专题2.3 有理数的乘方、有理数的混合运算（举一反三讲义）数学浙教版2024七年级上册

专题2.3 有理数的乘方、有理数的混合运算（举一反三讲义） 【浙教版2024】 【题型1 有理数幂的概念】 2 【题型2 有理数的乘方运算】 2 【题型3 有理数乘方的逆运算】 2 【题型4 乘方运算的符号规律】 3 【题型5 乘方的应用】 3 【题型6 有理数的混合运算】 4 【题型7 有理数混合运算的实际应用】 5 【题型8 程序流程图与有理数的计算】 7 【题型9 计算“24”点】 8 【题型10 乘方中的规律探究】 9 知识点1 有理数的乘方 1. 一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂． 2. 中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）． 幂 底数 指数 3. 乘方运算的结果及符号的规律 知识点2 有理数的混合运算顺序 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的． 【题型1 有理数幂的概念】 【例1】（2024·河北沧州·模拟预测）若（，都为正整数，则m的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【变式1-1】（22-23七年级上·江西宜春·阶段练习） 的底数是 指数是 表示 ． 【变式1-2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（　　） ①没有平方得的数；②是负数；③是正数；④任何一个小于1的数都大于它的平方． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（24-25七年级上·河北唐山·期末）的结果可表示为（   ） A． B． C． D． 【题型2 有理数的乘方运算】 【例2】（24-25七年级上·山东济宁·期中）比较大小： （填或）． 【变式2-1】（2025·福建泉州·二模）已知，则的值是 ． 【变式2-2】（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 【变式2-3】（24-25七年级上·广东广州·期末）利用二进制数加法运算法则计算，并把计算结果转化为十进制数是 ． 【题型3 有理数乘方的逆运算】 【例3】（2025·四川广安·模拟预测）一般地，n个相同的因数a相乘记作，如．此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”，记为，则．一般地，若（且），则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为，如，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为．则满足关系式 ． 【变式3-1】（22-23七年级上·广东东莞·期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 【变式3-2】（22-23七年级上·山东青岛·阶段练习）已知，且，则的值为（　　） A．10 B．6 C．3 D．6或者0 【变式3-3】（22-23七年级上·福建厦门·期中）若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 【题型4 乘方运算的符号规律】 【例4】（23-24七年级上·广东揭阳·期末）计算： 【变式4-1】（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-2】（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 【变式4-3】（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）当整数为 时，；若是正整数，则 ． 【题型5 乘方的应用】 【例5】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）根据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果的个数．已知她一共采集到的野果数不少于75个，则她在第2根绳子上打结的可能情况有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式5-1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的绳子的长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式5-2】（24-25七年级上·云南昆明·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，小明查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 请你根据以上材料，把转换为五进制数是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024七年级上·全国·专题练习）某软件用户等级用四个标识图展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，个星星为级，个星星等于个月亮，个月亮等于个太阳，个太阳等于个皇冠．某用户的等级标识图为两个皇冠，则该用户的等级为（   ） A． B． C． D． 【题型6 有理数的混合运算】 【例6】（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 输入 … 输出 … 那么，当输入数据是时，输出的数据是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25六年级上·山东烟台·期末）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）用一排6个黑白圆圈来表示数，如图分别表示数，则表示的数是 ． 【变式6-3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）对正整数n反复进行下列两种运算：①若n是偶数，就除以2；②若n是奇数，就乘以3加1．例如：正整数6经过一次操作后的结果是3，经过两次操作后的结果是10．若某正整数m经过4次操作后的结果是2，则正整数m的值是 ． 【题型7 有理数混合运算的实际应用】 【例7】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种待定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图是某次考试中两位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：，同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1110，111，11100，1101，转化成10进制为：14，07，28，13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813，其中第一行编码“24”和第二行编码“14”表示区域和学校，第三行编码“07”表示班级为07班，第四行编码“28”表示考场号为28，第五行编码“13”表示座位号是13；若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，则小张的准考证号为（   ） A．2410252110 B．2010272108 C．2212272408 D．2410272108 【变式7-1】（24-25七年级上·四川成都·期末）某校一幢教学楼共有5层，相邻两层之间楼梯的台阶均为18级，从1层到5层参加舞蹈社团的学生人数分别为9，7，5，5，6．若在某层楼确定活动地点，能使所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和最小，则台阶数之和最小为 级． 【变式7-2】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）2025重庆沙坪坝全球校友半程马拉松现场氛围热烈．某学校9人组成的啦啦队在站点表演三个助威节目，候场时间为从首个节目开始至参演节目开始前的时间间隔（不考虑换场等因素），各节目参与人数及表演时长（单位：）如下表所示： 节目 甲 乙 丙 人数 3 4 2 时长 6 4 2 若节目按丙乙甲的顺序表演，则9位学生的候场时间之和是（　　） A．6 B．20 C．26 D．44 【变式7-3】（24-25七年级上·重庆渝北·期末）正所谓：“人有人言，灯有灯语”．灯语（灯光通信）是船只之间通信的一种通用化语言，在国际上的使用十分广泛．利用灯光，以二进制的原理传递信息，可以帮助船员在较远的目视距离相互沟通．例如：“○”表示亮红灯．”“●”表示亮绿灯．两只远洋航行的船只用亮红灯和亮绿灯来进行交流，并在启航前作如图所示的约定： 根据约定的规则，下列说法正确的有（   ） ①“●○○○”表示字母H： ②若要表示26个英文字母，需要6盏灯； ③某船先后发出“●○○●●”、“●●●●”、“●○○●●”表示它遇到了危险，在求救． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型8 程序流程图与有理数的计算】 【例8】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）定义一种对正整数的“”运算，①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，如图所示；若，则第“”的运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．7 D．8 【变式8-1】（24-25七年级上·辽宁丹东·期中）如图是一个“数值转换机”的示意图，当，时，输出的结果是 ． 【变式8-2】（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图是小宇用计算机设计的一个有理数运算的程序框图．若输入的数为1，则输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25九年级上·重庆江北·期末）对任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数，在1937年LotharCollatz提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到1呢？这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如5经过5次变成1，则路径长．下列说法： ①无论输入的正整数n是奇数还是偶数，当路径长时，总能得到连续四次变换的结果依次是，，，； ②若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值只有4个； ③若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值中最大是512，最小是13． 其中正确的个数是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【题型9 计算“24”点】 【例9】（24-25七年级上·四川成都·期末）24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式 ． 【变式9-1】（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 【变式9-2】（23-24六年级上·山东威海·期末）有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行有理数混合运算，使其结果等于24．现有四个有理数，请仿照“二十四点”游戏规则写出一个算式 ，使其结果等于24． 【变式9-3】“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【题型10 乘方中的规律探究】 【例10】（24-25七年级上·河南商丘·期末）为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25七年级下·福建漳州·期中）我们规定一个新数“”，一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，，那么 ． 【变式10-2】（24-25七年级上·广东广州·期中）观察下图三行数： ，4，，16，，64，...；① 0，6，，18，，66，...；② ，2，，8，，32，...；③ 取每行数的第9个数，这三个数的和为 ； 【变式10-3】（22-23七年级上·湖北武汉·期中）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的五位数，则十进制是二进制下的（    ） A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 有理数的乘方、有理数的混合运算（举一反三讲义） 【浙教版2024】 【题型1 有理数幂的概念】 2 【题型2 有理数的乘方运算】 3 【题型3 有理数乘方的逆运算】 5 【题型4 乘方运算的符号规律】 7 【题型5 乘方的应用】 8 【题型6 有理数的混合运算】 10 【题型7 有理数混合运算的实际应用】 12 【题型8 程序流程图与有理数的计算】 16 【题型9 计算“24”点】 20 【题型10 乘方中的规律探究】 22 知识点1 有理数的乘方 1. 一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂． 2. 中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）． 幂 底数 指数 3. 乘方运算的结果及符号的规律 知识点2 有理数的混合运算顺序 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的． 【题型1 有理数幂的概念】 【例1】（2024·河北沧州·模拟预测）若（，都为正整数，则m的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是是理解题意，明确幂的形式．根据所给的式子的特点，结合幂的运算的相应的法则进行分析即可． 【详解】 解：（，都为正整数， 则k是可以转为以2为底数的幂的形式的数， ∴的最小值为：， ， ∴， ∴的最小值为：4 故选：B 【变式1-1】（22-23七年级上·江西宜春·阶段练习） 的底数是 指数是 表示 ． 【答案】 2 3 2的3次方的相反数/的相反数 【分析】根据乘方的定义，中，是底数，是指数，是幂． 【详解】解：根据乘方的概念，则的底数是，指数是，表示2的3次方的相反数． 故答案为；；2的3次方的相反数． 【点睛】此题考查了有理数的乘方的概念，注意和的区别，前者底数是，后者底数是，正确区分乘方运算的底数是解题的关键． 【变式1-2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（　　） ①没有平方得的数；②是负数；③是正数；④任何一个小于1的数都大于它的平方． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方，以及正负数的概念，对于①，根据一个数的平方是非负数进行判断；对于②、③，根据零的平方是零，零既不是正数也不是负数，据此分析；对于④，根据负数的平方是正数，负数小于正数，即可举例作出判断. 【详解】解：没有平方得的数，①正确； 时，，不是负数，②错误； 时，，不是正数，③错误； ，，④错误． 综上所述，正确的有1个， 故选：A． 【变式1-3】（24-25七年级上·河北唐山·期末）的结果可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用代数式表示数，有理数幂等知识，先得出m个3相加表示为，n个2相乘表示为，然后相加即可得出答案． 【详解】解：m个3相加表示为：，n个2相乘表示为， 故的结果可表示为， 故选：D． 【题型2 有理数的乘方运算】 【例2】（24-25七年级上·山东济宁·期中）比较大小： （填或）． 【答案】< 【分析】本题考查了有理数的大小比较， 1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 先计算各数，再利用有理数大小的比较方法比较即可． 【详解】解：，， ∵， ， ． 故答案为：． 【变式2-1】（2025·福建泉州·二模）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据非负性的性质得到，据此求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算，先将化为，根据幂的乘方将原式化为，再根据同底数幂的乘法的逆运算转化为，然后根据积的乘方的逆运算转化为，即可得解．掌握相应的运算法则的逆运算是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级上·广东广州·期末）利用二进制数加法运算法则计算，并把计算结果转化为十进制数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二进制数的加法运算，二进制数转化为十进制数，先根据二进制数加法运算法则求出结果，再根据二进制数转化为十进制数的运算法则计算即可求解，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴计算结果转化为十进制数是， 故答案为：． 【题型3 有理数乘方的逆运算】 【例3】（2025·四川广安·模拟预测）一般地，n个相同的因数a相乘记作，如．此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”，记为，则．一般地，若（且），则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为，如，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为．则满足关系式 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘方，计算出，，，即可解答，数熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， ，，， ， 故答案为：． 【变式3-1】（22-23七年级上·广东东莞·期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 【答案】B 【分析】先把原式变形为，从而得到，即可求解． 【详解】解： ＝1×8 ＝8 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键． 【变式3-2】（22-23七年级上·山东青岛·阶段练习）已知，且，则的值为（　　） A．10 B．6 C．3 D．6或者0 【答案】D 【分析】先求出a，b，c的值，然后分2种情况代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴或． ∵， ∴或． ∵， ∴当时，或当时，． ∵， ∴． 当，，时， 原式=． 当，，时， 原式=． 故选D． 【点睛】本题考查了乘方的意义，绝对值的意义，求代数式的值，分类讨论是解答本题的关键． 【变式3-3】（22-23七年级上·福建厦门·期中）若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方的逆运算，等式的性质等知识点，根据有理数乘方的运算法则即可得解，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题关键． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴， 故选：D． 【题型4 乘方运算的符号规律】 【例4】（23-24七年级上·广东揭阳·期末）计算： 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：0． 【变式4-1】（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方中的符号问题，判断每个数的正负号即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，，0中，只有0是非负数． 故选：A． 【变式4-2】（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查乘方的非负性．熟练乘方的非负性是解题的关键． 根据乘方的非负性，确定最大值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴的最大值为：； 故答案为：． 【变式4-3】（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）当整数为 时，；若是正整数，则 ． 【答案】 奇数 0 【分析】的奇次方为，的偶次方为；再分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当整数为奇数时，； 当整数为奇数时，则为偶数， ∴， 当整数为偶数时，则为奇数， ； 故答案为：奇数，0 【点睛】本题考查的是负1的奇次方与偶次方，熟记乘方的含义与乘方的符号确定方法是解本题的关键． 【题型5 乘方的应用】 【例5】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）根据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果的个数．已知她一共采集到的野果数不少于75个，则她在第2根绳子上打结的可能情况有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计数，根据图中的数学列式计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 因此有4，5，6三种可能的情况， 故选：C． 【变式5-1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的绳子的长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】此题主要考查了乘方的意义．根据乘方的意义和题意可知：第2次后剩下的绳子的长度为米，那么依此类推得到第六次后剩下的绳子的长度为米． 【详解】解：∵， ∴第2次后剩下的绳子的长度为米； 依此类推第六次后剩下的绳子的长度为米． 故选：C． 【变式5-2】（24-25七年级上·云南昆明·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，小明查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 请你根据以上材料，把转换为五进制数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的应用；仿照二进制与十进制之间的转换的方法进行计算即可求解． 【详解】解：方法一：∵ 所以． 方法二 所以． 故选：C． 【变式5-3】（2024七年级上·全国·专题练习）某软件用户等级用四个标识图展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，个星星为级，个星星等于个月亮，个月亮等于个太阳，个太阳等于个皇冠．某用户的等级标识图为两个皇冠，则该用户的等级为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，根据题意列出算式，然后求解即可，正确列出运算式子是解题的关键． 【详解】解：由题意得，两个皇冠的等级是， 故选：． 【题型6 有理数的混合运算】 【例6】（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 输入 … 输出 … 那么，当输入数据是时，输出的数据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据图表找出输出数字的规律：输出的数字中，分子就是输入的数，分母是输入的数字的平方加，直接将输入数据代入即可求解，解题的关键是找到规律列出相应代数式． 【详解】解：根据图表找出输出数字的规律：输出的数字中，分子就是输入的数，分母是输入的数字的平方加， 则当输入数据是时，输出的数据是， 故选：． 【变式6-1】（24-25六年级上·山东烟台·期末）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据各个选项中的式子，可以计算出正确的式子或者结果，本题得以解决． 【详解】解：A．，计算正确，选项不符合题意； B．，计算正确，选项不符合题意； C．，计算正确，选项不符合题意； D．，计算错误，选项符合题意； 故选：D． 【变式6-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）用一排6个黑白圆圈来表示数，如图分别表示数，则表示的数是 ． 【答案】25 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，黑圆圈表示0，从右到左，第一列的白圆圈表示1，第二列的白圆圈表示2，第三列的白圆圈表示，依次类推，进而列式求出表示的数即可． 【详解】解：由图可知：， 即：黑圆圈表示0，从右到左，第一列的白圆圈表示1，第二列的白圆圈表示2，第三列的白圆圈表示， ∴表示的数为：； 故答案为：25． 【变式6-3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）对正整数n反复进行下列两种运算：①若n是偶数，就除以2；②若n是奇数，就乘以3加1．例如：正整数6经过一次操作后的结果是3，经过两次操作后的结果是10．若某正整数m经过4次操作后的结果是2，则正整数m的值是 ． 【答案】32或5/5或32 【分析】本题考查了有理数的混合运算，从最后一步向前进行计算：因为计算的结果应是奇数或偶数，所以分数不符合题意；根据题中的运算，计算的结果是奇数，应是乘以3加上1得到的，结果是偶数，则是除以2得到的，根据上述的要求来进行解答即可，解题的关键是根据题中的运算要求来进行解答． 【详解】解：第4步运算前的数：；（不符合题意）． 第3步运算前的数：；（不符合题意）． 第2步运算前的数：；（不符合题意）． 第1步运算前的数：；． 故正整数的值是32或5． 故答案为：32或5． 【题型7 有理数混合运算的实际应用】 【例7】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种待定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图是某次考试中两位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：，同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1110，111，11100，1101，转化成10进制为：14，07，28，13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813，其中第一行编码“24”和第二行编码“14”表示区域和学校，第三行编码“07”表示班级为07班，第四行编码“28”表示考场号为28，第五行编码“13”表示座位号是13；若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，则小张的准考证号为（   ） A．2410252110 B．2010272108 C．2212272408 D．2410272108 【答案】D 【分析】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，理解题意，掌握有理数的混合法则是解题的关键． 根据题意，分别表示每行的二进制编码，再转换成10进制进行判定即可． 【详解】解：黑色代表1，白色代表0， ∴图2中，第一行，转换成10进制数为：， 第二行，转换成10进制数为：， 第三行，转换成10进制数为：， 第四行，转换成10进制数为：， 第五行，转换成10进制数为：， ∴小张的准考证号为， 故选：D． 【变式7-1】（24-25七年级上·四川成都·期末）某校一幢教学楼共有5层，相邻两层之间楼梯的台阶均为18级，从1层到5层参加舞蹈社团的学生人数分别为9，7，5，5，6．若在某层楼确定活动地点，能使所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和最小，则台阶数之和最小为 级． 【答案】756 【分析】本题考查了有理数加法的应用，理解题意是解题的关键．先分别求出每一层楼层的台阶的级数的和，然后比较即可． 【详解】解：如果舞蹈社团在1层活动，则所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和为（级）； 如果舞蹈社团在2层活动，则所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和为（级）； 如果舞蹈社团在3层活动，则所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和为（级）； 如果舞蹈社团在4层活动，则所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和为（级）； 如果舞蹈社团在5层活动，则所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和为（级）； ∵， ∴所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和最小为756级， 故答案为：756． 【变式7-2】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）2025重庆沙坪坝全球校友半程马拉松现场氛围热烈．某学校9人组成的啦啦队在站点表演三个助威节目，候场时间为从首个节目开始至参演节目开始前的时间间隔（不考虑换场等因素），各节目参与人数及表演时长（单位：）如下表所示： 节目 甲 乙 丙 人数 3 4 2 时长 6 4 2 若节目按丙乙甲的顺序表演，则9位学生的候场时间之和是（　　） A．6 B．20 C．26 D．44 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据节目表演顺序，计算每个节目的候场时间，再乘以对应人数求和． 【详解】解： 确定各节目候场时间： 丙作为第一个节目，候场时间为0分钟（无需等待）； 乙作为第二个节目，需等待丙表演结束，候场时间为丙的时长2分钟； 甲作为第三个节目，需等待丙和乙表演结束，候场时间为丙时长+乙时长分钟； 计算各节目候场时间之和： 丙：2人分钟； 乙：4人分钟； 甲：3人分钟； 总和； 因此，9位学生的候场时间之和为26， 故选：C． 【变式7-3】（24-25七年级上·重庆渝北·期末）正所谓：“人有人言，灯有灯语”．灯语（灯光通信）是船只之间通信的一种通用化语言，在国际上的使用十分广泛．利用灯光，以二进制的原理传递信息，可以帮助船员在较远的目视距离相互沟通．例如：“○”表示亮红灯．”“●”表示亮绿灯．两只远洋航行的船只用亮红灯和亮绿灯来进行交流，并在启航前作如图所示的约定： 根据约定的规则，下列说法正确的有（   ） ①“●○○○”表示字母H： ②若要表示26个英文字母，需要6盏灯； ③某船先后发出“●○○●●”、“●●●●”、“●○○●●”表示它遇到了危险，在求救． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据提供提供的信息，先得出●表示二进制中的1，○表示二进制中的0，然后根据二进制转化为十进制的方法，十进制转化为二进制的方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵●表示字母A，●○表示字母B， ∴●表示二进制中的1，○表示二进制中的0， ∴“●○○○”表示二进制的数为“1000”， ∴“●○○○”表示十进制中的数为： ， ∵字母表中第8个字母为H， ∴“●○○○”表示字母H，故①正确； ∵， ， ， ， ， ∴26用二进制表示为， ∴要表示26个英文字母，需要5盏灯，故②错误； “●○○●●”表示二进制数为10011， 二进制数10011表示为十进制数为： ， 第19个字母为S， ∴“●○○●●”表示字母S， “●●●●”表示二进制数为1111， 二进制数1111表示为十进制数为： ， 第15个字母为O， ∴“●●●●”表示字母O； ∴某船先后发出“●○○●●”、“●●●●”、“●○○●●”表示“”， ∵“”表示求救信号， ∴某船先后发出“●○○●●”、“●●●●”、“●○○●●”表示它遇到了危险，在求救，故③正确； 综上分析可知：正确的有2个， 故选：C． 【题型8 程序流程图与有理数的计算】 【例8】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）定义一种对正整数的“”运算，①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，如图所示；若，则第“”的运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．7 D．8 【答案】A 【分析】据提供的“”运算，对正整数n分情况(奇数、偶数)循环计算，由于为奇数应先进行运算，再按照新定义进行计算即可求解．本题主要考查了新定义运算，有理数的混合运算．熟练掌握“”运算法则，找到结果存在的规律，根据有理数的混合运算求出答案，是解题的关键． 【详解】解：：， ：，，即， ：， ：，即，计算结果为1， 故选：A． 【变式8-1】（24-25七年级上·辽宁丹东·期中）如图是一个“数值转换机”的示意图，当，时，输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值的问题，按照数值转换机的计算顺序列出代数式，再把，代入计算即可求解． 【详解】解：由示意图可得输出的代数式为：， 当，时， ， 故答案为：． 【变式8-2】（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图是小宇用计算机设计的一个有理数运算的程序框图．若输入的数为1，则输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图与代数式求值、有理数的乘方，理解程序框图的计算过程是解题的关键．由程序框图得，输入数后的计算过程为，再判断结果是否小于，是则输出结果，否则再重复一次计算过程，据此即可解答． 【详解】解：由程序框图得，输入数后的计算过程为，再判断结果是否小于，是则输出结果，否则再重复一次计算过程． 若输入的数为1，则计算结果为， ， 需要再重复一次计算过程， 若输入的数为，则计算结果为， ， 输出的结果为． 故选：C． 【变式8-3】（24-25九年级上·重庆江北·期末）对任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数，在1937年LotharCollatz提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到1呢？这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如5经过5次变成1，则路径长．下列说法： ①无论输入的正整数n是奇数还是偶数，当路径长时，总能得到连续四次变换的结果依次是，，，； ②若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值只有4个； ③若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值中最大是512，最小是13． 其中正确的个数是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的运算，归纳推理的应用，利用变换规则，逆向推理计算求出所有可能的取值，再判断结果即可． 【详解】解：∵对任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数， ∴由新自然数求原来的数计算方法为：新自然数乘以，或新自然数减去1的差再除以3（取整数）， 若输入正整数n，则最后一次计算过程为：，上一步结果为； 倒数第二次计算过程为：，上一步结果为； 倒数第三次计算过程为：，上一步结果为； 倒数第四次计算过程为：，上一步结果为； 倒数第五次计算过程为：，或，上一步结果为或； 倒数第六计算过程为：，或，上一步结果为或； 倒数第七次计算过程为：，或，或，或，上一步结果为或或或； 倒数第八次计算过程为：，或，或，或，上一步结果为或或或； 倒数第九次计算过程为：，或，或，或，或，或，上一步结果为或或或或或； ∴①无论输入的正整数n是奇数还是偶数，当路径长时，总能得到连续四次变换的结果依次是，，，，说法正确； ②若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值为或或或，只有4个，说法正确； ③若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值为或或或或或，其中最大是512，最小是12，说法错误； ∴正确的个数是2个， 故选：B． 【题型9 计算“24”点】 【例9】（24-25七年级上·四川成都·期末）24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．根据有理数的混合运算可进行求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式9-1】（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 【答案】或或（答案不唯一，任选一个） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则列式即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． 【变式9-2】（23-24六年级上·山东威海·期末）有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行有理数混合运算，使其结果等于24．现有四个有理数，请仿照“二十四点”游戏规则写出一个算式 ，使其结果等于24． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，利用混合运算的特点构建是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个算式为：， 故答案为： 【变式9-3】“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2， ∵， ∴①符合题意； ②这四个数分别为-4、-6、6、2， ∵， ∴②符合题意； ③这四个数分别为-4、-3、12、2， ∵， ∴③符合题意； ④这四个数分别为-4、-3、6、1， ∵， ∴④符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【题型10 乘方中的规律探究】 【例10】（24-25七年级上·河南商丘·期末）为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是理解清楚题中的解答方式并运用．根据题意设，则，相减即可得出答案． 【详解】解：设， 则， 因此， 所以． 故选：D． 【变式10-1】（24-25七年级下·福建漳州·期中）我们规定一个新数“”，一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，利用新定义的规定，从第一个数开始，每4个数的和为0，则，再利用幂的乘方与积的乘方法则运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式10-2】（24-25七年级上·广东广州·期中）观察下图三行数： ，4，，16，，64，...；① 0，6，，18，，66，...；② ，2，，8，，32，...；③ 取每行数的第9个数，这三个数的和为 ； 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类，根据题目中的数据，可以发现第一行数字的变化特点，从而可以写出第n个数的式子，同理可以发现第二行的数字就是第一行对应的数字加上2，第三行数字的特点就是第一行对应的数字除以2，然后即可得到每行的第9个数字，再作和即可解答本题． 【详解】解：由题目中的数据可得， 第一行数据的第n个数是， 第二行数据的第n个数是， 第三行数据的第n个数是， 故第一行的第9个数是，第二行数据的第9个数是，第三行数据的第9个数是， ， 故答案为：． 【变式10-3】（22-23七年级上·湖北武汉·期中）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的五位数，则十进制是二进制下的（    ） A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 【答案】B 【分析】根据题意，，，根据规律可知最高位应是，故可求共有位数． 【详解】解：∵，， ∴最高位应是， 故共有位数． 故选B 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，此题只需分析是几位数，所以只需估计最高位是乘以2的几次方即可分析出共有几位数，此题也可以用除以2取余的方法写出对应的二进制的数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$