bc,故A错误； abc＝4×bac＝2× ∴abc>bac,故B错误； logac＝log4＝－1,logbc＝log2＝－2, alogbc＝－8,blogac＝－2, ∴alogbc<blogac,logac>logbc,故C正确,D错误. 题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小 例4　设a＝log62,b＝log123,c＝log405,则(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.a<c<b 答案　D 解析　∵＝log312＝1＋log34＝1＋ ＝1＋＝log540 ＝1＋log58＝1＋ ＝1＋ ∴ ＝ ＝ ＝<0, ∴< 又b>0,c>0,∴b>c； ∵＝1＋log58<1＋log5 ＝1＋log5∴c> ∵＝log26＝1＋log23>1＋log2 ＝1＋log2∴a< ∴a<c.∴a<c<b. 例5　(2025·成都模拟)若a＝b＝c＝lo则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 答案　D 解析　因为0<a＝<30＝1, 0<b＝<＝1, 令×× 而×()12 ＝3×2－4＝<1, 即×<1,所以a<b, 又因为c＝lo＝lo>lo＝lo＝1,所以c>b>a. 例6　已知a＝log35,b＝log57,c＝则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.a>c>b 答案　D 解析　因为53＝125>＝81,所以5> 所以log35>log3即a>c. 因为73＝343<＝625,所以7< 所以log57<log5即b<c. 所以a>c>b. 函数的图象 题型一　作函数的图象 例1　作出下列各函数的图象： (1)y＝； (2)y＝|x2－4x－5|； (3)y＝－1. 解　(1)原函数解析式可化为y＝2＋故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,如图所示. (2)y＝|x2－4x－5|的图象可由函数y＝x2－4x－5的图象保留x轴上方的部分不变,将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到,如图所示. (3)y＝－1,其图象可看作由函数y＝的图象向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到, 而y＝其图象可由y＝的图象保留x≥0时的图象,然 后将该部分关于y轴对称得到, 则y＝－1的图象如图所示. 题型二　函数图象的识别 例2　(1)函数f(x)＝cos x图象的大致形状是(　　) 答案　B 解析　依题意,函数f(x)＝·cos x的定义域为R,f(－x)＝·cos(－x)＝·cos x＝－f(x), 即函数f(x)是R上的奇函数,其图象关于原点对称,选项A,C不满足； 当x∈时<0,cos x>0,即f(x)<0,选项D不满足,B符合题意. (2)已知某函数图象如图所示,则该函数解析式可能为(　　) A.f(x)＝ln|x|－ B.f(x)＝ln|x|＋ C.f(x)＝＋ln|x| D.f(x)＝－ln|x| 答案　D 解析　对于A,f(1)＝ln 1－＝－1,显然不满足图象,故A错误； 对于B,f(－1)＝ln|－1|＋＝1,显然不满足图象,故B错误； 对于C,当x→＋∞时,f(x)→＋∞,故C错误； 对于D,经检验,f(x)＝－ln|x|满足对应图象,故D正确. 题型三　函数图象的应用 例3　(多选)对任意两个实数a,b,定义min{a,b}＝若f(x)＝2－x2,g(x)＝x2,下列关于函数F(x)＝min{f(x),g(x)}的说法正确的是(　　) A.函数F(x)是偶函数 B.方程F(x)＝0有三个解 C.函数F(x)在区间[－1,1]上单调递增 D.函数F(x)有4个单调区间 答案　ABD 解析　根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2,画出函数F(x)＝min{f(x),g(x)}的图象,如图. 由图象可知,函数F(x)＝min{f(x),g(x)}的图象关于y轴对称,所以A项正确； 函数F(x)的图象与x轴有三个交点,所以方程F(x)＝0有三个解,所以B项正确；函数F(x)在(－∞,－1]上单调递增,在[－1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,在[1,＋∞)上单调递减,所以C项错误,D项正确. 例4　已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,＋∞)上的图象如图所示,则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　　) A.(－0)∪(2) B.(－∞,－2)∪(2,＋∞) C.(－∞,－2)∪(－0)∪(2) D.(－2,－)∪(0)∪(2,＋∞) 答案　C 解析　根据奇函数的图象特征,作出f(x)在(－∞,0)上的图象,如图所示, 由x2f(x)>2f(x),得(x2－2)f(x)>0, 则或 解得x<－2或<x<2或－<x<0, 故不等式的解集为(－∞,－2)∪(－0)∪(2). 例5　已知函数f(x)＝若实数a,b,c互不相等,且f(a)＝f(b)＝f(c),则a＋b＋c的取值范围是　　　　　　.  答案　(2,2 025) 解析　函数f(x)＝的图象如图所示, 不妨令a<b<c,可知a＋b＝1, 而1<c<2 024,所以2<a＋b＋c<2 025. 函数的零点与方程的解 题型一　函数零点所在区间的判定 例1　(1)已知函数f(x)＝(m－2)xm为幂函数,若函数g(x)＝lg x＋x－m,则g(x)的零点所在区间为(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案　C 解析　由f(x)＝(m－2)xm为幂函数,所以m－2＝1,得m＝3,所以g(x)＝lg x＋x－3,易知g(x)是增函数,则g(x)至多只有一个零点,因为g(2)＝lg 2－1<0,g(3)＝lg 3>0,所以g(x)的零点所在区间为(2,3). (2)在用二分法求方程x2＝3的正实数根的近似值(精确度为0.001)时,若我们选取的初始区间是[1.7,1.8],为达到精确度要求至少需要计算的次数是　　　　　　.  答案　7 解析　设至少需要计算n次,则n满足<0.001,即2n>100,由于26＝64,27＝128,故要达到精确度要求至少需要计算7次. 题型二　函数零点个数的判定 例2　(1)函数f(x)＝的零点个数为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 答案　D 解析　当x≤0时,x2－1＝0,解得x＝－1； 当x>0时,f(x)＝x－2＋ln x在(0,＋∞)上单调递增,并且f(1)＝1－2＋ln 1＝－1<0, f(2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0, 即f(1)f(2)<0, 所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点, 综上,函数f(x)的零点个数为2. (2)函数f(x)＝sin －|log3x|的零点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　函数f(x)＝sin －|log3x|的零点个数,即函数g(x)＝sin x>0与h(x)＝|log3x|的交点个数, 在同一个坐标平面内画出两个函数的图象,如图所示,则两个图象交点的个数为2,即f(x)的零点个数为2. 题型三　函数零点的应用 例3　已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x－a,若函数g(x)有2个零点,则实数a的取值范围是(　　) A.[－1,0) B.[1,＋∞) C.(－∞,1] D.[2,＋∞) 答案　D 解析　由函数f(x)＝ 因为g(x)＝f(x)－x－a,令g(x)＝0,即f(x)＝x＋a, 由函数g(x)有2个零点,即y＝f(x)和y＝x＋a的图象有两个交点, 在同一坐标系内画出两个函数的图象,如图所示, 结合函数的图象,要使函数g(x)有2个零点,则a≥2, 所以实数a的取值范围为[2,＋∞). 例4　已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞,－1),使得f(x0)＝0,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.(－∞,0) D. 答案　B 解析　由f(x)＝3x－＝0,可得a＝3x－ 令g(x)＝3x－其中x∈(－∞,－1), 由于存在x0∈(－∞,－1),使得f(x0)＝0, 则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞,－1)上的值域. 由于函数y＝3x,y＝－在区间(－∞,－1)上均单调递增, 所以函数g(x)在(－∞,－1)上单调递增. 当x∈(－∞,－1)时, g(x)＝3x－<g(－1)＝3－1＋1＝ 又当x∈(－∞,－1)时,g(x)＝3x－>0, 所以函数g(x)在(－∞,－1)上的值域为. 因此实数a的取值范围是. 函数与方程的综合应用 题型一　由零点分布求值(范围) 例1　(多选)已知函数f(x)＝x2＋(m－3)x＋m的两个零点分别为x1,x2,且x1<x2,则下列结论正确的是(　　) A.当x1>0且x2>0时,0<m<1 B.当x1<1且x2>1时,m<1 C.当－2<x1<0且0<x2<4时,m<－ D.当x1<2且x2>4时,m<－ 答案　ABD 解析　对于A,由题意得解得0<m<1,A正确； 对于B,f(1)＝2m－2<0,解得m<1,B正确； 对于C解得－<m<0,C错误； 对于D解得m<－D正确. 例2　已知定义在R上的奇函数满足f(2－x)＋f(x)＝0,当x∈(0,1]时,f(x)＝－log2x,若函数F(x)＝f(x)－sin πx在区间[－1,m]上有10个零点,则m的取值范围是(　　) A.[3.5,4) B.(3.5,4] C.(5,5.5] D.[5,5.5) 答案　A 解析　由f(2－x)＋f(x)＝0⇒f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2),得f(x)是一个周期为2的奇函数, 当x∈(0,1]时,f(x)＝－log2x, 因此f＝－log2＝1,f(1)＝0, 所以f(0)＝0,f＝－1,f(－1)＝0, 且g(x)＝sin πx的周期为T＝＝2, 且g(－1)＝0,g＝－1,g(0)＝0,g＝1,g(1)＝0, 求F(x)＝f(x)－sin πx的零点个数, 即求f(x)与g(x)图象的交点个数, 如图为f(x)与g(x)在区间[－1,1]的图象, 因为f(x)与g(x)均为周期为2的周期函数, 因此交点也呈周期出现, 若在区间[－1,m]上有10个零点,即两函数图象在[－1,m]上有10个交点, 则第10个交点坐标为(3.5,－1),第11个交点坐标为(4,0),因此3.5≤m<4. 题型二　复合函数的零点 例3　(多选)已知函数f(x)＝下列关于函数y＝f(f(x))＋1的零点个数的说法中,正确的是(　　) A.当k>1时,有1个零点 B.当k>1时,有3个零点 C.当k<0时,有9个零点 D.当k＝－4时,有7个零点 答案　AD 解析　由f(f(x))＋1＝0,得f(f(x))＝－1, 则函数y＝f(f(x))＋1的零点个数即为方程f(f(x))＝－1解的个数, 设t＝f(x),则f(t)＝－1,二次函数y＝x2－kx＋1的图象开口向上,过点(0,1),对称轴为直线x＝ 当k>1时,y＝x2－kx＋1在(－∞,0]上单调递减,且y≥1,如图, 由f(t)＝－1,得log2t＝－1,解得t＝ 由f(x)＝t,得log2x＝解得x＝ 因此当k>1时,函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是1,A正确,B错误； 当k＝－4时,f(x)＝ 作出函数f(x)的图象,如图, 由图象知函数f(x)的值域为R, 令t＝f(x),则f(t)＝－1有3个根, 当t>0时,log2t＝－1,解得t＝； 当t≤0时,t2＋4t＋1＝－1,解得t＝－2± 当t＝即f(x)＝时, 若x>0,则log2x＝解得x＝ 若x≤0,则x2＋4x＋1＝解得x＝－2±此时共有3个解； 当t＝－2＋即f(x)＝－2＋时,若x>0,则log2x＝－2＋有1个解, 若x≤0,则x2＋4x＋1＝－2＋即(x＋2)2＝1＋有2个解,此时共有3个解； 当t＝－2－即f(x)＝－2－时,若x>0,则log2x＝－2－有1个解, 若x≤0,则x2＋4x＋1＝－2－即(x＋2)2＝1－<0无解,此时共有1个解. 因此当k＝－4时,函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是7,D正确,C错误. 例4　(多选)(2025·亳州模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝3[f(x)]2－(m＋3)f(x)＋m有5个不同的零点,则实数m的值可能是(　　) A.－5 B.－6 C.－7 D.－8 答案　CD 解析　令g(x)＝3[f(x)]2－(m＋3)f(x)＋m＝0, 即[f(x)－1][3f(x)－m]＝0, 解得f(x)＝1或f(x)＝ 如图,画出函数f(x)的图象, 当f(x)＝1时,直线y＝1与y＝f(x)的图象有4个交点, 所以直线y＝与y＝f(x)的图象只能有1个交点, 则<－2,得m<－6, 结合选项可知,m的值可能是－7或－8. 函数模型的应用 题型一　用函数图象刻画变化过程 例1　设f(x)＝x2,g(x)＝2x,h(x)＝log2x,当x∈(4,＋∞)时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论正确的是(　　) A.f(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢 B.g(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢 C.g(x)的增长速度最快,f(x)的增长速度最慢 D.f(x)的增长速度最快,g(x)的增长速度最慢 答案　B 解析　画出函数f(x)＝x2,g(x)＝2x,h(x)＝log2x的图象,如图所示, 结合图象,可得三个函数f(x)＝x2,g(x)＝2x,h(x)＝log2x中, 当x∈(4,＋∞)时,函数g(x)＝2x增长速度最快,h(x)＝log2x增长速度最慢. 所以选项B正确. 例2　(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示： 根据图中提供的信息,下列关于成人服用该药物的说法中,正确的是(　　) A.首次服用1单位该药物,约10分钟后药物发挥治疗作用 B.每次服用1单位该药物,两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒 C.首次服用1单位该药物,约5.5小时后第二次服用1单位该药物,可使药物持续发挥治疗作用 D.首次服用1单位该药物,3小时后再次服用1单位该药物,不会发生药物中毒 答案　ABC 解析　从图象中可以看出,首次服用1单位该药物,约10分钟后药物发挥治疗作用,A正确；根据图象可知,首次服用1单位该药物,约1小时后血药浓度达到最大值,由图象可知,当两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒,B正确；服药5.5小时时,血药浓度等于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,可使药物持续发挥治疗作用,C正确；首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,D错误. 题型二　已知函数模型的实际问题 例3　(1)2024年1月5日,第40届中国·哈尔滨国际冰雪节在哈尔滨冰雪大世界园区开幕,现场流光溢彩,游客如潮,充满热情与活力.该园区为了倡导绿色可循环的理念,配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t(小时)的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量).如果前2个小时消除了20%的污染物,那么前6个小时消除了污染物的(　　) A.51.2% B.48.8% C.52% D.48% 答案　B 解析　依题意有N0e－2k＝(1－20%)N0, 可得e－2k＝0.8, 当t＝6时,N0e－6k＝N0＝0.512N0＝(1－48.8%)N0, 因此,前6个小时消除了污染物的48.8%. (2)在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度y(km/s)和燃料的质量x(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系是y＝4[ln(m＋x)－ln(m)]＋2ln 2,要使火箭的最大速度达到12 km/s,则燃料质量与火箭质量的比值是　　　　　.  答案　e3－1 解析　根据题意,可得4[ln(m＋x)－ln(m)]＋2ln 2＝12, 所以ln＋ln 4＝12, 即ln＝ln e12, 可得＝e12, 而1＋>0,则1＋＝e3, 所以＝e3－1, 即燃料质量与火箭质量的比值是e3－1. 题型三　构造函数模型的实际问题 例4　汽车智能辅助驾驶已开始得到应用,其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离,当此距离等于报警距离时就开启报警提醒,等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段(如图所示),分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3,相应的距离分别为d0,d1,d2,d3,当车速为v(单位：m/s),且0≤v≤33.3时,通过大数据统计分析得到如表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化,且0.5≤k≤0.9). 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 t0 t1＝0.8 s t2＝0.2 s t3 距离 d0＝30 m d1 d2 d3＝ m (1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶,报警距离均小于90 m,则汽车的行驶速度应限制在多少以下？ 解　(1)根据题意,d＝d0＋d1＋d2＋d3＝30＋0.8v＋0.2v＋＝30＋v＋(0≤v≤33.3). (2)根据题意,对任意的k∈[0.5,0.9],d<90恒成立,即对任意的k∈[0.5,0.9],30＋v＋<90恒成立. 易知当v＝0时,满足题意； 当0<v≤33.3时,有<对任意的k∈[0.5,0.9]恒成立, 由k∈[0.5,0.9],得∈ 所以> 即v2＋10v－600<0,解得－30<v<20, 所以0<v<20. 综上,0≤v<20. 所以汽车的行驶速度应限制在20 m/s以下. 学科网（北京）股份有限公司 $$