第11讲 函数的单调性与最大（小）值—【暑假导航】2025年新高一数学暑假优学讲练（人教A版 必修第一册）

暑假优学 人教A版 必修第一册 第11讲 函数的单调性与最大（小）值 目录 模块一：新知归纳 模块二：考点讲解举一反三 考点1：函数单调性的判断 考点2：定义法证明函数的单调性 考点3：求函数的单调区间 考点4：用函数单调性求参数 考点5：用单调性比较大小 考点6：用单调性解不等式 考点7：用单调性求最值 模块四：过关检测 题型分组练 巩固提高综合练 模块一 新知归纳 【知识点1】函数的单调性 1．单调函数的定义 名称 定义 图像表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数 从左往右上升趋势 单调递减 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数. 从左往右下降趋势 2．函数的单调区间：若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3．单调性的等价定义 ① 设D是函数f(x)定义域的一个子区间，若，且，或 ，则f(x)在区间D上单调递增 ② 反之若或，则f(x)在区间D上单调递减 4．常见简单函数的单调性 函数 单调性 一次函数 当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减. 反比例函数 当时，在和上单调递减；当时，在和上单调递增. 二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 5．定义法证明函数单调性的步骤 ① 取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2 ② 作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形 ③ 定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论 ④ 判断：根据定义做出结论. 【知识点2】单调函数的运算性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 【知识点3】函数的最大（小）值 1．函数的最大值 （1）定义：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0). （2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标. 2．函数的最小值 （1）定义：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0). （2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. 3．利用函数的单调性求最值的常用结论 （1）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值； （2）如果函数在区间上单调递递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值. 【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值. 模块二 考点讲解举一反三 考点1：函数单调性的判断 【例1】（2025高三下·全国·专题练习）函数的图象如图所示，其单调递增区间是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据题干图象求出单调递增区间即可. 【详解】由题图可知，函数的单调递增区间为. 故选：C 【变式1】（24-25高一上·江苏·阶段练习）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将写成分段函数判断即可. 【详解】，故单调增区间是. 故选：C 【变式2】已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（    ）    A． B．和 C． D．和 【答案】B 【分析】根据函数图象直接确定递增区间即可. 【详解】由图象知，该函数的单调递增区间为和， 故选：B． 【变式3】下列函数在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性的性质判断． 【详解】在上，是增函数；在上，是减函数，因此是增函数； 在上，是减函数，在上，是减函数，因此是增函数， 故选：C． 考点2：定义法证明函数的单调性 【例2】已知函数其中为常数且满足 （1）求函数的解析式； （2）证明：函数在区间(0，1)上是减函数. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）解：，解得， 的解析式为 （2）证明：任取， 则 即 故函数在区间(0，1)上是减函数. 【变式1】已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数. 【答案】证明见解析 【分析】当时，，利用定义法即可证明函数的单调性. 【详解】当时，， 任取，且， 则. 因为，所以，，， 所以，即. 所以在上是增函数. 【变式2】已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明； 【答案】在上单调递增，证明见解析 【分析】判断函数的单调性，利用函数单调性的定义即可证明. 【详解】在上单调递增，证明如下：设， ； 因为，，，，所以， 所以是在上单调递增. 【变式3】已知函数． （1）判断函数在上的单调性，并用定义证明其结论； （2）求函数在区间上的值域． 【答案】（1）函数在上是增函数，证明见解析；（2）. 【解析】（1）函数在上是增函数. 证明：任取，且， ， ，， ，即， 函数在上是增函数； （2）由（1）知函数在区间上是增函数， 又，， 所以函数在区间上的值域为. 考点3：求函数的单调区间 【例3】函数的单调递增区间为（     ） A． B． C． D．和 【答案】D 【分析】先求出定义域，然后由反比例函数的性质可得答案 【详解】的定义域为， 由反比例函数的性质可知的单调递增区间为和， 故选：D 【例4】（24-25高一上·广东湛江·期中）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数列不等式，由此求得的定义域，结合二次函数的性质求得的单调递减区间. 【详解】由，解得或， 则函数的定义域是， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 【变式1】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出函数的图象，如图所示．由图象得的单调递增区间为和． 【变式2】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数以及二次函数的单调性求解. 【详解】当时，， 则在单调递减，单调递增， 当时， 则在单调递增， 所以的减区间为， 故选：B. 【变式3】（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）设，则的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】将写成分段函数的形式，作出函数的图象，结合图象即可得解. 【详解】因为 所以，函数的图象如下： 由图象可知，函数的单调递减区间为 故答案为： 考点4：用函数单调性求参数 【例5】（24-25高二下·上海·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可. 【详解】已知函数， 当时，单调递增，所以最大值为； 当且时，在上单调递增； 所以要使函数在上单调递增， 则，解得或(舍去). 故答案为：. 【变式1】（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对勾函数的单调性，即可求解. 【详解】当时，为单调递增函数，不符合题意， 当时，均为单调递增函数，故为单调递增函数，不符合题意， 当时，在单调递增，在单调递减， 故在上单调递减，则， 故选：C 【变式2】（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由函数在上单调递增，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，解得，即， 所以实数的取值范围为. 故选：A 【变式3】已知函数，是上的严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合分段函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为函数是上的严格增函数， 则满足 ，解得，故实数的取值范围是. 故答案为：． 考点5：用单调性比较大小 【例6】（24-25高一上·河南郑州·期中）函数在区间上单调递减，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以不能判断的大小关系； B：因为，且函数在区间上单调递减， 所以有，因此本选项不正确； C：因为，所以不能判断的大小关系； D：由B可知本选项正确， 故选：D 【变式1】（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知二次函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的对称性和单调性即可得到答案. 【详解】因为二次函数的最大值为， 所以的图象关于直线对称，所以，且在上是减函数， 因为，所以. 故选：A． 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 【变式3】（24-25高一上·天津东丽·期中）已知在上是减函数，，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．以上都可能 【答案】C 【分析】由减函数的性质求解即可； 【详解】因为在上是减函数， 所以，若，则， 故选：C. 考点6：用单调性解不等式 【例7】（24-25高二下·江西南昌·期末）已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在R上的增函数，且， 所以， 故选：A 【变式1】已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 【变式2】（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设有在定义域上单调递减，结合已知判断的区间符号，进而求不等式的解集. 【详解】由题设，在定义域上单调递减，且， 所以，在上，在上， 所以，当时，当时，当时， 由，可得解集为. 故选：C 【变式3】已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】由题意易知函数在上单调递减，讨论与大小关系，再结合，利用单调性即可列出不等式组，解之即可得解. 【详解】因为对任意给定的实数，均有恒成立， 所以函数在上单调递减，又， 又不等式， 所以当，即时 ，， 则，解得，故； 当，即时 ，， 则，解得，故； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 考点7：用单调性求最值 【例8】已知，则的最大值为（    ） A．1 B．5 C．8 D．3 【答案】B 【分析】先根据绝对值的含义化简函数，然后利用分段函数性质及一次函数性质求解最大值即可. 【详解】因为，所以， 当时，函数单调递减，故时取到最大值为5； 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增，故时取到最大值为3； 综上，的最大值为5. 故选：B 【变式1】函数在上的最大值是 ． 【答案】2 【分析】利用函数的单调性求解. 【详解】令，设且， ， 当且时，， 则，即， 可得在上单调递减，即函数在上单调递减， 故当时，函数取得最大值，最大值为2． 故答案为：2. 【变式2】）函数在区间的最大值为 . 【答案】/3.5 【分析】先求复合函数的单调性，再根据函数单调性求最值即可 【详解】（1）由， 所以的定义域 令，开口向下，对称轴， 根据复合函数的单调性可知， 的单调递增区间是；单调递减区间是 在区间的最大值为 故答案为： 【变式3】已知函数. （1）求证：函数在上是增函数； （2）求在上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值是，最小值是 【分析】（1）根据函数的增函数定义进行证明即可. （2）结合（1）中证明的递增函数性质直接求出最大值和最小值. 【详解】（1）证明：设是区间上的任意两个实数，且， 则， ，，，， ，即. 函数在上是增函数. （2）由（1）知函数在上是增函数， 则在上的最大值是，最小值是. 模块三 知识检测 考点1：函数单调性的判断 1．下列四个函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图像特点进行判断即可． 【详解】根据函数的图像可知，其单调递增区间是，，所以A对． 因为抛物线的单调递增区间为，单调递减区间为 ，所以该抛物线在上不单调，所以B错； 因为直线的斜率为-1，所以在上为减函数，所以C错； 根据函数的图像可知其在上为减函数，所以D错； 故选：A． 2．已知函数的定义域为R，对任意，且，都有，则下列说法正确的是（    ） A．是增函数 B．是减函数 C．是增函数 D．是减函数 【答案】A 【分析】对题中条件进行变化，构造新函数，根据增、减函数的定义即可. 【详解】不妨令， ， 令，， 又，∴是增函数． 故选:A. 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是    A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据函数定义域和单调区间的定义，即可由图象判断. 【详解】定义域是函数自变量的取值范围，为， 函数的单调递增区间有2个，不能用并集，并且单调区间是定义域的子集，即. 故选：D 4．（2024高二下·福建·学业考试）已知函数在上的图象如图，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性与图象的关系进行判断即可． 【详解】若函数单调递增，则对应图象为上升趋势， 由图可知：的单调递增区间为. 故选：B． 5．（多选）（24-25高一上·海南海口·阶段练习）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据反比例函数、分段函数、二次函数、一次函数的图象性质即可判断. 【详解】对于选项A：反比例函数在上单调递减，符合题意； 对于选项B：函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，符合题意； 对于选项C：二次函数图象开口向上，对称轴为，其在单调递减，在单调递增，故在不单调，不符题意； 对于选项D：一次函数为上的增函数，故不符题意. 故选：AB. 考点2：定义法证明函数的单调性 6．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)在上是增函数，证明见解析 (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证明； （2）根据函数的单调性求函数的最值. 【详解】（1）在上是增函数，证明如下： 任取且， . ， ，， ，即， 在上为增函数. （2）由（1）知，在上为增函数， 则，. 7．已知函数. (1)求的定义域； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）利用具体函数定义域的求法求解即可； （2）先判断的单调性，再利用函数单调性的定义法，结合作差法即可得证. 【详解】（1）要使函数有意义，当且仅当， 由得， 所以函数的定义域为. （2）函数在上单调递减，证明如下： 任取，， 所以. 因为，，所以，，， 又，所以，故，即， 因此函数在上单调递减. 8．已知定义在上的函数对于，，都满足，且当时，． (1)求的值； (2)根据定义，研究在上的单调性． 【答案】(1) (2)在上单调递增 【分析】（1）利用赋值法求得. （2）根据函数单调性的定义，计算得，从而判断出在上单调递增. 【详解】（1）依题意，函数对于，，都满足， 令得. （2）任取，则，所以， 所以 ， 所以，即， 所以在上单调递增. 考点3：求函数的单调区间 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是 . 【答案】 【分析】根据图象的变化情况直接求解即可. 【详解】由的图象看，图象在是上升的，在上是下降的， 所以此函数的增区间是. 故答案为： 10．（24-25高一上·天津滨海新·期中）函数的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】讨论、，结合二次函数的性质确定递减区间. 【详解】当时，， 所以，在上函数单调递增，在上函数单调递减， 当时，，即在上函数单调递增， 综上，函数的单调减区间为. 故答案为： 11．（24-25高一上·广西来宾·期中）函数的单调递减区间是 . 【答案】/ 【分析】绝对值函数转化为分段函数即可求得递减区间. 【详解】，所以函数的单调递减区间是. 故答案为： 12．（24-25高一上·宁夏银川·期中）函数的单调递减区间为 ． 【答案】， 【分析】化简为分段函数，去掉绝对值．利用二次函数的图象及性质即可得到答案． 【详解】函数化简为： ，开口向上，对称轴，所以在是减区间，在是增区间； ，开口向上，对称轴，所以在是增区间，在是减区间； 所以：的单调递减区间和． 故答案为：，． 考点4：用函数单调性求参数 13．（22-23高一上·甘肃定西·期末）已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定的分段函数单调性，结合反比例函数、二次函数单调性列出不等式组求解. 【详解】依题意，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果. 【详解】因为是上的减函数，所以， 解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 15．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，由函数的单调性列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数是上的增函数， 则，解得. 故答案为：. 考点5：用单调性比较大小 16．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是定义域上的减函数，且，然后比较与的大小关系，从而得出选项A错误；比较与的大小即可得出选项B错误；可得出，从而得出选项C正确；比较大小即可判断D. 【详解】是定义在上的减函数，， 与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误； ，时，；时，，故的关系不确定，故B错误； ，，，故C正确． ，时，；时，，故关系不确定，D错误， 故选：C． 17．若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增函数的定义求解即可. 【详解】因为在上是增函数，且， 所以. 故选：. 18．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定对称轴为，进而确定函数单调性，由单调性即可判断. 【详解】由已知得函数的图象关于直线对称， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以．又，所以． 因为，所以． 故，即． 故选：D 19．（24-25高一上·宁夏银川·期中）函数为定义在 R 上的偶函数，且对任意都有 则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数为定义在上的偶函数可得，然后利用的单调性可得答案. 【详解】因为函数为定义在上的偶函数， 所以， 因为对任意都有， 即有在上单调递减， 所以， 故选：D 20．若函数在上是减函数，则的大小关系为 . 【答案】 【分析】结合单调性比较大小. 【详解】因为函数在上是减函数，且，所以有. 故答案为： 考点6：用单调性解不等式 21．（25-26高一上·全国·课后作业）已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意，得解得①．因为是定义在区间上的增函数，且，所以，解得②．综合①②得．所以的取值范围是． 22．已知函数的定义域为R，对任意的且，总有，则的解集是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定的单调性，再求解不等式. 【详解】依题意，不妨设，则，即， 因此函数是定义在R上的增函数，由，得，解得， 所以的解集为. 故答案为： 考点7：用单调性求最值 23．（2025·甘肃·二模）已知实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】# 【分析】考虑每个选项和圆的关系，考虑每个选项的几何意义即可求解 【详解】因为，所以，所以，所以， 因为 ，所以， 当时取等号， 所以，则的最小值为. 故答案为： 24．函数的最大值为 . 【答案】3 【分析】根据绝对值进行分类求解函数解析式，再由函数单调性求其最大值即可. 【详解】当时，； 当时，； 当时，. 故函数的最大值为3. 故答案为：3. 1．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明： (2)解不等式：. 【答案】(1)增函数，证明见解析 (2). 【分析】（1）任取、且，通过作差、因式分解、判断差值符号，可证得函数在上的单调性； （2）由已知条件可得出，结合（1）中的结论可解原不等式. 【详解】（1）任取、且，即， ， 因为，则，， ，即， 所以函数在区间上是增函数； （2）由（1）可知函数在区间上是增函数，且， 因此由可得. 因此，不等式的解集为. 2．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：在上单调递减. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据分式的意义计算即可求解； （2）利用定义法即可证明. 【详解】（1）因为，解得. 所以的定义域为. （2），，且， 则. 因为，所以，，，， 所以，即，所以， 故在上的单调递减. 3．（24-25高一上·广东清远·期中）已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果； （2）根据条件和（1）结果，得到不等式组，即可求解. 【详解】（1）任取，且，， 则 ， 又，，，则，， 所以，， 得到，即， 所以函数在区间上是增函数. （2）因为函数的定义域为， 且在区间上是增函数，由， 得到，解得或， 所以实数的取值范围为或. 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）设函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间的最大值和最小值. 【答案】(1)递增区间是，递减区间是； (2)最大值和最小值分别为 【分析】（1）利用复合函数单调性，结合二次函数单调性求出单调区间. （2）由（1）的结论，利用单调性求出最大值. 【详解】（1）函数中，，即，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增， 所以的单调递增区间是，递减区间是. （2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减， 而，则， 所以在区间的最大值和最小值分别为. 5．（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，证明见解析 (2) 【分析】（1）判断函数的单调性，利用函数单调性定义即可证明； （2）利用函数的单调性，求出函数在给定区间上的最大值，即可得答案. 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 任取，且，. 则， ，且， ，， ，即， 所以函数在上单调递减. （2）由对任意恒成立得， 由（1）知在上单调递减， 函数在上的最大值为，， 即所求实数的取值范围为. 6．（24-25高一上·河南洛阳·期中）已知函数 (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的单调区间（指明增减）、值域. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)单调递增区间为，函数的值域. 【分析】（1）对绝对值里面进行分类讨论，去掉绝对值符号即可；（2）运用描点法画图；（3）根据图像，直接写单调区间. 【详解】（1）由题意知 当时，      当时，       所以 （2）函数图象如图：    （3）由（2）知，函数的单调递增区间为，函数的值域. 7．（24-25高一下·江西新余·开学考试）已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集，若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，解集为 【分析】（1）令，即可求解； （2）由，且，得到，再由当时，，即可求证； （3）由，得到，再结合性质可得，结合定义域和单调性求解即可. 【详解】（1）因为，， 令，可得，所以． （2）对，且， 则， 因为，，则， 又因为，可得， 且当时，，则，即， 所以在定义域上是增函数． （3）因为函数的定义域为，则，解得． 由，得等价于， 且，可得， 由（2）可知：在定义域上是增函数． 可得，解得，或（舍去），故， 故不等式的解集为． 8．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数，. (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)若任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数，函数的最小值是，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得：对任意的，，结合二次函数分析求解； （2）由题意可知，不等式对任意的，令，由参变量分离法可得，利用对勾函数的单调性求出函数在上的最小值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围； （3）令，可得的最小值是，分和两种情况，结合二次函数最值分析求解. 【详解】（1）若函数的定义域为，则对任意的，， 由于函数为开口向上的二次函数， 故只需要，解得， 所以实数的取值范围是. （2）任意，恒成立，则， 可得， 令，则，所以，， 可得， 令，其中，则函数在上为减函数， 所以，，所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）因为， 令，则， 则为开口向上，对称轴为的二次函数， 当，即时，则在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得，不符合要求，舍去； 当，即时，则在上单调递增， 此时，解得或（舍去）； 综上所述：. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 9．（24-25高一上·湖南郴州·期中）已知函数 (1)求函数的定义域. (2)求函数的单调区间. (3)当时，求函数的最小值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）结合分式成立的条件即可求出函数的定义域； （2）利用单调性的定义进行证明即可； （3）结合（2）的单调性求时，函数的最小值. 【详解】（1）要使函数有意义，则， 即函数的定义域为. （2），令，则， 则， 当时，，则，故函数在上单调递增； 当时，，则，故函数在上单调递减； 当时，，则，故函数在上单调递减； 当时，，则，故函数在上单调递增； 综上知，的增区间为和，的减区间为和. （3）由（2）知，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 因此时，函数取得最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假优学 人教A版 必修第一册 第11讲 函数的单调性与最大（小）值 目录 模块一：新知归纳 模块二：考点讲解举一反三 考点1：函数单调性的判断 考点2：定义法证明函数的单调性 考点3：求函数的单调区间 考点4：用函数单调性求参数 考点5：用单调性比较大小 考点6：用单调性解不等式 考点7：用单调性求最值 模块四：过关检测 题型分组练 巩固提高综合练 模块一 新知归纳 【知识点1】函数的单调性 1．单调函数的定义 名称 定义 图像表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数 从左往右上升趋势 单调递减 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数. 从左往右下降趋势 2．函数的单调区间：若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3．单调性的等价定义 ① 设D是函数f(x)定义域的一个子区间，若，且，或 ，则f(x)在区间D上单调递增 ② 反之若或，则f(x)在区间D上单调递减 4．常见简单函数的单调性 函数 单调性 一次函数 当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减. 反比例函数 当时，在和上单调递减；当时，在和上单调递增. 二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 5．定义法证明函数单调性的步骤 ① 取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2 ② 作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形 ③ 定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论 ④ 判断：根据定义做出结论. 【知识点2】单调函数的运算性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 【知识点3】函数的最大（小）值 1．函数的最大值 （1）定义：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0). （2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标. 2．函数的最小值 （1）定义：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0). （2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. 3．利用函数的单调性求最值的常用结论 （1）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值； （2）如果函数在区间上单调递递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值. 【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值. 模块二 考点讲解举一反三 考点1：函数单调性的判断 【例1】（2025高三下·全国·专题练习）函数的图象如图所示，其单调递增区间是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·江苏·阶段练习）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（    ）    A． B．和 C． D．和 【变式3】下列函数在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 考点2：定义法证明函数的单调性 【例2】已知函数其中为常数且满足 （1）求函数的解析式； （2）证明：函数在区间(0，1)上是减函数. 【变式1】已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数. 【变式2】已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明； 【变式3】已知函数． （1）判断函数在上的单调性，并用定义证明其结论； （2）求函数在区间上的值域． 考点3：求函数的单调区间 【例3】函数的单调递增区间为（     ） A． B． C． D．和 【例4】（24-25高一上·广东湛江·期中）函数的单调递减区间为 . 【变式1】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）设，则的单调递减区间为 ． 考点4：用函数单调性求参数 【例5】（24-25高二下·上海·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【变式1】（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数，是上的严格增函数，则实数的取值范围是 ． 考点5：用单调性比较大小 【例6】（24-25高一上·河南郑州·期中）函数在区间上单调递减，则有（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知二次函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·天津东丽·期中）已知在上是减函数，，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．以上都可能 考点6：用单调性解不等式 【例7】（24-25高二下·江西南昌·期末）已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 考点7：用单调性求最值 【例8】已知，则的最大值为（    ） A．1 B．5 C．8 D．3 【变式1】函数在上的最大值是 ． 【变式2】）函数在区间的最大值为 . 【变式3】已知函数. （1）求证：函数在上是增函数； （2）求在上的最大值和最小值. 模块三 知识检测 考点1：函数单调性的判断 1．下列四个函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为R，对任意，且，都有，则下列说法正确的是（    ） A．是增函数 B．是减函数 C．是增函数 D．是减函数 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是    A．和 B．和 C．和 D．和 4．（2024高二下·福建·学业考试）已知函数在上的图象如图，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高一上·海南海口·阶段练习）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 考点2：定义法证明函数的单调性 6．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值. 7．已知函数. (1)求的定义域； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明 8．已知定义在上的函数对于，，都满足，且当时，． (1)求的值； (2)根据定义，研究在上的单调性． 考点3：求函数的单调区间 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是 . 10．（24-25高一上·天津滨海新·期中）函数的单调减区间是 ． 11．（24-25高一上·广西来宾·期中）函数的单调递减区间是 . 12．（24-25高一上·宁夏银川·期中）函数的单调递减区间为 ． 考点4：用函数单调性求参数 13．（22-23高一上·甘肃定西·期末）已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为 ． 14．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 15．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是 . 考点5：用单调性比较大小 16．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 17．若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·宁夏银川·期中）函数为定义在 R 上的偶函数，且对任意都有 则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 20．若函数在上是减函数，则的大小关系为 . 考点6：用单调性解不等式 21．（25-26高一上·全国·课后作业）已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围是 ． 22．已知函数的定义域为R，对任意的且，总有，则的解集是 ． 考点7：用单调性求最值 23．（2025·甘肃·二模）已知实数，满足，则的最小值为 ． 24．函数的最大值为 . 1．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明： (2)解不等式：. 2．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：在上单调递减. 3．（24-25高一上·广东清远·期中）已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）设函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间的最大值和最小值. 5．（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 6．（24-25高一上·河南洛阳·期中）已知函数 (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的单调区间（指明增减）、值域. 7．（24-25高一下·江西新余·开学考试）已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集，若不存在，请说明理由 8．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数，. (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)若任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数，函数的最小值是，求实数的值. 9．（24-25高一上·湖南郴州·期中）已知函数 (1)求函数的定义域. (2)求函数的单调区间. (3)当时，求函数的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 1 - 模块一 新知归纳 【知识点 1】函数的单调性 1．单调函数的定义 名称 定义 图像表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I. 如果对于定义域 I内某个区间 D 上的任意两个自 变量的值 1 2,x x 当 1 2x x 时，都有 1 2( ) ( )f x f x ， 那么就说函数 f(x)在区间D上是单 调递增函数 从左往右上 升趋势 单调递减 当 1 2x x 时，都有 1 2( ) ( )f x f x ， 那么就说函数 f(x)在区间D上是单 调递减函数. 从左往右下 降趋势 2．函数的单调区间：若函数 y＝f(x)在区间 D上是增函数或减函数，则称函数 y＝f(x)在这一区间上具有(严 格的)单调性，区间 D叫做 y＝f(x)的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间 D⊆定义域 I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3．单调性的等价定义 ① 设 D是函数 f(x)定义域的一个子区间，若 Dxx  21, ，且 21 xx  ， 0 )()( 21 21 ＞ xx xfxf   或   0)()()( 2121 ＞xfxfxx  ，则 f(x)在区间 D上单调递增 ② 反之若 0)()( 21 21 ＜ xx xfxf   或   0)()()( 2121 ＜xfxfxx  ，则 f(x)在区间 D上单调递减 4．常见简单函数的单调性 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 2 - 函数 单调性 一次函数  0y kx b k   当 0k  时，在 R上单调递增；当 0k  时，在 R上单调递减. 反比例函数  0ky k x   当 0k  时，在  , 0 和  0,  上单调递减；当 0k  时，在  , 0 和  0,  上 单调递增. 二次函数  2 0y ax bx c a    当 0a  时，在 , 2 b a     上单调递减，在 , 2 b a       上单调递增；当 a<0时， 在 , 2 b a     上单调递增，在 , 2 b a       上单调递减. 5．定义法证明函数单调性的步骤 ① 取值：设 x1，x2为该区间内任意的两个值，且 x1＜x2 ② 作差变形：做差 f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符 号的方向变形 ③ 定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论 ④ 判断：根据定义做出结论. 【知识点 2】单调函数的运算性质 若函数 ( )f x 与 ( )g x 在区间 D上具有单调性，则在区间 D上具有以下性质： （1） ( )f x 与 ( )f x C （C为常数）具有相同的单调性. （2） ( )f x 与 ( )f x 的单调性相反. （3）当 0a  时， ( )af x 与 ( )f x 单调性相同；当 a<0时， ( )af x 与 ( )f x 单调性相反. （4）若 ( )f x ≥0，则 ( )f x 与 ( )f x 具有相同的单调性. （5）若 ( )f x 恒为正值或恒为负值，则当 0a  时， ( )f x 与 ( ) a f x 具有相反的单调性； 当 a<0时， ( )f x 与 ( ) a f x 具有相同的单调性. （6） ( )f x 与 ( )g x 的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 【知识点 3】函数的最大（小）值 1．函数的最大值 （1）定义：对于函数 y＝f(x)其定义域为 D，如果存在 x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的 x∈D，都有 f(x)≤M， 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 3 - 那么，我们称 M是函数 y＝f(x)的最大值，即当 x＝x0时，f(x0)是函数 y＝f(x)的最大值，记作 ymax＝f(x0). （2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标. 2．函数的最小值 （1）定义：对于函数 y＝f(x)，其定义域为 D，如果存在 x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的 x∈D，都有 f(x)≥M， 那么，我们称 M是函数 y＝f(x)的最小值，即当 x＝x0时，f(x0)是函数 y＝f(x)的最小值，记作 ymin＝f(x0). （2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. 3．利用函数的单调性求最值的常用结论 （1）如果函数  y f x 在区间[ , ]a b 上单调递增，在区间[ , ]b c 上单调递减，那么函数  y f x ， ,[ ]x a c 在 bx  处有最大值 ( )f b ； （2）如果函数  y f x 在区间[ , ]a b 上单调递递减，在区间[ , ]b c 上单调递增，那么函数  y f x ， ,[ ]x a c 在 bx  处有最小值 ( )f b . 【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进 行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值. 模块二 考点讲解举一反三 考点 1：函数单调性的判断 【例 1】（2025高三下·全国·专题练习）函数  y f x 的图象如图所示，其单调递增区间是（ ） A． 4,4 B．   4, 3 1,4   C． 3,1 D． 3,4 【变式 1】（24-25高一上·江苏·阶段练习）函数 1y x  的单调增区间是（ ） A． ( , 1)  B． ( ,1) C． ( 1, )  D． (1, ) 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 4 - 【变式 2】已知函数 ( )y f x 的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（ ） A．[ 1,2] [4,5]  B．[ 1,2] 和[4,5] C．[ 3, 1] [2,4]   D．[ 3, 1]  和 [2,4] 【变式 3】下列函数在区间  , 0 上为减函数的是（ ） A． 2y x B． 1y x   C． y x D． 2y x  考点 2：定义法证明函数的单调性 【例 2】已知函数   2 ,bf x x c x    其中 ,b c为常数且满足    1 4, 2 5.f f  （1）求函数  f x 的解析式； （2）证明：函数  f x 在区间(0，1)上是减函数. 【变式 1】已知函数   22 af x x x   （ 0x  ， aR），当 1a  时，用单调性的定义证明  f x 在 2, 上 是增函数. 【变式 2】已知函数   2 1 xf x x   的定义域为  1,1 ，判断  f x 在  1,1 上的单调性，并用定义证明； 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 5 - 【变式 3】已知函数 2 3( ) 1 xf x x    ． （1）判断函数 ( )f x 在[0, ) 上的单调性，并用定义证明其结论； （2）求函数 ( )f x 在区间[2,9]上的值域． 考点 3：求函数的单调区间 【例 3】函数   2f x x   的单调递增区间为（ ） A．  ,  B．    , 0 0,  C．R D．  , 0 和  0,  【例 4】（24-25高一上·广东湛江·期中）函数   2 12f x x x   的单调递减区间为 . 【变式 1】函数 2( ) 6 8f x x x   的单调递增区间为（ ） A． (3, ) B． ( ,2),(4, )  C． (2,3),(4, ) D． ( , 2), (3, 4) 【变式 2】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）函数   1 1g x x x   的单调递减区间为（ ） A． 1, 2     B． 11, 2      C． 1,  D．  1, 1, 2        【变式 3】（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）设 ( ) | 3 |f x x  ，则 ( )f x 的单调递减区间为 ． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 6 - 考点 4：用函数单调性求参数 【例 5】（24-25高二下·上海·期末）已知函数   2 2 4, 1, x x a f x x x a       在R 上单调递增，则实数 a的取值范围 是 ． 【变式 1】（2025·山西·二模）若函数 ( ) af x x x   在 (0, 2]上单调递减，则实数 a的取值范围是（ ） A． (0, 2] B． (0,4] C．[2, ) D．[4, ) 【变式 2】（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数    2 1 , 1 4 2 1, 1 a x f x x x a x a x            ，在R上单调 递增，则实数 a的取值范围为（ ） A． 3 ,2 2      B． 31, 2      C．  1,2 D． 5 ,2 4      【变式 3】已知函数    2 3 4 , 1 3 , 1 a x a x f x ax x x         ，是R 上的严格增函数，则实数 a的取值范围是 ． 考点 5：用单调性比较大小 【例 6】（24-25高一上·河南郑州·期中）函数 ( )f x 在区间 ( 1,3] 上单调递减，则有（ ） A． ( 2) (2)f f  B． (0) (3)f f C． ( 1) (3)f f  D． (0) (3)f f 【变式 1】（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知二次函数   2f x ax bx c   的最大值为  4f ，则（ ） A．      5 2 8f f f  B．      8 5 2f f f  C．      8 2 5f f f  D．      2 8 5f f f  【变式 2】（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为R的函数  f x ， 1x ， 2x R， 1 2x x ，都有      1 2 1 2 0x x f x f x     ，则（ ） A．      3 π 2f f f  B．      π 3 2f f f  暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 7 - C．      2 π 3f f f  D．      π 2 3f f f  【变式 3】（24-25高一上·天津东丽·期中）已知  f x 在  2,5 上是减函数，  1 2, 2,5x x  ，若 1 2x x ，则下 列正确的是（ ） A．    1 2f x f x B．    1 2f x f x C．    1 2f x f x D．以上都可能 考点 6：用单调性解不等式 【例 7】（24-25高二下·江西南昌·期末）已知函数  y f x 是定义在 R上的增函数，且    1 3f a f a   ， 则 a的取值范围是（ ） A．  2,  B．  , 2 C．  1,2 D．  1,3 【变式 1】已知  f x 为R上的减函数，则满足    2 2 3f x x f  的实数 x的取值范围是（ ） A． 1,3 B．    , 1 3,    C．  3,3 D．    , 3 1,   【变式 2】（24-25 高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数  y f x 的定义域为 1, 4 ，满足    1 2 2 1 0, f x f x x x    且  3 0f  ，则不等式   0xf x  的解集为（ ） A．    ,0 3,  B．    ,0 3,  C．   1,0 3,4  D．   1,0 3,4  【变式 3】已知函数  f x 在R 上有定义，且  0 0f  ．若对任意给定的实数  1 2 1 2,x x x x ，均有      1 2 1 2 0x x f x f x     恒成立，则不等式    1 1 2 0x f x   的解集是 ． 考点 7：用单调性求最值 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 8 - 【例 8】已知0 4x  ，则 2 3x x   的最大值为（ ） A．1 B．5 C．8 D．3 【变式 1】函数 2 1 y x = - 在[2,3]上的最大值是 ． 【变式 2】）函数   2 5 6f x x x    在区间 1,5 的最大值为 . 【变式 3】已知函数   2 1 f x x    . （1）求证：函数  f x 在  2,3 上是增函数； （2）求  f x 在  2,3 上的最大值和最小值. 模块三 知识检测 考点 1：函数单调性的判断 1．下列四个函数中，在  0,x  上为增函数的是（ ） A．   1 1 f x x    B．   2 3f x x x  C．   3f x x  D．  f x x  2．已知函数 ( )y f x 的定义域为 R，对任意 1x ， 2x 且 1 2x x ，都有    1 2 1 2 1 f x f x x x     ，则下列说法正确的 是（ ） A． ( )y f x x  是增函数 B． ( )y f x x  是减函数 C． ( )y f x 是增函数 D． ( )y f x 是减函数 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数  r f p 的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 9 - A．   5,0 , 2,6 和   5,0 2,6  B．   5,0 2,6  和  5,0 , 2,6   C．   5,0 , 2,6 和    5,0 2,6  D．   5,0 2,6  和    5,0 , 2,6 4．（2024高二下·福建·学业考试）已知函数 ( )y f x 在 1, 2 上的图象如图，则函数单调递增区间为（ ） A． 1,0 B． 0,1 C． 1, 2 D．  1, 2 5．（多选）（24-25高一上·海南海口·阶段练习）下列函数中，在区间 ( ,0) 上单调递减的是（ ） A． 2y x  B． | |y x C． 2 1y x x   D． 2 1y x  考点 2：定义法证明函数的单调性 6．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数   1 2 xf x x    ，  3,5x . (1)判断函数  f x 的单调性，并证明； (2)求函数  f x 的最大值和最小值. 7．已知函数   2 1 1 f x x   . (1)求  f x 的定义域； (2)判断函数  f x 在  1, 上的单调性，并加以证明 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 10 - 8．已知定义在  0,  上的函数  f x 对于 x ，  0,y  ，都满足       3f x f y f xy   ，且当  0,1x 时，   3f x  ． (1)求  1f 的值； (2)根据定义，研究  f x 在  0,  上的单调性． 考点 3：求函数的单调区间 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数  y f x 在区间  2 2 , 上的图象如图所示，则此函数的增区间 是 . 10．（24-25高一上·天津滨海新·期中）函数 4y x x  的单调减区间是 ． 11．（24-25高一上·广西来宾·期中）函数 | 1|y x  的单调递减区间是 . 12．（24-25高一上·宁夏银川·期中）函数 2 2 1y x x   的单调递减区间为 ． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 11 - 考点 4：用函数单调性求参数 13．（22-23 高一上·甘肃定西·期末）已知 2 , 2 ( ) 11, 2 a x f x x x ax x        在区间 ( , )  上是单调减函数，则实数 a的取值范围为 ． 14．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数   2 2, 1 1 , 1 3 x ax x f x x x        在R上单调递减，则实数 a的取值范 围为 . 15．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）已知函数 2 5( 1) ( ) ( 1) x ax x f x a x x        是 R上的增函数，则实数 a的 取值范围是 . 考点 5：用单调性比较大小 16．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）函数  y f x 为定义在R上的减函数，若 0a  ，则（ ） A．    2f a f a B．    2f a f a C．    2f a a f a  D．    2 1f a a f a   17．若函数  f x 在  , 1  上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A．    3 1 2 2 f f f         B．    31 2 2 f f f         C．     32 1 2 f f f          D．    3 1 2 2f f f         18．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知定义在R上的函数  f x 满足    1 3f x f x   ，且在  , 2 上 单调递增，  πa f ，  3b f ，  0c f ，则（ ） A． a b c  B． c b a  C．b c a  D． c a b  19．（24-25高一上·宁夏银川·期中）函数 ( )y f x 为定义在 R 上的偶函数，且对任意  1 2 1 2, [0, )  x x x x 都有    1 2 1 2 0 f x f x x x    ，则下列关系正确的是（ ） A． ( 3) ( 2) (1)f f f    B． ( 2) (1) ( 3)f f f    C． ( 3) (1) ( 2)f f f    D． (1) ( 2) ( 3)f f f    20．若函数  y f x 在  0,  上是减函数，则 2 3 5, , 3 4 6 f f f                 的大小关系为 . 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 12 - 考点 6：用单调性解不等式 21．（25-26高一上·全国·课后作业）已知  f x 是定义在区间  2 2 , 上的增函数，且    2 1f x f x   ，则 x的取值范围是 ． 22．已知函数 ( )y f x 的定义域为 R，对任意的 1 2,x x R且 1 2x x ，总有 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x    ，则 ( 1) (2 )f x f x  的解集是 ． 考点 7：用单调性求最值 23．（2025·甘肃·二模）已知实数 x， y满足 2 2 4 2 0x y x    ，则 2 2 2 x y 的最小值为 ． 24．函数 2 1y x x    的最大值为 . 1．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数   2 2 3f x x x    ，  0x  . (1)判断函数的单调性，并证明： (2)解不等式：   0f x  . 2．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数   2 1 xf x x   . 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 13 - (1)求  f x 的定义域； (2)证明：  f x 在  1, 上单调递减. 3．（24-25高一上·广东清远·期中）已知函数   4 1f x x x   (1)用定义法证明函数  f x 在区间 1, 上是增函数； (2)若函数  f x 的定义域为 1, ，且    2 1 11 2f m m f m    ，求实数m的取值范围. 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）设函数 2( ) 5 6f x x x    . (1)求 ( )f x 的单调区间； (2)求 ( )f x 在区间 1,5 的最大值和最小值. 5．（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知函数   1f x x x   . (1)判断函数  f x 在(0,1)上的单调性并用定义进行证明； 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 14 - (2)若  f x m 对任意 1 1, 4 3 x      恒成立，求实数m的取值范围. 6．（24-25高一上·河南洛阳·期中）已知函数   1 3 3 . 2 x x f x x      （ ） (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的单调区间（指明增减）、值域. 7．（24-25高一下·江西新余·开学考试）已知定义域为  1,1 的函数  f x 满足  1 2, 1,1x x   ，     1 21 2 1 21 x xf x f x f x x        ，且当 0x  时，   0f x  ． (1)求  0f 的值； (2)用单调性定义证明：  f x 在定义域上是增函数； (3)若 1 1 3 f       ，求不等式    3 1 1f x f x   的解集，若不存在，请说明理由 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 15 - 8．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数   2 3f x x ax   ， aR . (1)若函数   1y f x  的定义域为R，求实数 a的取值范围； (2)若任意  1, 2x ，  f x a 恒成立，求实数 a的取值范围； (3)若函数      2g x f x a x a    ，函数  y g g x   的最小值是5，求实数 a的值. 9．（24-25高一上·湖南郴州·期中）已知函数   1 2f x x x    (1)求函数的定义域. (2)求函数的单调区间. (3)当 0x  时，求函数的最小值.