第09讲 函数的概念—【暑假导航】2025年新高一数学暑假优学讲练（人教A版 必修第一册）

暑假优学 人教A版 必修第一册 第09讲 函数的概念 目录 模块一：新知归纳 模块二：考点讲解举一反三 考点1：函数的概念 考点2：具体函数的定义域 考点3：抽象函数的定义域 考点4：函数的值域 考点5：相同函数的判断 模块四：过关检测 题型分组练 巩固提高综合练 模块一 新知归纳 【知识点1】函数的概念 1．函数的定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域． 2．函数的四个特性：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应． （1）非空性：定义的集合A，B必须是两个非空数集； （2）任意性：A中任意一个数都要考虑到； （3）单值性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应； （4）方向性：函数是一个从定义域到值域的过程，即A→B． 【注】函数的概念中需要注意的地方： A中的每个数，在B中都要有唯一确定的数与之对应;而B中可以存在一些数，在中没有与之对应的数;例如上图B中的数“5”在A中就没有与之对应的数.2)可以多对一(如下方左图虚线箭头的对应方式是函数概念所允许的)，不能一对多(如下方右图虚线箭头的对应方式是函数概念所不允许的) 3．函数的三要素 （1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围； （2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“”施加的某种运算或法则．如：，就是对自变量求平方． （3）值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值． 4．函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数． 【知识点2】求函数定义域的依据 1．分式中分母不能为零； 2．偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中；奇次方根的被开方数取全体实数，即中，； 3．零次幂的底数不能为零，即中； 4．实际问题中函数定义域要考虑实际意义； 5．如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合． 模块二 考点讲解举一反三 考点1：函数的概念 【例1】判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数． （1），； （2），； （3），； （4），. 【例2】下图中可表示函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【变式1】设,,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】判断下列对应是否为函数： （1），，； （2），这里，，； （3）当x为有理数时，；当x为无理数时，. 考点2：具体函数的定义域 【例3】（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）求下列函数的定义域. （1）； （2）； （3）； （4）. 【变式1】函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式3】函数的定义域为（    ） A．{且} B．{且} C． D．{且} 考点3：抽象函数的定义域 【例4】已知函数的定义域为，求的定义域. 【变式1】已知函数的定义域为，求函数的定义域. 【变式2】已知函数的定义域为，求函数的定义域. 【变式3】（1）已知y＝f(x)的定义域为[0,1]，求函数y＝f(x2+1)的定义域； （2）已知y＝f(2x﹣1)的定义域为[0,1]，求y＝f(x)的定义域； 考点4：函数的值域 【例4】求下列函数的值域： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】求下列函数的值域： （1）； （2）． 【变式2】求函数的值域． 【变式3】求下列函数的值域. （1）； （2）. 考点5：相同函数的判断 【例5】（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）下列函数中，与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）以下各组函数中，不是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·贵州贵阳·期末）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·福建漳州·期末）下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 模块三 知识检测 考点1：函数的概念 1．下列各图中，不可能表示函数y=f(x)的图象的是（ ） A． B． C． D． 2．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 3．有对应法则f： （1）A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→；（2）A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2； （3）A＝R，B＝{y|y＞0}，x→；（4）A＝R，B＝R，x→2x＋1； （5）A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y 其中能构成从集合A到集合B的函数的有________(填序号)． 考点2：函数的定义域 4．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： （1）； （2）. 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： （1）； （2）； （3）． 6．（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域. 7．（1）已知函数的定义域是，求函数的定义域． （2）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 8．已知的定义域为 ，求的定义域. 考点3：函数的值域 9．求下列函数的值域： (1)； (2)． 10．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 11．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 考点4：相同函数的判断 12．（24-25高一上·北京顺义·阶段练习）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·北京海淀·期中）下列各组函数表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·四川内江·期中）下列哪一组中的两个函数表示同一个函数（    ） A．， B．， C．， D．， 15．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 16．（24-25高一上·广东·期中）下列各组函数中，是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．，与， 1．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数. (1)点在的图象上吗？ (2)当时，求的值； (3)当时，求的值； 2．判断下列各组函数是否为同一个函数： （1）； （2），； （3）． 3．求下列函数的值域： (1)； (2) 4．设函数． (1)当时，求函数的定义域； (2)若函数的定义域为，求实数的取值范围． 5．若的定义域为，求的定义域． 6．设函数的定义域是，求函数的定义域． 7．求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域； (3)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域. 8．（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）已知，． (1)求的定义域； (2)求，的值，的值域 9．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知函数的定义域为，集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 10．已知，. (1)求，的值； (2)求，的值； (3)求，的值域. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 1 - 模块一 新知归纳 【知识点 1】函数的概念 1．函数的定义 一般地，设 A，B是非空的实数集，如果对于集合 A中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f， 在集合 B中都有唯一确定的数 y和它对应，称 f：A→B为从集合 A到集合 B的一个函数，记作：y＝f（x）， x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围 A叫做函数的定义域；与 x的值相对应的 y值叫做函数值，函数 值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域． 2．函数的四个特性：定义域内的任意一个 x值，必须有且仅有唯一的 y值与之对应． （1）非空性：定义的集合 A，B必须是两个非空数集； （2）任意性：A中任意一个数都要考虑到； （3）单值性：每一个自变量都在 B中有唯一的值与之对应； （4）方向性：函数是一个从定义域到值域的过程，即 A→B． 【注】函数的概念中需要注意的地方： A中的每个数，在 B中都要有唯一确定的数与之对应;而 B中可以存在一些数，在中没有与之对应的数; 例如上图 B中的数“5”在 A中就没有与之对应的数.2)可以多对一(如下方左图虚线箭头的对应方式是函数概 念所允许的)，不能一对多(如下方右图虚线箭头的对应方式是函数概念所不允许的) 3．函数的三要素 （1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的 x的取值范围； （2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系 控制着值域的形态， f 可以看作是对“ x ”施加的某种运算或法则．如： 2( )f x x ， f 就是对自变量 x求平方． （3）值域：对应关系 f 对自变量 x在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中， ( )y f x 表示“ y是 x的 函数”，指的是 y为 x在对应关系 f 下的对应值． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 2 - 4．函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么 这两个函数为同一个函数． 【知识点 2】求函数定义域的依据 1．分式中分母不能为零； 2．偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即 ( 2 , )n x n k k N 其中 中；奇次方根的被开方数 取全体实数，即 ( 2 1, )n x n k k N  其中 中， x R ； 3．零次幂的底数不能为零，即 0x 中 0x  ； 4．实际问题中函数定义域要考虑实际意义； 5．如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的 公共部分的集合． 模块二 考点讲解举一反三 考点 1：函数的概念 【例 1】判断下列对应关系是否为集合 A到集合 B的函数． （1）  , 0A B x x  R ， :f x y x  ； （2） , A BZ Z， 2:f x y x  ； （3） , A BZ Z， :f x y x  ； （4）    1 1 , 0A x x B     ， : 0f x y  . 【例 2】下图中可表示函数 ( )y f x 的图象是（ ） 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 3 - A． B． C． D． 【变式 1】设    1 2 3 , , ,M N e g h ，， ,  , , Re g h ,如下选项是从 M到 N的四种应对方式,其中是 M到 N的函 数是（ ） A． B． C． D． 【变式 2】给定数集 , (0, ), ,A B x y  R 满足方程 2 0x y  ，下列对应关系 f 为函数的是（ ） A． : , ( )f A B y f x  B． : , ( )f B A y f x  C． : , ( )f A B x f y  D． : , ( )f B A x f y  【变式 3】判断下列对应是否为函数： （1） 2x x  ， 0x  ， xR ； （2） x y ，这里 2y x ， x N ， yR ； （3）当 x为有理数时， 1x ；当 x为无理数时， 0x . 考点 2：具体函数的定义域 【例 3】（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）求下列函数的定义域. （1） 22 3 2 xy x x     ； （2） 1 1y x x    ； 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 4 - （3） 3 1 1 y x    ； （4） 2 23 5y x x    . 【变式 1】函数 3 2 1 9 xy x    定义域为（ ） A． 3,3 B．  3,3 C．   , 3 3,     D．    , 3 3,     【变式 2】函数 2y x  的定义域是（ ） A．  0,  B．  2, C． 0, D．  2, 【变式 3】函数 1( ) 3 2 2 f x x x     的定义域为（ ） A．{ 2| 3 x x  且 2x  } B．{ 2| 3 x x  且 2x  } C． 2| 2 3 x x      D．{ 2| 3 x x  且 2x  } 考点 3：抽象函数的定义域 【例 4】已知函数  3 1f x  的定义域为 ( 1,6] ，求  2 5f x  的定义域. 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 5 - 【变式 1】已知函数  y f x 的定义域为 1 2 ， ，求函数  21y f x  的定义域. 【变式 2】已知函数  3 4y f x  的定义域为  7,2 ，求函数  y f x 的定义域. 【变式 3】（1）已知 y＝f(x)的定义域为[0,1]，求函数 y＝f(x2+1)的定义域； （2）已知 y＝f(2x﹣1)的定义域为[0,1]，求 y＝f(x)的定义域； 考点 4：函数的值域 【例 4】求下列函数的值域： （1） 1y x  ； （2） 2 1 3 xy x    ； （3） 2 2 1 1 xy x    ； （4） 25 4y x x   ． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 6 - 【变式 1】求下列函数的值域： （1） 2 3 3 1 x xy x     ； （2） 2 4 1y x x   ． 【变式 2】求函数 2 2 2 2 1 x xy x x      的值域． 【变式 3】求下列函数的值域. （1） ( ) 3 2, [ 5,2)f x x x    ； （2） 2 4 7, [1,6)y x x x    . 考点 5：相同函数的判断 【例 5】（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）下列函数中，与 y x 是同一个函数的是（ ） A．  2y x B． 2y x C． 2xy x  D．  33y x 【变式 1】（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）以下各组函数中，不是同一函数的是（ ） 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 7 - A．    3 3 2,f x x g x x  B． 2 2( ) 2, ( ) 2f x x g t t    C． 0 0 1( ) , ( )f x x g x x   D． 1, 1 ( ) | 1|, ( ) 1, 1 x x f x x g x x x        【变式 2】（24-25高一上·贵州贵阳·期末）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A．   2f x x ，   4( )g x x B．     2 1 x xf x x g x x    ， C．     2f x x g x x ， D．     0 0 t t f x x g t t t      ， ， ， 【变式 3】（24-25高一上·福建漳州·期末）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A．   2f x x 与  g x x B．   2 1 1 xf x x    与   1g x x  C．   3f x x 与  g x x x D．   0f x x 与   1g x  模块三 知识检测 考点 1：函数的概念 1．下列各图中，不可能表示函数 y=f(x)的图象的是（ ） A． B． C． D． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 8 - 2．中国清朝数学家李善兰在 1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解 释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合  1, 2,3M  ，  1,2,3N  ，给出下列四个对应法 则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到 N的函数的是（ ） A． B． C． D． 3．有对应法则 f： （1）A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→ 2 x ；（2）A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2； （3）A＝R，B＝{y|y＞0}，x→ 2 1 x ；（4）A＝R，B＝R，x→2x＋1； （5）A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y 其中能构成从集合 A到集合 B的函数的有________(填序号) ． 考点 2：函数的定义域 4．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： （1）   2 3y x x   ； （2） 1 1 1 y x    . 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： （1） 0(2 3)y x  ； （2） 1 4 2y x x     ； （3） 21 1 xy x    ． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 9 - 6．（1）已知函数  f x 的定义域为  0,1 ，求  2f x 的定义域； （2）已知函数  2 1f x  的定义域为  0,1 ，求  f x 的定义域. 7．（1）已知函数  f x 的定义域是  2 2 , ，求函数  1f x  的定义域． （2）已知函数  2 1y f x  的定义域为 0,1 ，求函数  y f x 的定义域． 8．已知  2 1f x  的定义域为 3 32      ， ，求  f x 的定义域. 考点 3：函数的值域 9．求下列函数的值域： (1) 2 1, {1,3,5,7}y x x   ； (2) 2 1 3 xy x    ． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 10 - 10．求下列函数的值域： (1) 2 1y x  ，  1,2,3,4,5x ； (2) 1y x  ； (3) 2 4 6y x x   ， [1,5]x ； (4) 3 2 1 xy x    ． 11．求下列函数的值域： (1)   23 2f x x x   ，  1,3x ； (2)   2 6 5f x x x    ； (3)   3 1 2 xf x x    ． 考点 4：相同函数的判断 12．（24-25高一上·北京顺义·阶段练习）下列各组函数表示同一函数的是（ ） A．      22 ,f x x g x x  B．     2 11, 1 xf x x g x x      C．     01,f x g x x  D．     3 3,f x x g x x  13．（24-25高一上·北京海淀·期中）下列各组函数表示同一函数的是（ ） A．     2,f x x g x x  B．     1, 1 1 , 1 ; 1 x x f x x g x x x         暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 11 - C．     2 11, 1 xf x x g x x      D．     0 2, x xf x g x x x   14．（24-25高一上·四川内江·期中）下列哪一组中的两个函数表示同一个函数（ ） A．  f x x ，   2xg x x  B．  f u u ，   2g v v C．   2f x x ，    21g x x  D．   xf x x  ，   1, 0 1, 0 x g x x     15．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A．   1 1f x x x    与     1 1g x x x   B．   24f x x 与   2g x x C．   2xf x x  与   0g x x x  D．    2f x x 与   2g x x 16．（24-25高一上·广东·期中）下列各组函数中，是同一函数的是（ ） A． 0( )f x x 与 ( ) 1g x  B． ( ) | |f x x 与 3 3( )g x x C． 2 4( ) 2 xf x x    与 ( ) 2g x x  D． ( ) 1f x x  ， (0,1)x 与 ( ) | | 1g x x  ， (0,1)x 1．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数   2 6 xf x x    . (1)点  3,14 在  f x 的图象上吗？ (2)当 4x  时，求  f x 的值； (3)当   2f x  时，求 x的值； 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 12 - 2．判断下列各组函数是否为同一个函数： （1） 2 ( ) , ( )xf x g x x x   ； （2） 4 2 1( ) 1 xf x x    ， 2( ) 1g x x  ； （3） 2( ) , ( )f x x g x x  ． 3．求下列函数的值域： (1) 2 1 3 xy x    ； (2) 2 1y x x   4．设函数 2( ) 2f x mx mx   ． (1)当 1m   时，求函数 ( )f x 的定义域； (2)若函数 ( )f x 的定义域为R ，求实数m的取值范围． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 13 - 5．若  f x 的定义域为 4,4 ，求  2( ) (2 1)g x f x f x   的定义域． 6．设函数  y f x 的定义域是[ 1,3] ，求函数      2 1 1g x f x f x    的定义域． 7．求下列函数的定义域： (1)已知函数 ( )f x 的定义域为[1，2]，求函数 (2 1)y f x  的定义域； (2)已知函数 (2 1)y f x  的定义域[1，2]，求函数 ( )f x 的定义域； (3)已知函数 (2 1)y f x  的定义域[1，2]，求函数 (2 1)y f x  的定义域. 8．（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）已知   2 4 2f x x x   ，   4 5 xg x x    ． (1)求  g x 的定义域； (2)求  2f ，  1f a  的值，  f x 的值域 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 14 - 9．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知函数 3( ) xf x x   的定义域为A，集合 { 2 4}B x a x a   ∣ . (1)当 1a  时，求 A B ； (2)若 B A ，求 a的取值范围. 10．已知   23 1f x x  ，   1 2 g x x   . (1)求  1f ，  1g 的值； (2)求   1f g ，   1g f 的值； (3)求  f x ，  g x 的值域. 暑假优学 人教A版 必修第一册 第09讲 函数的概念 目录 模块一：新知归纳 模块二：考点讲解举一反三 考点1：函数的概念 考点2：具体函数的定义域 考点3：抽象函数的定义域 考点4：函数的值域 考点5：相同函数的判断 模块四：过关检测 题型分组练 巩固提高综合练 模块一 新知归纳 【知识点1】函数的概念 1．函数的定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域． 2．函数的四个特性：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应． （1）非空性：定义的集合A，B必须是两个非空数集； （2）任意性：A中任意一个数都要考虑到； （3）单值性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应； （4）方向性：函数是一个从定义域到值域的过程，即A→B． 【注】函数的概念中需要注意的地方： A中的每个数，在B中都要有唯一确定的数与之对应;而B中可以存在一些数，在中没有与之对应的数;例如上图B中的数“5”在A中就没有与之对应的数.2)可以多对一(如下方左图虚线箭头的对应方式是函数概念所允许的)，不能一对多(如下方右图虚线箭头的对应方式是函数概念所不允许的) 3．函数的三要素 （1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围； （2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“”施加的某种运算或法则．如：，就是对自变量求平方． （3）值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值． 4．函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数． 【知识点2】求函数定义域的依据 1．分式中分母不能为零； 2．偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中；奇次方根的被开方数取全体实数，即中，； 3．零次幂的底数不能为零，即中； 4．实际问题中函数定义域要考虑实际意义； 5．如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合． 模块二 考点讲解举一反三 考点1：函数的概念 【例1】判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数． （1），； （2），； （3），； （4），. 【答案】(1)不是集合A到集合B的函数 (2)是集合A到集合B的函数 (3)不是集合A到集合B的函数 (4)是集合A到集合B的函数． 【分析】函数要求对于数集A中的任意一个实数，按照对应关系，在集合B中都有唯一确定的数与它对应，由此可判断题中关系是否为函数. 【详解】（1）A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数． （2）对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数． （3）集合A中的负整数没有平方根，故在集合A中有剩余的元素，故不是集合A到集合B的函数． （4）对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数． 【例2】下图中可表示函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义即可得解. 【详解】根据函数的定义可知一个只能对应一个值，故答案为B. 故选：B. 【变式1】设,,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数对应关系可得,对于集合M中的每个数,集合N中都有唯一且确定的数与之对应. 【详解】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误; 对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误; 对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确; 对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误, 故选:C. 【变式2】给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD选项，可举出反例；B选项，利用函数的定义作出判断. 【详解】A选项，，当时，，由于，故A选项不合要求； B选项，，存在唯一确定的，使得，故B正确； CD选项，对于，不妨设，此时，解得， 故不满足唯一确定的与其对应，不满足要求，CD错误. 故选：B 【变式3】判断下列对应是否为函数： （1），，； （2），这里，，； （3）当x为有理数时，；当x为无理数时，. 【答案】(1)是函数 (2)不是函数 (3)是函数 【分析】（1）根据函数定义这个函数可以表示为()进行判断； （2）利用函数定义及特殊值进行判断； （3）可以表示为，是一个函数. 【详解】（1）对于任意一个非零实数x，由x唯一确定，所以当时是函数，这个函数也可以表示为(). （2）考虑输入值为4，即当时输出值y由给出，得和.这里一个输入值与两个输出值对应，所以，（，，）不是函数. （3）由题意知，对于任意的有理数x，总有唯一的元素1与之对应；对于任意的无理数x，总有唯一的元素0与之对应，.因此，根据函数的定义，可知这个对应是函数，可以表示为. 所以（1）是函数；（2）不是函数；（3）是函数. 考点2：具体函数的定义域 【例3】（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）求下列函数的定义域. （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】(1)（3）由分式中分母不为，偶次根式中被开方数不小于列出关于的方程组求解即可. （2）（4）偶次根式中被开方数不小于列出关于的方程组求解即可. 【详解】（1）由题意得，解得：且， 所以函数的定义域为. （2）由题意得，解得：， 所以函数的定义域为. （3）由题意得，解得：且， 所以函数的定义域为. （4）由题意得，解得：或 所以函数的定义域为. 【变式1】函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式有意义列式计算即可. 【详解】由题知，解得， 所以函数的定义域为． 故选：B. 【变式2】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶次根式的被开方非负得到不等式，解得即可. 【详解】对于函数，则，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D 【变式3】函数的定义域为（    ） A．{且} B．{且} C． D．{且} 【答案】D 【分析】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可. 【详解】由题意得，解得且， 即定义域为. 故选：D. 考点3：抽象函数的定义域 【例4】已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】 【分析】由的定义域为可得，由求解即可. 【详解】解：因为函数的定义域为， 即函数中， 所以； 所以函数中， 解得：， 即. 所以的定义域为. 【变式1】已知函数的定义域为，求函数的定义域. 【答案】 【分析】根据抽象函数的定义域求法即可解决 【详解】∵函数的定义域为 ∴，解之得： 故函数的定义域为： 【变式2】已知函数的定义域为，求函数的定义域. 【答案】 【分析】由可计算得出的取值范围，由此可得出函数的定义域. 【详解】对于函数，有，则. 所以，函数的定义域为. 【变式3】（1）已知y＝f(x)的定义域为[0,1]，求函数y＝f(x2+1)的定义域； （2）已知y＝f(2x﹣1)的定义域为[0,1]，求y＝f(x)的定义域； 【答案】（1）；（2）． 【分析】根据函数的定义求解，注意整体思想的应用． 【详解】（1）由题意，解得，所以的定义域是； （2）由于中，因此，所以的定义域是． 考点4：函数的值域 【例4】求下列函数的值域： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据即可求出函数的值域； （2）（3）分离常数，结合反比例函数的性质即可得解； （4）根据二次函数的性质求出被开方数的范围即可得解. 【详解】（1）由，即所求函数的值域为； （2）由， ∵，∴， 即函数的值域为； （3）由，∴函数的定义域为， ， 即，∴， 即函数的值域为； （4）由，得， ∴所求函数的值域为． 【变式1】求下列函数的值域： （1）； （2）． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用换元法将函数表示成，需要注意确定参数的取值范围，再利用基本不等式求解范围； （2）利用换元法及配方法将函数表示成，利用二次函数的性质求值域即可． 【详解】（1）解：设，则， 因为，所以， 所以． 因为，所以， 故函数的值域为． （2）解：设，则，， 所以， 显然的最大值是4， 所以函数的值域为． 【变式2】求函数的值域． 【答案】 【分析】根据分式函数的特点，因定义域为，可将其化成关于的一元二次方程恒有实根的情况，通过根的判别式即可求得函数的值域. 【详解】因为恒成立，故， 则由可得，， 当时，，适合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 综上可得，的值域为. 【变式3】求下列函数的值域. （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据一次函数的单调性及定义域，代入即可求得函数的值域； （2）将二次函数配方可得，利用二次函数图像与性质，结合定义域，即可求得值域. 【详解】（1）因为，且在为单调递增函数， 所以，， 所以的值域为； （2）因为，则函数的对称轴为且开口向上， 因为，所以当时，， 当时，， 所以函数的值域为. 考点5：相同函数的判断 【例5】（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）下列函数中，与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同一函数定义域，值域，解析式相同分别判断各个选项即可. 【详解】定义域是，值域是， 对于A：定义域是，定义域不同，A选项错误； 对于B：值域是，值域不同，B选项错误； 对于C：定义域是，定义域不同，C选项错误； 对于D：定义域是，值域是，解析式可以化成相同，D选项正确； 故选：D. 【变式1】（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）以下各组函数中，不是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于选项B，C，D中两个函数的定义域相同，对应法则相同，故均为同一函数，而对于A选项，两个函数对应法则不同，故两个函数不是同一函数. 【详解】对于A选项，两个函数的定义域相同， ，两者的函数解析式不相同，故两者不是同一函数； 对于B，，两个函数的定义域和对应法则相同， 故得到两个函数是同一函数； 对于C，两个函数的定义域相同为， 且对应法则相同，故得到两个函数是同一函数； 对于D，两个函数定义域相同，， 对应法则相同，故两个函数是同一函数. 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·贵州贵阳·期末）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出函数的定义域和对应关系，根据函数的概念判断是否为同一函数. 【详解】对于A，函数的定义域为，的定义域为 两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故B错误； 对于C，函数与函数的对应关系不同，不是同一个函数，故C错误； 对于D，与函数定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确． 故选：D. 【变式3】（24-25高一上·福建漳州·期末）下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据相同函数概念，定义域相同且对应关系相同，逐个计算分析判断即可. 【详解】对于A选项，对于，根据根式的性质，所以，其定义域为. 而，其定义域为.但是与的对应关系不同，当时，，所以A选项错误.   对于B选项，对于，其定义域为. 的定义域为.与定义域不同，所以B选项错误.   对于C选项，对于，因为，所以，，定义域为. ，定义域为.与定义域相同，对应关系也相同，所以C选项正确.   对于D选项，对于，其定义域为，且. 的定义域为.与定义域不同，所以D选项 模块三 知识检测 考点1：函数的概念 1．下列各图中，不可能表示函数y=f(x)的图象的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数定义是对应定义域中的每个x值都有唯一确定的y值与之对应． 选项B中图象，对于的x值，有两个y值与之对应，故不是函数图象； 选项ACD中图象，均满足函数定义，故是函数图象．故选：B. 2．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的概念判断即可. 【详解】根据函数的定义，在集合中任意一个数在中有且只有一个与之对应， 选项A中集合中2对应的数有两个，故错误； 选项B中集合中3没有对应的数，故错误； 选项C中对应法则为从到的函数，箭头应从指向，故错误； 选项D中集合中任意一个数在集合中都有唯一数与之对应，故D正确， 故选：D 3．有对应法则f： （1）A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→；（2）A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2； （3）A＝R，B＝{y|y＞0}，x→；（4）A＝R，B＝R，x→2x＋1； （5）A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y 其中能构成从集合A到集合B的函数的有________(填序号)． 【答案】（1）(4) 【解析】（1）由函数的定义知，正确； （2）当x＝0时，B中不存在数值与之对应，故错误； （3）当x＝0时，B中不存在数值与之对应，故错误； （4）由函数的定义知，正确； （5）因为集合A不是数集，故错误； 故答案为：（1）(4) 考点2：函数的定义域 4．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： （1）； （2）. 【答案】(1)或 (2)且 【分析】利用具体函数定义域的求法即可得解. 【详解】（1）对于， 有，解得或. 的定义域为或； （2）对于， 有，解得且. 的定义域为且. 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： （1）； （2）； （3）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合零次方底数不为0运算求解； （2）根据题意结合根式的意义分析求解； （3）根据题意结合分式的意义运算求解. 【详解】（1）要使函数有意义，需满足， 解得，所以的定义域为． （2）要使函数有意义，需满足解得． 所以函数的定义域为． （3）要使函数有意义，需满足，解得． 所以函数的定义域为． 6．（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】（1）{，或}；（2） 【分析】（1）根据的定义域列不等式求解x，即为的定义域； （2）由的定义域可得，求出的范围即为的定义域. 【详解】（1）的定义域为， 要使有意义，须使，即或， 函数的定义域为{，或}. （2）的定义域为，即其中的函数自变量的取值范围是， 令，，的定义域为， 函数的定义域为. 7．（1）已知函数的定义域是，求函数的定义域． （2）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）法一：根据复合函数成立的条件即可求出函数的定义域．法二：利用平移变换可求函数的定义域. （2）利用抽象函数的定义域求解. 【详解】（1）法一：设中，，则， 由函数的定义域是，得函数的定义域是． 即，故，，于是函数的定义域是． 法二：函数的图像可由函数的图像向右平移一个单位而得到， 故函数的定义域可由函数的定义域向右平移一个单位，得到． 即函数的定义域是． （2）由题意，，，所以的定义域为． 8．已知的定义域为 ，求的定义域. 【答案】 【分析】令，，根据二次函数的性质求出的范围，即可得的定义域. 【详解】解：令，， 由二次函数的性质可得， 所以的定义域为. 考点3：函数的值域 9．求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别将，代入函数的解析式，求得相应的函数值，即可求解； （2）化简函数为，结合反比例函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为，代入求得，所以函数的值域为. （2）由函数，因为，可得， 所以函数的值域为． 10．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可. （2）利用二次根式的意义求出值域. （3）利用二次函数的性质求出值域. （4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域. 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 11．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）判断函数的单调性，求出区间端点函数值，即可得解； （2）首先求出函数的定义域，即可求出的取值范围，从而得解； （3）利用分离常数法及反比例函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以在上单调递增， 又，， ∴函数，的值域为． （2）令，即，解得， 所以的定义域为， 又∵，∴， 故， ∴的值域为． （3）因为， 又，所以， ∴函数的值域为． 考点4：相同函数的判断 12．（24-25高一上·北京顺义·阶段练习）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同一函数的定义判断各选项即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以不为同一函数； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以不为同一函数； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以不为同一函数； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为， 且，所以为同一函数. 故选：D. 13．（24-25高一上·北京海淀·期中）下列各组函数表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否为同一函数. 【详解】对A,的值域为的值域为，不是同一函数，故错误； 对B,定义域为的定义域为，不是同一函数，故错误； 对C,定义域为的定义域为，不是同一函数，故错误； 对D,，二者的定义域、对应法则均相同，为同一函数，故正确. 故选：D 14．（24-25高一上·四川内江·期中）下列哪一组中的两个函数表示同一个函数（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据同一函数的定义逐一判断即可. 【详解】A：函数的定义域为全体实数，函数的定义域为全非零实数，故两个函数不是同一函数； B：因为，所以两个函数是同一函数； C：两个函数的对应关系不相同，所以不是同一函数， D：函数的定义域为全非零实数，故两个函数不是同一函数， 故选：B 15．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】由定义域及对于关系逐个判断即可. 【详解】对于A，易知的定义域为， ，则， 解得或，则的定义域为，定义域不同，A错误； 对于B，，对应关系不同，B错误； 对于C，，定义域相同，对应关系也相同，C正确； 对于D，的定义域为的定义域为，定义域不同，D错误． 故选：C 16．（24-25高一上·广东·期中）下列各组函数中，是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．，与， 【答案】D 【分析】分别判断函数的定义域与对应法则，即可作出判断． 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故它们的定义域不同，故不是同一函数； 对于B，与对应法则不同，故不是同一函数； 对于C，由于的定义域为，的定义域为，故它们的定义域不同，故不是同一函数； 对于D，与，定义域与对应法则均相同，故是同一函数． 故选：D 1．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数. (1)点在的图象上吗？ (2)当时，求的值； (3)当时，求的值； 【答案】(1)不在； (2)； (3)． 【分析】（1）计算后可得； （2）代入计算； （3）方程即得． 【详解】（1），所以点不在的图象上； （2）； （3），解得． 2．判断下列各组函数是否为同一个函数： （1）； （2），； （3）． 【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是 【解析】当一组函数定义域与对应关系均相同时即为同一函数,以此为依据进行判断即可 【详解】（1）因为的定义域为,而的定义域为R,所以与不是同一个函数； （2）因为与的定义域均为R,所以定义域相同, 又,所以与是同一个函数； （3）因为与的定义域均为R,所以定义域相同, 又,所以与不是同一个函数 【点睛】本题考查同一函数问题,属于基础题 3．求下列函数的值域： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分离常数法可得解； （2）换元，令，，，再由二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）， 显然，所以， 故函数的值域为： （2）设，则，且， 所以，，    结合函数的图象可得原函数的值域为. 4．设函数． (1)当时，求函数的定义域； (2)若函数的定义域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令代入即可求解； （2）对分类讨论，根据一元二次不等式的相关性质即可求解, 【详解】（1）依题意， 满足函数有意义，则：， 当时，则， 解得：，故函数的定义域为：. （2）若函数定义域为， 则对任意的，恒成立 当时，显然成立. 当时，由，解得：. 综上：实数的取值范围. 5．若的定义域为，求的定义域． 【答案】. 【分析】由题意列出不等式组解之即得. 【详解】由函数的定义域为，则要使函数有意义， 则， 解得, ∴函数的定义域为. 6．设函数的定义域是，求函数的定义域． 【答案】 【分析】根据复合函数定义域的求解方法，列出不等式组求解即可. 【详解】∵函数的定义域是， ∴要使函数有意义， 则，解得. 故函数的定义域为. 7．（21-22高一上·全国·课前预习）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域； (3)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域. 【答案】(1)[0，] (2)[3，5] (3)[2，3] 【分析】(1)由的定义域可得，求出x的取值集合即可得出的定义域；(2)由的定义域可得，求出2x+1的取值集合即可得出的定义域；(3)由的定义域可得，求出2x+1的取值集合即可得出的定义域，进而得出2x-1的取值集合，再求出x的取值集合即可； 【详解】（1）设，由于函数定义域为[1，2]， 故，即，解得， 所以函数的定义域为[0，]； （2）设，因为， 所以，即，函数的定义域为[3，5]， 由此得函数的定义域为[3，5]； （3）因为函数的定义域为[1，2]，即， 所以，所以函数的定义域为[3，5]， 由，得， 所以函数的定义域为[2，3]. 8．（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）已知，． (1)求的定义域； (2)求，的值，的值域 【答案】(1)且 (2)，，值域为 【分析】（1）要使该函数有意义，只需满足，即可求得结果； （2）直接代入求值即可，求值域时，根据解析式的范围直接求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，解得，且， 所以该函数的定义域为：且. （2）由知，， ， ， ，即的值域为. 9．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知函数的定义域为，集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)且 (2)的取值范围为或 【详解】（1）由有意义可得， 解得且， 所以函数的定义域为且， 所以且， 又，，故， 所以且. （2）由（1）或，， 当时，即时，，此时， 当时，，由可得， 或， 解得，， 所以的取值范围为或. 10．已知，. (1)求，的值； (2)求，的值； (3)求，的值域. 【答案】(1)，； (2)，； (3)的值域是，的值域是 【分析】（1）将分别代入与的解析式，求值即可； （2）由（1），将，的值分别代入与的解析式，求值即可； （3）利用二次函数的性质以及反比例函数的性质可得答案． 【详解】（1）∵，∴ ∵，∴. （2）由（1）知，. （3）∵，∴，∴的值域是. ∵，∴的值域是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$