第2章 圆与方程综合检测卷（提高篇）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（苏教版2019选择性必修第一册）

第2章 圆与方程综合检测卷（提高篇） 【苏教版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高二上·江苏·期中）已知圆，圆，则圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（5分）（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知圆内有一点，为过点的弦，当弦被点平分时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（2025·广东珠海·一模）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 8．（5分）（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知圆，直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·全国·期末）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆 C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切 10．（6分）（24-25高二上·广东东莞·期末）已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（    ） A．若，则圆和圆相离 B．若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是 C．若圆和圆外切，则 D．若圆和圆内切，则 11．（6分）（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知圆，过点作圆的两条切线，，切点分别是，，则（   ） A． B．直线，的方程为和 C．四边形的面积为27 D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·广东广州·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的标准方程为 ． 13．（5分）（24-25高二上·贵州·期中）已知圆：与圆：的交点为、，则 ． 14．（5分）（24-25高二上·安徽合肥·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·山西晋中·期中）已知. (1)求直线BC的方程; (2)求的外接圆的方程. 16．（15分）（24-25高二上·陕西咸阳·期中）已知圆：和圆：. (1)求证：圆和圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程以及公共弦的长. 17．（15分）（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 18．（17分）（24-25高二上·四川德阳·期中）已知圆关于轴对称，圆心在直线上，与轴相交的弦长为4. (1)求圆的方程； (2)若点是圆上的动点，动点与两个定点，的距离之比为2，求的最大值和最小值； 19．（17分）（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 圆与方程综合检测卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出半径，即可得到圆的方程． 【解答过程】由题意可知是，的中点为是， 则圆的半径为， 故圆的方程为. 故选：D． 2．（5分）（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】若圆上有4个点到直线的距离等于1，则到直线的距离小于1，代入点到直线的距离公式，可得答案. 【解答过程】圆心为，半径为， 若圆上有四个点到直线的距离等于1， 所以到直线的距离小于， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 3．（5分）（24-25高二上·江苏·期中）已知圆，圆，则圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据两圆的位置关系，即可判断公切线条数. 【解答过程】由圆，可得， 故圆心，半径， 由圆，可得， 故故圆心，半径， 因为，所以， 即两圆相交，所以圆与圆的公切线条数为2. 故选：B. 4．（5分）（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】求出已知两圆的交点，求线段的中垂线，联立待求圆圆心所在直线，即可得出圆心坐标. 【解答过程】设圆与圆的交点为A，B 联立两圆方程，得，解得，或． 不妨记，， 于是的中点为， 从而可得的垂直平分线方程为 ，即， 联立与，得解得， 即圆心坐标为． 故选：D． 5．（5分）（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知圆内有一点，为过点的弦，当弦被点平分时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出圆心，由垂径定理得⊥，从而得到，写出直线方程. 【解答过程】的圆心为， 为过点的弦，当弦被点平分， 由垂径定理得⊥， 其中，故， 所以直线的方程为，即. 故选：B. 6．（5分）（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】将问题化为直线与圆的上半部分有交点求参数范围. 【解答过程】曲线是圆的上半部分，且含端点， 由过点定点，如下图， 由图知，当与半圆左上部相切时，且，可得， 结合图知. 故选：B. 7．（5分）（2025·广东珠海·一模）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【解题思路】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【解答过程】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D. 8．（5分）（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知圆，直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先得到圆的圆心坐标与半径，依题意可得，即可得到动点的轨迹方程，再由直线与圆有交点，圆心到直线的距离不大于半径得到不等式，解得即可. 【解答过程】圆，则圆心为，半径，    因为，在中，， 所以，所以点的轨迹方程为，即圆心为，半径， 又直线上存在点， 所以直线与有交点，所以，解得 ， 即实数的取值范围是． 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·全国·期末）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆 C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切 【解题思路】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解答过程】由题意，方程，可化为， 可圆的圆心坐标为， A中，当时，此时半径为，所以A错误； B中，当时，此时半径大于，表示圆心为的圆，所以B正确； C中，当时，表示的圆的半径为，所以C正确； D中，当时，可得，方程表示的圆半径为， 又圆心坐标为，所以圆心到轴的距离等于半径，所以圆与轴相切，所以D正确． 故选：BCD. 10．（6分）（24-25高二上·广东东莞·期末）已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（    ） A．若，则圆和圆相离 B．若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是 C．若圆和圆外切，则 D．若圆和圆内切，则 【解题思路】把圆的方程化成标准方程，明确圆心和半径，借助两圆的位置关系进行判断. 【解答过程】圆：，圆心，半径； 圆：，圆心，半径. 对A：当时，，因为故两圆相交，故A错误； 对B：当时，两圆相交，公共弦所在直线方程为：，即，故B正确； 对C：由两圆外切，得 ，故C错误； 对D：由 ，故D正确. 故选：BD. 11．（6分）（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知圆，过点作圆的两条切线，，切点分别是，，则（   ） A． B．直线，的方程为和 C．四边形的面积为27 D． 【解题思路】根据两点间距离求出的长度，计算出的长度判断A；根据直线斜率存在和不存在别设出直线的方程，再根据直线与圆相切求出方程判断B；根据与是全等的直角三角形求出四边形面积判断C；根据求出判断D. 【解答过程】圆的圆心为，半径为，因为，， 所以，故A正确； 过且斜率不存在的直线方程为， 圆心到直线的距离，故与圆相切， 设过点且斜率存在的直线方程为， 即，若与圆相切， 则，即，即， 所以直线，的方程为和，故B错误； 因为与是全等的直角三角形， 所以四边形的面积为，故C正确； 因为，所以四边形的面积为， 解得，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·广东广州·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的标准方程为 ． 【解题思路】根据题意结合圆的性质求得圆心为，即可得半径和圆的方程. 【解答过程】圆经过原点和点，可知圆心在线段的中垂线上， 因为圆心在直线， 联立方程，解得， 即，可得半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高二上·贵州·期中）已知圆：与圆：的交点为、，则 ． 【解题思路】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，再两圆方程作差求出公共弦方程，求出圆心到公共弦的距离，最后由勾股定理计算可得. 【解答过程】圆：，即， 则圆心，半径； 圆：，即， 则圆心，半径； 所以，所以， 所以两圆相交，则两圆公共弦方程为， 即， 则圆心到直线的距离， 所以公共弦. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高二上·安徽合肥·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是 . 【解题思路】设的坐标为，由题意结合圆的切线的几何性质推出在直线上，继而将的最小值转化为点到直线的距离，即可求解. 【解答过程】根据题意，设的坐标为，圆的圆心为，则. 为圆的切线，则有， 又由，则有，即， 变形可得：，即在直线上， 则的最小值即为点到直线的距离， 且，即的最小值是； 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·山西晋中·期中）已知. (1)求直线BC的方程; (2)求的外接圆的方程. 【解题思路】（1）两点式求出直线方程，化为一般式即可； （2）设出外接圆的一般式方程，代入三个点的坐标，求出答案. 【解答过程】（1）直线BC的方程为，化简，得. （2）设外接圆的方程为， 将A，B，C的坐标代入，得, 即, 解得 故所求圆的方程为. 16．（15分）（24-25高二上·陕西咸阳·期中）已知圆：和圆：. (1)求证：圆和圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程以及公共弦的长. 【解题思路】（1）根据圆的方程确定圆心和半径，利用半径和差与圆心距的大小关系判断圆的位置关系； （2）两圆方程作差求公共弦方程，应用几何法求公共弦长. 【解答过程】（1）根据题意，圆：的圆心为，半径， 圆：，得，圆心为，半径， 圆心距， ， 圆和圆相交. （2）将两圆方程相减，有，即两圆公共弦所在直线的方程为， 圆心到的距离，故公共弦的弦长为. 17．（15分）（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【解题思路】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解； （2）首先求船行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性. 【解答过程】（1）依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点, 又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则,解得， 所以圆C的方程为． （2）因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则， 而船D沿着北偏东方向行驶， 则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离，则， 所以该船没有触礁的危险． 18．（17分）（24-25高二上·四川德阳·期中）已知圆关于轴对称，圆心在直线上，与轴相交的弦长为4. (1)求圆的方程； (2)若点是圆上的动点，动点与两个定点，的距离之比为2，求的最大值和最小值； 【解题思路】（1）确定圆心半径即可求解圆的方程. （2）求得点的轨迹方程，可求两圆上点间的距离的最大值与最小值. 【解答过程】（1）因为圆关于轴对称，所以圆心在轴上，又圆心在直线上， 所以圆心为直线直线与轴的交点，即， 因为与轴相交的弦长为4，所以，圆的方程：. （2）设动点，因为动点与两个定点，的距离之比为2， 所以，所以 化简得，圆心为，半径为， 由（1）知圆的方程：，所以圆心，半径为. 两圆心，所以两圆相离， 所以的最大值为， 最小值； 19．（17分）（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 【解题思路】（1）设圆心，根据题意列关于的方程，解方程，可求出圆的半径，进而可得出圆的标准方程； （2）推导出，可得出四边形面积，分析可知，当时，取最小值，求出方程，联立、的方程，求点的坐标，并求出的值，由此可得出四边形面积的最小值. 【解答过程】（1）因为圆的圆心在直线上，设圆心为， 根据题意可得，即， 解得，故圆心为，该圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. （2）因为、都与圆相切，由切线长定理可得， 又因为，， 则，且，， 所以，四边形面积， 当时，取最小值，则四边形面积最小， 因为直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 由得，即点的坐标为， 此时，则四边形面积的最小值为. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$