专题03 函数（重庆专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题03 函数（解析版） 考点1 一次函数和反比例函数 1．（2023·重庆·中考A）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2023年重庆市中考数学真题（A卷） 【分析】根据题意将各项的坐标代入反比例函数即可解答． 【详解】解：将代入反比例函数得到，故项不符合题意； 项将代入反比例函数得到，故项不符合题意； 项将代入反比例函数得到，故项符合题意； 项将代入反比例函数得到，故项不符合题意； 故选． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数图象上则其坐标一定满足函数解析式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 2．（2023·重庆·中考B）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】2023年重庆市中考数学真题（B卷） 【分析】根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于k即可判断该点在函数图象上，据此求解. 【详解】解：∵， ∴点在反比例函数的图象上， 故选：D. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知点的横纵坐标满足函数解析式是解题关键. 3．（2024·重庆·中考A）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【来源】2024年重庆市中考真题（A卷）数学试题 【分析】本题考查了待定系数法求反比例解析式，把代入求解即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故选C． 4．（2025·重庆·中考）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】2025年重庆市中考数学试题 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键，根据反比例函数图象上点坐标特点进行判断即可． 【详解】解：反比例函数的， 点所在的反比例函数的， 反比例函数的图象一定经过的点是， 故选：D． 5．（2021·重庆·中考B）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，的面积为1，则k的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【来源】重庆市2021年中考数学真题（B卷） 【分析】设D点坐标为，表示出E、F、B点坐标，求出的面积，列方程即可求解． 【详解】解：设D点坐标为， ∵四边形ABCD是矩形，则A点坐标为，C点纵坐标为， ∵点E为AC的中点，则E点纵坐标为， ∵点E在反比例函数图象上，代入解析式得，解得，， ∴E点坐标为， 同理可得C点坐标为， ∵点F在反比例函数图象上，同理可得F点坐标为， ∵点E为AC的中点，的面积为1， ∴，即，可得，， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质和矩形的性质，解题关键是设出点的坐标，依据面积列出方程． 6．（2021·重庆·中考A）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥X轴，AO⊥AD，AO=AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE．反比例函数的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若，则k的值为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【来源】重庆市2021年中考数学真题（A卷） 【分析】延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足分别为H，则可得△DEA≌△AGO，从而可得DE=AG，AE=OG，若设CE=a，则DE=AG=4a，AD=DC=DE+CE=5a，由勾股定理得AE=OG=3a，故可得点E、A的坐标，由AB与x轴平行，从而也可得点F的坐标，根据 ，即可求得a的值，从而可求得k的值． 【详解】如图，延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足分别为H ∵四边形ABCD是菱形 ∴CD=AD=AB，CD∥AB ∵AB∥x轴，AE⊥CD ∴EG⊥x轴，∠D+∠DAE=90゜ ∵OA⊥AD ∴∠DAE+∠GAO=90゜ ∴∠GAO=∠D ∵OA=OD ∴△DEA≌△AGO(AAS) ∴DE=AG，AE=OG 设CE=a，则DE=AG=4CE=4a，AD=AB=DC=DE+CE=5a 在Rt△AED中，由勾股定理得：AE=3a ∴OG=AE=3a，GE=AG+AE=7a ∴A（3a,4a），E(3a,7a) ∵AB∥x轴，AG⊥x轴，FH⊥x轴 ∴四边形AGHF是矩形 ∴FH=AG=3a，AF=GH ∵E点在双曲线上 ∴ 即 ∵F点在双曲线上，且F点的纵坐标为4a ∴ 即 ∴ ∵ ∴ 解得： ∴ 故选：A． 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质等知识，关键是作辅助线及证明△DEA≌△AGO，从而求得E、A、F三点的坐标． 7．（2022·重庆·中考A）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集； (3)若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积． 【答案】(1)，图见解析 (2)或 (3)12 【来源】2022年重庆市中考数学真题（A卷） 【分析】（1）把，分别代入得到m，n的值，得到点A和点B的坐标，利用待定系数法求出一次函数的表达式，并画出图象即可； （2）由函数图象可知，当 或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，即可得到答案； （3）根据点是点关于轴的对称点，求出点C的坐标，得到BC的长，进一步求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：把，分别代入得， ，， 解得m＝4，n＝﹣2， ∴ 点A（1，4），点B（﹣2，﹣2）， 把点A（1，4），点B（﹣2，﹣2）代入一次函数得， ， 解得， ∴一次函数的表达式是y＝2x＋2， 这个一次函数的图象如图， （2）解：由函数图象可知，当 或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵点是点关于轴的对称点，点B的坐标是（﹣2，﹣2）， ∴点C的坐标是（2，﹣2）， ∴BC＝2－（﹣2）＝4， ∴． 【点睛】此题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、三角形的面积，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键． 8．（2022·重庆·中考B）反比例函数的图象如图所示，一次函数（）的图象与的图象交于，两点，    (1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中面出该函数的图象； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)一次函数的图象与x轴交于点C，连接，求的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为；函数图象见解析； (2)或 (3)2 【来源】2022年重庆市中考数学真题（B卷） 【分析】（1）把，分别代入求出m，n的值，再运用待系数法求出a，b的值即可； （2）根据交点坐标，结合函数图象即可解答； （3）先求出点C的坐标，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）∵一次函数（）的图象与的图象交于，两点， ∴把，分别代入，得， ， 解得，， ∴，， 把，代入，得： ， 解得， ∴一次函数的表达式为； 画出函数图象如下图：    （2）∵直线与反比例函数交于点A（1，4），B（-2，-2） ∴当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为或； （3）如图，    对于，当时，， 解得，， ∴点C的坐标为（-1，0） ∵A（1，4） ∴ 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系． 9．（2021·重庆·中考B）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． … 0 1 2 3 4 5 … … 6 5 4 2 1 7 … （1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：________，_________，__________； （2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：__________； （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）；3；4；（2）作图见解析；当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；（3）或 【来源】重庆市2021年中考数学真题（B卷） 【分析】（1）将表格中的已知数据任意选择一组代入到解析式中，即可求出m，然后得到完整解析式，再根据表格代入求解其余参数即可； （2）根据作函数图象的基本步骤，在网格中准确作图，然后根据图象写出一条性质即可；（3）结合函数图象与不等式之间的联系，用函数的思想求解即可． 【详解】（1）由表格可知，点在该函数图象上， ∴将点代入函数解析式可得：， 解得：， ∴原函数的解析式为：； 当时，； 当时，； 故答案为：；3；4； （2）通过列表-描点-连线的方法作图，如图所示； 根据图像可知：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； 故答案为：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； （3）要求不等式的解集， 实际上求出函数的图象位于函数图象上方的自变量的范围， ∴由图象可知，当或时，满图条件， 故答案为：或． 【点睛】本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题关键． 10．（2021·重庆·中考A）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． （1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象； x … －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 … … － － － 0 4 0 … （2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质； （3）已知函数的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1）从左到右，依次为：，图见解析；（2）该函数图象是轴对称图象，对称轴是y轴；（3） 【来源】重庆市2021年中考数学真题（A卷） 【分析】（1）直接代入求解即可； （2）根据函数图象，写出函数的性质即可； （3）根据图象交点写出解集即可． 【详解】解：（1）表格中的数据，从左到右，依次为：． 函数图象如图所示． ； （2）①该函数图象是轴对称图象，对称轴是y轴； ②该函数在自变量的取值范围内，有最大值，当，函数取得最大值4； ③当是，y随x的增大而增大；当是，y随x的增大而减小；（以上三条性质写出一条即可） （3）当时，，； 当时，，； 所以是的一个解； 由图象可知和是的另外两个解； ∴的解集为． 【点睛】本题考查函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键． 考点2 二次函数压轴题 11．（2021·重庆·中考B）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求面积的最大值； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线AD平移个单位，得到新的抛物线，点E为点P的对应点，点F为的对称轴上任意一点，在上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）8；（3）或或，过程见解析 【来源】重庆市2021年中考数学真题（B卷） 【分析】（1）将，的坐标代入函数式利用待定系数法求解即可； （2）先得出抛物线的对称轴，作PE∥y轴交直线AD于E，设P（m，m2-3m-4），用m表示出△APD的面积即可求出最大面积； （3）通过平移距离为，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，根据平移变化得出平移后的抛物线关系式和E的坐标，分DE为对角线、EG为对角线、EF为对角线三种情况进行讨论即可． 【详解】解：（1）将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-4得 ，解得：， ∴该抛物线的解析式为y=x2-3x-4， （2）把x=0代入y=x2-3x-4中得：y=-4， ∴C（0，-4）， 抛物线y=x2-3x-4的对称轴l为 ∵点D与点C关于直线l对称， ∴D（3，-4）， ∵A（-1，0）， 设直线AD的解析式为y=kx+b； ∴，解得：， ∴直线AD的函数关系式为：y=-x-1， 设P（m，m2-3m-4）， 作PE∥y轴交直线AD于E， ∴E（m，-m-1）， ∴PE=-m-1-（m2-3m-4）=-m2+2m+3， ∴， ∴， ∴当m=1时，的面积最大，最大值为：8 （3）∵直线AD的函数关系式为：y=-x-1， ∴直线AD与x轴正方向夹角为45°， ∴抛物线沿射线AD方向平移个单位，相当于将抛物线向右平移4个单位，再向下平移4个单位， ∵，，平移后的坐标分别为（3，-4），（8，-4）， 设平移后的抛物线的解析式为 则，解得：， ∴平移后y1=x2-11x+20， ∴抛物线y1的对称轴为：， ∵P（1，-6）， ∴E（5，-10）， ∵以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况： 设G（n，n2-11n+20），F（，y）， ①当DE为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴，∴ ∴ ②当EF为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴，∴ ∴ ③当EG为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴，∴ ∴ ∴或或 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式和最值问题，求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质，注意分类讨论的数学思想． 12．（2025·重庆·中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)点P的坐标为，的最小值为 (3)点N的坐标为或 【来源】2025年重庆市中考数学试题 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）先求出直线的解析式，然后设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，点F的坐标为，求出长，再证明，根据对应边成比例求出的最小值，把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，即可得到，连接，则，是最小值，利用勾股定理计算解题； （3）根据平移得到抛物线的解析式，然后过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，即可得到，设点N的坐标为，根据列等式求出a的值即可解题． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴； （2）解：令，则， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴， 设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H， 则点F的坐标为， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为，这时点P的坐标为， 把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接， 则四边形是平行四边形， ∴， 即， 由A，B关于对称性可得点A的坐标为， 连接，则的最小值为长， 即， 即的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线，即， 过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接， 设点N的坐标为， 由平移得， ∴， 如图所示，∵， 即，解得（舍去）或， 这时点N的坐标为；      如图所示，则∵， 即，解得或（舍去）， 这时点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，主要考查待定系数法，二次函数的线段问题，轴对称的最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 13．（2024·重庆·中考A）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)的最小值为； (3)符合条件的点的坐标为或． 【来源】2024年重庆市中考真题（A卷）数学试题 【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； （3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴，，， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∴新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 作关于直线的对称线得交抛物线于点， ∴， 设交轴于点， 由旋转的性质得到， 过点作轴，作轴于点，作于点， 当时，， 解得， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 14．（2023·重庆·中考B）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．    (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来． 【答案】(1) (2)取得最大值为， (3)点的坐标为或或． 【来源】2023年重庆市中考数学真题（B卷） 【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解； （2）直线的解析式为，过点作轴于点，交于点，设，则，则，进而根据二次函数的性质即可求解； （3）根据平移的性质得出，对称轴为直线，点向右平移5个单位得到，，勾股定理分别表示出，进而分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点，．代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为：， （2）∵与轴交于点，， 当时， 解得：， ∴, ∵． 设直线的解析式为， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作轴于点，交于点，    设，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为，， ∴； （3）∵抛物线 将该抛物线向右平移个单位，得到，对称轴为直线， 点向右平移5个单位得到 ∵平移后的抛物线与轴交于点，令，则， ∴, ∴ ∵为平移后的抛物线的对称轴上任意一点． 则点的横坐标为， 设， ∴，， 当时，， 解得：或， 当时，， 解得： 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 15．（2023·重庆·中考A）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于点，B两点，交y轴于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)周长的最大值，此时点 (3)以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时或或 【来源】2023年重庆市中考数学真题（A卷） 【分析】（1）把、代入计算即可； （2）延长交轴于，可得，进而得到，，求出的最大值即可； （3）先求出平移后的解析式，再设出M，N的坐标，最后根据菱形的性质和判定计算即可． 【详解】（1）把、代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）延长交轴于，    ∵过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时周长的最大 ∵抛物线的表达式为， ∴， ∴直线解析式为， 设，则 ∴， ∴当时最大，此时 ∵周长为， ∴周长的最大值为，此时， 即周长的最大值，此时点； （3）∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度， ∴平移后的解析式为，此抛物线对称轴为直线， ∴设， ∵， ∴，，， 当为对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形 ∴与互相平分，且 ∴，解得 ∵中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， 此时； 当为边长且和是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形 ∴与互相平分，且 ∴，解得 ∵中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， 此时或； 同理，当为边长且和是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形 ∴和互相平分，且 ，此方程无解； 综上所述，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时或或； 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，相似三角形的性质与判定，菱形的性质及应用，中点坐标公式等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度． 16．（2022·重庆·中考B）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点与点P关于抛物线的对称轴对称．将抛物线向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来． 【答案】(1) (2)最大值为：， (3)、、 【来源】2022年重庆市中考数学真题（B卷） 【分析】（1）将、代入抛物线，即可求出抛物线的解析式； （2）根据得到，推出，即可得到，则，求出直线的解析式为：，设，则，，求出，即可求解； （3）先求出平移后新抛物线解析式：，，，设，，再利用平行四边形中心对称性分情况列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：将、代入抛物线可得：，解得， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：∵、， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 将、代入可得：，解得， ∴直线的解析式为：， 设，则，， ∴ ∵，， ∴当时，存在最大值，最大值为：，此时； （3）解：∵对称轴为：， ∴， ∵直线：， ∴抛物线向右平移个单位， ∴， ，，设，， ①以、为对角线时，，解得 ∴； ②以、为对角线时，，解得 ∴； ③以、为对角线时，，解得 ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式、一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是能够熟练应用待定系数法求得二次函数和一次函数解析式． 17．（2022·重庆·中考A）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线下方拋物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)；； 【来源】2022年重庆市中考数学真题（A卷） 【分析】（1）将点A，B的坐标代入抛物线中求出b，c即可； （2）设交于，可得，求出直线AB的解析式，设，则，，表示出，然后根据二次函数的性质求出最值即可； （3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设，，分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可． 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：； （2）如图，设交于， ∵，， ∴OA＝OB＝4， ∴， ∵PC∥OB，PD∥OA， ∴，， ∴， 设直线AB的解析式为， 则，解得：， ∴直线AB的解析式为， 设，则，， ∴， ∴当时，取得最大值，此时； （3）由题意得：平移后抛物线解析式为，， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴设，， 分情况讨论： ①当为对角线时， 则， 解得：，此时， ∴； ②当为对角线时， 则，即， 此时， ∴； ③当为对角线时， 则，即， 此时， ∴， 综上所述，点的坐标为：，，． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数解析式求最大值以及利用平行四边形的性质列方程． 18．（2021·重庆·中考A）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值； （3）把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来． 【答案】（1）；（2）t=2时，△PDE周长取得最大值，最大值为， 点P的坐标为（2，﹣4）；（3）满足条件的点M的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12），过程见解析 【来源】重庆市2021年中考数学真题（A卷） 【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可； （2）先求出直线AB的函数表达式和点C坐标，设P，其中0<t<4，则E，证明△PDE∽△AOC，根据周长之比等于相似比可得，根据二次函数求最值的方法求解即可； （3）分以下情况①若AB是平行四边形的对角线；②若AB是平行四边形的边，1）当 MN∥AB时；2）当 NM∥AB时，利用平行四边形的性质分别进行求解即可． 【详解】解（1）∵抛物线经过点A（0，﹣1），点B（4，1）， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）∵A（0，-1），B（4，1）， ∴直线AB的函数表达式为， ∴C（2，0）， 设P，其中0<t<4， ∵点E在直线上，PE∥x轴， ∴E，∠OCA=∠DEP， ∴PE=， ∵PD⊥AB， ∴∠EDP=∠COA， ∴△PDE∽△AOC， ∵AO=1，OC=2， ∴AC=， ∴△AOC的周长为3+， 令△PDE的周长为l，则， ∴， ∴当t=2时，△PDE周长取得最大值，最大值为， 此时点P的坐标为（2，﹣4）， （3）如图所示，满足条件的点M的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）． 由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为，对称轴为直线． ①若AB是平行四边形的对角线， 当MN与AB互相平分时，四边形ANBM是平行四边形， 即MN经过AB的中点C（2，0）， ∵点N的横坐标为2， ∴点M的横坐标为2， ∴点M的坐标为（2，-4）； ②若AB是平行四边形的边， 1）MN∥AB时，四边形ABNM是平行四边形， ∵A（0，-1），B（4，1），点N的横坐标为2， ∴点M的横坐标为2﹣4=﹣2， ∴点M的坐标为（﹣2，12）； 2）当 NM∥AB时，四边形ABMN是平行四边形， ∵A（0，-1），B（4，1），点N的横坐标为2， ∴点M的横坐标为2+4=6， ∴点M的坐标为（6，12）， 综上，满足条件的点M的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）． 【点睛】本题考查待定系数法求函数的表达式、相似三角形的判定与性质、求二次函数的最值、平行四边形的性质等知识，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用平行四边形的性质，结合数形结合和分类讨论的思想方法进行探究、推导和计算． 考点1 一次函数和反比例函数 1．（2025·重庆西大附中·三模）若点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】2025年重庆市西南大学附属中学中考三模数学 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把点代入反比例函数解析式计算即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故选：． 2．（2025·重庆八中·三模）如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，线段是由线段以点为位似中心放大3倍得到的，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】2025年重庆市第八中学校 九年级中考三模数学试题 【分析】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，根据位似图形的性质可得，据此可得，即点的坐标是． 【详解】解：∵线段是由线段以点为位似中心放大3倍得到的， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是， 故选A． 3．（2025·重庆南开中学·二模）氯酸钾在二氧化锰的催化作用下加热到一定的温度能产生氧气．如图，折线表示在该反应过程中，收集到氧气的质量M（克）随加热时间t（分钟）的变化情况，则下列说法错误的是（   ） A．第3分钟时未产生氧气 B．第6分钟时开始产生氧气 C．第10分钟时氧气质量达到最大9.6克 D．10分钟后，氧气质量仍在增加 【答案】D 【来源】2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模数学试题 【分析】本题考查了函数的图象，从图象中得出有效信息是解题关键； 根据图象提供的信息逐项判断即可得到答案. 【详解】解：由图象可得：第6分钟时开始产生氧气，第3分钟时未产生氧气，到第10分钟时氧气质量达到最大9.6克，10分钟后，氧气质量不再增加，仍然是9.6克， 故选项ABC的说法正确，D选项的说法错误； 故选：D. 4．（24-25九下·重庆一中·二模）如图，在平面直角坐标系，平行四边形的边在轴上，点在轴上，与交于点，反比例函数的图象经过点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年九年级下学期第二次模拟数学试题 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，平行四边形的性质，中点坐标公式等知识点，熟悉掌握中点坐标公式是解题的关键． 根据点和点的位置设，，再利用中点坐标公式运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点在上，在轴上， ∴设，， ∵四边形为平行四边形， ∴为中点， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 5．（2025·重庆育才中学·二模）反比例函数的图象分别位于（    ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【来源】2025年重庆市育才中学校九年级中考二模数学试题 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数的性质（1）当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（2）当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、四象限． 【详解】解：反比例函数中，，根据反比例函数的性质，该函数的图象位于第二、四象限． 故选：D． 6．（2025·重庆渝中·二模）正比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【来源】2025年重庆市渝中区中考二模数学试题 【分析】本题考查了正比例函数的计算，掌握待定系数法是关键． 根据题意，把点代入，运用待定系数法即可求解． 【详解】解：正比例函数的图象经过点， ∴， 解得，， 故选：C ． 7．（2025·重庆开州云枫教育集团·二模）反比例函数经过点，则k的值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【来源】2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模数学试题 【分析】本题考查了求反比例函数解析式．将点的坐标代入反比例函数表达式中计算是解题的关键． 将点的坐标代入反比例函数表达式中即可求出k的值． 【详解】解：将代入， 得到，解得：，符合题意， 故选C． 8．（2025·重庆一中·二模）当时，反比例函数的图象可能经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟考试数学试题（2） 【分析】本题考查了反比例函数的图象、点所在的象限，熟练掌握反比例函数的图象是解题关键．先判断出反比例函数的图象在第一、三象限，再根据点所在的象限逐项判断即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数的图象在第一、三象限． A、点位于第二象限，则此项不符合题意； B、点位于第四象限，则此项不符合题意； C、点位于第二象限，则此项不符合题意； D、点位于第一象限，则此项符合题意； 故选：D． 9．（2025·重庆八中·一模）若点和点在同一个反比例函数的图像上，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【来源】2025年重庆市第八中学校中考一模数学试题 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性即可求得a与b的大小关系． 【详解】解：对于反比例函数， 其图像在第一、三象限，且在每个象限中有y随x的增大而减小， 又∵点和点都在该反比例函数的图像上，且， ∴． 故选：A． 10．（24-25九下·重庆一中·一模）在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D．20 【答案】A 【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年九年级下学期第一次模拟测数学试题 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握知识点是解题的关键． 将点向下平移2个单位长度得到点，再把点代入反比例函数，利用待定系数法进行求解即可． 【详解】解：点向下平移2个单位长度得到点，则， ∵点恰好在反比例函数的图像上， ∴， 故选A． 11．（2025·重庆渝北·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当用电器可变电阻为时，其电流为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】2025年重庆市渝北区中考一模考试数学试题 【分析】设电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系为，利用待定系数求出，再将代入反比例函数关系为，即可求解． 【详解】解：设电流I与电阻R的反比例函数关系为，将点代入，得 ，解得， ∴反比例函数关系为， 当时，（A）． 故选A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出是解题的关键． 12．（2025·重庆綦江联盟校·一模）若反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆市綦江区联盟校2025年中考第一次模拟考试数学试题 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入反比例函数，即可求得的值． 【详解】解：函数的图象经过点， ， 解得， 故选：D． 13．（24-25九下·重庆实验外国语学校·一诊）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆实验外国语学校2024-2025学年九年级下学期一诊数学试题 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．将点的横坐标代入反比例函数的解析式计算，再与点的纵坐标进行比较即可得． 【详解】解：A、将代入反比例函数得：，则这个函数的图象不经过点，此项不符合题意； B、将代入反比例函数得：，则这个函数的图象一定经过点，此项符合题意； C、将代入反比例函数得：，则这个函数的图象不经过点，此项不符合题意； D、将代入反比例函数得：，则这个函数的图象不经过点，此项不符合题意； 故选：B． 14．（2025·重庆八中·三模）如图，，是函数与的图象的两个交点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，则四边形的面积为 ． 【答案】2 【来源】2025年重庆市第八中学校 九年级中考三模数学试题 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义．根据题意平行四边形的对角线将四边形分为四个小三角形即可求出面积． 【详解】解：根据正比例函数和反比例函数的对称性可知，， ∴的面积都等于， ∴四边形的面积为， 故答案为：2． 15．（2025·重庆綦江联盟校·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为 ． 【答案】 【来源】重庆市綦江区联盟校2025年中考第一次模拟考试数学试题 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，勾股定理，通过全等三角形求出点的坐标是解题的关键．过点作轴的垂线，求出点的坐标即可解决问题． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为， ∵， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴，． 在中，． 故答案为：． 考点2 二次函数压轴题 16．（2025·重庆实外·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，两点，点D为x轴负半轴上一点，且，直线与抛物线交于另一点E． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作轴交于点F，过点P作轴交y轴于点G，点M，N为x轴上的两个动点，点M在N的左侧，且，点H为直线上的一个动点，连接，．当取得最大值时，求的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿着的方向平移个单位得，点Q是新抛物线的对称轴上的一个动点，当时，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一个Q点坐标的求解过程． 【答案】(1) (2)的最小值为：． (3)的坐标为：或 【来源】2025年重庆市实验外国语学校九年级中考三模数学试题 【分析】（1）把，代入，再建立方程组求解即可； （2）如图，求解直线为：，可得，设，则，其中，，利用二次函数的性质可得，如图，过作交于，而轴，可得，作关于轴的对称点，则，，当于时，与轴交于点，可得，此时最小，再进一步求解即可； （3）求解，可得，可得将抛物线沿着的方向平移个单位得，即把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，可得平移后抛物线为，如图，，，可得，过作，交原抛物线于，而轴，证明，取，连接，证明，结合，证明，过作于，求解，取的中点，作直线，同理可得：的解析式为，在上取点，使，可得，，以为圆心，为半径画圆，则，设，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或， ∴， 设，则，其中， ∴， 当时，最大， ∴， 如图，过作交于，而轴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 作关于轴的对称点，则，， 当于时，与轴交于点， ∴，此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∴，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴把代入得：， 解得：， ∴直线为， ∴，解得：， ∴， ∴， 即：的最小值为：． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴将抛物线沿着的方向平移个单位得，即把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后抛物线为，对称轴为直线， 如图，矩形中，，，分别在上，且，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 而，， 如图，，， 由原理得：， 过作，交原抛物线于，而轴， ∴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 取，连接， ∴， ∴，而轴， ∴， ∵直线为， ∴， ∴， ∴， 过作于， 由勾股定理可得：，， ∴， ∴，， ∴， 取的中点，作直线，同理可得：的解析式为， ∴，， 在上取点，使， ∴，， 以为圆心，为半径画圆，则 ， 设， ∴， 解得：，， ∴，， 设，而， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 同理可得：， 综上：的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与线段周长问题，轴对称的性质，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 17．（2025·重庆西大附中·三模）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．点是轴上的一动点，当的面积最大时，求周长的最小值； (3)如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问条件下的点时，新抛物线与轴交于点（在左侧），与轴交于点．点为新抛物线上的一点，连接交直线于点，使得，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【来源】2025年重庆市西南大学附属中学中考三模数学 【分析】（1）抛物线与直线交于点，则，即可求解； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，根据平行设直线的解析式为，利用抛物线为，得到，将代入求得直线的解析式，设，则，如图1，过点F作交于点W，证明为等腰直角三角形，，，即可求出，，求得，作点关于轴的对称点，由两点之间线段最短得的最小值为，求出即可求解； （3）设原抛物线向右平移e个单位，利用平移的特点得到平移后的抛物线解析式为以及，①连接，作的垂直平分线交于点H，利用垂直平分线性质，等腰三角形性质，以及三角形外角定理得到，设，利用勾股定理建立等式得到点H，利用待定系数法求直线的解析式，根据点P为新抛物线上的一点，连接交直线于点H，联立平移后的抛物线解析式和直线的解析式求解，即可解题；②作H关于N的对称点，连接，求解过程与①类似． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， 如图，过点F作交于点W，设交于点， ∵直线是由直线向下平移3个单位得到的， ∴， ∵，， ∴， ∵直线的解析式为， ∴直线为一、三象限的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当时，面积的最大值为3，此时点D的坐标为； ∴， ∴， 作点关于轴的对称点，连接， ∴，， ∴的周长， ∴的周长最小值为； （3）解：设原抛物线向右平移e个单位， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线解析式过点， ∴， 解得（不符合题意的根舍去）， ∴平移后的抛物线解析式为，， ①如图2.1，连接，作的垂直平分线交于点H， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 由点D、H的坐标代入得，， 解得， 所以，直线的解析式为， ∵点Q为新抛物线上的一点， 连接交直线于点H， ∴， 解得， 当时，， ∴点Q的坐标为； ②如图2.2，作H关于N的对称点，连接交抛物线于点Q， ∵， ∴， ∴， 由对称性可知， ∴， 设， ∵， ∴， 解得：或， 则， 设直线的解析式为， 由点D、的坐标代入得，， ∴直线的解析式为， ∴， ∴解得， ∴点Q的坐标为， 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查待定系数法求解函数解析式，一次函数与反比例函数交点情况，等腰三角形的性质，对称的性质，勾股定理求两点间距离，垂直平分线性质，三角形外角定理函数平移的规律，熟练掌握相关性质是解题的关键． 18．（2025·重庆八中·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于，两点（在的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，作，垂足为点，点是轴上一动点，连接，．当周长取得最大值时，求的最大值以及点的坐标； (3)在（2）问的条件下，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个情况的求解过程． 【答案】(1) (2)， (3)①在直线上方：；②在直线下方： 【来源】2025年重庆市第八中学校 九年级中考三模数学试题 【分析】（1）令，先求出，得，由，可求出，将代入即可求解； （2）令，求得，求出直线的解析式，得，进而可得，，由轴，可推出轴，得， 进而得，得的周长， 设，则，得，从而得出有最大值时的周长最大，进而可求坐标； 作点关于轴对称点，连接，，求得，，得出当共线时，，此时有最大值 ； （3）由题意推出新抛物线是将向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到的，得， 分两种情况：①当在直线上方时，， ②当在直线下方时，，结合图像分别求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ， ， ， ， ， 将代入得， 解得， 抛物线的表达式； （2）解：令，则， 解得或， ， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， ， ， ， 轴， 轴， ， ， ， ， ， ， 的周长， 有最大值，的周长最大， 设，则， ， ， 当时，有最大值，此时的周长最大， ， ， 作点关于轴对称点，连接，， ，， ， 中，， 当共线时，， 此时有最大值 ； （3）解：由（2）知，，， ， 设直线为， 代入，， 得， ， ， 由题意可知，新抛物线是将即向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到的， ， ①当在直线上方时：如图， ， ， 设直线为， 代入， 得， ， ， ， ，（舍去）， 的横坐标为； ②当在直线下方时：如图， ， 设射线与直线交于， ， 设， ， ， ， ， 设直线为， 代入， ， 得， ， ， ， （舍去），， 的横坐标为； 综上所述，当时，符合条件的点的横坐标为或 ． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 19．（2025·重庆南开中学·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求的长； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作交x轴于点M，点N为直线上一动点，过点N作轴交PM于点Q，连接，，，．当的面积取得最大值时，求的最大值； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移，使平移后的新抛物线过点C，点D为新抛物线的对称轴与x轴的交点，点F为新抛物线对称轴上一动点，连接，．若平分，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出其中一个点F的坐标的求解过程． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【来源】2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模数学试题 【分析】（1）令，解得点A和点B即可求得； （2）过点P作轴交于点K，则，可知当取得最大值时，的面积取得最大值，利用待定系数法求得直线的解析式为，设点，则点，那么，，可知点时，的面积取得最大值，根据题意求得直线的解析式为，则有点，进一步将点P向右平移个单位得到，即四边形为平行四边形，则，作点A关于直线的对称点，则，直线的解析式为，并求得，连接交于点Q，可知，利用勾股定理求得即可； （3）根据题意得，原抛物线沿x轴负半轴平移3个单位，沿y轴正半轴平移3个单位，则，根据角平分的性质和平行线的性质得，过点C作于点H，设点，则，利用勾股定理求得m即可． 【详解】（1）解：令，解得， ∴点， 则； （2）解：过点P作轴交于点K，如图， 则， 即当取得最大值时，的面积取得最大值， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， 那么，直线的解析式为， 设点，则点， ， 则点时，的面积取得最大值为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， 则直线的解析式为， ∴点， ∴， 将点P向右平移个单位得到， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 则， 作点A关于直线的对称点，连接交于点O，交轴于点G， 则， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则点，点， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， ，解得， 则点， 那么，点， 连接交于点，如图， 则， 当Q点与点重合时，取得最大值，且最大值为线段的长； ∵， ∴的最大值； （3）解：根据题意得，原抛物线沿x轴负半轴平移3个单位，沿y轴正半轴平移3个单位，则， ∴点F的横坐标为， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 过点C作于点H，如图， 设点，则， 在中，， 则，解得， 那么，或． 【点睛】本题主要考查二次函数和特殊四边形的综合，涉及二次函数的性质、二次函数与坐标轴的交点、一次函数的性质、平移的性质、平行四边形的判定和性质、三角形三边关系、勾股定理、角平分的性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移的性质，本题难度较大． 20．（24-25九下·重庆一中·二模）直线：与抛物线分别交于轴上的点和轴上的点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为点关于轴的对称点，为直线上方抛物线上一点，将直线向下平移2个单位长度得到直线，为直线上任意一点，过点作于点；当面积取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线右移1个单位长度，上移5个单位长度可得新抛物线．与轴右交点记为点，直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点．点在原抛物线上的对应点为，已知、、、四点构成的四边形有一组对边平行，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或4 【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年九年级下学期第二次模拟数学试题 【分析】（1）先利用直线的表达式求得点、的坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的表达式； （2）作直线，并与与抛物线相切时，如图所示，当切点为点时，此时点与的距离最大，即面积取得最大值，不妨设，通过与抛物线联立，判别式为0，可求得，接着利用勾股定理算出和之间的距离，将点沿平行方向移动的长度，得到点，连接，，四边形为平行四边形，可证当、、共线时，取得最小值，即取得最小值，此时取得最小值；接着通过平移规律求得，最后利用两点距离公式求得，最后求得答案； （3）先写出新抛物线表达式，表示出，，，，接着分成或者或讨论，分别表示出，，，的表达式，通过斜率相等即可得出答案． 【详解】（1）解：对于直线：，当时，；当时，， ，， 直线：与抛物线分别交于轴上的点和轴上的点， ， 解得，， 抛物线的表达式为． （2）解：为直线上方抛物线上一点， 作直线，并与与抛物线相切时，如图所示，当切点为点时，此时点与的距离最大，即面积取得最大值， 不妨设：， 则，即有两个相等的实数根， ， 解得， ：， ，解得，， 即当时，面积取得最大值； 由（1）可知，，， ， 为等腰直角三角形， ， 将直线：向下平移2个单位长度得到直线， ：， 设直线与轴交于点，过点作于点，如上图所示， 则为等腰直角三角形， 对于直线：，当时，，即， ， ， ， 直线和直线的距离为， 为直线上任意一点，过点作于点， ； 将点沿平行方向移动的长度，得到点，连接，，如上图所示， 则，， 四边形为平行四边形， ， ， 当、、共线时，取得最小值，即取得最小值， 为定值， 此时取得最小值； 作轴于点，如上图所示， 则为等腰直角三角形， ， ， 即点向右平移1个单位，向下平移1个单位可得到点， ，，，， 点向右平移1个单位，向下平移1个单位可得到点， ， ， 点为点关于轴的对称点，， 当、、共线时， 此时， 当面积取得最大值时，最小值为． （3）解：抛物线右移1个单位长度，上移5个单位长度可得新抛物线， ， 时，， 与轴右交点记为点， ， 直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点， ，， 点在原抛物线上的对应点为， ，即， 、、、四点构成的四边形有一组对边平行， 有可能或者或， 当时， 不妨设直线为，代入，， ， ， 不妨设直线为，代入，， ， ， ， ， ， 或， ， ； 同理可得，当时，，符合题意； 当时，如图： 则， ∴， ∴， 综上，可得或4． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积问题，二次函数与线段最短问题，两点距离公式，两点之间线段最短，二次函数的平移问题，熟练掌握以上知识点并数形结合是解题的关键． 21．（2025·重庆育才中学·二模）如图，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． (1)求该抛物线解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作于D，点E为y轴上一动点，连接，当有最大值时，求的最小值； (3)如图2，在上取一点Q，连接，使，将抛物线沿射线方向平移2个单位得到新抛物线，点M为新抛物线上对称轴右侧的一动点，过M作交直线于点N，连接，当时，直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【来源】2025年重庆市育才中学校九年级中考二模数学试题 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴于H，交于Q，求出点C坐标得到直线解析式为；证明是等腰直角三角形，得到，则可证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则，，由此可得到，则的最大值即为的最大值，故当点P为抛物线的顶点时，有最大值，即此时有最大值；作，过点E作，则，可推出当P、E、G三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；如图所示，过点G作于T，设直线交于R，设，可求出直线解析式为，则，可得，证明，则，据此可得答案； （3）如图3-1所示，过点O作于L，过点Q作轴于K，可求出，则解直角三角形得到，据此求出；证明是等腰直角三角形，得到，则，解直角三角形得到，则，利用勾股定理得到，则，据此可得将抛物线向右平移2个单位，向上平移6个单位得到新抛物线，则新抛物线的解析式为；在分点N在x轴上方和在x轴下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入到中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点P作轴于H，交于Q， 在中，当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∴的最大值即为的最大值， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当点P为抛物线的顶点时，有最大值，即此时有最大值， ∴此时点P的坐标为； 如图所示，作，过点E作， ∴， ∴， ∴当P、E、G三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； 如图所示，过点G作于T，设直线交于R，设，则， 在，， ∴， ∴， ∴点G在直线上，即直线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当有最大值时，的最小值为； （3）解：如图3-1所示，过点O作于L，过点Q作轴于K， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴将抛物线沿射线方向平移2个单位得到新抛物线，相当于将抛物线向右平移2个单位，向上平移6个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为； 如图3-2所示，当点N在x轴上方时，设点S为射线上一点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 同理可得直线解析式为， ∴可设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴此时点M的坐标为； 如图3-3所示，当点N在x轴下方时，取点，过点W作轴于Z，过点Q作轴于U，设直线交x轴于S， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， ∴同理可得直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴此时点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于证明，解（3）的关键在于求出移到后的抛物线解析式，并分类讨论． 22．（2025·重庆巴蜀中学·二模）如图1，抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，已知，连接，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是位于直线上方抛物线上一点，过点P做轴交于点E，连接，点F是直线上一动点，当时，求出此时点P的坐标周长的最小值； (3)如图3，抛物线关于原点对称后得新抛物线y，新抛物线交x轴于点，交y轴于点，点Q是新抛物线y上位于x轴下方的一点，满足，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一种情况的推理过程． 【答案】(1) (2)；周长的最小值为 (3)或或，推理过程见解析 【来源】重庆巴蜀中学2025年中考二模数学试卷 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，四点共圆，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，画出正确的辅助线是解题的关键． （1）根据求得点，利用待定系数法即可解答； （2）利用相似三角形的判定和性质求得点的坐标，再根据将军饮马原理可得周长的最小值； （3）求得新抛物线解析式，利用定弦定角原理作圆，则可得圆与新抛物线在轴下方的点都符合题意，利用相似三角形的判定和性质逐一解答即可． 【详解】（1）解：， ， 把代入解析式可得， ， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：如图，作，交于点，过点作，交于点， 当时，， 解得， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 所以直线的解析式为， 轴， ， 轴，， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在直线上， ， 解得， ； 如图，作点关于的对称点，连接，连接，延长交轴于点， ，轴， ， 点关于的对称点， ， ， ， 周长等于，当三点共线时，最短，即的长， 周长的最小值为， ， ， ， 即周长的最小值为； （3）解：抛物线关于原点对称后得新抛物线y，新抛物线交x轴于点， ， 设新抛物线的解析式为， 把代入可得，解得， 新抛物线的解析式为， ， ，, ， 当点和点重合时，符合题意，此时； 如图，过点作交于点，以点为圆心长度为半径作圆，交新抛物线轴下方部分于点，此时，符合题意， 当点在轴左边时，过点作，交于点，过点作交的延长线于点， 为直径， ， , ， ，， ， ， 设，则，，，， 故可得方程， 整理得， ， 解得（正值舍去）， 经检验，是原方程的解， ， 当点在轴右边时，过点作，交于点，过点作交的延长线于点， 同理可得， ， 设，则，，，， 故可得方程， 解得（负值舍去）， 经检验，是原方程的解， ， 综上所示，的坐标为或或． 23．（2025·重庆渝中·二模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在线段上，点与点关于对称轴对称，过点作轴交抛物线于点，直线交轴于点．若四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)若点是对称轴上一动点，当最大时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)四边形是平行四边形求点的坐标为或 (3) 【来源】2025年重庆市渝中区中考二模数学试题 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）设，则，，则，直线的解析式为，则，根据四边形是平行四边形，得，即，由此即可求解； （3）根据题意，设，如图所示，取的外接圆圆心，连接并延伸，交于点，交抛物线对称轴直线榆点，连接，当于抛物线对称轴相切时的最最大，则，设，且，，，点是三角形的内心，则，由此列式得，求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点对称轴， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为； （2）解：抛物线解析式为，令，则， 解得，， ∴， 令，则， ∴， 当时，，即顶点坐标为， ∵点在线段上，点与点关于对称轴对称， ∴设，则，， ∴， 这直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 整理得，， ∴， 解得，，，， ∵，，， ∴或， ∴当时，，即； 当时，，即； ∴四边形是平行四边形求点的坐标为或； （3）解：点是对称轴上一动点， ∴设， 如图所示，取的外接圆圆心，连接并延伸，交于点，交抛物线对称轴直线榆点，连接， ∴， ∴当于抛物线对称轴相切时的最最大，则， 设，且， ∴，， ∵点是三角形的内心， ∴， ∴， 由得，，则， 由得，， 整理①②得，， ∴， 解得，，， ∵（不符合题意，舍去），， ∴，则， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数与特殊四边形的计算，两点直线的距离公式，三角形外接圆的基础知识的综合运用，数形结合分析是关键． 24．（2025·重庆开州云枫教育集团·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点和点，交轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一点，轴交于，当最大时，在直线上运动，且，点，求的最小值； (3)将抛物线沿射线平移个单位，在平移后的抛物线上，是否存在点，使得，若存在，直接写出的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，， 【来源】2025年重庆市开州区云枫教育集团中考二模数学试题 【分析】本题为二次函数综合题，考查了解直角三角形，图像的平移，线段和的最值问题，分类求解是解题的关键． （1）将点和点代入，解方程组即可； （2）将点沿平行于的方向平移个单位，得，连接，当，，三点共线时，，即可求解； （3）当点在的右侧时，构造等腰中，求出直线为，进而联立抛物线与直线解析式，即可求解；当点在的左侧时，同理可得． 【详解】（1）解：将点和点代入， 得到：， 解得：， 所以抛物线的解析式为：． （2）设直线的解析式为，将，，代入， 得到，解得 直线的解析式为， 设， 轴交于 则， ， 其中，函数图像开口向下，对称轴为， 当时，， ， 将点沿平行于的方向平移个单位，因为直线斜率为1，所以相当于将点向右平移2个单位，向上平移2个单位，得，连接，如图： 当，，三点共线时， ∴． （3）解：存在，理由： 将抛物线沿射线平移个单位，相当于抛物线向左平移1个单位，向下平移1个单位， 则新抛物线的表达式为：， 当点在右侧时， 设将绕点逆时针旋转得，作射线交于， ∵，， ∴， ∵，， ∴由旋转可得：点， ∴由点，的坐标得直线的表达式为：， 联立直线和新抛物线得， 解得：（负值已舍去），即点， 当点在的左侧时， 同理可得：点，直线的表达式为：， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ． 综上所述：存在点，使得，它的坐标为或． 25．（2025·重庆一中·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D，点M、N分别在上运动，当取得最大值时，求的最小值． (3)将该抛物线沿射线方向平移，且平移后的新抛物线经过点C，点Q为新抛物线对称轴上的一动点，当时，直接写出满足条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【来源】重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟考试数学试题（2） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，则可求出直线解析式为；设，则，可得，则当时，有最大值，即此时点P的坐标为，点D的坐标为，点E的坐标为；取，连接，过点N作于H，解直角三角形可得，则当P、M、H三点共线，且时，有最小值，最小值为的长，据此利用等面积法求解即可； （3）根据题意得将该抛物线沿射线方向平移时，每向左移动个单位长度，则向下平移个单位长度，设原抛物线向左移动个单位长度后得到新抛物线，则平移后的抛物线解析式为，利用待定系数法求出平移后的解析式，则可得到平移后的抛物线对称轴为直线；取，可证明是直角三角形，且，解直角三角形可证明，则，可得点Q在以为直径的圆上，设的中点为T，，则，，据此建立方程求解即可；同理当构造的直角中，点P在下方时，以为直径的圆与直线不存在交点，即此时不存在点Q． 【详解】（1）解：把，代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解；在中，当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 设，则， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值，即此时点P的坐标为，点D的坐标为，点E的坐标为； 如图所示，取，连接，过点N作于H， ∵，轴， ∴P、E、F三点共线， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴当P、M、H三点共线，且时，有最小值，最小值为的长， 此时有， ∴， ∴的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴将该抛物线沿射线方向平移时，每向左移动个单位长度，则向下平移个单位长度， 设原抛物线向左移动个单位长度后得到新抛物线， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过点C， ∴， 解得或（舍去）， ∴平移后的抛物线解析式为； ∴平移后的抛物线对称轴为直线； 如图所示，取，则，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴B、Q、C、P四点共圆， ∴点Q在以为直径的圆上， 设的中点为T，，则，， ∴， 解得， ∴点Q的坐标为或； 同理当构造的直角三角形中，点P在下方时，以为直径的圆与直线不存在交点，即此时不存在点Q； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，圆的相关性质，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理及其逆定理，解（2）的关键在于设出点P坐标，进而表示出，利用二次函数的性质求出最大时点P的坐标，再通过构造直角三角形转换；解（3）的关键在于构造直角三角形． 26．（2025·重庆八中·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，其中点，． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，交于点．点，连接，点为直线上的动点，且满足．当周长最大时，求此时点的坐标以及的最小值； (3)在（2）问条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】(1) (2)点的最小值为 (3)横坐标或 【来源】2025年重庆市第八中学校中考一模数学试题 【分析】（1）根据二次函数与坐标轴的交点的计算得到，根据正切值，得到，，运用交点式设二次函数为，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到直线的解析式为，根据题意得到，设，，则，由，最大时，的周长最大，设，根据二次函数最值的计算得到点的坐标，由此得到轴，过点作关于的对称点，连接，将水平向右移动一个单位得到，则点与点重合，当三点共线时，最小，即的值最小，“造桥模型”求线段和的最小值的计算，结合平移得到，，且，根据两点之间距离的计算公式得到，即的最小值为，由此即可求解； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度到点，即，过点作轴于点，如图所示，则，根据锐角三角函数的计算得到，，可知抛物线沿射线方向平移个单位长度，即顶点坐标向左平移一个单位长度，向下平移的单位，所以平移后的解析式为，如图所示，过点作轴于点，即是等腰三角形，，可求出，分类讨论：如图所示，当抛物线上点在上点处时，令，， 解得，，再根据实际情况排除；当抛物线上点在点处时，作关于对称的，连接交于点，过点作轴于点，则垂直平分，，，根据角平分线的性质定理，运用等面积法得到的值，由锐角三角函数的计算得到的坐标，求值直线的解析式，联立方程得到点的横坐标；由此即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，交轴于点， 当时，， ∴， ， ， ， ∵，， ∴， ， ∴，， 设， 过点， ∴， 解得，， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ， ， 设，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 最大时，的周长最大， ∵点是直线上方抛物线上的一动点， 设， ， ， ∴关于的函数图象开口向下，有最大值，当时，有最大值， ∴， ∴此时点， ， 轴，作点关于的对称点，连接，将水平向右移动一个单位得到，则点与点重合，当三点共线时，最小，即的值最小， 则，，且， ∴，即的最小值为， ∴的最小值， 综上：点的最小值为； （3）解：横坐标为或，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度到点，即，过点作轴于点，如图所示，则， ∵， ∴， ∵， 解得，， ∴， ∴，， ∴抛物线沿射线方向平移个单位长度，即顶点坐标向左平移一个单位长度，向下平移的单位， ∵抛物线的解析式为， ∴平移后的解析式为， 整理得，， 如图所示，过点作轴于点， ∵， ∴，则是的垂直平分线， ∴，即是等腰三角形，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 如图所示，当抛物线上点在上点处时，令，， 解得，， 此时点为抛物线的右交点，舍去， 故此时点的横坐标为； 当抛物线上点在点处时，作关于对称的，连接交于点，过点作轴于点，则垂直平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， 整理得，， 解得，，， 根据图象可知此时点是直线与新抛物线的左交点可知：不符合题意，舍去， ∴； 综上所述，横坐标或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形的计算，二次函数中线段和最值的计算与“造桥模型”的综合，两点之间距离公式的运用，等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，一次函数与二次函数联立方程组的求解方法等知识的综合运用，掌握以上知识的综合，数形结合分析，分类讨论思想，合理作出辅助线是解题的关键． 27．（24-25九下·重庆一中·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点、点，且过点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作，垂足为．点、是轴上的两个动点（点在点的上方），且，连接，．当线段的长度取得最大值时，求的最大值； (3)如图2，直线上有一点，且点的横坐标为2，连接，．将抛物线关于轴对称得到新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，当时，写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 【答案】(1) (2) (3)和，过程见解析 【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年九年级下学期第一次模拟测数学试题 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线表达式即可； （2）先求得点A、C的坐标，进而求得及直线的表达式为，过P作轴交直线于H，则可得，当的长度最大时，的长度最大；设，则，利用二次函数的性质求得最大时点P的坐标，将线段向下平移一个单位，得到，连接，此时，由由三角形的三边关系可得，由两点坐标距离公式求得即可； （3）先求得,进而利用勾股定理及其逆定理得到，设，，则，，利用正切定义得到，，推导出，进而求得；利用关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得到新抛物线的表达式为，设，分当Q在x轴上方时和当Q在x轴下方时两种情况，分别利用正切定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：将、代入中， 得，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，由得，， ∴，， 当时，，则，， ∴； 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 如图1，过P作轴交直线于H，则， ∵， ∴，当的长度最大时，的长度最大； 设，则， ∴， ∵，， ∴当时，最大，即的长度最大，此时； ∵， ∴将线段向下平移一个单位，得到，连接，此时， ∴，当G在的延长线上时取等号， ∵, ∴的最大值为； （3）解：∵直线上有一点，且点的横坐标为2， ∴当时，，则, ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 设，，则，， ∴，， 下面推导与、的关系， 如图，已知矩形中，，，， 设，，，， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故， 将抛物线关于轴对称得到新抛物线， 则新抛物线的表达式为， 设， 当Q在x轴上方时，， 整理，得， 解得，（舍去），此时； 当Q在x轴下方时，， 整理，得， 解得，（舍去），此时， 综上，满足条件的Q坐标为和． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平移性质、解直角三角形、最值问题等知识，理解题意，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 28．（2025·重庆渝北·一模）如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线解析式； (2)点为直线下方抛物线上一点，连接，，点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，最小值为 (3)存在，． 【来源】2025年重庆市渝北区中考一模考试数学试题 【分析】（1）根据对称轴得出，将将代入，即可求解； （2）过点P作y轴的平行线，交于点D，则面积，当最大时，面积最大，设，则，得出，即可求出带你P的坐标， 将点向右平移个单位长度至点，连接，则，做点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则，当点，M，P三点共线时，，此时，取最小值，即可解答； （3）根据题意得出平移后的解析式为，，①当点Q在x轴下方时：过点A作的垂线，交于点Q，过点Q作轴于点E，则，设，则，求出m即可； ②当点Q在x轴上方时：同理可得：，即可解答． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴，则， 将代入得：， 则， 解得：， ∴， ∴抛物线解析式为：； （2）解：过点P作y轴的平行线，交于点D， ∵，对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵面积， ∴当最大时，面积最大， 设，则， ∴， 当时，最大，面积最大， ∴， ∵点为抛物线对称轴上一动点，轴， ∴ 将点向右平移个单位长度至点，连接， 则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 做点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则， ∴， 当点，M，P三点共线时，， 此时，取最小值， ∵，， ∴， ∴． 综上：，最小值为． （3）解：∵将抛物线沿射线方向平移后过点， ∴原抛物线向下平移2个单位长度，向左平移4个单位长度， ∴平移后的解析式为， ∵， ∴， ∴， ①当点Q在x轴下方时： 过点A作的垂线，交于点Q，过点Q作轴于点E， ∵， ∴， ∴，则， ∴，则点Q即为所求， 设， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴， ②当点Q在x轴上方时： 同理可得： 设， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴（舍去）， 综上：存在，． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法和步骤，铅锤法求面积，将军遛马最值模型，以及一线三等角证明相似． 29．（2025·重庆綦江联盟校·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点P，连接，点D是点C关于x轴的对称点，过点D作直线轴，点M为直线上一动点，轴，垂足为N，连接，当的面积取得最大值时，求点P的坐标以及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，点E为中点，在新抛物线上存在一点Q使得，请直接写出所有符合条件的Q点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【来源】重庆市綦江区联盟校2025年中考第一次模拟考试数学试题 【分析】（1）根据题意求出点B，再利用待定系数法求解，即可解题； （2）利用抛物线解析式得到，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，设点，过点作轴 ，交直线于点，则点，进而得到，再根据，结合二次函数最值求出点P的坐标，作关于直线的对称点，连接交直线于点，结合轴对称，平行四边形性质和判定，勾股定理得到的最小值进行求解，即可解题． （3）根据抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，结合解直角三角形，以及勾股定理推出向右平移个单位，向下平移个单位得到新的抛物线的解析式，再根据，结合平行线性质，以及相似三角形性质求出直线的解析式，再联立抛物线的解析式求解，即可解题． 【详解】（1）解： ， ， 又， ，即， 把坐标代入表达式，则， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为； ， 设直线的解析式为，把代入， ，解得， 直线的解析式为， 设点，过点作轴 ，交直线于点，如图， 则点， ∴， ∴， ∵，对称轴为直线， ∴当时，的面积取最大值， ∴， ∴， 作关于直线的对称点，连接交直线于点， ， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∵点为直线上一动点，轴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值； （3）解：抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线， 又， ， 则设向右平移个单位，则向下平移个单位， 且有， 解得或（不合题意，舍去）， 向右平移个单位，向下平移个单位， ， 点E为中点， ， 如图，当时，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 联立与， 解得或（不合题意，舍去）， ， 点的坐标为； 当，与轴的交点为， ， ， ， ， ，， ， ，解得， ， 设直线的解析式为，把代入， ， 解得， 直线的解析式为， 联立与， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）， ， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，待定系数法求函数解析式，二次函数面积综合，二次函数最值，轴对称找线段和的最小值，平行四边形性质和判定，勾股定理，二次函数的平移，相似三角形性质和判定，解直角三角形，二次函数与一次函数交点问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 30．（2025·重庆巴蜀中学·一诊）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是抛物线的顶点，连接，点是上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作轴于点，点是轴上一动点，连接，当取得最大值时，求出点的坐标及的最小值； (3)如图2，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点为，延长线交抛物线于点，点为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3)或 【来源】2025年重庆市巴蜀中学九年级一诊数学试题卷 【分析】（1）先求出，再利用，，求出，，得，，再利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点，设抛物线对称轴交轴于点，过点在轴下方作，过点作于点，先求出直线的解析式为，通过，得出，得出，设，则，得出，利用二次函数的性质得出当时，最大，此时，证明，由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交轴于点，利用含角的直角三角形的性质进行求解即可； （3）先求得新抛物线的解析式为，求出直线解析式为，联立抛物线求出，在直线上取一点，使得， 则，则，则直线与抛物线的另一交点即为点，设，则利用列式求出，求出直线解析式为，联立抛物线即可求解；利用对称性，在直线上取另一点，使得， 再进行列式求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 代入抛物线， 得：， 解得：， ∴； （2）解：如图，过点作轴，交于点，交轴于点，设抛物线对称轴交轴于点，过点在轴下方作，过点作于点， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∵轴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， 则，， 则， ∵， ∴当时，最大， 此时， 则此时， ∵， ， ∴， ∴， 由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交轴于点， 由，得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即最小值为； （3）解：∵抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，的顶点为， ∴新抛物线的解析式为， 设直线解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 如图，在直线上取一点，使得， 则， ∴， 则直线与抛物线的另一交点即为点， 设， 则，， ∴， 解得：， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立抛物线，得， 解得：（舍），， 故点的横坐标为； 如图，利用对称性在直线上取另一点，使得， 则， 则直线与抛物线的另一交点即为点， 设， 则，， ∴， 解得：（舍），， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立抛物线，得， 解得：（舍），， 故点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或． 31．（24-25九下·重庆实验外国语学校·一诊）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作于点G．点E，F分别是拋物线对称轴、y轴上的动点，连接、、．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)如图2，将该抛物线向右平移4个单位、向上平移6个单位得到新拋物线，已知点、，动点M在直线上，动点K在x轴上方的新抛物线上，连接并将线段绕点K旋转得到，过点N作x轴垂线恰好过点R，与直线交于点D，是否存在点K使得？若存在，请写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出一种情况的求解过程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【来源】重庆实验外国语学校2024-2025学年九年级下学期一诊数学试题 【分析】（1）根据题意，得，解方程组解答即可； （2）根据得，根据抛物线的对称轴是直线，得到，过点P作轴交直线于点H，结合抛物线，直线解析式，设，则，则， 计算，利用二次函数的最值解答即可，结合对称性求的最小值即可． （3）根据，结合抛物线向右平移4个单位、向上平移6个单位得到新拋物线，于是新抛物线解析式为，当在左侧时，过点K作于点Q，将逆时针旋转得到，可证得在上，过点K作交于点T，得，可知，设，则，得，可得，解方程即可求解；当在右侧时，过点K作于点P，将顺时针旋转得到，同理即可求解． 【详解】（1）解；根据题意，得， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：根据得， 根据抛物线的对称轴是直线， 解得， 故点， 设直线的解析式为， 故， 解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的解析式为，不妨设，且， 过点P作轴交直线于点H，则，则， 故， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 且当时，有最大值为， ∴． ∵，，是定值， 故当面积最大时，线段长度取得最大值， 作出点关于y轴的对称点， 则，于是的最小值就转化为的最小值，根据两点之间线段最短，连接，交y轴于点M，交对称轴于点N，于是当F与点M重合，点E与点N重合时，取得最小值，就是． ∴． （3）解：∵，且抛物线向右平移4个单位、向上平移6个单位得到新拋物线， ∴新抛物线解析式为， 根据题意，点、， 设直线的解析式为， 故， 解得， ∴直线的解析式为， 过点K作于点Q，将逆时针旋转得到， 则，，，，， ∴， ∴， ∵，则 ∴， ∴，则在上， 过点K作交于点T， ∴， ∴， ∴， ∵点、， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 整理，得， 解得， 故（舍去）， 此时K的横坐标为； 过点K作于点P，将顺时针旋转得到， 同理可知在上， 过点K作交于点G， ∴， ∵点、， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 整理，得， 解得， 故（舍去）， 此时K的横坐标为． 综上，K的横坐标为或． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数（原卷版） 考点1 一次函数和反比例函数 1．（2023·重庆·中考A）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·重庆·中考B）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·重庆·中考A）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A． B．3 C． D．6 4．（2025·重庆·中考）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 5．（2021·重庆·中考B）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，的面积为1，则k的值为（    ） A． B． C．2 D．3 6．（2021·重庆·中考A）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥X轴，AO⊥AD，AO=AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE．反比例函数的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若，则k的值为（    ） A． B． C．7 D． 7．（2022·重庆·中考A）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集； (3)若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积． 8．（2022·重庆·中考B）反比例函数的图象如图所示，一次函数（）的图象与的图象交于，两点，    (1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中面出该函数的图象； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)一次函数的图象与x轴交于点C，连接，求的面积． 9．（2021·重庆·中考B）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． … 0 1 2 3 4 5 … … 6 5 4 2 1 7 … （1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：________，_________，__________； （2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：__________； （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集． 10．（2021·重庆·中考A）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． （1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象； x … －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 … … － － － 0 4 0 … （2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质； （3）已知函数的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 考点2 二次函数压轴题 11．（2021·重庆·中考B）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求面积的最大值； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线AD平移个单位，得到新的抛物线，点E为点P的对应点，点F为的对称轴上任意一点，在上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 12．（2025·重庆·中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 13．（2024·重庆·中考A）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 14．（2023·重庆·中考B）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．    (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来． 15．（2023·重庆·中考A）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于点，B两点，交y轴于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 16．（2022·重庆·中考B）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点与点P关于抛物线的对称轴对称．将抛物线向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来． 17．（2022·重庆·中考A）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线下方拋物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 18．（2021·重庆·中考A）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值； （3）把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来． 考点1 一次函数和反比例函数 1．（2025·重庆西大附中·三模）若点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·重庆八中·三模）如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，线段是由线段以点为位似中心放大3倍得到的，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·重庆南开中学·二模）氯酸钾在二氧化锰的催化作用下加热到一定的温度能产生氧气．如图，折线表示在该反应过程中，收集到氧气的质量M（克）随加热时间t（分钟）的变化情况，则下列说法错误的是（   ） A．第3分钟时未产生氧气 B．第6分钟时开始产生氧气 C．第10分钟时氧气质量达到最大9.6克 D．10分钟后，氧气质量仍在增加 4．（24-25九下·重庆一中·二模）如图，在平面直角坐标系，平行四边形的边在轴上，点在轴上，与交于点，反比例函数的图象经过点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·重庆育才中学·二模）反比例函数的图象分别位于（    ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 6．（2025·重庆渝中·二模）正比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D．2 7．（2025·重庆开州云枫教育集团·二模）反比例函数经过点，则k的值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 8．（2025·重庆一中·二模）当时，反比例函数的图象可能经过点（   ） A． B． C． D． 9．（2025·重庆八中·一模）若点和点在同一个反比例函数的图像上，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 10．（24-25九下·重庆一中·一模）在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D．20 11．（2025·重庆渝北·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当用电器可变电阻为时，其电流为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·重庆綦江联盟校·一模）若反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25九下·重庆实验外国语学校·一诊）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 14．（2025·重庆八中·三模）如图，，是函数与的图象的两个交点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，则四边形的面积为 ． 15．（2025·重庆綦江联盟校·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为 ． 考点2 二次函数压轴题 16．（2025·重庆实外·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，两点，点D为x轴负半轴上一点，且，直线与抛物线交于另一点E． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作轴交于点F，过点P作轴交y轴于点G，点M，N为x轴上的两个动点，点M在N的左侧，且，点H为直线上的一个动点，连接，．当取得最大值时，求的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿着的方向平移个单位得，点Q是新抛物线的对称轴上的一个动点，当时，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一个Q点坐标的求解过程． 17．（2025·重庆西大附中·三模）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．点是轴上的一动点，当的面积最大时，求周长的最小值； (3)如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问条件下的点时，新抛物线与轴交于点（在左侧），与轴交于点．点为新抛物线上的一点，连接交直线于点，使得，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 18．（2025·重庆八中·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于，两点（在的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，作，垂足为点，点是轴上一动点，连接，．当周长取得最大值时，求的最大值以及点的坐标； (3)在（2）问的条件下，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个情况的求解过程． 19．（2025·重庆南开中学·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求的长； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作交x轴于点M，点N为直线上一动点，过点N作轴交PM于点Q，连接，，，．当的面积取得最大值时，求的最大值； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移，使平移后的新抛物线过点C，点D为新抛物线的对称轴与x轴的交点，点F为新抛物线对称轴上一动点，连接，．若平分，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出其中一个点F的坐标的求解过程． 20．（24-25九下·重庆一中·二模）直线：与抛物线分别交于轴上的点和轴上的点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为点关于轴的对称点，为直线上方抛物线上一点，将直线向下平移2个单位长度得到直线，为直线上任意一点，过点作于点；当面积取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线右移1个单位长度，上移5个单位长度可得新抛物线．与轴右交点记为点，直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点．点在原抛物线上的对应点为，已知、、、四点构成的四边形有一组对边平行，求的值． 21．（2025·重庆育才中学·二模）如图，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． (1)求该抛物线解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作于D，点E为y轴上一动点，连接，当有最大值时，求的最小值； (3)如图2，在上取一点Q，连接，使，将抛物线沿射线方向平移2个单位得到新抛物线，点M为新抛物线上对称轴右侧的一动点，过M作交直线于点N，连接，当时，直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M坐标的其中一种情况的过程． 22．（2025·重庆巴蜀中学·二模）如图1，抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，已知，连接，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是位于直线上方抛物线上一点，过点P做轴交于点E，连接，点F是直线上一动点，当时，求出此时点P的坐标周长的最小值； (3)如图3，抛物线关于原点对称后得新抛物线y，新抛物线交x轴于点，交y轴于点，点Q是新抛物线y上位于x轴下方的一点，满足，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一种情况的推理过程． 23．（2025·重庆渝中·二模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在线段上，点与点关于对称轴对称，过点作轴交抛物线于点，直线交轴于点．若四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)若点是对称轴上一动点，当最大时，直接写出点的坐标． 24．（2025·重庆开州云枫教育集团·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点和点，交轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一点，轴交于，当最大时，在直线上运动，且，点，求的最小值； (3)将抛物线沿射线平移个单位，在平移后的抛物线上，是否存在点，使得，若存在，直接写出的坐标，若不存在，请说明理由． 25．（2025·重庆一中·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D，点M、N分别在上运动，当取得最大值时，求的最小值． (3)将该抛物线沿射线方向平移，且平移后的新抛物线经过点C，点Q为新抛物线对称轴上的一动点，当时，直接写出满足条件的点Q的坐标． 26．（2025·重庆八中·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，其中点，． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，交于点．点，连接，点为直线上的动点，且满足．当周长最大时，求此时点的坐标以及的最小值； (3)在（2）问条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点的求解过程． 27．（24-25九下·重庆一中·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点、点，且过点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作，垂足为．点、是轴上的两个动点（点在点的上方），且，连接，．当线段的长度取得最大值时，求的最大值； (3)如图2，直线上有一点，且点的横坐标为2，连接，．将抛物线关于轴对称得到新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，当时，写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 28．（2025·重庆渝北·一模）如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线解析式； (2)点为直线下方抛物线上一点，连接，，点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 29．（2025·重庆綦江联盟校·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点P，连接，点D是点C关于x轴的对称点，过点D作直线轴，点M为直线上一动点，轴，垂足为N，连接，当的面积取得最大值时，求点P的坐标以及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，点E为中点，在新抛物线上存在一点Q使得，请直接写出所有符合条件的Q点的坐标． 30．（2025·重庆巴蜀中学·一诊）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是抛物线的顶点，连接，点是上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作轴于点，点是轴上一动点，连接，当取得最大值时，求出点的坐标及的最小值； (3)如图2，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点为，延长线交抛物线于点，点为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 31．（24-25九下·重庆实验外国语学校·一诊）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作于点G．点E，F分别是拋物线对称轴、y轴上的动点，连接、、．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)如图2，将该抛物线向右平移4个单位、向上平移6个单位得到新拋物线，已知点、，动点M在直线上，动点K在x轴上方的新抛物线上，连接并将线段绕点K旋转得到，过点N作x轴垂线恰好过点R，与直线交于点D，是否存在点K使得？若存在，请写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出一种情况的求解过程；若不存在，请说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$